寡头垄断

镇口有两条公路交叉，东路上是红站，西路上是蓝站，两家都卖同样的汽油。车主的选择非常直接：只关心哪家油更便宜，以及哪家不用排队，品质完全一样。如果镇里的加油站太多，像完全竞争那样，油价就被市场压得死死的，没有哪家有定价空间；反过来如果是独占，全镇就一块牌子，价格自然高得多。我们的重点是介于两者之间的情况：只有两家油站，两家互相盯紧，一举一动都要考虑对手。

在这样的寡头格局下，决策的核心其实就两件事：“今天各自卸多少油”（产量），或者“牌子上写多少钱”（价格）。而每家油站的动作又可以是同时进行，也可以有人先动、有人后动。这四种组合——定产量/定价格 × 同时/先后——就是经典的寡头问题。寡头理论的目标，也正是把每种组合下的结局都算清楚，比一比它们的利害得失，而不是再创造第N种市场类型。

因此，我们都用同一个市场需求公式来示意问题——$P=a-b(q_1+q_2)$，这里 $P$ 代表价格，$q_1$ 和 $q_2$ 分别是红站和蓝站卸下的汽油量。为了方便直观地对比各种解法，数字按 $a=12$、$b=1$、边际成本取 0，所有答案都可以直接并排放到同一张“仪表盘”里清晰展示。

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同时还是先后，跟价还是抢客

两家同质油品，结局由四个数决定：$p_1,p_2,q_1,q_2$。先分时序，再分决策变量。

还有第四条路：两家把产量或价格一起锁死，当一个垄断者来分利润——合作，也就是卡特尔。法律往往不允许，理论上必须算，因为后面所有“惩罚能否吓住背叛”都拿它当参照。

价格匹配听起来像对车主的承诺：“对面公路若更便宜，我们跟。”没有承诺时，红站把 12 元改成 10 元，西路一部分车会拐过来，红站用份额换单价。有了匹配，西路车主不必拐弯，蓝站当场改成 10 元。红站降价留不住新车，只是把已经进站的油更便宜地卖掉。降价抢客的激励被抽掉，两块牌反而更容易停在高处。低价保证在这里不是竞争加速器，是让对手不敢先动手的锁。

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谁先把油罐卸下来：数量领导

红站先决定今天卸 $q_1$，蓝站看见油罐车的数量再卸 $q_2$，市价由总量决定：$P=a-b(q_1+q_2)$。蓝站的问题是

$$\max_{q_2}\ \bigl[a-b(q_1+q_2)\bigr]q_2$$

（成本先取 0）。一阶条件 $a-bq_1-2bq_2=0$，反应函数

$$q_2=\frac{a-bq_1}{2b}$$

斜率 $-\frac{1}{2}$：红站每多卸一升，蓝站大约少卸半升，这里产量属于战略替代关系。当 $q_1=0$ 时，蓝站独占市场，此时 $q_2=\frac{a}{2b}$。

红站预见蓝站的反应，将 $q_2$ 代入自己的利润函数，整理得：

$$\pi_1 = \frac{a}{2}q_1 - \frac{b}{2}q_1^2$$

最优解 $q_1^* = \frac{a}{2b}$，再代入反应函数，得到 $q_2^* = \frac{a}{4b}$。总产量为 ，价格为 。以 举例：红站 、蓝站 ，总量 ，油价 。领导者的产量更大、跟随者收缩，总产量比 Cournot 模型更大、价格更低，领导者利润高于跟随者。先决策的公司相当于“用分数线”占据优势，把竞争对手沿反应函数向后逼退。

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谁先把油价写上牌：价格领导

有些路段是龙头先挂牌，小站按这个价当价格接受者，沿 $p=MC_2$ 决定加多少油。跟随者供给 $S(p)$，领导者面对的是剩余需求

$$R(p)=D(p)-S(p)$$

它在这条剩余需求上像一个垄断者那样选价。

示意：需求 $D(p)=a-bp$，跟随者 $MC_2=q_2$，于是 。剩余需求 ，反解 。领导者 ，令其等于自己的恒定边际成本 ，

$$q_1^*=\frac{a-c(b+1)}{2}$$

要 $a>c(b+1)$，否则龙头不如不进场。数量领导抢的是产能位置，价格领导抢的是挂牌权。重工业、矿石更像前者；目录价、软件许可更像后者。两条公路上两家加油站，更常同时卸油或同时挂牌——那就是下面两节。

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Cournot 模型：同时卸油

两家今天同时决定卸多少，看不见对方这趟的油罐，只能对预期产量做最佳反应。均衡是一对产量，使得

$$q_1^*=f_1(q_2^*),\quad q_2^*=f_2(q_1^*)$$

预期等于实际，谁也没有单方面改量的理由。线性需求、零成本时，红站的反应与蓝站对称：

$$q_1=\frac{a-bq_2}{2b},\quad q_2=\frac{a-bq_1}{2b}$$

同质解 $q_1^*=q_2^*=a/(3b)$，总量 $2a/(3b)$，价格 。 时每家 4、总量 8、油价 4。夹在卡特尔的 6 与竞争的 12 之间。

动态上，两家按对方上期产量沿反应函数“走楼梯”：红站水平挪到自己的反应线上，蓝站再竖直挪到自己的线上，阶梯收敛到交点。模型的局限也在这里：调整过程中每家都假定对方这一步不动，而两边其实都在动。我们更信任交点，少信任那条楼梯的每一步。

推广到 $n$ 家。企业 $i$ 份额 $s_i=q_i/Q$，一阶条件写成

$$p(Q)\left(1-\frac{s_i}{|\varepsilon(Q)|}\right)=MC_i$$

$s_i=1$ 退回垄断加价；$s_i\to 0$ 退回 $p=MC$。公路上每多开一家同质站，Cournot 价格就往成本靠一截。这是竞争结论的微观台阶，不是另外一套理论。

查看蓝站产量与红站的最佳反应。两条反应线的交点标成均衡。需求 $P=12-(q_1+q_2)$。

• $q_1 = \frac{12 - q_2}{2}$
• $P=12-($

红线是红站对蓝站产量的最佳反应。白点始终在红线上移动；金点是两条反应线的交点。拖到 4 附近，同时卸油的结局就被钉住。

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同时挂牌：一口价打到成本

若两家同时写价格，油品完全相同，所有司机都会选择更便宜的那一家——这就是伯特兰（Bertrand）模型。理性情况下，谁也不会把价格写得低于成本。如果两家都报 $\hat p>MC$，只要有一家略微降价 $\varepsilon$，就可以吸引全部顾客。

对方见状也会跟着降价，如此反复，直到价格降到 $p^*=MC$。这时候，两家加油站的竞争结果会和无数家企业时一样。这正是“伯特兰悖论”：不是模型有误，而是在产品完全同质、一口报价且产能无限制的情况下，“谁降价谁吃光”的逻辑让价格不可能高于成本。

直觉像密封竞标。政府采购、标准化工程、信息完全透明的油价屏，都接近这个极端。局限也清楚：产品稍有差异、油罐有容量上限、明天还要见面，价格就不会立刻钉死在 $MC$。尽管如此，它给出政策上最硬的一句：能把竞争从卸油罐改成挂牌，价格往往掉得更狠。

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两家把油枪一起收一收：卡特尔

若红蓝把总量当成一个垄断者来选，

$$\max_{q_1,q_2}\ p(q_1+q_2)(q_1+q_2)$$

零成本时 $a-2b(q_1+q_2)=0$，总量 $a/(2b)$。 就是 6，价格 6。成本相同则怎么分都行；成本不同时，低成本的站应多卸，让两家的边际成本都等于卡特尔的边际收入。

背叛的激励几乎写在一阶条件里。卡特尔要求每家考虑增产对全行业价格的伤害，包括伤到对面那一份。若红站认定蓝站守约，红站自己增产的边际利润等于“本该由蓝站承担的那截降价损失”，严格为正。于是人人想在对方守约时多卸一枪。猜到对面也可能偷卸，抢跑更急。卡特尔的不稳定性不是道德故事，是算出来的。

要吓住背叛，需要可置信的惩罚：合作时每期 $\pi_m$，偷卸一次 $\pi_d$，被发现后永远回到 Cournot 的 $\pi_c$。合作现值 $$，背叛现值 。稳定要求

$$r\le\frac{\pi_m-\pi_c}{\pi_d-\pi_m}$$

未来足够重（贴现因子高、利率低），锁才锁得住。$\pi_m$ 越高、$\pi_d$ 越低、惩罚后的 $\pi_c$ 越惨，越稳。价格匹配在这里再次出现：它让偷降价立刻被看见、立刻被跟，等于把监督成本砍掉，卡特尔更好执行。自愿出口限制（VER）则是政府把配额替企业锁上——出口方少打价格战，进口国价格抬高，两边厂商都松一口气，车主付钱。限制看起来像贸易礼貌，功能上像强制卡特尔。

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四种结局并排看

在同一条逆需求曲线 $P=12-(q_1+q_2)$、假设边际成本为零的前提下，把四种主流市场结构（卡特尔、库诺特、斯塔克伯格、伯特兰）的总产量、均衡价格和全行业利润横向比一比，看得一目了然。这些结果背后，其实体现了每种博弈规则对企业“能不能加量、能不能降价”的约束不同，也对应现实中行业组织方式的不同极端。

产量从低到高、价格从高到低，正好是合谋 → 同时定量 → 数量领导 → 同时定价。价格领导的具体数字取决于跟随者成本形状，不和上面四行共用同一组 $a,b$，但逻辑位置仍在“龙头写价、小站沿 $MC$ 供油”。

点选四种结构，只盯价格这一块仪表。

选模型时看行业真正在争什么。产能、矿井、油罐是数量；屏幕上的挂牌、招投标是价格。有明确先动手的一方，用领导模型；必须同时拍板，用 Cournot 或 Bertrand。产品一旦差异化，Bertrand 的零利润会松开。重复见面、声誉、惩罚，会把一次性博弈的表往卡特尔那一列推。

福利顺序几乎与价格相反。Bertrand 最靠近效率，卡特尔死重损失最大，Cournot 与 Stackelberg 夹在中间。政策含义因此很硬：拆开合谋、让价格变得可被比、降低匹配承诺的合谋功能，比空喊“多几家企业”更对准机制。自然垄断仍走上一章的监管两难，不必用寡头模型硬套。

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把两条公路收进后视镜

同时或序贯、产量或价格，四格表决定用哪套工具。价格匹配抽走抢客激励。Stackelberg 让先卸油的人挤占跟随者；价格领导让先挂牌的人面对剩余需求。Cournot 用反应函数交点，$n$ 变大就滑向竞争。Bertrand 把同质一口价打到 $MC$。卡特尔产量最低，背叛激励为正，惩罚与贴现因子决定锁不锁得住；VER 是政府代为上锁。四种解的价格从高到低：卡特尔、Cournot、Stackelberg、Bertrand。

从一家店加总成一条街，到全城一块牌，到镇上去招聘，再到两条公路互相盯着——市场结构换了，决策的那张纸也换了。下一章若继续往下，问的会是更脏的现实：差异化、进入威慑、平台双边。这一章先把同质双头的四块仪表读准。