公共物品

想象合租客厅里，还没买的那台电视。它不是私人物品：只要屏幕一亮，阿南看一眼，阿北能看的一丁点都不会减少——这就是非竞争性；而且无论谁进出，门锁根本挡不住，谁也不能把对方赶出沙发——这就是非排他性。这两点，正是公共物品的典型特征。

电视只是缩小版，放大来看，国防、路灯、基础科研、清洁空气，都是不同层级上的公共物品。例如一座城市点亮路灯，多一个人夜归也不会让别人的路更黑；而没有人能独占夜晚的光明。所以“公共”的含义，指的不是谁拥有，而是谁都能用，谁都无法阻止别人用。

但问题随之而来：既然大家都能用，那谁愿意给钱？谁先掏腰包就怕成了冤大头，别人白白搭车。这一章就围绕这间合租客厅展开：我们先讨论电视“应不应该买”、怎么才能有效益，再分析为什么私人自发往往买不成公共物品，随后把电视亮度想成连续变量、顺带讨论污染和公共坏、最后引出一些解决办法，比如室友投票和克拉克税，让分摊公平又激励有效。

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该不该把屏幕抬进客厅

两人财富 $w_1,w_2$，各拿出 $g_1,g_2$ 凑电视，剩下的私人物品 $x_i = w_i - g_i$。电视价格 $c$，买得成当且仅当 $g_1+g_2 \ge c$。效用 $u_i(x_i,G)$，$G=0$ 或 $1$。

阿南的保留价格 $r_1$ 满足

$$u_1(w_1-r_1,\ 1) = u_1(w_1,\ 0)$$

付这么多刚好和没电视一样好；$r_2$ 同理。$r_i$ 一般随财富动。

什么时候买电视是帕累托改进？需要找到分摊 $(g_1,g_2)$，使两人都严格好于没电视。若效用对私人物品递增，这要求 $g_i < r_i$。两边相加，，于是充要条件收成一句：

$$r_1 + r_2 > c$$

支付意愿之和盖过价格，就存在一种分摊让两人都更好。不是“每人的 $r_i$ 都超过 $c$”——那是更苛刻的、能独自买下的条件。财富分配会透过 $r_i$ 挤进来：穷的那一侧保留价格太低，加总可能跨不过 $c$，即便客厅很暗。

准线性：财富不再搅局

若

$$u_i(x_i,G) = x_i + v_i(G),\qquad v_i(0)=0$$

则 $r_i = v_i(1)$。最大支付意愿等于对电视的主观价值，与 $w_i$ 无关。该不该买只问 $$ 是否大于 。无差异曲线是平移的，MRS 不随私人物品存量变，所以“屏幕亮不亮”与“谁手里还剩多少零食钱”可以分开谈。效率条件写成

$$\mathrm{MRS}_1 + \mathrm{MRS}_2 = \mathrm{MC}(G)$$

调整的是私人物品的分配，公共物品数量本身在准线性下对所有有效配置都一样。后面连续供给用的，仍是这句加法。

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谁都不想先掏钱

$r_1+r_2>c$ 只说明应该有某种分摊。它不保证有人肯先刷卡。电视买回来两人都看得到，每人的占优想法是：把保留价格报低，等对方买。若碰巧 $r_1>c$ 且 ，独自买也划算，搭便车的诱惑反而更大——“他反正会买”。结果常常是两人都等，屏幕继续黑着。这是集体行动问题：有效的配置不是纳什。

把数字钉死。每人财富 500，对电视估值 100，价格 150。$100+100=200>150$，买是帕累托改进。两人独立决定买或不买，无法把对方从沙发上赶走。

自己买就付 150、得价值 100，净 $-50$；对方买自己躺着看，得 $100$。无论对方如何，“不买”都不更差。唯一纳什是右下角 $(0,0)$。社会最优是至少有一人买（或分摊后两人都买），均衡达不到。

若允许转账 $t$，阿南买、阿北补 $50<t<100$，两人都可以好于没电视。客厅缺的不是算术，是能让这句话被执行的机制。

拨估值，再拨“对方是否付钱”。看自己的最优反应如何从搭便车滑向独自购买，以及纳什与有效怎样错开。

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连续档位：把边际意愿竖着加

真实客厅很少只有开或关。钱越多，屏幕越大、接口越多，$G$ 连续，成本 $c(G)$。资源约束是 $x_1+x_2+c(G)=w_1+w_2$。固定阿北的效用，最大化阿南的效用，拉格朗日给出：

$$|\mathrm{MRS}_1| + |\mathrm{MRS}_2| = \mathrm{MC}(G)$$

私人物品是水平相加需求，同一价格每人各买各的，$MRS_i=MC$。公共物品强制两人看同一块屏，价格对每人不必相同，把边际支付意愿垂直相加，加总等于边际成本。

算术可以反过来用。若 $MC=1$，$|MRS_1|=1/4$，$|MRS_2|=1/2$，和为 ：少供一单位，省下 1，按 MRS 补偿两人只需 0.75，还能剩 0.25 分享。若 、，和为 ，应再亮一档。等于时停。离散的“买或不买”是这根尺子的 0-1 特例：意愿之和盖过价格就抬进客厅。

拖动两人的边际意愿和成本。大字给出该不该提供；柱子是垂直相加。

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污染是客厅里的公共坏

把电视换成烟。钢厂多排一单位污染 $x$，自己成本下降，两条渔场的成本上升。总利润对 $x$ 求导，最优要求

$$\frac{\partial c_s}{\partial x} + \frac{\partial c_{1f}}{\partial x} + \frac{\partial c_{2f}}{\partial x} = 0$$

钢厂的边际“好处”与两条渔场的边际损害加总为零。公共坏与公共物品是同一把尺子：全体边际评价之和等于边际成本（此处为 0，因为污染水平本身是选择变量）。客厅若允许抽烟，效率条件仍是所有人的边际忍受之和，而不是抽烟那一个人的快感。

角点：一人买、一人躺

自愿贡献把 $G=g_1+g_2$ 当成连续量，单位成本为 1。纳什里每人把对方的贡献当成既定，对内点解会写出 $|MRS_i|=1$。可贡献不能为负：阿北发现阿南已经买够自己想要的亮度，最优是 ，整个人躺在阿南的预算外溢上。图上，阿北的预算线从 出发斜率为 ，无差异曲线若在该点已经相切于“不再贡献”的角，她就一动不动。

市场失灵的根是外部性没被买的人写进自己的一阶条件。个人只等于自己的 MRS 与自己的成本，忽略屏幕对室友的那一截。小区绿化、消防通道靠自愿捐款，结局几乎总是少数人出钱、多数人看绿——供给停在社会最优 $G^*$ 的左边。

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用投票决定屏幕尺寸

市场买不齐，客厅就开会。投票的好处是快、能把众人的峰点压成一个数；坏处是它不问边际支付意愿，只问人数。

三个室友，三种尺寸：小屏 $A$、中屏 $B$、大屏 $C$。排序若是

• 阿南：$A \succ B \succ C$
• 阿北：$B \succ C \succ A$
• 阿东：$C \succ A \succ B$

则 $A$ 胜 $B$、$B$ 胜 $C$、$C$ 胜 $A$。投票悖论回到沙发上：没有孔多塞赢家，先比哪一对，最后买哪一档可以完全不同。议程操控就是把对决顺序写成对自己有利的那条路径。

若每个人对尺寸的净效用是单峰的——有一个最想要的 $g_i^*$，离它越远越差——多数规则会选出中位数 $G_{\mathrm{median}}$。一半人想更大，一半人想更小，中间那个人的峰点挪不走。中位选民定理让集体选择稳定，但不保证等于萨缪尔森的 $G^*$：它不加权边际意愿，只数人头。富人很在乎、穷人无所谓时，有效档位和投票档位可以分开。

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让人说真话的税

决策者不知道 $u_i$，直接问会得到夸大或隐瞒。VCG（维克里-克拉克-格罗夫）用支付把说真话写成占优策略。流程可以收成四步：每人上报 $r_i(x)$；选出最大化 $\sum r_i$ 的 ；对 计算其他人在 的福利 ；再计算若 不在场、其余人最优时的福利 ；税是

$$t_i = W_i - R_{-i}^* \ge 0$$

$t_i$ 是 $i$ 在场给别人造成的净损失，只在 $i$ 关键（pivotal）、改变了集体选择时才为正。税不取决于自己的报告形态到“可被自己操纵”的程度——自己的 $r_i$ 影响 $x^*$，但 的对照项按其他人算——于是最优是让 按真 走，即如实报告。外部性被写进账单。

维克里拍卖是同一逻辑卖一件私人物品：最高报价者得货，付第二高价。第二高价正是赢家把货从第二名手里拿走时施加的外部性。说真话、货给估值最高的人，拍卖人收到次高价。

回到电视。成本 150，朴素规则“报出的 $r_1+r_2>150$ 就买”会诱使把数字报成一百万。克拉克税只向关键室友征收：若没有你，集体本不会买，而有你之后买了，你付的是你给别人带来的净负担。非关键的人——怎么报都不改买或不买——税为零。激励对齐之后，客厅才可能按真估值决定亮不亮。

机制走出客厅会碰到什么

VCG 在准线性 $u_i=v_i(x)-t_i$ 上漂亮，离开这间客厅就磕碰：

理论告诉你激励相容与效率可以在纸上同时成立；实践还要处理这些裂缝。投票、分摊规则、限量供给，都是在裂缝里找能用的次优。公共物品没有一张永远不转圈、永远不被谎报的完美棋谱——但 $\sum MRS = MC$、搭便车、关键税这三句话，足够判断下一次客厅该不该把屏幕抬进来。

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灯关掉之前

非竞争、非排他把电视变成公共物品。该买当且仅当保留价格之和盖过成本；准线性时这件事与财富脱钩。私人供给的纳什是都不买或一人买、一人躺。连续档位把 MRS 竖着加。污染是符号反过来的同一条件。投票在单峰时交出中位数，在循环时交出议程。VCG 用关键税逼人说真话，维克里是它的拍卖表弟；准线性、预算、串通限制了它走出这间客厅的距离。