社会选择与公平分配

议会大厅铺着深绿丝绒。今晚只有三张椅子围成半圆：沈议员、柯议员、裴议员。桌上三份议案——路灯、操场、馆藏——每人都有自己的完整排序。主席敲槌：多数赞成的就过。十分钟后他们发现，路灯胜过操场，操场胜过馆藏，馆藏又胜过路灯。槌声还在，社会偏好已经转圈。这一章从这间转圈的议会读起：个人排序如何加成集体排序，阿罗说完美加成不存在，福利函数如何在效率与公平之间切一刀，以及无嫉妒怎样在埃奇沃思盒里被点出来。

帕累托效率只删掉“还能让人变好且无人变差”的方案，留下的帕累托有效配置通常还是一大片。在这片区域中，并没有自动的公正或唯一选择，社会仍必须决定要落在哪一点。此时，仅仅依靠效率已经不够，需要用社会标准来进一步筛选。

在多种可行方案中，常见的决策工具有两类：一类是投票，每个人根据自身排序表明偏好，通过加总票数促成集体决策；另一类是社会福利函数，它把所有人的偏好“加权打包”，试图用一个关于公平与效率的准则来裁定最终选择。投票更强调多数意愿的表达，福利函数则可以体现对弱势或公平的关注。

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把三张选票合成一张议会排序

每个人对自己能看见的配置有偏好，而且个人偏好是传递的：若 $x \succ y$ 且 $y \succ z$，则 $x \succ z$。社会选择问的是另一件事：给定所有人对任意两个配置 $x,y$ 的表态，有没有一条规则，输出社会自己的排序 $x \succsim^S y$。

这条规则得尽量像个人偏好那样完整、传递。困难在于人与人冲突。多数规则最直观：多数人认为 $x$ 好于 $y$，议会就写 $x \succ^S y$。半圆座位上，它会转圈。

三位议员的排序如下。

两两对决：沈与裴让路灯胜过操场；沈与柯让操场胜过馆藏；柯与裴让馆藏胜过路灯。于是

$$x \succ^S y \succ^S z \succ^S x$$

这是孔多塞循环。社会偏好不再传递，也不存在“多数意义下的最优议案”。先比哪一对，最后胜出的可以完全不同——路径依赖。谁掌握议程，谁就能在转圈里挑终点。

点两份议案看对决，再换议程顺序。丝绒座位上的票数会告诉你：循环是真的，最终议案也可以被议程改写。

如果在三选一的多数规则下发现“转圈”结果（A胜B，B胜C，C胜A），别急着怪投票机器坏了。其实这说明，多数制本身不能保证社会偏好的一致和传递性——在足够多人的情况下，群体偏好可能就是“自相矛盾”的。

另外，聪明的参与者并不会仅关注谁的论点更有说服力，而是会主动争取投票顺序、操纵哪一对先进行表决。谁先对决可能直接影响最终结果，制度设计上的这些细节，反映了多数规则本身的局限和议程设置的关键作用。

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记分投票与那份不该出现的议案

另一种加法是排序投票（Borda）：每人给第一名 1 分、第二名 2 分……总分低者胜。它能排出一个完全序，但会踩到无关方案独立性（IIA）：$x$ 与 $y$ 的社会胜负，应当只取决于每个人心里 $x$ 和 $y$ 谁在前，不该被第三者 $z$ 搅动。

两人、三方案的示意：

甲乙对 $x$ 和 $y$ 的相对排序没变，$z$ 一入场，$y$ 就赢了。引入“搅局议案”可以改写原本那一对的社会排序。多数规则转圈，Borda 不转圈但吃 IIA。议会想要一台既理性、又尊重全体一致、又不被无关议案拨弄的机器——下一节会看到，这样的机器在 $n \ge 3$ 时只剩独裁。

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阿罗列出的几条公理

先把“理想”写清楚，不要先喊不可能。一条社会选择规则若想像样，通常被要求同时具备：

1. 理性：个人偏好自反、完全、传递时，社会偏好也应当如此。
2. 帕累托原则：若所有人都认为 $x \succ_i y$，则社会也应 $x \succ^S y$。
3. 无关方案独立性：社会对 $x$ 与 $$ 的排序，只由各人对这一对的排序决定。

三条分开看都像常识。阿罗不可能定理说的是它们的合取：当备选方案不少于三个、至少两个人时，同时满足这三条的规则必定是独裁——存在某个人 $j$，只要 $j$ 认为 $x$ 好于 $y$，社会就写 $x$ 好于 $y$。

这不是恐吓，也不是“民主没意义”。它是一条权衡清单：完美聚合在这组公理下不存在，制度必须松开其中一条。Borda 松开 IIA；超多数或限制议程松开完全性或定义域；有人接受社会偏好偶尔不传递。议会仍要开会，只是不要假装存在一台无代价的理想机器。

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把效用加成一张社会排序

投票处理的是排序。若允许把每个人的评价写成效用 $u_i(x)$，就可以谈社会福利函数 $W(u_1,\ldots,u_n)$。效用表示不是唯一的：单调变换不改个人排序，却能改加总结果，所以任何一种具体的 都已经偷偷加进了人际可比或权重的判断。

常见的加法包括：

$W$ 对每个 $u_i$ 递增，才能保住帕累托：人人变好时，社会数字也变大。选择哪一张 $W$，就是在丝绒座位上承认一种伦理，而不是发现一条物理定律。

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福利最大落在边界上

有了 $W$，配置问题写得很干净。$n$ 人、$k$ 种商品，总量 $X_1,\ldots,X_k$，求

$$\max_x W\big(u_1(x),\ldots,u_n(x)\big) \quad \text{s.t.}\quad \sum_i x_{ji} = X_j$$

福利最大点一定是帕累托有效的：若还能帕累托改进，$W$ 的单调性会让目标值再升高，与最大矛盾。反过来，换不同的 $W$，最大点可以扫过整条帕累托集合——功利切在斜率为 $-1$ 的地方，罗尔斯切在 $u_1=u_2$ 与边界的交点。

效用可能集

$$U = \big\{ \big(u_1(x),\ldots,u_n(x)\big) : x \text{ 可行} \big\}$$

的东北边界就是帕累托有效的效用组合。等福利曲线与这条边界的切点，就是该伦理下的社会最优点。若 $U$ 凸，边界上每一点都可用某组正权重 $a_i$ 写成 $\max \sum a_i u_i$。福利函数不是多余的装饰，它是在有效边界上挑选切点的那把尺。

只关心自己那一篮子

到现在为止，个人偏好可以定义在整个配置 $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 上——你也可以嫉妒别人的消费。伯格森-萨缪尔森把范围收小：每个人只关心自己的篮子，

$$W = W\big(u_1(x_1),\ldots,u_n(x_n)\big)$$

这叫个人主义社会福利函数。没有消费外部性时，标准福利定理重新接通：竞争均衡是帕累托有效的；在凸性下，每个帕累托有效配置也可以用某组价格实现为竞争均衡。再连上福利最大，三者在数学上对齐——竞争均衡、帕累托有效、某一 $W$ 的最大点，在这些假设下是同一批配置的不同名字。

一旦有嫉妒、有外部性，对齐就会裂开。下一节专门处理公平，不再假装 $W$ 已经把伦理说完。

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无嫉妒的座位图

福利函数太宽，几乎任何伦理都能塞进去，所以它定不了“公平”该长什么样。一个更窄的起点：商品要在 $n$ 个对称的人之间分。最对称的办法是均分，每人同一篮子。均分满足

$$u_i(x_i) \ge u_i(x_j) \quad \forall i,j$$

没有人更想要别人手里那一份。这叫无嫉妒（公平配置，equitable）。可均分常常没有效率：口味不同时，自愿交换能让双方更好。交换一旦开始，对称性可能被交易运气撕开。

三人故事：甲乙口味相同，丙不同。均分之后甲与丙交换，两人都改善；乙找不到异质对手，停在原地。乙用自己的偏好去看甲的新篮子，可能发现 $u_乙(x_甲) > u_乙(x_乙)$——乙嫉妒甲。起点对称，终点不必仍无嫉妒。公平分配理论问的正是：有没有既无嫉妒又帕累托有效的点？

正式定义写三句：

• 公平（无嫉妒）：无人更喜欢别人的篮子。
• 嫉妒：存在 $i,j$ 使 $u_i(x_j) > u_i(x_i)$。

两人时，在埃奇沃思盒里把两人的篮子对调：若对调后谁也不觉得更好，原配置无嫉妒。均分点 $E$ 在对称线上，显然公平；某些不在中点的 $F$ 也可以无人想换位，再落在契约线上，就是公正配置。

点盒子里的一个配置。看甲乙是否嫉妒对方那一份。

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从均分走进竞争均衡

公正配置不是碰运气。若起点是完全相同的禀赋 $\omega$，竞争市场给出价格 $p$，每人在同一预算 $p\cdot\omega$ 上选最优篮子 $x_i^*$，均衡配置既帕累托有效，也无嫉妒。

反证：若 $i$ 嫉妒 $j$，即 $u_i(x_j^*) > u_i(x_i^*)$，则 对 更好。可 已是预算上的最优，故 必比 更贵。两人初始禀赋相同，预算相同，这不可能。因此从均分出发的竞争均衡是公正的：有效，且无人嫉妒。

口味可以不同，商品可以多种，人数可以多于二。关键是起点对称。禀赋若一开始就不对称，竞争均衡仍可有效，但嫉妒可以出现——市场保住效率，不自动保住这场议会关心的公平。再分配把禀赋推回对称，再放进市场，是把效率与无嫉妒接回同一条路径的办法。

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散会之前

三人议会证明：多数规则可以循环，Borda 会被无关议案拨弄。阿罗把理性、帕累托、IIA 捆在一起，结论是只剩独裁——这是公理清单，不是对投票的宣判。社会福利函数把伦理写成切效用可能边界的那条等福利线：功利、加权、罗尔斯、伯努利-纳什切在不同的点，但切点都有效。伯格森-萨缪尔森让每人只看自己的篮子，从而接通竞争、帕累托与福利最大。公平若写成无嫉妒，均分满足它却未必有效；从均分出发的竞争均衡两者都要。

下一章客厅里的电视，会把“集体想要的东西谁付钱”从议会搬到合租屋。加法规则换成供给规则，转圈换成搭便车。