显示偏好理论

经济法庭周一开庭。原告站起来要陈述“我其实更喜欢苹果”，法官敲槌打断：本院不采信口供。书记员把两袋东西推上木桌——购物小票，以及当时货架上的价签。你买过什么、当时买得起什么，这才是证物。显示偏好理论干的就是这份活：偏好藏在脑子里看不见，选择留在小票上看得见。用看得见的，推断看不见的。

有一条庭规必须先宣读。观察期内，当事人的偏好被当作稳定的。本周爱咖啡、下周突然只喝茶，两张小票就对不上同一套排序。经济学家通常盯的是一个月、一个季度这种短窗口；在窗口里，我们假定排序没有改。长年累月口味会变，那是另一桩案子。

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开庭前的设定：每个预算只留下一个点

为了把推理说干净，本庭先约定：当事人的偏好是严格凸的。严格凸的意思是，两个一样好的消费束，它们的加权平均会更好——无差异曲线没有平坦段。于是每个预算集里，最优消费束是唯一的。

这个约定不是显示偏好理论的逻辑前提。没有它，预算线上也可能躺着一整段“一样好”。有了它，被选中的那一个点，就可以干净地压过预算线上和线内所有其他点。

第一份证物：线下面的阴影都是被拒绝的

木桌上摊开一张图。当事人在价格 $(p_1, p_2)$、收入 $m$ 下买了 $(x_1, x_2)$。旁边另有一个束 $(y_1, y_2)$，明明落在预算线下方：想买的话买得起，钱还有剩。

若此人是本庭承认的那种优化者——在买得起的东西里挑最好的——那么 $(x_1, x_2)$ 必须比 $(y_1, y_2)$ 更好。论证对预算线上或线内、除需求点以外的束都成立：它们当时可以被选，却被拒绝了。

阴影里的所有点，因此被显示为劣于实际买下的那一束。这不是当事人亲口说“我讨厌它们”，是小票自己说的。

若偏好并不严格凸，无差异曲线可能有一段贴在预算线上。那时线上某些点与需求束一样好，阴影只能严格画在线下方，不能把整条线都判成更差。这就是前面那条庭规的用处：唯一需求点，让“拒绝”两个字没有含糊。

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把小票翻译成不等式

几何说完，换成代数，书记员才好做卷宗。

$(x_1, x_2)$ 是价格 $(p_1, p_2)$、收入 时实际买下的束。说另一个束 当时，就是它满足预算约束：

$$p_1 y_1 + p_2 y_2 \leq m$$

实际买下的束花光收入（非饱和时）：

$$p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$

两式并在一起，可负担意味着：

$$p_1 x_1 + p_2 x_2 \geq p_1 y_1 + p_2 y_2$$

左边是选中之束的支出，右边是“本可以买 y”的支出。显示偏好是实际需求束与当时买得起却没买的束之间的关系，不是心情日记。

直接显示：选了甲，就等于拒了乙

若上面的不等式成立，且两束不是同一个，本庭记：$(x_1, x_2)$ 被直接显示偏好于 $(y_1, y_2)$，记作 。

口供与证物不是同一回事

从行为模型——人选择买得起的最好东西——推出：做出来的选择，优于当时本可以做的选择。

显示偏好原理： 设 $(x_1, x_2)$ 是价格 $(p_1, p_2)$ 下的选择， 满足 。若消费者选择她能负担的最偏好束，则 。

初看像循环：显示偏好于 Y，难道不就是优于 Y？不是。显示偏好只是“Y 可负担时选了 X”；偏好是“排序里 X 在 Y 前面”。模型若成立，前者推出后者；那是模型的结论，不是术语的同义反复。

更干净的一句：如果消费束 X 被选择而不是 Y，那么 X 必须优于 Y。 这句话里，行为模型如何允许我们用观测推断潜在排序，才变得清楚。

间接显示：三条证物链

现在另有一张小票。$(y_1, y_2)$ 是价格 $(q_1, q_2)$ 下的需求，且它自己又被直接显示偏好于 ：

$$q_1 y_1 + q_2 y_2 \geq q_1 z_1 + q_2 z_2$$

于是 $x \succ y$ 且 $y \succ z$。传递性给出 $x \succ z$。即便 x 那一期根本买不起 z——z 可能在 x 的预算线外面——链条仍然把 x 按在 z 上头。本庭称：$(x_1, x_2)$ 被于 。

直接或间接，都叫被显示偏好。间接关系是后面强公理要盯的东西：弱公理只审两两直接互殴，审不到隔着一个中间束的循环。

把无差异曲线夹出来

观察一次选择，阴影区被判为更差；观察第二次，又涂掉一块。选择越多，被排除的区域越大，真正的无差异曲线被夹在“已知更差”和“已知更好”之间，越夹越紧。政策要用到这种信息。对鞋征税、对衣服补贴，最后鞋少了衣服多了——若能从选择数据里读出人们如何权衡鞋和衣服，才能判断这笔交换伤没伤到当事人自己承认的排序。

多几条假设，夹得更紧

如果我们愿意对偏好结构再多加一些合理的假设，比如凸性、单调性、连续性等，那么通过显示偏好推断出来的无差异曲线区域就会被夹得更紧，对实际偏好排序的估计也会更加精确。这些强化的假设让我们能利用观测到的选择进一步缩小可能的偏好空间，从而得到更有力的信息。

凸性让你把已知更好的点连成凸包，整块凸包都优于 X；单调性让你从已知更好的点往右上再推一截。显示偏好加上这几条简单假设，无差异曲线可以被夹到相当窄。

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互打耳光的两份小票

上面整套推理，都骑在“有偏好、且总选买得起的最好束”上。若当事人并不这样行事，我们夹出来的无差异曲线就是伪证。信息不完全、选错、走神、或者两期之间约束里藏了观察不到的变化，都会让小票互相打架。理性是理论里的假定；经验工作里，打架本身就是信息。

一个最大化者，不会在同一套可负担关系里前后自我否定。若观测到自相矛盾，要问三件事：偏好真的在窗口里动了？价与量记错了？还是有未写入卷宗的约束？

怎样盘问最大化模型

什么样的观察，能让本庭宣判“此人没有在最大化”？经济学家把最低门槛写成显示偏好弱公理（WARP）。

典型打架是这样的。预算线 1 上选了 $x$，当时 $y$ 买得起，于是 $x$ 直接显示偏好于 $y$。换到预算线 2，却选了 $y$，而 $x$ 在新预算下同样买得起，于是 $y$ 又直接显示偏好于 $x$。两支箭对射。单一、稳定的排序解释不了这件事。要么没选最好的，要么选择问题的其他方面变了、我们没看见。

弱公理的条文

WARP： 若 $(x_1, x_2)$ 被直接显示偏好于 $(y_1, y_2)$，且两束不同，则 绝不能反过来被直接显示偏好于 。

设 $x$ 在价格 $p$ 下被选，$y$ 在价格 $q$ 下被选，$x \neq y$。若

$$p_1 x_1 + p_2 x_2 \geq p_1 y_1 + p_2 y_2$$

则必须没有

$$q_1 y_1 + q_2 y_2 \geq q_1 x_1 + q_2 x_2$$

白话：若买了 $x$ 的时候买得起 $y$，后来就不该在买得起 $x$ 的时候买 $y$。后一次买 $y$ 时，$x$ 必须已经变得买不起——否则就是自打耳光。

下面这个庭上对照可以亲手判。两条预算线钉死：一期价格 $(2,1)$、二期价格 $(1,2)$，收入都是 12。选择点沿各自预算线滑动。交叉点 $(4,4)$ 是两条线的交点。若一期选在交点右下、二期选在交点左上，两点彼此落在对方预算里，弱公理就破了。点一下，木槌落下。

把一期的 $x_1$ 拖过 4、二期的 $y_1$ 拖过 4 的另一侧，再宣判，你会看见耳光。两边都停在交点附近，束几乎相同，构不成违反。

满足与违反分别意味着什么

WARP 只检验直接显示偏好。隔着中间束的间接循环，它看不见，那是 SARP 的管辖。WARP 是理性的最低门槛：一旦违反，稳定偏好解释立刻破产。经验工作里，把各期选择列成成本表，比对着看对角元，是最快的盘问。

成本表：书记员的检验单

看第 1、2 行。价格 1 下，若选束 2，需要花 4，恰好等于实际支出 4，说明 1 $R^0$ 2，即 1 在此价格下显示偏好于 2。再看价格 2 下，若选束 1，仅需 3，而实际花费 4，说明 2 $R^0$ 1——2 在该价格下也显示偏好于 1。可以画出两支箭头互指，形成直接矛盾，这人在本庭站不住脚。

进一步看第三束，这组花 6。对于第一期的预算买不起，因此没有进入到这场“互殴”关系中。但注意，只要有一组这样的直接双向显示偏好（即 1 $R^0$ 2 且 2 $R^0$ 1），已经构成 WARP 违反，无需更多观测就足以定罪。现实检验里，捉到这种对射就能当场判决。

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三条链不能绕回自己

弱公理管不住隔代的矛盾。A 显示优于 B，B 显示优于 C，理性排序会要求 A 优于 C；若另一张小票上 C 又显示优于 A，偏好就绕成了圈。优化者不会有循环偏好。需要一条更强的条文：显示偏好强公理（SARP）。

链条与循环

强公理不仅禁止直接互殴，也禁止所有经链条传出来的间接互殴。三个消费束 A、B、C：一次观察里 A 显示偏好于 B，另一次 B 显示偏好于 C，则 A 必须被当作显示偏好于 C。若再出现 C 显示偏好于 A（直接或间接），环就成了，SARP 破。

强公理的条文

SARP： 若消费束 $x$ 被显示偏好于 $y$（直接或经一串显示关系间接得到），且二者不同，则不能有 $y$ 也直接或间接显示偏好于 $x$。

用符号：若 $x \succeq^* y$ 且 $x \neq y$，则不能 $y \succeq^* x$。 是直接显示偏好的传递闭包。

必要性与充分性

不满足 SARP，就绝不可能用单一稳定偏好解释全部观测。满足 SARP，哪怕不知道真正的效用函数，也可以假定存在一个合理的偏好来覆盖这些选择。对有限观测而言，SARP 是优化行为的充要检验。

系统盘问 SARP

书记员的三步：

1. 列出所有直接显示偏好（和 WARP 一样，用成本表打星）。
2. 沿箭头找间接路径：A 优于 B、B 优于 C，则 A 间接优于 C。
3. 检查是否存在环：不同的束能否顺着显示关系走回自己。

下面这个对照庭把三期选择画成证物链。点「下一期」依次钉上三张小票；点「换成循环卷宗」会换成一套绕圈的观测。大字是 SARP 判决。

合法卷宗里，第三期的 C 买不起 A，回箭画不成，SARP 过关。循环卷宗里第三期故意让 C 买得起 A：直接关系 A→B、B→C、C→A，传递闭包绕圈。即便你懒得画图，成本表把小于等于对角的格子标成箭头，再求传递闭包，环一眼能看见。

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闭庭

显示偏好把“喜欢”从口供改成了可检验的选择关系。直接显示是一张小票上的拒绝；间接显示是若干张小票串起来的拒绝。WARP 禁止两两互殴；SARP 禁止任何长度的环。优化者两条都满足；数据若满足 SARP，就可以为这些选择构造一套偏好。政策要拿鞋换衣服之前，先问一句：当事人自己的小票，允许我们这样换吗？