斯勒茨基方程

价格一动，需求就跟着起舞，但这“跟着动”其实是两种力量的叠加。表面上好像是一个动作，仔细剖析下来，其实是“两刀切为两截”。

• 第一截叫替代效应：相对价格变了，不同商品之间的“换算比率”变了，你会根据新的相对价格选择调整消费组合。比如鸡蛋涨价了，也许多买点豆腐，少买点蛋。这主要是不同商品“相互替代”的作用。
• 第二截叫收入效应：价格变了以后，同样的钱可以买到的东西多少也变了，好像突然变穷或者变富了，购买力“挪了位”；消费决策因此再度发生调整。

比如同样还是鸡蛋涨价，你感觉整体预算被挤压，省下的钱可能少买别的东西。这一逻辑也解释了吉芬商品那种“降价反而少买”的怪现象——不是魔法，而是第二截把第一截“盖了过去”，收入效应反向、替代效应不能“抵消”它。这一章就把分析的“刀口”对准这两部分，并写出它们加总的经济学恒等式，让你从细节看懂整体。

我们的直觉可能会说：“涨价肯定就少买。”大多数商品确实如此，这体现了需求法则。不过，这其实不是“定义”，而是因为这“两截”的效应同向叠加时得出的结论。如果这两股力量方向不同，甚至收入效应盖过了替代效应，那么直觉就可能错了。要预测和理解各种“反常”现象，第一步就是要能把这“一刀”切开、看清两截各自的作用。

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降价这一刀切成两截

商品 1 变便宜，发生两件同时发生、但逻辑上可分开的事。

相对价格那一截：放弃更少的商品 2 就能换到一单位商品 1。市场允许的权衡变了。购买力那一截：名义收入没变，但同样的钱能买更多商品 1，人“感觉更富”。米饭降价，你可能用米饭替面食——这是替代；省下的钱去买水果——这是收入。两截通常一起到，解剖台的工作是把它们分开量。

替代效应：交换比率变化、购买力被补偿掉之后，需求量的变动。
收入效应：价格已是新价格，只把购买力从补偿后的水平挪回真实收入，需求量再变动的那一段。

几何：先转后移

商品 1 的价格从 $p_1$ 变成 $p_1'$。图上不要指望预算线直接跳到终点。切开的手法是两步。

原选择、转动后的选择、最终选择，分别是刀口的起点、只切第一截后的点、两截都切完的点。

补偿金怎么算

原消费 $(x_1, x_2)$，原价格 $(p_1, p_2)$，收入 。价格变成 后，要使原束刚好买得起，新收入 必须满足 。减去原来的 ，得到

$$\Delta m = m' - m = x_1 \Delta p_1, \qquad \Delta p_1 = p_1' - p_1$$

涨价则补钱：每单位多花 $\Delta p_1$，一共 $x_1$ 单位，补偿 $x_1 \Delta p_1$。降价则抽钱，抽的数目同样是 。

某人每周买 20 根雪糕，每根 3 元，涨到 4 元。要维持原计划，收入至少增加 $20 \times 1 = 20$ 元。这 20 元不是奖励，是解剖台上用来按住购买力的夹子。

替代效应的读数

记原选择为 $x$，新价格加补偿收入 $(p_1', m')$ 下的最优为 $y$。商品 1 的替代效应是

$$\Delta x_1^{s} = x_1(p_1', m') - x_1(p_1, m)$$

白话：购买力没变、价格结构变了，你会怎么改。从 $x$ 到 $y$ 的移动就是替代效应。它是征税、补贴和吉芬现象的共同底座。

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收入这一截：预算线的平移

第二刀不再转。价格已经是 $(p_1', p_2)$，收入从 $m'$ 回到 $m$，预算线平移，最优点从 走到最终的 。

$$\Delta x_1^{n} = x_1(p_1', m) - x_1(p_1', m')$$

价格结构冻结，只剩“钱变多或变少”。降价时真实收入相对 $m'$ 是增加的（因为补偿时抽走过一笔），收入效应就是这笔财富变动带来的需求变化。

方向取决于商品属性

• 正常品： 收入增加，需求增加。降价后抽走补偿、再把钱还回去，等于变富，正常品需求上升，$\Delta x_1^{n}$ 与价格变动反向。
• 劣等品： 收入增加，需求减少。降价变富之后，人反而少买这种东西，收入效应与替代效应对着干。

吉芬是劣等走到极端：对着干的那一截比替代还大，总效应翻向。

牛奶算例

需求函数 $x_1 = 10 + \dfrac{m}{10 p_1}$。收入每周 600 元，价格从 6 元/升降到 4 元/升。

原需求：$10 + 600/(10\times 6) = 20$。
新需求：$10 + 600/(10\times 4) = 25$。
总变化 $+5$ 升。

补偿：$\Delta m = 20 \times (4-6) = -40$，故 $m' = 560$。
补偿后需求：$10+560\mathrm{/}($。

替代效应 $24-20=+4$。收入效应 $25-24=+1$。两截都是正的，这是正常品降价的标准刀口。下面的解剖台按这两步播放，大字钉住两段 $\Delta x$。

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替代效应永远是负的

收入效应可正可负，取决于正常还是劣等。替代效应没有这种自由：它总是与价格变动反向。 价格下降时，$\Delta x_1^{s} \geq 0$；价格上升时，$\Delta x_1^{s} \leq 0$。人们说它“为负”，指的是 与 的乘积为负。

显示偏好给出的证明

原最优点 $X$ 在原预算线上。价格变了，把收入调到刚好还能买 $X$，新预算线绕 $X$ 转动。消费者在转动后的线上重选，得到 $Y$。

$X$ 在原预算下是最优，所以转动后的线上，$Y$ 要么仍是 $X$，要么落在变得相对便宜的那一侧——商品 1 降价时，$Y$ 不会跑到 $X$ 左边去买更少的商品 1。若 $Y$ 反而少买降价的商品，等于在买得起 $X$ 时拒绝了 $X$，直接违反显示偏好。只要偏好凸、选择唯一，替代效应就不能与价格同向。

经济含义

相对价格变、购买力被按住，人会用便宜的替换贵的。这个方向与商品是正常还是劣等无关。劣等品可以在第二刀翻向，第一刀永远朝着“降价多买、涨价少买”。这是微观里少数真正硬的符号结论。

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总效应是两截之和

收入不变、只改价格时，需求总变化

$$\Delta x_1 = x_1(p_1', m) - x_1(p_1, m)$$

拆开就是斯勒茨基恒等式：

$$\Delta x_1 = \Delta x_1^{s} + \Delta x_1^{n}$$

写细一点：

$$x_1(p_1', m) - x_1(p_1, m) = \bigl[x_1(p_1', m') - x_1(p_1, m)\bigr] + \bigl[x_1(p_1', m) - x_1(p_1', m')\bigr]$$

右侧中间两项抵消，左右恒等。它不是估计出来的回归，是拆法本身保证的恒等。经济内容在于给两截命名：第一括弧是纯相对价格，第二括弧是纯购买力。

正常商品：两刀同向

价格上升时，替代效应为负（少买相对变贵的）。正常品的收入效应也为负（变穷则少买）。总效应必为负，需求下降。

劣等与吉芬：第二刀可能翻盘

劣等品涨价时，替代仍为负，收入效应为正（变穷反而多买劣等品）。总效应符号不定。

若收入效应的绝对值压过替代，总效应为正：涨价多买。这就是吉芬商品。它必须先是劣等品，再满足 $|\Delta x^{n}| > |\Delta x^{s}|$。

重要结论

价格上升导致需求上升，只可能发生在劣等品上，而且必须强到成为吉芬。正常品两刀同向，总需求必降。所以：吉芬一定是劣等，劣等不必是吉芬。 下面切换三种刀口，看总效应箭头。

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需求法则：理论到底限制了什么

若消费者理论对任何行为都不禁止，它就没有内容。它确实禁止一些事。选择必须满足 SARP；替代效应必须为负。收入效应的方向仍自由，但自由不是无限的——它和替代的相对大小，决定需求曲线能不能向上。

推导就是斯勒茨基恒等式：正常品两刀同向。劣等品总效应不定；多数劣等品替代仍更大，需求仍向下；只有收入效应极强才出现吉芬。理论的可检验内容主要是这一句：你若已经看见收入增加时它卖得更好，就可以预言涨价时它卖得更差。吉芬不被禁止，只是被关在劣等且极强的角落里，现实中极少见到。

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三种极端偏好，两刀的分量完全不同

完全互补（左脚鞋与右脚鞋）。按固定比例配对，相对价格怎么转，最优点仍钉在原射线的同一格上，替代效应为零。需求变化全部来自平移，也就是收入效应。

完全替代（红笔与蓝笔）。哪边便宜买哪边。预算线一倾斜，需求从一种跳到另一种，全部是替代。收入再平移，只要相对价格没翻过来，仍买同一种，收入效应为零。

拟线性 $u = f(x_1) + x_2$。商品 1 的最优量与收入无关，收入效应为零，价格变动全是替代。许多局部均衡模型爱用拟线性，就是为了把收入效应关掉，让福利分析只剩相对价格。

现实偏好多半夹在极端之间。极端模型的用处是标出分解的边界：可以全是替代，可以全是收入，就是不能让替代与价格同向。

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希克斯那一刀：贴着无差异曲线切

斯勒茨基按住的是原消费束仍可负担。另一把刀按住的是原效用，叫希克斯替代效应。预算线不再绕 $X$ 转，而是贴着原无差异曲线滑，直到在新价格下刚好达到原来的 $u^A$。新切点与原点在 $x_1$ 上的差，就是希克斯替代。

对凸偏好，希克斯补偿抽的钱通常比斯勒茨基略多（降价时），因为回到原效用比回到原点更“穷”一点——原点在新价格下已不是最便宜的原效用点。差别在小变动时是二阶的，教材里两条曲线常常几乎贴在一起。

希克斯替代同样与价格反向。证明改用显示偏好：两点效用相同、又各是各自预算的最优，谁也不能显示偏好于谁，于是

$$q\cdot y \leq q\cdot x, \qquad p\cdot x \leq p\cdot y$$

相加得 $(q-p)\cdot(y-x) \leq 0$。若只动 $p_1$，则 $(q_1-p_1)({}_{}$，需求变化与价格变化符号相反。

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补偿需求曲线

价格变动时，按住的参照不同，就画出三条需求曲线。

1. 马歇尔（普通）需求： 名义收入不变。日常说的需求曲线。
2. 斯勒茨基需求： 按住原束可负担，只留下替代。
3. 希克斯（补偿）需求： 按住原效用。福利分析用的就是这一条。

希克斯与斯勒茨基曲线必定向下倾斜——替代为负。普通需求在正常品时向下；吉芬时可以向上。正常品上，普通需求最平（收入效应把降价后的需求再推高一截），希克斯最陡，斯勒茨基夹在中间。

之所以叫补偿，是因为每个价格都配一笔收入调整，让人回到原效用。曲线上每一点福利相同。评估税收、补贴时问“要补多少钱才能让人回到政策前的满足”，问的就是沿着这条曲线积分。补偿变化、等价变化，底座都在这里。

三条线从同一点出发，降价后马歇尔走得最远：它把收入效应也算进需求增加里。吉芬品上马歇尔会折向左上，另外两条仍向右下——解剖台至此分得清楚：向上倾斜的只可能是没被补偿的那条。

降价不是一刀。绕补偿后的预算转动，是替代；再平移，是收入。替代符号为负；总效应是两截之和；正常品同向，吉芬是劣等且收入压过替代。希克斯贴着无差异曲线切，补偿需求把福利钉死在原效用上。台上的标注线可以擦掉，这两截的名字不要擦。