消费者偏好 | 自在学

消费者偏好

今晚不打分。长桌铺米白桌布，灯光压得很低，杯脚旁只有空白卡片。品酒师沈秋的工作不是给每一杯写 92 或 87，而是每次只端起两杯，说一句：这一杯严格更好，或者 这两杯无差别。

经济学把被比较的对象叫做 消费束：不是“今晚的心情”，而是一张完整清单——两种酒各多少、在什么场合喝到。雨里的伞和晴天的伞不是同一种商品；今天的面包和明年的面包也不是。分析若只盯一种权衡，就把其他一切捆成第二栏，束仍然写成 $(x_1, x_2)$ 。沈秋今晚的两栏是 赤霞珠 与 白葡萄：杯 A 是 $(2,8)$ ，杯 B 是 $(4,4)$ 。完整的束有时也简写成 $X$ 。

偏好理论从这里开始：不先发明“幸福分数”，只要求人在两杯之间给得出一张卡片。

今晚只比两杯

给定任意两束 $(x_1,x_2)$ 和 $(y_1,y_2)$ ，沈秋总能排序。她若确定要杯不要杯，就写

(x_1,x_2)\succ(y_1,y_2)

严格优于 是操作性的：只要两杯都在桌上，她会伸手拿 $x$ 。实验室里不必问她“喜欢多少”，看她拿哪一杯就够。

若两杯对她来说一样可接受，卡片写 无差别：

(x_1,x_2)\sim(y_1,y_2)

若 $x$ 至少不比 $y$ 差——要么更好，要么无差别——叫做 弱偏好：

(x_1,x_2)\succeq(y_1,y_2)

三张符号不是三种神秘感觉，是同一套伸手规则的三种写法。弱偏好两边同时成立，推出无差别：

x\succeq y\ \text{且}\ y\succeq x \implies x\sim y

弱偏好成立、无差别不成立，推出严格优于：

x\succeq y\ \text{且}\ \neg(x\sim y)\implies x\succ y

点下面两张卡片。沈秋今晚的隐偏好是“两种酒的乘积”——同一条无差异曲线上的杯会被判无差别，离原点更远的杯会被判严格更好。

杯 A、B、C 的参数分别是 $(4,4)$ 、 $(2,8)$ 、 $(8,2)$ ，它们的“乘积效用”都是 $4\times4=2\times8=8\times2=16$ 。在沈秋这里，这三杯写在同一张无差别卡片上，落在同一条无差异曲线上。对他来说，A、B、C 带来的满足感完全一样，不分高下。他不介意将三者互换。

再看一杯 E，参数为 $(6,6)$ ，乘积 $6\times6=36$ ，明显高于前面几杯。E 代表的一束在这套偏好下是“严格更好”的，他会偏向选择 E 而非 A、B、C。而所有这些描述，都是用一个叫“弱偏好” $\succeq$ 的符号统一表达的：弱偏好把“更好”（严格胜出 $\succ$ ）和“一样好”（无差异 $\sim$ ）都包含在内。每一张“弱偏好卡片”其实是一块区域，既可以表示“至少跟别人一样好”，也可能表示“比别人更好”。

品酒师不许自相矛盾

经济学家对卡片有三条纪律，不是道德，是为了后面能画出不相交的线。

完备性：任意两杯，要么 $x\succeq y$ ，要么 $y\succeq x$ ，或者两张都写。不允许沈秋说“这两杯我无法比较”。盲品会的规则就是必须出牌。

传递性：若 $x\succeq y$ 且 $y\succeq z$ ，则 $x\succeq z$ 。不能出现杯 A 胜杯 B、杯 B 胜杯 C、杯 C 又胜杯 A 的绕圈。绕圈会让“最高的那条线”不存在，预算线上将找不到最优。

自反性：任何一杯与自己无差别， $x\sim x$ 。听起来像废话，却保证弱偏好是真正的“至少一样好”，包含等于。

若同时出现 $x\succ y$ 与 $y\succ x$ ，两张严格卡片互殴，完备性和传递性一起破产。沈秋不会被允许这样写。

把所有与某杯无差别的束连起来，得到 无差异曲线。完备且传递的偏好，让曲线可以分层：更高的曲线是严格更好的杯子，同一条曲线是无差别的杯子。

曲线 不能相交。若两条无差异曲线交于一点 $Z$ ，则交点上的杯与曲线 1 上的 $A$ 无差别，也与曲线 2 上的 $B$ 无差别，于是 $A\sim Z\sim B$ ，传递性要求 $A\sim B$ 。可若两条线真的分开，上面那条本应严格更好，矛盾。相交会被盲品会判为记卡错误。

不同杯子，不同曲线

同一套符号，能长出完全不像的曲线。下面几种是教材里反复出现的形状，也是盲品会上几种极端的舌头。

完全替代：沈秋只在乎总量。红笔与蓝笔、两个品牌的矿泉水，按固定比率互换。无差异曲线是直线，斜率恒定。若 1 单位 $x_1$ 抵 1 单位 $x_2$ ，曲线是 $x_1+x_2=k$ ；若愿意用 2 支蓝笔换 1 支红笔，则，斜率。边际替代率不变，后面选最优时往往冲向角点。

完全互补：左鞋与右鞋、筷子一双。多一只左鞋、右鞋不动，无差别。曲线是 L 形，折点在固定比例上，例如 $x_1=x_2$ 。效用只随“成套数量”上升，单独堆一种货走不出更高的 L。

厌恶品：第二种“酒”其实是噪音、辣椒、排队时间。要保持无差别，多给一单位厌恶品，必须多给喜欢的那种作为补偿，曲线向右上倾斜。

中性品：第二种货她完全不在乎。无差异曲线是垂直（或水平）的：只看 $x_1$ ， $x_2$ 增减不换卡片。后面若要花钱买中性品，理性的人会把钱全部留给在乎的那一栏。

饱和点（幸福点）：存在一个最喜欢的束，再多喝反而难受。无差异曲线变成围着饱和点的圈，离它越近越好。单调性在这里失效：不是多多益善。

单调性（越多越好）：两种都是“好货”时，右上方的束弱偏好于左下方。无差异曲线因此向右下倾斜——要保持无差别，多拿 $x_1$ 必须少拿 $x_2$ 。饱和与厌恶都会打破这幅标准图。

凸性：平均值至少和极端一样好。取曲线上两点，连线中点落在“更好或一样好”的一侧。严格凸时曲线向原点鼓出，平滑且越来越平。凸性的行为含义是：人喜欢搭配，不喜欢孤注一掷。完全替代（直线）是凸但不严格凸；L 形互补是凸的折线；若曲线凹向原点，中点更差，人会冲向极端。

切换舌头，看曲线如何改形状。同一张米白卡片，换一种偏好，几何立刻换一套。

为再抿一口，愿意放下多少

无差异曲线在某一点的斜率，叫做 边际替代率（MRS）。它回答沈秋在保持同一张无差别卡片的前提下：为再多抿一口赤霞珠，愿意放下多少白葡萄。

\mathrm{MRS} = \frac{dx_2}{dx_1}\Big|_{\text{同一曲线}}

通常为负：好货对好货，多拿一种就要少拿另一种。人们常说的“MRS 的大小”指绝对值。完全替代下 MRS 是常数；平滑凸偏好下，赤霞珠越喝越多，再换下一单位她愿放弃的白葡萄越来越少——MRS 递减。这正是凸性在斜率上的面孔：搭配比极端更受欢迎，曲线向外鼓。

L 形互补在折点处没有唯一切线，MRS 在折点“跳一下”；厌恶品的 MRS 为正；中性品的 MRS 为 0 或无穷（水平或垂直）。饱和点附近，斜率会转圈。

卡片这一晚要带走的不是酒评分数。消费束是完整清单； $\succ$ 、 $\sim$ 、 $\succeq$ 是三张可互相推出的牌；完备、传递、自反保证能分层；无差异曲线不相交；直线是完全替代，L 是完全互补，右上是厌恶，竖线是中性，圈是饱和；单调性给出右下倾斜，凸性给出鼓出的形状和递减的 MRS。下一章会给这些曲线贴数字——那些数字可以重贴，曲线本身不必动。

关于沈秋的盲品卡片，哪一句是对的？