曲线运动、圆周运动与相对运动

坐在匀速转弯的汽车里，速度表的数字可能一动不动，你的身体却明显向车门一侧偏。既然“快慢”没变，为什么还能感觉到加速？再换一个场景：轮船朝正对岸开，最后却停在下游；乘客明明看见船头指向前方，岸上的人画出的航迹却是斜的。它们都在提醒我们，直线运动里容易被忽略的两个问题——方向怎样改变，运动相对谁来描述——到了二维运动中再也躲不过去。

这一章只研究运动的几何与时间关系，暂不追问什么力造成这些运动。我们会把上一章的位矢、速度和加速度真正放进平面，用直角坐标处理分量，用自然坐标看清“变快”和“转弯”，再用角量描述圆周运动。最后讨论经典低速条件下的相对运动。你会发现，式子并没有突然变得很多，真正需要升级的是画图和说清参考系的习惯。

弯道上的速度，指向哪里

先做一个很短的思想实验。小球沿一条光滑弯曲的槽运动，在相邻两时刻分别位于 P、Q 两点。连接 P、Q 得到位移 Δr，平均速度沿这条割线。现在让两时刻无限接近，Q 沿轨迹逼近 P，割线就逼近 P 点的切线。因此

$$\mathbf v=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} =\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}$$

必沿轨迹切线，方向取质点前进的一侧。速度不是指向坐标原点，不是指向终点，也不一定指向位移矢量在某段时间里的方向；它只回答“此刻往哪里走”。

在固定直角坐标系中写成

$$\mathbf r(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j, \qquad \mathbf v=\dot x\mathbf i+\dot y\mathbf j, \qquad \mathbf a=\ddot x\mathbf i+\ddot y\mathbf j .$$

这里圆点表示对时间求导。直角坐标的好处是基矢 i、j 的方向固定，所以分别对 x(t)、y(t) 求导即可。速率则是速度矢量的大小：

$$v=|\mathbf v|=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}.$$

例如质点的运动方程为 x=2t，y=t²，长度单位为米、时间单位为秒。消去时间得到 y=x²/4，所以轨迹是抛物线；在 t=1 s 时，v=(2 i+2 j) m/s，a=2 j m/s²。请先看一眼这两个矢量：加速度没有沿着速度方向，它既会改变速率，也会使速度转向。

假设两颗小球画出的曲线一模一样，能否断定它们每一刻的速度也相同？先别急着答，给运动加上“每隔相同时间拍一张”的标记，差别就露出来了。

等时位置点越密，表示那一段速率越小；点距的变化方式不同，说明沿轨迹的计时不同。消去时间只能得到共同的几何轨迹，判断速度和加速度仍须回到各自的 x(t)、y(t)。

加速度拆成“变快”和“转弯”

直角坐标分量便于计算，却不总能直接告诉我们运动状态怎样改变。沿轨迹在每一点建立两个随质点一起转动的单位矢量：e_τ 沿速度方向，称为切向单位矢量；e_n 垂直于切线并指向轨迹凹的一侧，也就是局部曲率中心方向。这套坐标叫自然坐标系。

因为 v = v e_τ，对时间求导时要记住：速率 v 会变，单位矢量 e_τ 的方向也会变。于是

$$\mathbf a=\frac{\mathrm d(v\mathbf e_\tau)}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\mathbf e_\tau +v\frac{\mathrm d\mathbf e_\tau}{\mathrm dt}.$$

设轨迹在这一点的曲率半径为 ρ。质点走过很短弧长 ds 时，切线转过的微小角满足 dθ=ds/ρ；又因为 ds/dt=v，切向单位矢量转动的快慢为 |de_τ/dt|=v/ρ，方向指向曲率中心。代回上式，得到曲线运动中极重要的分解：

$$\mathbf a=a_\tau\mathbf e_\tau+a_n\mathbf e_n, \qquad a_\tau=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}, \qquad a_n=\frac{v^2}{\rho}.$$

切向加速度 a_τ 管速率变化：它为正时沿速度方向，速率增大；为负时与速度反向，速率减小。法向加速度 a_n 管方向变化，总指向轨迹凹侧，按约定取大小为非负数。两个方向互相垂直，所以

$$a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}.$$

现在回头回答开头的问题：汽车匀速率转弯时，dv/dt=0，所以切向加速度为零；但道路弯曲、ρ 有限，法向加速度 v²/ρ 不为零。速度表只报速率，身体感受到的却与速度矢量改变有关。所谓“匀速圆周运动”中的“匀速”，准确说是匀速率，绝不是速度矢量不变。

还可以从一张“速度矢量图”看出法向分量从哪里来。设相隔很短时间的两个速度大小近似相等，分别把它们的起点平移到一起，两根箭头之间有一个小夹角 Δθ。速度增量 Δv 是后一根箭头减前一根箭头，在 Δθ→0 时，它几乎垂直于原速度，并指向转弯内侧。由相似的窄三角形，|Δv|/v≈Δθ；又有 Δθ≈Δs/ρ 和 Δs≈vΔt，所以

$$\frac{|\Delta\mathbf v|}{\Delta t} \approx v\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \approx v\frac{v\Delta t}{\rho\Delta t} =\frac{v^2}{\rho}.$$

这个推导很值得慢慢看：即使两根速度箭头一样长，它们相减也不为零，因为矢量的方向不同。也正因如此，在同样的速率下，弯道越急、ρ 越小，法向加速度越大；在同一弯道上，速率增大一倍，法向加速度变成四倍。日常驾驶中“急弯要减速”背后首先就是这个运动学关系，至于轮胎靠什么力提供转弯所需的加速度，要到下一章再回答。

图中两根速度箭头等长，急弯的曲率半径更小，法向加速度箭头便更长。比较时必须先说清保持哪个量相同；若速率也变了，就要同时检查 v² 和 ρ，不能只凭“看起来更弯”下结论。

如果题目给的是直角坐标中的 v 和 a，不必先猜曲率中心。由 v²=v·v 求导可得

$$a_\tau=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{v}, \qquad a_n=\sqrt{a^2-a_\tau^2}, \qquad \rho=\frac{v^2}{a_n}.$$

仍看 x=2t，y=t² 的例子。在 t=1 s 时，v=2√2 m/s，a=2 m/s²，所以 a_τ=(v·a)/v=√2 m/s²，a_n=√2 m/s²，曲率半径 ρ=v²/a_n=4√2 m。这串计算的顺序值得记住：先从运动方程求 v、a，再投影到自然坐标；不要看到曲线就直接把全部加速度写成 v²/ρ，那只是法向分量。

若以下条件在一段时间内持续成立，可以辨认相应的运动类型；单个时刻的分量只能说明该瞬间的变化。若 a_τ=0、a_n=0，速度大小和方向都不变，是匀速直线运动；若 a_τ≠0、a_n=0，速度方向不变而大小改变，是变速直线运动；若 a_τ=0、a_n≠0，速率不变但方向改变，是匀速率曲线运动，却未必是圆周运动，因为曲率半径还可能随位置改变；若两个分量都不为零，大小和方向同时改变。看到 a_τ=0 就断言“匀速圆周运动”是常见误判，少检查了轨迹曲率是否恒定。

若要做进一步的曲线计算，在 v≠0 且轨迹足够光滑时，平面参数曲线还有

$$\rho=\frac{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}{|\dot x\ddot y-\dot y\ddot x|}.$$

这是由刚才三个关系合并得到的便捷式，属于常见拓展，不需要把它当作新的物理规律死背。尤其在瞬时速度为零的点，切线方向可能需要由极限另行判断，上述自然坐标公式不能不加检查地直接套用。

参数曲线 x=At、y=Bt² 看似只改两个系数，却会同时改变前进快慢、弯曲程度和加速度分解。先预测增大 A 或改变 B 后哪根箭头会变，再用同一时刻的数据检验。

观察会发现：位置落在同一条曲线上，不代表速度或曲率半径相同；必须连同参数和时刻一起读。若把参数调到瞬时速度为零，自然坐标的切线方向失去直接定义，此时应回到直角坐标或极限判断。

圆周运动：用角量把重复转动说清楚

一般曲线的曲率半径会变，圆周运动则把它固定为半径 R。选定圆心、参考方向和转动正方向后，质点的位置可以用角位置 θ(t) 描述。角度必须用弧度参与 s=Rθ 这类公式，因为弧度正是弧长与半径之比。

角速度和角加速度定义为

$$\omega=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}, \qquad \alpha=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2}.$$

本章讨论平面内绕固定圆心转动，可约定逆时针为正。ω 的正负表示转动方向，α 的正负表示角速度沿正向还是负向改变；“α<0”本身不等于减速。若 ω<0、α<0，二者同号，角速度的绝对值反而在增大。

对半径不变的圆周运动，把 s=Rθ 连续对时间求导，便得到线量与角量的桥梁：

$$v_\theta=R\omega,\qquad v=R|\omega|, \qquad a_\theta=R\alpha, \qquad a_n=\frac{v^2}{R}=R\omega^2.$$

这里 v_θ 和 a_θ 都以 θ 增大的切向为正，是带方向约定的分量；v 才是非负的速率。若改用始终沿实际速度方向的自然坐标，则切向分量写成 dv/dt。法向式给的是始终指向圆心的加速度大小。注意 a_n 与 ω² 成正比，所以无论顺时针还是逆时针，法向加速度都指向圆心；若把它写成带正负的 Rω² 并借正负判断方向，就把两套约定混在了一起。

如果你想确认这些关系不是凭图猜出来的，可以把圆心放在坐标原点，写出

$$\mathbf r=R\cos\theta\,\mathbf i+R\sin\theta\,\mathbf j.$$

对时间求导，

$$\mathbf v=R\omega(-\sin\theta\,\mathbf i+\cos\theta\,\mathbf j),$$

括号里的单位矢量恰好沿切线。再求一次导数：

$$\mathbf a=R\alpha(-\sin\theta\,\mathbf i+\cos\theta\,\mathbf j) -R\omega^2(\cos\theta\,\mathbf i+\sin\theta\,\mathbf j).$$

第一项沿切线，第二项与位矢反向、指向圆心。这个计算也暴露出一个容易漏掉的地方：求 v 的导数时，除了 ω 会变，切向单位矢量本身也在转。如果只把速度大小 Rω 求导，就只能得到切向加速度，会把始终存在的法向项漏掉。

看一个非匀速率圆周运动。半径 R=0.50 m，角位置为 θ=2t+t²，在 t=1.0 s 时，ω=2+2t=4.0 rad/s，α=2.0 rad/s²。于是

$$v=R\omega=2.0\ \mathrm{m/s},\qquad a_\theta=R\alpha=1.0\ \mathrm{m/s^2},\qquad a_n=R\omega^2=8.0\ \mathrm{m/s^2}.$$

总加速度大小为 √65 m/s²≈8.06 m/s²，方向明显更靠近指向圆心的一侧。这里有个很有用的量级感觉：转得越快，法向加速度按 ω² 增长；角速度翻倍，a_n 变为四倍，而不是两倍。

只要运动状态每隔一个固定时间重新出现，就可以定义周期 T；单位时间内重复的次数是频率 f：

$$f=\frac1T.$$

非匀速率圆周运动也可能有周期：质点每转一周，位置、速度大小和其他运动状态都按原来的规律重现。若质点连续单向转动，且 T 表示完成一周所需的时间，那么一周转过的角路程是 2π rad，因此一周内的平均角速率为

$$\overline{\omega}_{\text{一周}}=\frac{2\pi}{T}=2\pi f.$$

只有匀速率圆周运动的瞬时角速率 |ω| 保持不变，它才处处等于这个平均值；非匀速率圆周运动中，|ω| 会随时刻变化，不能把 2π/T 当成任一时刻的瞬时角速率。

rad 用来说明角度采用弧度，角速度常写 rad/s；角加速度写 rad/s²。做工程换算时若转速为 n r/min，应先化为 f=n/60 Hz。若设备稳定匀速率转动，可以进一步写瞬时角速率 |ω|=2πf；若转速在一周内变化，2πf 表示一周平均角速率。别把“每分钟多少转”不加判断地直接当成“每秒多少弧度”。

抛体运动：两个方向同时走，各算各的

把球斜向上抛出，它在最高点会不会“停一下”？很多人会下意识说会，因为竖直速度在那里变为零。可摄像画面告诉我们，球仍在向前。问题出在只盯住了一个分量。

忽略空气阻力，并把研究范围限制在地面附近、可把重力加速度看作大小和方向恒定的小区域。取 x 轴水平、y 轴竖直向上，初速度大小为 v₀，与水平方向夹角为 θ，初始高度为 y₀。加速度为

$$\mathbf a=-g\mathbf j,$$

所以水平和竖直方向分别满足

$$\begin{aligned} x(t)&=v_0\cos\theta\,t, & v_x&=v_0\cos\theta, & a_x&=0,\\ y(t)&=y_0+v_0\sin\theta\,t-\frac12gt^2, & v_y&=v_0\sin\theta-gt, & a_y&=-g. \end{aligned}$$

“两个方向独立”并不是说有两颗球，也不是说重力被拆成两次作用；它的意思是同一个矢量方程在两个互相垂直的固定方向上分别成立，而且共享同一个时间 t。水平分量做匀速运动，竖直分量做加速度为 −g 的匀变速运动，最后再把同一时刻的两个坐标拼成真实位置。

不妨先预测两个现象。第一，在同一高度上升和下降的两个时刻，竖直速度大小相等、方向相反，而水平速度完全相同，所以总速率相等，速度方向关于水平方向对称。第二，若从同一点以同样的 v₀ 分别用 θ 和 90°−θ 发射，在等高落地且模型条件相同的情况下，两次射程相等，因为 sin2(90°−θ)=sin2θ；但高抛的飞行时间更长、最大高度更大。这个“互余角同射程”不是所有抛射都成立，初末高度不同或存在空气阻力时，对称性会被破坏。

还有一个很实用的检查方法：把任意时刻速度画成 (v_x,v_y)。随着时间推进，v_x 不变，v_y 每秒减少 g，所以速度矢量的箭头尖端在速度空间沿竖直直线下移；它并不沿真实抛物线走。位置空间的轨迹与速度空间的变化图是两种不同图像，别因为它们都在画箭头就混为一谈。

在最高点，v_y=0，到达时间为 t_H=v₀sinθ/g；但 v_x=v₀cosθ 通常不为零，所以总速度水平，加速度仍是竖直向下的 g。也就是说，最高点只是竖直分量由正变负，并不是整个质点静止，更不是加速度变成零。

由 x=v₀cosθ·t 消去时间，可得轨迹方程

$$y=y_0+x\tan\theta- \frac{g x^2}{2v_0^2\cos^2\theta},$$

这就是理想斜抛的抛物线。若落点与抛出点等高，即 y₀=0 且取非零的落地时刻，还能得到

$$T=\frac{2v_0\sin\theta}{g},\qquad H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g},\qquad L=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}.$$

这三个“漂亮公式”都有条件。初末高度不同，飞行时间必须重新由 y(t) 求根；有明显空气阻力，水平速度也不再恒定；范围大到不能把地面视为平面或 g 视为恒定时，模型同样要升级。大学物理做题真正看重的，不只是记住 L，而是能从分量方程重新长出结论。

例如从 45 m 高的平台水平抛出一个小球，初速度 10 m/s，取 g=10 m/s²。竖直方向由 45−gt²/2=0 得 t=3.0 s，水平射程是 30 m；落地前 v_x=10 m/s，v_y=−30 m/s，速率为 10√10 m/s。若一开始就把 45 m 错塞进“等高斜抛射程公式”，得到的数字没有物理依据。

处理“打中移动目标”时也不要另背一套神秘公式。设目标做已知匀速运动，先在同一地面参考系中分别写出抛射物和目标的位置矢量，再令碰撞时刻两者的位置相等。或者切换到目标参考系，把抛射物的初速度减去目标速度，再处理相对位移。两种方法必须给出同一结果；若不同，通常是把一个参考系的初速度和另一个参考系的位置方程拼在了一起。

同一条航迹，为何在别人眼里不一样

列车匀速前进时，你把球竖直抛起，球会落回手中。车厢里的人看见球近似沿竖直线往返；站台上的人却看见球一边随列车前进，一边上下运动，轨迹像一段抛物线。谁看错了？都没有。两人选取了不同参考系，位置和速度的描述自然不同。

两幅图记录的是同一颗球、同一组抛出和接住事件。轨迹形状不同不表示球经历了两套真实过程；经典匀速平移参考系只改变位置与速度的描述，球相对车厢的水平速度为零，相对地面则保留列车的水平速度。

为了不让下标变成字母迷宫，先立一条翻译规则：v_{A/B} 表示“A 相对 B 的速度”。若 A 是船、B 是水、C 是岸，那么

$$\mathbf v_{A/C}=\mathbf v_{A/B}+\mathbf v_{B/C}.$$

读成中文就是：船对岸速度等于船对水速度加水对岸速度。中间对象 B 在下标链中首尾相接，这能帮助检查顺序；速度是矢量，三个方向不必互相垂直。

设河水相对岸以速度 u 向下游流，船相对水的速率为 v_b，河宽为 d。如果船头始终正对岸，横渡分量就是 v_b，所以渡河时间 t=d/v_b，这是船速大小固定时的最短时间；与此同时，船会向下游漂移 ut=ud/v_b。所谓“正对岸开”描述的是船对水速度方向，并不保证船对岸的实际航迹垂直河岸。

若希望恰好到达正对岸，应把船头向上游偏。设偏角 φ 从垂直河岸的方向向上游量起，下游方向取正，则

$$v_x=u-v_b\sin\varphi,\qquad v_y=v_b\cos\varphi.$$

抵消漂移要求 v_x=0，即 sinφ=u/v_b。这只有在 v_b>u 时才能一边抵消水流、一边保留非零横渡分量；此时 v_y=√(v_b²−u²)，渡河时间

$$t=\frac{d}{\sqrt{v_b^2-u^2}}.$$

若 v_b≤u，船可以减少漂移，却不能在有限时间内沿垂直河岸的直线到达正对岸。注意“时间最短”和“位移最短”不是同一优化目标：船头正对岸使横渡分量最大、时间最短；逆流偏航抵消漂移时路径最短，却通常花更久。

你可以把这套关系迁移到风中飞机、雨中骑车、传送带上的物体。先写“谁相对谁”，再画矢量三角形，最后投影到方便的坐标轴。直接背“顺水加、逆水减”只适合共线特例，一旦速度不共线，它就会失效。

比如无风时雨滴相对地面竖直下落，骑车人向前运动。骑车人看到的雨速满足 v_{雨/车}=v_{雨/地}−v_{车/地}，因此相对雨速既向下又有向后的水平分量，雨看起来斜着迎面落来。若车速增大，竖直分量不变，向后的水平分量增大，骑车人就会觉得雨更“平”。这里改变的是观察到的相对速度方向，不能据此说地面参考系里的雨滴被自行车推弯了。

以下仍要求两个参考系的坐标轴始终平行、不相对转动，并采用经典共同时间。相对位置也遵循同样的下标逻辑。若 r_{A/C}=r_{A/B}+r_{B/C}，对同一个时间变量求导，速度关系自然出现；再求导则得到

$$\mathbf a_{A/C}=\mathbf a_{A/B}+\mathbf a_{B/C}.$$

当 B 相对 C 匀速直线平移时，a_{B/C}=0，于是 A 在两个参考系中的加速度相同。这样理解比孤立记忆“加速度绝对”更安全，因为它把成立条件也一并带在公式里。

伽利略变换的边界要写在公式旁边

把上面的口头关系写成两个参考系的坐标变换。设地面系为 S，参考系 S' 相对 S 以恒定速度 u 平移；两坐标轴始终平行，且在 t=0 时原点重合。经典力学还假定两个参考系使用同一个时间，于是

$$\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf u t, \qquad t'=t.$$

对时间求导，得到伽利略速度变换和加速度变换：

$$\mathbf v'=\mathbf v-\mathbf u, \qquad \mathbf a'=\mathbf a.$$

式子很短，但下标和参考系一混就容易算对数字、说错含义。先预测增大列车速度后哪一个参考系中的轨迹会改变，再把同一时刻的两组坐标与速度逐项相减。

应当看到：两系的水平位置相差 ut、水平速度相差 u，竖直分量按本模型一致，而加速度相同。这里变的是描述，不是给球额外添加一股水平作用。

最后一个等式成立，是因为 u 恒定。它说明彼此做匀速直线平移的经典惯性参考系中，同一质点的加速度相同，虽然它的位置和速度通常不同。若 S' 在加速，u 随时间变化，则 a'=a−du/dt；若参考系还在转动，方向基矢也随时间变，关系会更复杂。这些情形将在非惯性系一章处理，这里不能把 a'=a 当作对所有参考系都成立的口号。

到这里，二维运动的主线可以压缩成三句话：固定直角坐标负责把矢量分量算出来；自然坐标负责解释速率改变与方向改变；相对运动先注明参考系，再按矢量关系合成。圆周运动和抛体运动只是这套语言最典型的两个练习场，而不是互不相干的公式柜子。

遇到综合题，可以按一个朴素顺序动手：先声明参考系和坐标正方向，再写位置或加速度的矢量关系；若轨迹由参数给出，就先求 v、a，需要解释转弯时再投影到切向和法向；若是圆周运动，再用固定半径把角量换成线量；若是抛体或相对运动，就把所有量统一到同一参考系、同一时刻。这个顺序看似比直接套公式多写几行，却会主动挡住“方向漏掉、分量串台、参考系混用、条件不符”这四类最常见错误。

最后给自己做一次不计算的口头检查。看见曲线，先问速度沿哪里——答案是切线；再问加速度改变什么——沿速度的投影改变速率，垂直速度的投影改变方向。看见圆周，先确认角度是否用弧度、半径是否固定，再把 ω 和 α 分别送进法向与切向关系。看见抛体，先把重力加速度投到所选坐标轴，水平匀速只属于忽略阻力且水平轴不受加速度的模型。看见两艘船、两列车或风和飞机，第一笔不是加减数字，而是给每个速度写“谁相对谁”。如果一道题算完后法向加速度没有指向轨迹凹侧、最高点的重力加速度被写成零，或不同参考系的分量被放进同一个等式，数量级再漂亮也应回头检查。

这些判断也是期末和考研基础题最常设置的“拐弯处”：题面换了情境，考的仍是矢量方向、微分关系与模型条件。真正稳妥的复习不是多记一句口诀，而是能在新图上重新画出切线、法线、坐标轴和速度三角形，并说明每个式子为什么能用。

---

课后练习：先画方向，再动笔计算

练习 1：运动方程里藏着什么方向

质点在平面内的运动方程为 r=(3t)i+(2t²)j，其中长度单位为米、时间单位为秒。求 t=1.0 s 时的速度、加速度和速率，并说明此刻加速度是否与速度同向。

展开解析

分别对两个坐标求导：v=dr/dt=3i+4t j，再求一次导数得 a=4j。在 t=1.0 s 时，v=(3i+4j) m/s，a=4j m/s²，速率 |v|=√(3²+4²)=5.0 m/s。速度既有水平分量又有竖直分量，而加速度只沿 +y 方向，所以二者不同向。点积 v·a=16 m²/s³>0，说明加速度有沿速度方向的分量，速率正在增大；加速度同时也有法向分量，速度方向也在改变。

练习 2：切向与法向分量不能串台

一质点沿曲率半径 ρ=12 m 的轨迹运动，某时刻速率为 6.0 m/s，且速率正以 2.0 m/s² 的变化率减小。求该时刻的切向加速度、法向加速度和总加速度大小。

展开解析

沿运动方向为切向正方向。速率在减小，所以带符号的切向加速度 a_τ=dv/dt=−2.0 m/s²；负号表示它与速度反向。法向加速度取大小 a_n=v²/ρ=6.0²/12=3.0 m/s²，方向指向曲率中心。两分量垂直，因此总加速度大小 a=√(a_τ²+a_n²)=√13 m/s²≈3.6 m/s²。不能把 v²/ρ 当作总加速度，也不能因为质点减速就把法向分量写成负数。

练习 3：角加速度为负，就一定减速吗

半径为 2.0 m 的质点做圆周运动，角位置为 θ=3t−0.5t²。求 t=2.0 s 时的角速度、角加速度、速率、切向加速度、法向加速度和总加速度大小，并判断此刻速率增减。

展开解析

由 ω=dθ/dt=3−t，得 t=2.0 s 时 ω=1.0 rad/s；α=dω/dt=−1.0 rad/s²。此刻 ω>0、α<0，二者异号，所以角速度的绝对值正在减小。速率 v=R|ω|=2.0 m/s，按 θ 增大方向取正的切向分量 a_θ=Rα=−2.0 m/s²，法向加速度大小 a_n=Rω²=2.0 m/s²。总加速度大小 a=√(2.0²+2.0²)=2√2 m/s²≈2.8 m/s²。α 的负号要和 ω 的符号一起看，才能判断增速或减速。

练习 4：从频率走到向心加速度

转盘以 5.0 Hz 的频率匀速率转动，盘上一点距轴 0.20 m。求它的角速度、线速率与法向加速度。

展开解析

每周转过 2π rad，一周平均角速率为 2πf；题目已说明转盘匀速率转动，因此瞬时角速率处处等于平均值，|ω|=2πf=10π rad/s。线速率 v=R|ω|=0.20×10π=2π m/s≈6.28 m/s。匀速率转动只有切向加速度为零，法向加速度仍为 a_n=Rω²=0.20×(10π)²=20π² m/s²≈197 m/s²，方向指向转轴。结果较大并不矛盾，因为法向加速度随频率的平方增长。

练习 5：最高点没有把所有速度清零

从地面以 v₀=20 m/s、仰角 30° 斜抛小球，忽略空气阻力，取 g=10 m/s²。求飞行时间、最大高度、水平射程及最高点的速率。

展开解析

初速度分量为 v₀x=20cos30°=10√3 m/s、v₀y=20sin30°=10 m/s。初末等高，飞行时间 T=2v₀y/g=2.0 s。最大高度 H=v₀y²/(2g)=5.0 m。水平射程 L=v₀xT=20√3 m≈34.6 m。最高点只有竖直速度为零，水平速度仍为 10√3 m/s，所以最高点速率也是 10√3 m/s；该点加速度依旧竖直向下、大小为 10 m/s²。

练习 6：平台上的水平抛射

小球从 45 m 高的平台以 10 m/s 的水平初速度抛出，忽略空气阻力，取 g=10 m/s²。求落地时间、水平距离、落地前速度矢量和速率。

展开解析

取抛出点为原点、竖直向上为正。竖直坐标到地面时为 y=−45 m，由 −45=−gt²/2 得 t=3.0 s。水平速度恒为 v_x=10 m/s，故水平距离 x=v_xt=30 m。落地前竖直速度 v_y=−gt=−30 m/s，所以速度矢量为 (10i−30j) m/s，速率 √(10²+30²)=10√10 m/s≈31.6 m/s。初末不等高，不能直接套用等高斜抛的射程公式。

练习 7：正对岸开，不等于到正对岸

河宽 120 m，水流相对岸的速度为向下游 3.0 m/s，船相对水以 4.0 m/s 的速率把船头始终指向正对岸。求渡河时间、下游漂移量和船对岸的速率。

展开解析

船对水的速度垂直河岸，水对岸的速度沿下游，两者互相垂直。横渡分量为 4.0 m/s，所以渡河时间 t=120/4.0=30 s。下游漂移由水流分量造成，x=3.0×30=90 m。船对岸速度是两矢量之和，速率 √(4.0²+3.0²)=5.0 m/s，方向沿斜向下游的实际航迹。不能用船对岸的 5.0 m/s 去除河宽，因为它不是垂直河岸的分量。

练习 8：怎样不被水流带偏

仍取河宽 120 m、水速 3.0 m/s，现船相对水的速率为 5.0 m/s。若要到达正对岸，船头应怎样偏转？渡河时间是多少？

展开解析

要让船对岸速度没有下游分量，船对水速度必须提供大小为 3.0 m/s 的上游分量。设船头从正对岸方向向上游偏 φ，则 5.0sinφ=3.0，所以 φ=arcsin(3/5)≈36.9°。此时横渡分量为 5.0cosφ=4.0 m/s，渡河时间 t=120/4.0=30 s。它比船头正对岸时的最短时间 120/5.0=24 s 更长，代价换来的是零漂移。

练习 9：哪些量会随惯性参考系改变

参考系 S' 相对 S 以恒定速度 u 做直线平移，坐标轴保持平行。判断并说明：同一质点在两个参考系中的位置、速度、加速度是否一定相同；写出相应变换关系和适用条件。

展开解析

在 t=0 两原点重合的约定下，经典伽利略变换为 r'=r−ut，t'=t，所以位置一般不同；求导得 v'=v−u，速度一般也不同；由于 u 恒定，再求导得 a'=a，加速度相同。结论要求两个参考系只做恒定相对平移、坐标轴不相对转动，并采用经典力学的共同时间假设；若参考系加速或转动，加速度关系要增加相应项；若相对速度接近光速，则共同时间假设失效，应使用相对论变换。