显示偏好理论

到目前为止，我们一直在思考偏好能告诉我们什么关于人们行为的信息。但在现实生活中，偏好并不能直接观察到：我们必须通过观察人们的实际选择和决策来间接了解他们的偏好。本内容中我们将开发一些理论工具和分析方法，来帮助我们从观测到的数据中推断人们的偏好结构。

事实上，在日常生活和经济学研究中，我们几乎从未能直接看到一个人的“内部偏好”是什么。例如，我们不会直接知道一个消费者究竟喜欢苹果还是香蕉，或是他对衣服和食品的权衡到底是什么。我们能获取的信息，往往只是他在特定情况下面对不同选择时所作出的决策。基于这一点，显示偏好理论的提出就是要通过系统性地观察和分析行为，推断出背后隐藏的偏好顺序。

需要注意的是，当我们谈论通过行为来“显示”偏好时，我们必须隐含一个前提，即：在观察期内，个人的偏好不会随时间发生根本性变化。如果偏好在短时间内频繁变动，即使是最精密的分析方法也无法可靠地推断出稳定的偏好关系。

当然，在一个非常长的时间跨度内，随着生活经历和环境变化，个体的喜好可能发生调整。而在经济学家通常关注的较短的时期（如一个月、一季度），从实际观察看，大多数消费者的偏好是相对稳定的。例如，你本周喜欢咖啡，下周也很可能依然喜欢咖啡，而不会突然转而只喝茶。

因此，我们在显示偏好理论的分析框架中，通常都会采用一个重要的假设：在我们观察某个消费者选择行为的时间段内，消费者的偏好体系是保持稳定、不发生变化的。只有这样，我们才能通过各次选择行为之间的关系，来准确地刻画和推断出他的偏好顺序。

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显示偏好的基本思想

理论设定

在开始研究之前，让我们采用这样的约定：无论潜在偏好是什么，我们都已知它们是严格凸的。因此，在每个预算下都会有唯一的需求消费束。这个假设对显示偏好理论来说并非必需，但有了这个假设，阐述会更简单。

基本推理逻辑

考虑下图，我们描绘了消费者的需求消费束(x₁, x₂)和另一个位于消费者预算线下方的任意消费束(y₁, y₂)。

假设我们愿意假定这个消费者是我们一直在研究的那种优化消费者。我们能对消费者在这两个商品束之间的偏好说什么呢？

逻辑推理： 消费束$(y₁, y₂)$在给定预算下确实是可负担的购买——消费者如果想要的话本可以购买它，甚至还会有剩余金钱。由于$(x₁, x₂)$是最优消费束，它必须比消费者能够负担的任何其他东西都好。因此，特别地，它必须比更好。

同样的论证适用于预算线上或预算线下方除需求消费束之外的任何消费束。由于它们在给定预算下本可以被购买但没有被购买，那么被购买的消费束必须更好。

这里我们使用了每个预算都有唯一需求消费束的假设。如果偏好不是严格凸的，无差异曲线可能有平坦部分，预算线上的某些消费束可能与需求消费束一样好。

在图中，预算线下方阴影区域中的所有消费束都被显示为劣于需求消费束$(x₁, x₂)$。这是因为它们本可以被选择，但被拒绝而选择了$(x₁, x₂)$。

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显示偏好的代数表示

数学定义

现在让我们将显示偏好的几何讨论转换成代数形式。

设 $(x₁, x₂)$ 是在价格 $(p₁, p₂)$ 和收入 时购买的消费束。说 在这些价格和收入下是可负担的意味着什么？

它简单地意味着 $(y₁, y₂)$ 满足预算约束：

$$p₁y₁ + p₂y₂ \leq m$$

由于 $(x₁, x₂)$ 实际上是在给定预算下购买的，它必须以等式满足预算约束：

$$p₁x₁ + p₂x₂ = m$$

将这两个方程结合起来，$(y₁, y₂)$ 在预算 $(p₁, p₂, m)$ 下可负担的事实意味着：

$p₁x₁ + p₂x₂ \geq p₁y₁ + p₂y₂$

直接显示偏好

如果上述不等式得到满足且 $(y₁, y₂)$ 实际上是与 $(x₁, x₂)$ 不同的消费束，我们说 。

理解要点： 不等式左边是在价格 $(p₁, p₂)$ 下实际选择的消费束的支出。显示偏好是实际在某个预算下需求的消费束与在该预算下本可以需求的消费束之间的关系。

当我们说 $X$ 被显示偏好于 $Y$ 时，我们声称的只是在 $Y$ 本可以被选择时选择了 $X$；即：

$$p₁x₁ + p₂x₂ \geq p₁y₁ + p₂y₂$$

从显示偏好到真实偏好

我们可以很简单地总结上面的章节。从我们的消费者行为模型——人们选择他们能负担的最好东西——得出，他们做出的选择优于他们本可以做出的选择。

原理的非循环性

初次遇到这个原理时，它可能看起来循环。如果 $X$ 被显示偏好于 $Y$，这不是自动意味着 $X$ 优于 $Y$ 吗？

答案是否定的：“显示偏好”只是意味着在 $Y$ 可负担时选择了 $X$。“偏好”意味着消费者将 $X$ 排在 $Y$ 之前。

如果消费者选择她能负担的最好消费束，那么“显示偏好”暗示“偏好”，但这是行为模型的结果，不是术语定义的结果。

更清晰的表述： “如果消费束 $X$ 被选择而不是消费束 $Y$，那么 $X$ 必须优于 $Y$。”

在这个陈述中，行为模型如何允许我们使用观察到的选择来推断潜在偏好是清楚的。

间接显示偏好

现在假设我们碰巧知道 $(y₁, y₂)$ 是价格 $(q₁, q₂)$ 下的需求消费束，且 本身被显示偏好于其他消费束 。即：

$$q₁y₁ + q₂y₂ \geq q₁z₁ + q₂z₂$$

那么我们知道 $(x₁, x₂) \succ (y₁, y₂)$ 且 。从传递性假设我们可以得出 。

在这种情况下，我们自然地说 $(x₁, x₂)$ 被间接显示偏好于 $(z₁, z₂)$。

如果一个消费束要么直接要么间接被显示偏好于另一个消费束，我们说第一个消费束被 显示偏好 于第二个。

恢复偏好信息

通过观察消费者做出的选择，我们可以了解其偏好。随着我们观察到越来越多的选择，我们可以得到消费者偏好的越来越好的估计。

关于偏好的这种信息在制定政策决策时可能非常重要。大多数经济政策涉及用一些商品交换其他商品：如果我们对鞋征税并补贴服装，我们可能最终会有更多衣服和更少鞋子。

额外假设的作用

如果我们愿意对消费者偏好添加更多假设，我们可以获得关于无差异曲线形状的更精确估计。

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显示偏好弱公理

违反优化行为的情况

上述所有内容都依赖于消费者有偏好且总是选择她能负担的最好商品束的假设。如果消费者没有这样行为，我们上面构造的无差异曲线“估计”就没有意义。

实际上，现实世界中消费者行为可能由于种种原因偏离最优化。比如，信息不完全、选择错误、注意力分散、或是在不同时间点下消费者的目标和约束发生了变化，这些都可能导致行为和我们理论推导的不一致。经济学中我们假定“理性”，但在做经验分析时必须知道：如果观测到的行为偏离这些规律，这很可能不是数据错误，而是行为本身中蕴含着信息。

思考：

• 一个理性的最大化者永远不会在同样的预算约束条件下，前后决定完全不同的消费束。
• 若观测到“自我矛盾”的选择，可能是消费者偏好的波动？还是预算数据记录有误？抑或实际受到了外部不可见因素影响？

如何检验优化模型？

问题自然产生：我们如何判断消费者是否遵循最大化模型？或者，反过来：什么样的观察会让我们得出消费者没有在最大化的结论？

为此，经济学家根据可观测的数据，总结出“显示偏好弱公理”（WARP：Weak Axiom of Revealed Preference）来作为检验消费者理性选择的最基本工具。

上图直观展示了一个经典的WARP 违反情景：

• 消费者在预算线1时选了$(x₁, x₂)$，而$(y₁, y₂)$明明在预算内可选，说明被直接显示偏好于。

这显然是荒谬的。消费者一方面表明“喜欢$x$于$y$”，另一方面又“喜欢$y$于$x$”。这种矛盾逻辑无法通过单一的、稳定的偏好来解释，只能说明行为不可能是最优化理性的。

显示偏好弱公理 (WARP)

经济学家在消费者理论的以下基本公理中表述了这个简单观点：

显示偏好弱公理（WARP）：若$(x₁, x₂)$被直接显示偏好于$(y₁, y₂)$，且两个消费束不是同一个，那么绝不可能反过来被直接显示偏好于。

换句话说，一个理性消费者不应在不同情境下同时表现出对两个商品束互为“最优选择”的偏好。哪怕市场情况发生变动，只要商品束的可负担性满足公理，消费者也不能对自己的此前选择“自打脸”。

假如消费束$(x₁, x₂)$是在价格$(p₁, p₂)$下选中的，是在下另一组被选中的消费束，且。如果

$$p₁x₁ + p₂x₂ \geq p₁y₁ + p₂y₂$$

则必须没有

$$q₁y₁ + q₂y₂ \geq q₁x₁ + q₂x₂$$

换句话说，不能在两个价格体系下“各自负担得起，却各自互相选择”！

如果$y$消费束在选择$x$消费束时是可负担的（即$x$时也可以买到$y$），那此后在选择$y$消费束时，$x$不应该再可负担，否则就会发生WARP违反。

WARP的满足与违反

• WARP只检验直接显示偏好。如果是间接的传递偏好（通过多个中间商品束），WARP不检测，SARP（强公理）才包含。
• WARP是检验行为理性的“最低门槛”，出现WARP违反，必然不是最优化，也必然不可能存在某种“稳定的偏好”来合乎所有观测选择。
• 经验分析中，通常会将消费选择列表“成表检查”，快速检出WARP违规。

WARP的实际检验

系统性检验方法

让我们考虑如何在实践中系统地检验WARP。假设我们观察到在不同价格下商品束的几次选择。我们有下列观测数据：

某消费者的消费数据：

对这些观测，列出每组价格下每个消费束的花费（花费=价格乘数量），可以形成如下成本表，这有助于检验所有潜在的显示偏好关系：

成本计算表

每个消费束在每组价格下的成本：

WARP违反检测

怎样用矩阵看出是否有WARP违反？请检查如下数学条件：

WARP违反的数学条件：
存在观察$t$和$s$，使得：

• 行$t$，列$s$的成本$\leq$行$t$的对角线项目（即在$t$时$s$可买）；
• 行$s$，列$t$的成本行的对角线项目（即在时可买）。

如果上述两种情况同时发生，意味着$t$时$s$可负担、$s$时$t$也可负担，只能说明消费者“不理性”，否则便会发生WARP违反。

在我们的例子中：

• 行1，列2：消费束2在选择消费束1时可负担（$4 \leq 4$）
• 行2，列1：消费束1在选择消费束2时可负担（$3 < 4$）

这意味着1与2之间互为“最优”，即WARP违反。

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显示偏好强公理（SARP）

为什么需要强公理？

在研究消费者偏好时，弱公理（WARP）要求不能直接观察到互相显示偏好的矛盾行为，但在实际分析中，弱公理往往还不够。因为消费者可以通过一串选择“间接”地表现出矛盾的行为。例如：如果A被显示偏好于B，B被显示偏好于C，那么我们有理由认为A应被显示偏好于C，否则偏好变成了“循环”。而理性的、优化的消费者不会有循环偏好。所以我们需要一个加强版的要求，这就是强公理。

强公理的基本思想与举例

强公理不仅限制直接显示偏好的矛盾，还包括所有通过一系列显示偏好“链条”传递出来的间接关系。

假设有三个消费束A、B、C。

• 在某一次观察下，A被显示偏好于B（即A比B好）；
• 又在另一组数据中，B被显示偏好于C。
  此时，强公理要求：A也必须被显示偏好于C。
  如果此时在另一个观察里C又被显示偏好于A（直接或间接），则形成“偏好循环”，这就违反了SARP。

强公理(SARP)的正式定义

显示偏好强公理（SARP）：

如果消费束$(x_1, x_2)$被显示偏好于$(y_1, y_2)$（无论是直接还是通过一系列显示偏好间接得到），且二者不同，则不能有也直接或间接显示偏好于。

如果存在一连串显示偏好关系（$(x^1, x^2)\succeq^* (y^1, y^2)$，其中指直接或间接显示偏好），那么不能发生，只要两束不同。

SARP的经济含义与重要性

• 必要性： 假如某个消费者真的在各种约束下始终做最优选择，那么这些选择必然不会形成偏好循环，也就是一定满足SARP；
• 充分性： 如果所有观察到的选择都满足SARP，我们理论上总能“逆向”构造出一个合理的偏好体系来解释它，这意味着数据与理性优化模型吻合。

SARP是消费者理论中的核心逻辑：如果不满足SARP，就绝不可能用单一、稳定的偏好来解释消费行为；如果满足SARP，即使我们不知道真正的偏好函数，也可以假设有这样一个“合理的”偏好函数存在。

因此，SARP为所有优化型消费行为提供了完整严格的行为检验——既是必要条件，也是充分条件。如果数据满足SARP，就可以用偏好函数完美解释消费者的行为。

如何系统检验SARP？

假设有如下表格，数字为在各价格下购买不同消费束的成本，为实际选择（显示偏好），()为间接偏好：

分析方法：

• 标记*为直接显示偏好：例如，观察1选择了消费束2→消费束2在观察1下可负担且优于其他束。
• 看间接关系：如消费束2在观察2下被选择，消费束3在观察2下可负担→间接有消费束2显示优于消费束3。
• 顺着链条，检查是否有循环显示偏好，即两个束之间互相（直接或间接）显示优先，这就是SARP违例。

• 复杂消费数据的检验： 在有更多消费束和价格观测时，可以用图论方法，将每个显示偏好关系当作有向边，判断有无回路（环）。只要有环路，SARP必定违背。
• SARP与无差异曲线理论： 满足SARP的消费数据，理论上总可以“拟合”出一套连续、单调的无差异曲线，消费束的选择正好位于约束集的无差异曲线上。
• 经济学实验和实际调查： SARP常被用来分析实验中数据的理性程度，如果实验/现实数据大量违背SARP，则表明行为偏离了最优选择模型。

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总结

显示偏好理论为现代实证经济学提供了重要的分析框架。它通过观察实际选择，推断消费者的偏好结构，并检验行为的一致性。直接和间接显示偏好关系帮助我们系统地刻画偏好的传递性，全数据满足一致性检验（WARP、SARP）则说明选择逻辑自洽。理论还支持福利分析与政策评估，比如运用各种经济指数衡量福利变动和政策影响。

学习显示偏好理论后，我们能够用消费数据识别和解释偏好，检验行为的一致性，计算福利相关指数，分析政策后果。这一方法不仅连接理论与现实，还为政策设计和市场研究提供了科学依据，是理解经济行为和检验经济学模型一致性的核心工具。