理解消费者的支付能力

发薪日傍晚，林夏站在超市收银灯下。口袋里是刚打进来的 20 元（把一天能花的钱收成一张示意小票，方便算）。传送带尽头吐出热敏纸：咔、咔。纸是米黄的，字是等宽黑的，油墨还热。

奇怪的是，这张票只印了两栏。左边叫 食物，记作 $x_1$；右边不叫零食、日用品、水电，而叫 其他一切，记作 $x_2$。经济学故意这么印：不是生活里真的只有两种货，而是把“今晚真正在权衡的那一件”单独拎出来，剩下的打包成一栏，好让一张二维小票把支付能力说完。

消费者理论的第一句话，其实就是收银员的口吻：在这张票还能买得起的范围内，挑自己最想要的组合。 “最想要”要等到偏好那一章。这一章只问：票上到底还印得出哪些数字。

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小票上只有两栏

每一种可能的买法，都是一对非负数量 $(x_1, x_2)$。经济学把它叫做 消费束：不是“想买的心情”，是小票上最终会出现的那两行件数。

食物 3 份、其他 14 元，就是束 $(3, 14)$。食物 0 份、把钱全留给其他，是 $(0, 20)$。平面上每一个点都是一张尚未决定要不要打出来的票。

为什么敢只印两栏？因为可以把 $x_1$ 以外的所有商品捆成 复合商品。复合商品按“花掉的钱”来计，单价 $p_2 = 1$：花 1 元，就买到 1 元的其他一切。研究牛奶时，$x_1$ 是升数， 是剩下的钱；研究这袋米时，同理。 种商品也可以把 种捆走，分析并不因此变窄，只是把灯光打在今晚要动的那一栏上。

林夏的标价很干净：食物每份 $p_1 = 2$，其他 $p_2 = 1$，收入 $m = 20$。于是任何一张合法小票都必须满足

$$p_1 x_1 + p_2 x_2 \le m$$

也就是 $2x_1 + x_2 \le 20$。左边是两栏支出之和，右边是口袋里的数。超支的组合，收银机会拒打。

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这张票还能买什么

预算集 是所有“机器肯打”的票：支出可以刚好用完，也可以留下找零。预算线 是其中支出恰好等于收入的那些票：

$$p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$

找零的点在线的内侧；刚好花光的点在线上；超支的点在线外，印不出来。

把方程解成 $x_2$ 对 $x_1$ 的式子：

$$x_2 = \frac{m}{p_2} - \frac{p_1}{p_2}x_1$$

这是一条直线。林夏的数字代入后，$x_2 = 20 - 2x_1$。

阴影三角形是预算集，斜边是预算线。线上每一点都花光 20 元；线内是还没花完；线外是收银员摇头。

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斜着那一行是市场价

斜率 $-\dfrac{p_1}{p_2}$ 不是画图的装饰，是市场今晚的 交换率。多买 $\Delta x_1$ 份食物、还要花光工资，则

$$p_1\Delta x_1 + p_2\Delta x_2 = 0 \implies \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = -\frac{p_1}{p_2}$$

林夏多拿 1 份食物，必须从“其他一切”里拿掉 2 元。这 2 元就是食物的机会成本，由标价决定，与她爱不爱吃无关。偏好决定她愿不愿意按这个比率换；支付能力只告诉她：柜台后面的交换率是 2 比 1。

拖下面三行。米黄底上的斜线会跟着收入变宽、跟着物价旋转；右侧大数是截距和斜率，对应小票上真正印得出来的上限。

工资涨、物价不动：两个截距一起变大，斜率不变，斜线 平行外移。票变宽，原先买得起的仍然买得起，只是多出一圈新的组合。工资缩，则平行内移。收入只改“够不够印”，不改柜台的交换率。

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物价剪开预算线

食物涨价，$p_2$ 和 $m$ 不动：横截距 $\dfrac{m}{p_1}$ 缩短，纵截距 钉在原地。斜线绕着 向内旋转，变得更陡——多买一份食物，要放弃的其他更多。食物降价则绕同一端向外旋，线变平。

其他一切涨价：横截距不动，纵截距下挫，斜线绕着 食物那一端 向下旋，斜率绝对值变小（更平）。降价则向上旋、更陡。

记住支点：哪种货涨，就剪短那一轴的截距，另一轴当铰链。

两种货的价格都乘上 $t>1$，例如都翻倍：

$$t p_1 x_1 + t p_2 x_2 = m \implies p_1 x_1 + p_2 x_2 = \dfrac{m}{t}$$

斜线平行内移，斜率不变，等价于工资变成原来的 $\dfrac{1}{t}$。如果价格和工资同时乘 $t$，小票完全不变：纯通胀只改印在纸上的阿拉伯数字，不改实际能拿走的组合。例如林夏原来 2 元一份的食物、1 元的其他、20 元工资；两栏都翻倍而工资仍是 20，能买的集合缩小一半；若工资也变成 40，集合复原。

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把哪一栏标成 1 元

$p_1$、$p_2$、$m$ 三个数里，真正起作用的只有 相对价格 和 购买力。多一个是单位。可以指定其中一个为 1，当作 计价物（numeraire）。

林夏把其他一切标成 1 元，食物就标成 2 个“其他”。换一种印法不会让她多拿或少拿任何一袋米，只是热敏纸上的单位换了。人民币、美元、日元换算，本质是同一件事：改计价，不改集合。

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税和补贴怎么改票

政府不直接改林夏爱吃什么，但能改这张票怎么印。

数量税：每买 1 份食物额外交 $t$ 元。有效价格变成 $p_1+t$，约束为 $(p_1+t)x_1+p_2 x_2=m$。线绕纵截距变陡。对两种货同时征，则 。

从价税：按标价比例 $\tau$ 抽。实际支付 $(1+\tau)p_1$。20 元的货加 1 元数量税是 21；加 20% 从价税是 24。数量税对少量高价货相对温和，从价税跟着标价一起涨。

补贴 是税的镜像。数量补贴 $s$ 让有效价格变成 $p_1-s$，线变平、集合变大；从价补贴 $\sigma$ 让实际价格变成 $(1-\sigma)p_1$。

定额税（一次性税）直接从工资里扣一笔 $T$，与买不买食物无关：$p_1 x_1+p_2 x_2=m-T$。斜线 ，交换率不动。定额补贴（消费券）则平行外移。同样要收走一笔钱，定额税不扭曲相对价格；数量税和从价税既抽走购买力，又让某一种货变得“更不划算”。

切到下面四种印法。数量税与从价税都是绕纵轴旋转；定额税是平行内移；阶梯价会在配额处折一刀——那才是真正的折点。

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配给把票剪短，阶梯把票折弯

配给不管你口袋里还有没有钱，直接规定食物最多买 $\bar{x}_1$。预算集变成两条同时成立：

$$p_1 x_1 + p_2 x_2 \le m,\qquad x_1 \le \bar{x}_1$$

斜线在 $x_1=\bar{x}_1$ 处被竖刀截断。买得起但超配额的组合，从票上消失。战时口粮、疫情物资、限购，都是在价格机制旁边再加一把剪刀。黑市往往从这道切口长出来：有人票没用完，有人钱够却买不到。

阶梯价是税与配给的混合物。用电 200 度以内每度 0.5 元，超出每度 0.8 元：左侧斜率 $-0.5/p_2$，右侧 $-0.8/p_2$，折点就钉在 200 度。流量套餐、阶梯水价同一逻辑——过了门槛，下一单位突然更贵，优化时要分别检查折点两侧。

这些改法带来几条不需要偏好也能说的判断。价格和收入同比例变，实际集合不变（通胀中性）。收入增加、价格不动，原集合被新集合包含，人不会变差。一种价格下降，集合向外扩一角，同样不会变差。税若只平移（定额），交换率还在；税若旋转（数量税、从价税），相对价格被拧歪，后面选最优时会多出一块无谓损失——那是第 5 章侦探要盯的切口。

这一章带走的不是林夏买了几份食物，而是读小票的方法：消费束是两行件数；$p_1 x_1+p_2 x_2=m$ 是花光的边；斜率是市场交换率；收入平移、单边物价旋转、两边同涨等于减工资；计价物只换单位；税和补贴改有效价格或改口袋；配给剪短，阶梯折弯。