预算约束下的理性决策

老谭的软木板上钉着两样东西：一条牛皮纸剪成的斜边——预算线；一叠半透明的等高线——无差异曲线。他既不负责发明大家的口味，也不负责分钱发工资。他只关心一件事：斜边上究竟哪一个点会被“钉”住，成为最优选择？

大多数情况下，答案是两者的“切点”：无差异曲线恰好吻合于预算线某处，此时

$$MRS = \frac{p_1}{p_2}$$

——主观愿意用多少货 2 去换一单位货 1，恰等于市场给出的价格比。

但也有例外被钉在软木板上：比如最优解在角点（只买某种货）、在折点（像完全互补商品的“L”型偏好），或者商品只能买整数件。每遇到例外，常规公式不再适用，需要逐一分析或引入额外条件。

在侦探式的推理下，先找“指纹”——也就是切点的条件，再明确指出在什么情况下这些指纹还不够，需要补充特殊分析。

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斜边上哪一点会被钉住

偏好单调时，钱花不完还能买到更好的束，最优一定在预算 线 上，不会缩在阴影内部。老谭从右端点（把钱全买货 1）沿胶带向左滑，途经越来越高的曲线；再往外一步就出界时，钉子落下。记那一点为 $(x_1^*,x_2^*)$。

常规指纹是 相切。切点上，主观愿换比率等于市场交换率。若曲线与斜边交叉而不是吻上，交叉口附近一定还能爬到更高的曲线，案子没结。相切意味着：再沿胶带挪一毫米，冷热不再升高。

例外至少三类。无差异曲线在最优点 折 一下（完全互补的 L），那里没有切线，钉子钉在折点，条件改成两侧 MRS 把价格比夹在中间。角点：某一种货最优量为 0。若在 $x_1=0$ 处曲线仍比预算线陡，人哪怕再便宜也不买货 1，全部预算砸向货 2。离散：手机只能买 0、1、2 台，要逐个比较整数点的效用，切线公式帮不上忙。

举一个角点算术。预算 $2x_1+x_2=10$，完全替代 $u=x_1+x_2$。无差异曲线斜率是 ，预算线斜率是 （更陡）。市场用货 2 换货 1 太贵，钉子钉在 。若 降到 0.5，斜率变成 ，人冲向另一端 。只有两价相等，整条胶带上的点才无差别。

相切是不是 充分？偏好凸时，是：鼓出的曲线保证切点就是唯一最高点。不凸时，可能出现一段相切却不是全局最优，或若干个切点里只有一端真正最好。教材默认凸偏好，于是“找切点”既必要又充分；老谭仍把角点、折点、凹偏好单独别在板边上。

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钉子随物价挪动，叫做需求

每一组 $(p_1,p_2,m)$ 钉住一个最优束。把这个映射写成函数，就是 需求：

$$x_1^*=x_1(p_1,p_2,m),\qquad x_2^*=x_2(p_1,p_2,m)$$

凸偏好下通常唯一。不同舌头对应不同显式：柯布–道格拉斯有分数公式，完全替代是角点规则，完全互补钉在对角线上。

内点最优的直觉是两句话叠在一起。主观：$MRS=-MU_1/MU_2$。客观：预算线斜率 $-p_1/p_2$。对齐时

$$\frac{MU_1}{MU_2}=\frac{p_1}{p_2}\quad\text{或}\quad\frac{MU_1}{p_1}=\frac{MU_2}{p_2}$$

每花一块钱，两种货带来的边际效用相等。若不对齐，人会调整。例如主观愿用 2 单位货 1 换 1 单位货 2（$MRS=-1/2$），市场却按 1:1 交换：市场给的货 2 比心里便宜，他会多买货 2、少买货 1，直到 MRS 被拉回价格比。

拖动物价。板上的切点会滑，右侧大数是钉住的需求量——柯布–道格拉斯舌头，支出各一半。

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不同舌头，钉子钉在不同位置

完全替代 $u=ax_1+bx_2$（下面用 $a=b=1$ 说）。比较 与 ：谁便宜买谁，全买；价格相等则斜边上任一点都无差别。

$$x_1^*=\begin{cases}m/p_1 & p_1<p_2\\ [0,m/p_1]\text{ 中任意} & p_1=p_2\\ 0 & p_1>p_2\end{cases}$$

这是角点案：切点公式用不上，因为直线形无差异曲线要么更陡、要么更平、要么整段落在胶带上。

完全互补 $u=\min\{x_1,x_2\}$。最优钉在折点对角 $x_1=x_2$，预算给出 。人等于在买一种价格为 的成套商品。

中性品与厌恶品：货 2 若中性或讨厌，钉子冲向货 1 的角点，$x_1^*=m/p_1$，$x_2^*=0$。钱不会浪费在不带来正效用（甚至带来负效用）的栏上。

离散：货 1 只能取整数 $k=0,1,\ldots,\lfloor m/p_1\rfloor$，对每个 $k$ 算 $u(k,(m-p_1 k)/p_2)$，取最大。例如手机 800 元、余额当货 2，，只需比较买 0、1、2 台三张卡片。价格下降时，最优整数往往上台阶，但不是沿胶带连续滑。

柯布–道格拉斯 $u=x_1^c x_2^d$：

$$x_1^*=\frac{c}{c+d}\cdot\frac{m}{p_1},\qquad x_2^*=\frac{d}{c+d}\cdot\frac{m}{p_2}$$

支出份额 $p_1 x_1^*/m=c/(c+d)$ 是常数。标准化成 $x_1^a x_2^{1-a}$ 时， 就是花在货 1 上的收入比例。切点存在且唯一，凸性给足了充分性。

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旧案卷反推口味

侦探也可以倒着做：已知若干年的价格、收入和买了什么，反推效用。若支出份额几乎恒为 1/4 与 3/4，板上会写下 $u=x_1^{1/4}x_2^{3/4}$。示意案卷：

份额钉在四分之一附近，柯布–道格拉斯够用。新税来了，$p_1=2$，$p_2=3$，$m=200$，预测

$$x_1^* = \frac{1}{4} \cdot \frac{200}{2} = 25,\qquad x_2^* = \frac{3}{4} \cdot \frac{200}{3} \approx 50$$

效用大约

$$25^{1/4} \cdot 50^{3/4} \approx 42$$

低于案卷里第 2、第 3 年。推断逻辑是：观察选择 → 写下目标函数 → 预测新政下的钉子和福利。数字是示意，方法是微观实证的骨架。

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全城的 MRS 被价格对齐

黄油价 $p_1$、牛奶价 $p_2$ 对所有顾客相同。只要每人买的都是内点，最优条件强迫

$$MRS_{12}=\frac{p_1}{p_2}$$

富人买得多、穷人买得少，口味有人偏黄油、有人偏牛奶，边际上愿换的比率却相同。不是口味变一样了，是价格把每个人的切点都拧到同一斜率。若某人觉得 1 公斤黄油值 3 升牛奶，而市价只值 2 升，他会用牛奶换黄油，直到自己的 MRS 降到 2。

这给技术估价提供尺子。设牛奶 2 元/升、黄油 4 元/公斤，均衡要求 $MRS=2$。

一台“牛奶制黄油机”若走第一行，市场会判它浪费。价格不是随意数字，是全城边际评价已经对齐后的公共刻度。富人穷人买得多少不同，口味也可以不同，内点上的 MRS 却必须等于同一价格比——这与收入无关，是均衡的要求，不是口味被洗成一种。

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两种税，谁伤得更重

要筹 $R^*$ 元，可以征 数量税（每单位货 1 加 $t$），也可以征 定额所得税（从收入扣 $T$）。数量税下预算变成 $(p_1+t)x_1+p_2 x_2=m$，斜线变陡，相对价格被拧歪。消费者钉在 ，政府收到 。

等额所得税扣走同一笔 $R^*$：$p_1 x_1 + p_2 x_2 = m - t x_1^*$。这条新斜边 原来的 ——数量税下的那一束，所得税下仍买得起。但所得税不改相对价格，MRS 仍对齐真价格 。斜边上存在更高的切点 ，福利严格好于被数量税钉住的那一点。

数量税让人面对虚假价格比 $(p_1+t)/p_2$，多出来的损失叫无谓损失。筹同样的钱，所得税只缩小集合、不拧斜率，伤得更轻。

切换下面两种税。图钉在数量税切点上不动时，所得税的斜边仍能摸到更高的那条红线。

板上可以用数字把“伤得更重”钉死。原预算 $2x_1+2x_2=24$，柯布–道格拉斯各半，无税切点是 $(6,6)$。征 $t=2$ 的数量税后有效价格变成 4，切点滑到 ，政府收到 。改征定额所得税 6 元，预算变成 ，新切点 。 仍买得起，但 的乘积更大——同一笔税，不拧相对价格的那一种让无差异曲线更高。

结论有边界。这是对 一个 消费者的定额税比较；真要向全城收税，每人税额不同。所得税若按劳动收入抽，可能打击干活的积极性——板上假设 $m$ 外生。不买货 1 的人躲过数量税，却躲不过统一所得税。供给侧、一般均衡、累进税率，都还没钉上来。能带走的只有：数量税扭曲相对价格，等额定额税不扭曲；筹同样的钱，后者通常让这个人过得更好。

软木板上最后一排图钉：最优通常是切点；角点、折点、离散是例外；凸性让切点充分；需求是钉子随 $(p_1,p_2,m)$ 挪动的轨迹；不同舌头钉在不同几何位置；选择可以反推效用；市场把所有内点顾客的 MRS 拧到同一价格比；要筹同样的税，拧歪相对价格的那一种伤得更重。