第11章 振动合成、阻尼、受迫振动与共振

两只完全相同的音叉单独敲响时，听起来都很稳定；把其中一只稍微贴一点橡皮泥，再让两只同时发声，声音却会一阵强、一阵弱。秋千没人继续推，摆幅会慢慢变小；若每次都在合适的节奏上轻推，摆幅又会越积越大。看起来一个是“两个振动加在一起”，另一个是“外界不断补充能量”，其实它们都在追问同一件事：振幅与相位怎样共同决定可观察到的运动？

上一章已经建立了简谐振动的基本模型

$x=A\cos(\omega t+\varphi).$

本章不再把振子孤立起来。我们先让几个简谐振动叠加，再把耗散和周期性驱动力加入动力学方程。沿途会看到拍、李萨如图形、阻尼衰减和共振曲线。所有讨论都限于小振动、线性回复力和线性阻尼的范围；这些条件看似不起眼，却决定了叠加公式和稳态响应能否成立。

一、同方向、同频率：相位决定“相助”还是“相消”

两个人从同一侧推秋千，力气都不小，秋千就一定摆得更高吗？未必。如果一个人在秋千向前时推，另一个偏偏在同一时刻把它往回拉，两次作用会互相抵消。振动的合成也一样：只比较振幅不够，还必须比较相位。

设同一直线上的两个同频简谐振动为

在线性叠加成立时，总位移是 $x=x_1+x_2$。把余弦展开并按 $\cos\omega t$、$\sin\omega t$ 合并，可得合振动仍是同一角频率的简谐振动：

$x=A\cos(\omega t+\varphi),$

其中

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)},$

$A\cos\varphi=A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2,$

$A\sin\varphi=A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2.$

这三式里最有物理味道的是第一式：合振幅取决于相位差 $\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1$，而不是取决于两个初相位各自有多大。当 $\Delta\varphi=2k\pi$ 时，两振动同相，；当 时，两振动反相，。所以合振幅总满足

$|A_1-A_2|\le A\le A_1+A_2.$

先想一想：若 $A_1=A_2$ 且两者反相，总位移恒为零，合振动的初相位是多少？答案是——无法定义。因为振幅为零时根本没有振动，用任何相位描述都给出同一个零位移。计算器若在这里报出某个角度，那只是数值函数选出的形式结果，不是一个可测的物理相位。

相量法：把三角运算变成平面几何

把长度为 $A$、与参考轴夹角为 $\omega t+\varphi$ 的有向线段以角速度 $\omega$ 匀速转动，它在参考轴上的投影就是 $A\cos(\omega t+\varphi)$。这条转动线段称为相量。两个振动角频率相同，它们的相量以同样速度转动，相对夹角保持不变，于是可像普通平面矢量一样首尾相加。

这里容易埋下一个误会：相量不是质点在真实空间中的位置矢量，它是把“振幅与相位”装在一起的计算工具。真实质点仍只沿那一条直线往复运动，相量却在辅助平面内转圈。

求合相位时，不能只背

$\tan\varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}.$

普通反正切不能区分相差 $\pi$ 的两个象限。可靠做法是先算相量横、纵分量 $C_x$、$C_y$，再用能判断象限的 $\operatorname{atan2}(C_y,C_x)$。考试手算时，则要结合两个分量的正负确定象限。

下面先固定 $A_1$ 和 $A_2$，只改变相位差。你会看到合相量和波形同步变化。试着在按下“同相”与“反相”前先预测合振幅的极值。

例1：从相量分量求合振动

已知 $x_1=3\cos(4t)\ \text{cm}$，$x_2=4\cos(4t+\pi/2)\ \text{cm}$，求合振动。

若有许多个同频振动，方法没有变：分别累加所有 $A_i\cos\varphi_i$ 和 $A_i\sin\varphi_i$，再由合分量求振幅与相位。真正使相量法简洁的，不是“画箭头”本身，而是所有相量保持固定夹角；频率一旦不同，它们就会彼此转动，合相量的长度也随时间改变。

二、方向相同但频率接近：为什么会出现拍

令两个振幅相等、初相位暂取为零：

$x_1=A\cos\omega_1t,\qquad x_2=A\cos\omega_2t.$

用和差化积公式相加，得到

若 $\omega_1$ 与 $\omega_2$ 很接近，第二个余弦变化很快，代表频率接近平均值的快速振动；前面的因子变化很慢，像一只手逐渐放大、又缩小快速振动的振幅。人耳听到的响度或仪器看到的振幅便周期性增强、减弱，这就是拍。

拍频是单位时间内“由强到强”重复的次数：

$f_{\text{拍}}=|f_1-f_2|,$

相邻两个强拍之间的时间为

$T_{\text{拍}}=\frac{1}{|f_1-f_2|}.$

公式里有一个经典的“差一倍”陷阱。带符号因子 $\cos[(\omega_1-\omega_2)t/2]$ 自身的完整周期是 $4\pi/|\omega_1-\omega_2|$；但实际振幅看的是它的绝对值，相邻正、负极值都对应一次最强，因此强拍间隔只有 。换成普通频率，正好就是上面的频率差。

如果两分振动振幅不相等，最大合振幅为 $A_1+A_2$，最小合振幅为 $|A_1-A_2|$，弱拍处不一定完全安静。若两频率相差并不小，“快振动乘慢包络”的画面就不再鲜明，虽然代数叠加仍然成立，却不宜再用清楚可辨的拍来描述。

下面把 $f_1$ 和 $f_2$ 拉近，再逐渐分开。先猜频率差增大后拍会变快还是变慢，再观察相邻强拍的间隔。

拍不是振幅真的在系统里神秘地“生长又消失”，而是两个相位差不断变化的振动轮流相助、相消。它也提供了一种灵敏的比较方法：把待测频率与已知频率同时输入，数出拍频，就能求两者频率差。不过只知道 $|f_1-f_2|$ 还不能判断待测频率更高还是更低，需要再稍微改变已知频率，看拍频如何变化。

三、互相垂直的振动：时间被画成了轨迹

现在让一个质点同时参与水平方向和竖直方向的简谐振动。示波器的两个偏转方向、摆球在两个水平轴上的小振动，都能形成这种模型。观察者不再只看到一条位移—时间曲线，而会看到平面轨迹。

先研究同频情形：

消去时间可得

这通常是一条椭圆。$\delta=0$ 时退化为斜率为 $A_y/A_x$ 的直线；$\delta=\pi$ 时退化为反斜率直线；$$ 时成为轴与坐标轴重合的椭圆，若再有 ，就是圆。

自己想一想：屏幕上出现圆，能不能只凭这张静态图判断质点顺时针还是逆时针运动？不能。轨迹形状只告诉你点经过哪里，运动方向还需要时间顺序；即便同一椭圆，也可能沿相反方向描画。相位差的正负会改变描画方向，但结论还与 $x$、$y$ 的相位约定和坐标方向有关。

李萨如图形与频率比

若两个方向频率不同，

轨迹会出现多瓣结构，称为李萨如图形。当频率比是有理数

$\frac{\omega_x}{\omega_y}=\frac{p}{q}$

且 $p,q$ 互质时，经过共同时间 $T$，水平方向完成 $p$ 次、竖直方向完成 $q$ 次振动，轨迹闭合。若频率比为无理数，理想轨迹永远不能精确回到全部初始状态，长时间后会在矩形范围内画得越来越密。

实际测频时可由稳定闭合图形的切点或瓣数推断简单整数比，但不能脱离坐标方向死记“横几竖几”。最稳妥的办法是回到共同周期：数清 $x$ 与 $y$ 在同一闭合时间内各完成几次完整振动。图形若缓慢转动或不能稳定闭合，通常意味着频率比没有精确锁定。

在下面的实验台里选取 $1:1$、$1:2$ 和 $2:3$，再改变相位差。注意区分两件事：频率比主要决定轨迹的瓣数与闭合周期，相位差主要改变同一频率比下的形状和朝向。

四、阻尼振动：机械能去了哪里

真空中的理想弹簧振子可以永远振下去，现实中的摆和弹簧却迟早停下。不是恢复力突然消失，而是空气阻力、摩擦或材料内耗不断把机械能转化为内能。为了得到可解又有代表性的模型，先取阻力与速度成正比、方向与速度相反：

$F_d=-b\dot x,$

于是自由振动方程为

$m\ddot x+b\dot x+kx=0.$

记

$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad 2\beta=\frac{b}{m},$

方程化为

$\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0.$

这里 $\omega_0$ 是同一系统去掉阻尼后的固有角频率，而不是有阻尼振动实际观察到的角频率。比较 $\beta$ 和 $\omega_0$，会得到三种性质不同的运动。

三种状态并不是凭图形命名出来的，它们直接藏在特征方程

$r^2+2\beta r+\omega_0^2=0$

的两个根里。根为 $r=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$。当根号内为负数时，两个根含有共轭虚部，指数衰减之外还保留余弦振荡；根号内等于零时两个实根重合；根号内为正数时得到两个不同的负实根，运动只由两个衰减指数叠加。这样一来，“欠阻尼、临界阻尼、过阻尼”不是三条需要死背的曲线，而是同一微分方程随参数变化的三种解。

线性阻尼也有适用边界。$F_d=-b\dot x$ 常能近似描述速度不大时的黏滞阻力或仪器中的电磁阻尼，却不能自动代表干摩擦、湍流阻力等所有耗散机制。若实验包络明显偏离指数衰减，先检查阻尼模型是否合适，而不是硬把每个衰减过程都塞进同一个 $b$。

欠阻尼：一边振，一边衰减

当 $0<\beta<\omega_0$ 时，

振幅包络按 $e^{-\beta t}$ 衰减，实际角频率 $\omega_d$ 低于 $\omega_0$；只有弱阻尼时二者才很接近。振幅降到原来的 $$ 所需时间为 。相隔一个阻尼周期 的同向峰值之比满足

$\ln\frac{A_n}{A_{n+1}}=\beta T_d,$

这个量称为对数减缩，实验上常用它估计阻尼。

临界阻尼与过阻尼：不振荡也有快慢之分

当 $\beta=\omega_0$ 时，

$x=(C_1+C_2t)e^{-\beta t},$

运动不再越过平衡位置反复振荡，称为临界阻尼。当 $\beta>\omega_0$ 时，解是两个衰减指数的组合，同样不振荡，称为过阻尼。阻尼并非越大就一定“回零越快”：过大的阻力会让系统慢慢挪回平衡位置。工程仪表常希望在不过度越过读数的同时尽快稳定，临界阻尼因而很重要；具体最快时间仍与初始条件和评价标准有关，不能把一句口号当成普遍定理。

把三种系统都从同一侧拉开并由静止释放，你会看到一个有点反直觉的结果：欠阻尼明明很快经过平衡位置，却因为来回越过而迟迟不能安静；过阻尼从不“冲过头”，却可能被阻力拖得很慢。那临界阻尼究竟特殊在哪里？先把特征根的结论翻译成时域曲线，再作判断。

图中三条曲线采用同一初始位移、初速度为零的典型释放条件。欠阻尼曲线多次穿过平衡线；临界阻尼处在“刚好不振荡”的边界，并在这类回稳任务中兼顾速度与不过冲；过阻尼曲线由两个衰减时间尺度共同控制，尾部往往更慢。读图结论不能偷换成“临界阻尼对任何初始条件、任何评价指标都绝对最快”，但它清楚说明了为什么只盯着阻力大小会误判回稳过程。

机械能怎样变化？定义瞬时机械能

$E=\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2,$

沿运动方程求导：

$\frac{dE}{dt}=\dot x(m\ddot x+kx)=-b\dot x^2\le0.$

这说明线性阻力持续耗散机械能，而且质点经过平衡位置、速度较大时瞬时耗散率更高。常说“能量按 $e^{-2\beta t}$ 衰减”，严格说是弱阻尼下周期平均能量或能量包络的结论；瞬时动能与势能仍在交换，不能把每一时刻的 $E(t)$ 都机械地写成一条完美指数线。

例2：阻尼参数告诉了我们什么

某振子的 $m=0.50\ \text{kg}$，$k=8.0\ \text{N/m}$，$b=0.20\ \text{kg/s}$。则

因为 $\beta<\omega_0$，它处于欠阻尼状态；$\omega_d=\sqrt{16-0.04}\approx3.995\ \text{rad/s}$，与无阻尼固有角频率很接近。振幅衰减时间常量为 ，即经过 ，包络降为初值的 。注意，这不是说质点在第 时的位移恰等于初位移的 ；余弦因子还决定它当时处在振动周期的哪个位置。

五、受迫振动：外力的节奏最终接管系统

给有阻尼振子施加周期性驱动力 $F=F_0\cos\omega t$，方程变为

$m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos\omega t,$

或

以下假设 $b>0$，质量、刚度、阻尼系数和驱动力幅值均保持不变。无阻尼系统的暂态不衰减，且在精确共振时不存在这里的有限振幅稳态。

总运动由两部分组成：一部分由初始条件决定，是会因阻尼逐渐消失的暂态；另一部分由驱动力维持，是受迫振动的稳态。等暂态足够小以后，稳态可写为

$x=A(\omega)\cos(\omega t-\delta),$

$A(\omega)=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}},$

稳态公式可以这样理解。先假设响应含有与外力同频的余弦、正弦两部分，写成 $x=C\cos\omega t+D\sin\omega t$，代回方程后分别比较 $\cos\omega t$ 与 $\sin\omega t$ 的系数。回复力与惯性项共同给出 ${\omega }_0^2-{\omega }^{}$，阻尼项给出 ；再把 合成 ，便得到振幅分母和相位角。这个推导也说明，公式建立在驱动力为单一频率、参数不随时间变化、响应仍在线性范围内等条件上。

若外力刚接通，为什么不能直接用这条稳态式描述第一秒？因为微分方程的完整解还必须满足初始位移与初始速度。用来调整初始条件的正是齐次方程解，也就是暂态。阻尼越小，暂态退得越慢；实验扫频若每到一个频率都没有等到系统稳定，测得的“幅频曲线”就可能混入历史状态，峰值位置和高度都会显得不可靠。

三个结论值得停下来消化。

第一，稳态角频率是驱动力角频率 $\omega$，不是系统“坚持使用”的 $\omega_0$。固有频率没有消失，它通过振幅和相位响应决定系统对不同驱动频率有多敏感。

第二，位移一般落后于驱动力。低频驱动时 $\delta\approx0$，质点近似跟着力准静态移动；$\omega=\omega_0$ 时 $\delta=\pi/2$；高频驱动时 $\delta$ 逐渐趋近 ，惯性使位移几乎与力反相。

幅值两端也能做数量级检查。当 $\omega\to0$ 时，$A\to f_0/\omega_0^2=F_0/k$，正是恒力作用下的静态伸长；当 时，，频率越高，质量越来不及跟随。若算出的低频极限不是 ，或高频振幅反而无限增大，通常说明代数式写错了。相位曲线则把这一过程连起来：低频时回复力主要与外力平衡，高频时惯性项主要与外力平衡，因而位移从近似同相逐步转为近似反相。

第三，稳态振幅不是随着时间无限积累。每个周期内，外力输入的平均能量恰好补偿阻尼耗散，系统才维持恒定振幅。若刚启动时看到忽大忽小，那往往是暂态与稳态同时存在的叠加，不应把它误认成最终响应。

六、共振：峰值究竟出现在哪里

缓慢扫动驱动频率，稳态振幅先增大后减小，在某一频率附近出现峰值，这就是位移响应中的共振。对上面的线性阻尼模型，令 $A(\omega)$ 极大可得：只有当

$0<\beta<\frac{\omega_0}{\sqrt2}$

时才存在非零频率的位移共振峰，其频率为

$\omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}.$

所以 $\omega_r$ 小于 $\omega_0$；只有弱阻尼时，才可近似写成 $\omega_r\approx\omega_0$。若阻尼大到 ，位移幅频曲线从零频处开始单调下降，不再出现非零频率的峰。

公式已经给出了两个相近却不同的位置，可图上为什么要画两根标记线？先试着回答：位移振幅到达峰值时，相位是否也刚好等于 $\pi/2$？再把阻尼调大的趋势一起放进幅频—相频总览。

读图时先看幅频曲线：在 $\beta<\omega_0/\sqrt2$ 的条件下，位移峰位于 $\omega_r$，而且 ；阻尼增大时峰值降低、曲线变宽，达到临界条件后非零频率的位移峰还会消失。再看相频曲线：无论位移峰是否明显，线性黏滞阻尼模型的稳态相位都在 处经过 。图中两处标记不重合，正是“位移最强”和“相位四分之一周期”不能混说的直观证据。上述形状以单频驱动、线性回复力、线性阻尼和已进入稳态为前提；确认这些边界后，接下来再比较速度峰与吸能峰落在哪里。

把速度振幅记为 $V=\omega A$，它在 $\omega=\omega_0$ 取得最大值。此时位移落后驱动力 $\pi/2$，速度与驱动力同相，外力最有效地向系统输送能量。稳态平均输入功率为

阻尼平均耗散功率为

$\overline P_{\text{耗}}=\frac12 bA^2\omega^2.$

这两条平均公式背后是一幅逐时刻的能量账本。特别在 $\omega=\omega_0$ 时，位移落后驱动力 $\pi/2$，对位移求导后，速度恰与驱动力同相。先想一想：这时驱动力变为负值，是否意味着它开始从振子取走能量？别急着只看力的正负，功率还要乘速度。

沿图中的同一时刻竖线读数会发现，$F$ 与 $v$ 同号时即使二者都为负，乘积 $p=Fv$ 仍为正；在这个理想稳态情形中，$p$ 按平方型节奏变化，一个周期的平均输入为正，并恰好补偿阻尼耗散。这个“始终同相”的结论专指本模型在 $\omega=\omega_0$ 的稳态；偏离该频率后，力与速度存在相位差，瞬时功率可以在部分时段为负，但只要存在阻尼并保持稳态，周期平均输入仍等于周期平均耗散。由瞬时图回到平均量，才不会把“某一刻外力做负功”错说成“系统整周期失去能量”。

稳态下二者相等。若扫频时驱动力幅值 $F_0$ 保持不变，且 $b>0$，平均吸收功率也在 $\omega_0$ 处最大。这正解释了为什么相位不是附带信息：只有力与速度的配合恰当，持续推力才不会一半时间帮忙、一半时间添乱。

在无阻尼理想模型中，若恰以 $\omega_0$ 驱动，方程不存在有限振幅的稳态特解，振幅会随时间线性增长。现实系统总有耗散，线性模型给出的有限峰高约由阻尼控制；越小的阻尼意味着越尖、越高的响应峰。常用

$Q=\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{m\omega_0}{b}$

描述弱阻尼系统的共振锐利程度。在弱阻尼近似下，平均功率降为峰值一半的两个频率之差约为 $\Delta\omega\approx2\beta$，故 $Q\approx\omega_0/\Delta\omega$。这个关系依赖弱阻尼和线性模型，不该无条件外推。

下面同时改变阻尼与驱动频率。先把阻尼调大，观察位移峰怎样变矮、变宽；再检查 $\omega_r$ 标记、$\omega_0$ 处的相位和吸能峰是否重合。

例3：不要把三个“特殊频率”混在一起

某受迫振动系统的 $\omega_0=10.0\ \text{rad/s}$，$\beta=2.0\ \text{s}^{-1}$。求位移共振频率，并说明驱动力与位移相差 $\pi/2$ 时的频率。

因为 $2.0<10.0/\sqrt2$，存在位移共振峰：

而 $\delta=\pi/2$ 要求 $\omega_0^2-\omega^2=0$，所以 $\omega =$。两者相近但不相等。若题目只凭“出现共振”就把所有答案都填成 ，正好踩中了本章最常见的失分点。

七、共振该利用还是避免

推秋千时顺着节奏补充能量、用频率响应寻找结构的固有特征，都是对共振的利用；机器旋转部件若周期性激励接近某个固有频率，又可能造成过大的位移和疲劳。处理办法也不是简单地“禁止振动”：可以改变质量或刚度来移动固有频率，改变激励频率以避开敏感区，增加适当阻尼来压低峰值，或减少周期性外力本身。

这里还要防止一个直觉反转。增加阻尼通常会降低共振峰，但也会把响应曲线变宽；改变刚度则会改变 $\omega_0=\sqrt{k/m}$，同时影响频率位置。工程判断必须先说明工作频率范围与关注的是位移、速度还是加速度，不能只凭“阻尼越大越安全”作无条件结论。

八、把本册最后一条知识链收好

这一章从叠加开始，也以相位结束：

1. 同方向同频振动合成后仍是简谐振动，合振幅由相位差控制，相量法把相位关系变成平面几何；
2. 相近频率振动的相位差缓慢漂移，交替相助和相消，形成拍，拍频等于频率差的绝对值；
3. 两个垂直振动把时间关系写成平面轨迹，简单整数频率比产生闭合的李萨如图形；
4. 线性阻尼使机械能单调耗散，欠阻尼系统的振幅按指数包络衰减；
5. 周期性外力决定受迫振动的稳态频率，系统自身参数决定振幅与相位响应；
6. 位移峰、速度峰、吸能峰和相位 $\pi/2$ 的位置要分清，弱阻尼时它们才看起来几乎重合。

到这里，第一册从单个质点的运动与守恒规律，走过刚体和相对论，最后来到会耗散、会受驱动、也会彼此叠加的振动。可我们一直在看“一个位置怎样随时间振”。若把许多相邻质点连接起来，一个质点的振动能否把扰动传给下一个？传播过程中，相位与能量又怎样跨越空间？这正是理论第二册开篇“机械波、波函数与波的能量”要回答的问题。

课后练习

3. 用相量求合振动

两个同方向同频振动为 $x_1=6\cos(5t+\pi/3)\ \text{cm}$、$x_2=6\cos(5t-\pi/3)\ \text{cm}$。求合振动方程。

4. 拍的测量与判别

把一个未知音叉与频率为 $440\ \text{Hz}$ 的标准音叉同时振动，测得每秒出现 $3$ 次强拍。仅凭这次测量能否唯一确定未知频率？若把标准音叉频率稍微调高后拍频降为 $2\ \text{Hz}$，未知频率是多少？

5. 从垂直振动判断轨迹

质点运动满足 $x=2\cos\omega t\ \text{cm}$，$y=4\cos(\omega t+\pi/2)\ \text{cm}$。写出轨迹方程，并说明仅凭轨迹能否判断运动方向。

6. 判断阻尼状态与衰减

某系统满足 $\ddot x+6\dot x+25x=0$，初始运动处于振动状态。判断阻尼类型，求阻尼角频率与振幅衰减到初值 $1/e$ 所需时间。

7. 机械能为何单调减少

在线性阻尼自由振动中，质点到达端点时速度瞬间为零。此时阻尼力和能量耗散率怎样？能否据此说机械能在端点附近不再减少？

8. 共振频率与相位

受迫振动方程为

$\ddot x+4\dot x+100x=5\cos\omega t.$

求无阻尼固有角频率、位移共振角频率、相位差为 $\pi/2$ 时的驱动角频率，并判断是否存在非零频率位移峰。

9. 稳态能量账本

稳态受迫振动为 $x=A\cos(\omega t-\delta)$，驱动力为 $F_0\cos\omega t$。说明为什么 $\delta=0$ 时外力平均功率为零，而 时能量输入最有效；稳态机械能是否仍会逐周期增加？

10. 为机器选择减振方案

一台机器的工作角频率固定在 $48\ \text{rad/s}$ 附近，安装在某支承上后，测得系统固有角频率约为 $50\ \text{rad/s}$，振幅明显偏大。请基于本章模型提出两类不同的改进思路，并说明各自改变了什么。

$x=6\cos5t\ \text{cm}.$

也可由振幅公式计算：相位差为 $-2\pi/3$，$A=\sqrt{36+36+72\cos(2\pi/3)}=6\ \text{cm}$。合振幅不是 $12\ \text{cm}$，因为两振动并不同相。

轨迹是长轴沿 $y$ 轴的椭圆。静态椭圆只说明质点经过哪些位置，不能单独给出时间顺序；若结合原运动方程，可在 $t=0$ 检查位置 $(2,0)$ 及 $\dot y=-4\omega<0$，进而判定此刻从右端向下运动。

$\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}=\sqrt{25-9}=4\ \text{rad/s}.$

振幅包络为 $A_0e^{-3t}$，令其等于 $A_0/e$，得 $t=1/3\ \text{s}$。这里求的是包络衰减时间，不保证该时刻的瞬时位移恰为初位移的 $1/e$。

$\frac{dE}{dt}=-b\dot x^2\le0$

可知机械能从不增加，只在速度为零的瞬间导数为零。不能把“某一瞬间耗散率为零”误解成“一段时间内能量不再减少”。

$\omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}=\sqrt{100-8}=\sqrt{92}\approx9.59\ \text{rad/s}.$

相位差 $\delta=\pi/2$ 出现在 $\omega=\omega_0=10\ \text{rad/s}$。这两个频率不相等，只在弱阻尼近似下很接近。

形式上，当 $\delta=0$ 时，外力与位移同相，却与速度相差四分之一周期；一周期中正功和负功抵消，平均输入为零。但对 $b>0$、非零频率的稳态，$\delta$ 严格在 $0$ 与 $\pi$ 之间，$\delta=0$ 只用作理想极限比较。扫频时保持 $F_0,m,k,b$ 不变，平均输入功率在 $\omega=\omega_0$ 处最大，此时 $\delta=\pi/2$，速度与驱动力同相；不能把 $A$、$\omega$ 和 $\delta$ 当作可彼此独立改变的参数。稳态振幅保持不变，外力每周期输入的能量恰好补偿阻尼耗散，因此系统机械能不会逐周期无限增加。