效用理论

工科仓库里立着一根能更换纸刻度的工业温度计：玻璃管、汞红液柱、外侧一排能揭下、随意重贴的纸刻度条。何衡盯着温度计出了神，他发现：无论纸条上印着 20 还是 200，液柱升到哪里，只和实际的冷热有关，跟刻度标签没关系。先有冷热，后有刻度。效用理论采用了类似的思路：先有上一章说的无差异曲线（判断哪一杯更好），再给每条曲线贴一个数字。这个数字完全可以重新贴一遍，甚至可以换种规则，只要不影响谁更偏好谁，实际选择不会因此改变。

维多利亚时代的人曾一度把“效用”看作像幸福感的摄氏度，幻想着可以精确测量、相互比较。但他们说不清到底该怎么量、怎么比。“这杯咖啡的效用是那本小说的三倍”这种表述，究竟意味着什么？后来，现代经济学逐渐摒弃了这种想法，把排序权交还给“偏好”，把效用数字退化为 贴标签的工具——就像温度计外面那行易撕的纸刻度，只为方便区分冷热顺序而已。

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先有冷热，后有刻度

从选择看，效用真正起作用的地方只有排序：若 $u(A)>u(B)$，人选 A。A 比 B 高出 3 还是 300，没有独立的经济含义。旧说法是“先有幸福数字，再定义偏好”；新说法反过来：偏好是原始材料，效用只是编码。

$$(x_1,x_2)\succ(y_1,y_2)\iff u(x_1,x_2)>u(y_1,y_2)$$

无差别则数字相等。何衡关心的是汞柱谁高谁低，不是纸上那排数字的间距。

效用函数 给每个消费束派一个数，更偏好的束得到更大的数。形式不唯一：能保住排序即可。杯 A、B、C 若满足 $A\succ B\succ C$，则 $(5,2,0)$、$(100,10,1)$、$(-1,-2,-3)$ 都是合法刻度。

这种只问顺序、不问间距的刻度，叫做 序数效用。下表三根温度计读数完全不同，冷热顺序却是同一套：

不能说“A 比 B 好多少有意义”，只能说 A 排在 B 前面。$u(A)-u(B)=1$ 而 $u(B)-u(C)=9.998$，并不表示第二段差距“更痛”。

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水银柱可以重贴

单调变换 是严格递增的重贴：用 $f$ 作用在原效用上，只要 $u_1>u_2$ 蕴含 $f(u_1)>f(u_2)$，新刻度仍然代表同一套偏好。乘 2、加 17、取正数上的对数、取立方，都可以；乘 不行，它把冷热颠倒。

常见合法重贴：$f(u)=3u$，$f(u)=u+17$，$u>0$ 时的 $f(u)=u^3$，。核心定理：若 代表某种偏好，则 也代表、且只代表这同一种偏好。无差异曲线本身不动，只是旁边的数字换了。决策预测、曲线形状、政策比较里的排序结论，都不随重贴而变。

拖下面的切换。同一组偏好 $u=x_1 x_2$，贴成 $u$、$2u$、$\ln u$。曲线还是那些双曲线，只有标签改了。

下表展示了“同一根汞柱，三套刻度”的典型例子。无论是原始的 $u$，全体乘 2，还是取自然对数 $\ln(u)$，无差异曲线的几何形状完全一致（排列顺序、偏好未变），只有数值标签不同：

不论如何“重贴纸刻度”，每条无差异曲线的位置都不动，只是对应的数值标签变化而已。
例如 $u=4$、$2u=8$、$\ln(u)=1.39$，都是描述同一根“汞柱”的不同数值标签。

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为什么不读成摄氏度

基数效用 主张数字间距有意义：20 对 10 不仅是更好，还是“好两倍”或“差 10 个幸福单位”。风险决策里的冯·诺依曼–摩根斯坦期望效用，是少数需要更强刻度的地方。日常消费里，“喜欢两倍”很难落地：愿多付两倍价钱混进了收入约束；愿多跑两倍路混进了体力；问卷打分随心情漂。

所以主流消费理论停在序数：能判断哪根汞柱更高就够。基数在特定公理下可加减，像真的摄氏度；序数只排名次，稳健、可观测。何衡不把纸刻度当成物理温度，除非问题本身是风险彩票。

刻度从哪来

不是每套偏好都能贴温度计。若 $A\succ B\succ C\succ A$，数字无法绕圈。通常需要 完备性、传递性，再加上 连续性（极小扰动不让排序跳变），二维商品空间里就有 效用存在性定理：存在一个连续函数代表这套偏好。表示不唯一，任何单调重贴都算。

几何上有一种 对角线法：从原点拉出 $x_1=x_2$ 的射线，单调偏好下每条无差异曲线与它交一次。束 $(6,2)$ 先沿偏好方向投影到对角线上的交点，再用该交点到原点的距离当编号。距离更远的曲线贴更大的数，曲线之间不打架。尺子的作用是分层，不是测量幸福牛顿。

有了 $u(x_1,x_2)$，令 $u=k$ 画出的点集就是无差异曲线。例如 $u=x_1 x_2$，则 。取 ，三条双曲线离原点越来越远，汞柱只升不降。边际效用 ，。在 处 、，后面会看到 ——此刻为再多一单位货 1，愿放 2 单位货 2。

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四种常用刻度

完全替代对应线性刻度 $u=x_1+x_2$，或更一般 $u=ax_1+bx_2$。总数（加权）相同则无差别，曲线是斜率 的平行直线，MRS 恒定。

完全互补对应 $u=\min\{x_1,x_2\}$，或 $u=\min\{ax_1,bx_2\}$。一杯茶配两勺糖则 。曲线是 L，只有成套增加才能升高汞柱。

拟线性：$u=v(x_1)+x_2$，例如 $\sqrt{x_1}+x_2$ 或 。第二条货线性进入，MRS 只随 变、与 无关。无差异曲线沿纵轴平移。适合把 当成“钱”的模型。

柯布–道格拉斯 $u=x_1^c x_2^d$（$c,d>0$）是最常用的平滑凸偏好。两种货都不可或缺：任一数量为 0，汞柱掉到 0。单调重贴后常写成 ，指数直接变成下一章的支出份额。

对 $u=x_1^{1/2}x_2^{1/2}$ 取对数仍代表同一偏好，计算往往更省事。何衡不在乎纸上印的是乘积还是对数，只在乎哪条曲线更高。

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水银升一格，两柱之比才算数

边际效用 是其他数量不动时，再多一单位某货，效用怎么变：

$$MU_1=\frac{\partial u}{\partial x_1},\qquad MU_2=\frac{\partial u}{\partial x_2}$$

离散写法是 $\dfrac{\Delta U}{\Delta x_1}$。几何上，沿横轴走一小步，汞柱升高 $MU_1\Delta x_1$。

MU 的绝对值随刻度变：整根温度计乘 2，MU 也乘 2，选择不变。多数好货满足 边际效用递减：第一口面包救饥饿，第三口已经撑。正常商品的 MU 为正；厌恶品为负。递减解释了人为什么把预算拆到多种货上，而不是灌满一种。

在同一条无差异曲线上 $du=0$：

$$MU_1\,dx_1+MU_2\,dx_2=0\implies \mathrm{MRS}=-\frac{MU_1}{MU_2}$$

这就是曲线斜率。绝对值 $|MRS| = \dfrac{MU_1}{MU_2}$：为多拿一单位货 1，愿放多少货 2。MRS 可从选择里观测；MU 单独不行。单调重贴 时， 与 同乘 ，比值不动——这正是“重贴刻度不改愿换比率”。

拖下面两根 MU。大数是 MRS。乘性重贴会让两根一起涨，比值钉死。

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陈路的通勤温度计

刻度一旦可贴，就能拿真实选择来估计。陈路住城东，每天去设计公司。他不在两种水果之间选，而在 出行方式 之间选。每一趟都可以写成一束特征：步行时间 $TW$、车上时间 $TT$、自付费用 $C$，外加舒适、要不要换乘。公交、地铁、开车，是这组特征空间里的三个点。他选中的那一趟，效用更高。

研究者不必先问他“幸福多少”，只要看他反复选哪一趟，再假设线性刻度

$$U = \beta_1 TW + \beta_2 TT + \beta_3 C + \varepsilon$$

用一个月的记录估出一组示意系数（单位：分钟、美元）：

$$U = -0.147\cdot TW - 0.0411\cdot TT - 2.24\cdot C$$

负号是因为时间更长、钱更多，汞柱下降。这根温度计能说对样本里约 93% 的“汽车还是公交”。对陈路而言，系数比不是神秘黑箱，是他愿意拿什么换什么：

$$\mathrm{MRS}_{TW,TT}=\frac{0.147}{0.0411}\approx 3.6$$

少走 1 分钟，他肯多坐约 3.6 分钟的车——步行比坐着难受得多。时间相对钱：

$$\frac{0.0411}{2.24}\approx 0.0183\text{ 美元/分钟}\approx 1.10\text{ 美元/小时}$$

省 20 分钟车上时间，他大约只肯掏 0.37 美元。这不是“官方工资”，是这根刻度读出的示意时间价值。

政策评估按三步走。成本–效益：多开一班车的钱，对不对得上乘客省下的分钟乘以 1.10 美元/小时。选择预测：把新的 $TW$、$TT$、$C$ 代回 $U$，看陈路会不会从公交跳到地铁。收益测算：全样本加总这些 MRS，得到一个可跟预算比的数。住房、就医可以换特征、换刻度，逻辑不变：观察选择，贴温度计，用替换率给政策标价。局限同样清楚——线性、样本里的陈路，不是全城的摄氏度；误差项 $\varepsilon$ 里还有天气和心情，刻度没有穷尽。