角动量与质点系守恒规律

你推一扇门，手越靠近门轴，越觉得“使不上劲”；同样大小的力推在门把手上，门却很听话。奇怪的是，门并不知道你的手有多累，它只“在意”这股力对门轴的转动作用。再看一颗拴在线上的小球：线的拉力一直改变速度方向，小球的动量显然没有守恒，可它绕固定点转动时又有一种量保持不变。

这两个现象在提醒我们：只用合力和动量，还不能把“绕某一点的运动”说完整。我们需要把作用点、方向和运动状态一起装进一个新的矢量——角动量。

本章讨论质点和质点系，不把物体预先看成刚体。转动惯量、刚体定轴转动定律和刚体转动能量留到后续章节。这里真正要练熟的是一套判断习惯：先选系统，再选参考点，最后检查相应的外界作用是否为零。

同样的力，为什么转动效果不同

取惯性系中一个固定点 $O$，质点受到力 $\vec F$，从 $O$ 指向力的作用点的位矢为 $\vec r$。力对点 $O$ 的力矩定义为

它的大小是

其中 $\theta$ 是 $\vec r$ 转到 $\vec F$ 的夹角， 是点 到力的作用线的垂直距离，叫作。方向按右手螺旋法则判断。

先想一个容易掉坑的问题：力的作用点离 $O$ 很远，力矩就一定大吗？不一定。若力沿着 $\vec r$ 的方向，作用线通过 $O$，那么 $\theta=0$ 或 $$，力臂为零，再大的力也没有关于 的力矩。相反，一股不太大的力只要力臂够长，仍可能产生很大的力矩。

来看一个数值例子。某质点位于 $\vec r=(2\vec i+1\vec j)\,\mathrm m$，受到 。在 平面内，力矩只有 分量：

正号表示方向沿 $+z$，也就是从纸面向外。注意单位是 $\mathrm{N\cdot m}$，虽然量纲与焦耳相同，力矩却不是能量；二者一个描述转动作用，一个描述做功，不能因为单位形式相似就互换名称。

有时题目问的不是关于一点的完整力矩，而是关于某条轴的力矩。做法并不神秘：先算 $\vec M_O$，再取它沿该轴的分量。例如轴的单位矢量为 $\vec e_z$，则

轴上的参考点可以任选，因为沿轴平移参考点只会给力矩增加一个垂直于该轴的量，不改变轴向分量。这个结论很实用，但别反过来误读：$M_z=0$ 只说明沿 $z$ 轴的力矩分量为零，$\vec M_O$ 本身仍可能不为零。

再体会一下“作用线”而不是“作用点”的意义。同一股力沿自己的作用线移动，关于 $O$ 的力臂不变，所以力矩不变；若把力平行挪到另一条作用线，即使大小和方向都没变，力臂也变了。许多示意图故意把箭头画得很长，箭头长度只表示力的大小，真正决定力矩的还要看整条作用线离参考点多远。

下面先别急着套 $M=rF$。调一调力的方向，看看力很大时力矩为什么也可能很小。

把刚才的观察收好：$M=rF\sin\theta$。在 $r$、$F$ 不变时，力与位矢共线（$\theta=0$ 或 $\pi$）则 $M$；二者垂直（）则力臂等于 ，力矩大小最大。判断时不能只比较力的大小。

角动量：把位置和动量一起看

质点关于固定点 $O$ 的角动量定义为

它的大小为

其中 $\varphi$ 是 $\vec r$ 与 $\vec p$ 的夹角， 是点 到质点瞬时运动直线的垂直距离。角动量的国际单位是 ，方向仍由右手螺旋法则给出。

把动量分成沿位矢的径向分量和垂直位矢的切向分量：

由于 $\vec r\times\vec p_r=0$，真正贡献角动量的是 。这解释了一个看似反常的情形：质点速度很大，但若几乎直冲参考点而去，关于该点的角动量仍可以很小；速度较小但“擦着参考点”掠过，角动量反而可能更大。

现在自己判断：一个质点沿通过 $O$ 的直线运动，它关于 $O$ 的角动量是多少？答案是零，因为每个时刻 $\vec r$ 与 $\vec p$ 共线。质点明明在运动，线动量并不为零，角动量却为零——这并不矛盾。两种量回答的是不同问题。

角动量也依赖参考点。若 $O'$ 相对 $O$ 的位置为 $\vec a$，同一质点相对 $O'$ 的位矢为 ，那么

所以“角动量是多少”也必须带上参考点。特别地，若某质点的动量恰好与 $\vec a$ 平行，换到这两个点时角动量可以相同；但这是特殊几何关系，不是普遍规律。

力矩如何改变角动量

为什么力矩与角动量恰好是一对？对固定点 $O$ 求导就能看见：

第一项为零，是因为 $\vec v$ 与 $m\vec v$ 平行。于是得到质点关于固定点的角动量定理：

这条式子的适用语境不能省略：$O$ 是惯性系中的固定点，$\vec M_O$ 是合力关于它的力矩。若参考点随意加速运动，直接照搬会漏掉附加项；本章遇到移动参考点时，优先改用质心形式，或回到固定惯性点分析。

这条定理同时管大小和方向。若 $\vec M_O$ 与 $\vec L_O$ 同向，角动量大小增加而方向暂时不变；若二者反向，大小减小；若力矩总与角动量垂直，非零角动量的大小保持不变，方向可以改变。只盯着 的大小会漏掉后一类变化。它和圆周运动中“速度大小不变但动量仍在变”是同一种矢量思维。

还可以从量纲做一次自检：

如果角冲量算出的单位还是 $\mathrm{N\cdot m}$，说明你忘了乘作用时间；如果角动量写成 $\mathrm{kg\cdot m/s}$，则漏掉了位矢这一层“关于参考点”的信息。

在 $t_1$ 到 $t_2$ 之间积分，得到角冲量形式：

它与冲量—动量定理很像：合外力在一段时间内的冲量改变动量，合外力矩在一段时间内的角冲量改变角动量。若力矩恒定，角动量随时间线性改变；若力矩方向改变，必须做矢量积分，不能只对大小积分。

下面的图和交互只讨论平面运动，并选定过固定点 $O$、垂直运动平面的固定 $z$ 轴，约定 $+z$ 指向纸外。把矢量定理投影到这条轴上，有

这里有个很会骗人的问题：若 $M_z$ 先为正、后来变成负，末态 $L_z$ 的符号是不是一定跟最后一段相同？先别急着点头。真正累积起来的是 $M_z-t$ 图的有向面积；最后一瞬间的 不能抹去此前的角冲量。

图中 $M$、$L$ 分别是 $M_z$、$L_z$ 的简写。$M_z>0$ 时 的斜率为正， 时斜率为负。正面积大于负面积只说明末态 大于初态，末态正负仍取决于 与净面积之和；两块面积抵消才有 。之后 只说明 保持当时的值，并不等于零。

下面把三段轴向力矩分量拼起来。交互中的 $M$、$L$ 同样代表 $M_z$、$L_z$；先预测末态符号，再比较每段角冲量和累计结果。

观察完会发现，$M_z-t$ 图给出 $L_z$ 的变化率，$L_z-t$ 图则保存此前全部轴向力矩分量的历史。这个分量结论不能直接替代三维矢量积分，却正是下面共轴恒力矩例题里处理正负号的关键。

例：短时恒力矩。 一个质点初始角动量为 $2\vec k\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}$，在 $0.50\,\mathrm s$ 内受到恒定合力矩 。则

末角动量为 $-\vec k\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}$。这里角动量先减到零，再反向；不能把“大小变化 $3$”误读成末大小一定等于 $5$。

角动量守恒：零的是合力矩，不一定是合力

若一段时间内关于固定点 $O$ 的合力矩为零，角动量定理立即给出

这就是质点角动量守恒。注意条件是关于所选点的合力矩为零，而不是“质点不受力”。例如绳子拉着小球运动，拉力不为零，动量方向不断改变；但拉力作用线通过固定点，关于该点的力矩为零，角动量仍守恒。

设质点在平面内运动，关于 $O$ 有 $L=mrv_t$。当约束把它拉得更靠近 $O$ 时，只要合力矩仍为零，$rv_t$ 就必须保持不变。半径变为原来的一半，切向速度分量就变为原来的两倍。这里守恒的是 ，不是 ：径向速度分量沿 ，它可以改变，却不进入角动量。这也是为什么只知道角动量守恒，通常还不足以求出总速率或完整轨迹。

角动量守恒也不自动保证动能守恒。沿半径方向的约束如果在收紧过程中对质点做功，速度和动能可以改变；它关于 $O$ 的力矩仍为零，角动量照样守恒。一个守恒量成立，只说明对应的外界“通道”关闭了，不代表另外两条通道也关闭。

对单个质点，合外力为零会使关于任意固定点的合外力矩为零，但合外力不为零时，某一点的合力矩仍可能为零。动量守恒和角动量守恒的条件相关，却不能互相替代。

平面问题中常只需要 $z$ 分量：

规定逆时针为正后，正负号能直接表达方向。若 $M_{O,z}=0$，则 $L_{O,z}$ 守恒；但在三维问题里，只能从某一轴力矩为零推出该轴角动量分量守恒，不能顺手宣布整个角动量矢量守恒。

从一个质点到质点系

两颗小珠通过沿连线方向的理想轻弹簧相互作用时，逐个追踪每一股力很快会变乱。更聪明的做法是先把两颗小珠圈成一个系统。对由 $N$ 个质点组成的系统，关于固定点 $O$ 的总角动量定义为

对每个质点应用角动量定理再求和，所有外力矩留下来，内力矩则要成对检查。对一对质点 $i,j$，用 $\vec F_{ij}$ 表示质点 $j$ 对质点 的力。若内力满足牛顿第三定律且沿两质点连线，即

那么这对内力关于 $O$ 的总力矩为

于是得到质点系角动量定理：

系统的总角动量只由合外力矩改变；内力可以猛烈改变每个质点的角动量，却不会改变系统总角动量。这里默认内力是成对、等大反向且共线的通常机械相互作用。若模型包含没有按这种质点对中心力表示的内部力偶，就不能不加检查地把内力矩删光。

为什么一定要说“总”角动量？设两个质点之间有吸引力。对第一个质点，这股力可能给出正力矩，使 $\vec L_1$ 增加；对第二个质点，成对内力给出等大反向的力矩，使 $\vec L_2$ 相应减少。单个质点没有守恒，求和后的 才可能守恒。把内力直接从每一个质点的方程中删掉，会把“系统求和后抵消”偷换成“每个质点都不受内力矩”。

若某段过程很短，外力矩虽不严格为零，但它给出的外角冲量远小于系统内部交换的角动量，也可把总角动量看作近似守恒。判断依据应写成

而不是只说“时间很短”。大力矩作用再短也可能产生不可忽略的角冲量，这与碰撞中是否忽略普通外力冲量的判断完全平行。

守恒条件随之变成

有一个特别能拆穿混淆的例子：两个质点在光滑平面上分别受到大小相等、方向相反但作用线不重合的外力。合外力为零，所以系统总动量守恒；这两股力却构成力偶，合外力矩不为零，所以关于任意固定点的总角动量都不守恒。可见“合力为零”不能在多质点系统中自动替代“合力矩为零”。

关于质心的角动量

设质点系总质量为 $M$，质心位置和速度分别为 $\vec R_C$、$\vec V_C$。令

其中 $\vec\rho_i$ 和 $\vec u_i$ 是相对质心的位置和速度。利用 与 ，可把总角动量拆成

第一项描述整个系统质心相对 $O$ 的运动贡献，第二项描述各质点相对质心运动的贡献。这里没有假设质点系是刚体，所以粒子之间的距离完全可以改变。

更方便的是，定质量质点系关于质心满足

因此只要合外力关于质心的力矩为零，$\vec L_C$ 就守恒，即使质心本身正在加速也可以使用这个结论。最常见的失误是把“关于质心守恒”写成“关于任意点守恒”；参考点一换，外力矩必须重新计算。

举个不需要刚体模型的例子：两粒小珠用可伸缩的轻连接件相连，整体在外力作用下平移，同时两粒小珠还绕质心改变相对位置。关于固定点 $O$ 的总角动量既含“质心带着总质量掠过 $O$”的贡献，也含两粒小珠相对质心运动的贡献。连接件伸缩时，后一项不能简单写成某个转动惯量乘角速度，但定义式 $\sum\vec\rho_i\times m_i\vec u_i$ 始终有效。这正是先学质点系形式的好处：它不要求物体保持形状。

中心力场的基本结论

如果一个力始终沿质点与固定中心 $O$ 的连线，且大小只取决于到中心的距离，可以写成

它就是中心力。由于 $\vec r$ 与 $\vec F$ 共线，

所以质点关于力心的角动量守恒。这一条不要求轨迹是圆，也不要求力的大小恒定。

因为 $\vec L$ 的方向恒定，$\vec r$ 和 $\vec p$ 始终位于同一个垂直于 的平面内，运动是平面的。再看一小段时间 内位矢扫过的面积：

于是面积速度为

这意味着质点离中心较近时，切向速度通常较大；离中心较远时，切向速度通常较小，从而保证相同时间扫过相同面积。若 $L=0$，运动退化为沿一条通过力心的径向直线运动，此时所谓“运动平面”不再唯一，但结论并未失效。

“等面积”说的是等时间内由位矢扫出的面积，不是质点沿轨迹走过的路程相等。靠近中心时，同样一小段面积对应的扇形半径较短、张角较大，质点往往要沿轨迹走得更快；远离中心时扇形半径较长、张角较小，走得慢些也能扫出同样面积。这个几何图像只来自 $L$ 守恒，不需要先猜轨迹形状。

如果额外施加一股切向力，情况立刻不同：它与 $\vec r$ 不平行，关于力心产生非零力矩，角动量随时间改变，面积速度也不再恒定。若额外施加的仍是径向力，无论它让质点靠近还是远离，关于力心的力矩依旧为零。判断中心力问题时，方向比“力是否变化”更关键。

下面的模拟只验证这些普适结论，不把任何特定曲线当作所有中心力轨道。先预测加入一小段切向外力后会发生什么，再看角动量和扫描面积如何响应。

刚才的操作把条件照得很清楚：仅有径向力时，$\vec r\times\vec F=0$，所以关于力心 的角动量不变，等时间扫过的面积相等；加入切向外力时出现非零外力矩，角动量和面积速度随之改变。切向外力撤去后，角动量会在新的数值上重新保持，而不会自动回到原值。

三类守恒规律，别用一把钥匙开三把锁

动量、机械能和角动量都叫“守恒量”，但它们检查的外界条件不同。

例如两个质点在光滑水平面上由理想弹簧相连，把“两个质点和弹簧”选为系统。水平方向合外力为零，总动量守恒；弹簧力沿两质点连线，合外力矩为零，总角动量守恒；弹簧势能已经计入机械能，也没有摩擦，机械能守恒。若把理想弹簧换成带内耗的连接件，系统的总动量和总角动量仍可能守恒，但有序机械能会转化为内能，机械能不再守恒。

再把系统缩小到只含其中一个质点，连接力立刻变成外力。此时单个质点的动量、角动量和机械能是否守恒，都要重新判断。不是物理规律变了，而是你画的系统边界变了。

时间边界也同样重要。一次短时相互作用期间，重力的冲量或角冲量也许可以忽略；把观察时间拉长到几秒，它们就未必还小。参考点边界更不能偷懒：重力关于质心的合力矩有时为零，关于地面上另一个点却可能不为零。同一道题换了系统、时段或参考点，守恒结论改变是正常的，关键是每次都把改变的条件写出来。

这套边界判断最好通过犯一次错来学。下面三个情境中，先圈系统、定参考点和时间段，再分别回答三个守恒问题。

三个情境的基准结论是：理想弹性短碰中把两冰壶合为系统，动量、机械能和关于固定点的角动量都守恒；小球受中心拉力时动量不守恒、机械能守恒，角动量关于力心 $O$ 守恒而关于偏置点 $Q$ 不守恒；粗糙面上把两物块与弹簧合为对称系统，总动量和关于固定点的角动量守恒，但摩擦使机械能不守恒。

若只圈单个物体，原来的内力会跨过边界成为外力；若更换取矩点，零力矩可能变成非零；若把碰撞时段换成分离后的自由时段，外界作用也会改变。系统边界、参考点和时间段不是题目前的装饰，而是三个守恒结论各自成立的前提。

把守恒题写成可检查的推理链

看到“碰撞、爆炸、中心力、短时作用”这类词，不要条件反射地写三个守恒式。一个稳妥的解题顺序是：

到这里可以把本章最核心的图景压成一句话：力改变动量，力矩改变角动量；系统的外界作用决定总量是否守恒。 期末或考研题真正容易失分的地方，往往不是叉乘本身，而是没写参考点、把单个内力矩当成系统外力矩，或看见“守恒”二字就跳过系统边界。

课后练习

5. 质点的质量为 $2.0\,\mathrm{kg}$，某时刻相对点 $O$ 有 $\vec r=(3\vec i+4\vec j)\,\mathrm m$、。求质点关于 的角动量。

6. 一个质量为 $0.50\,\mathrm{kg}$ 的质点在中心力作用下运动。某时刻它距力心 $2.0\,\mathrm m$，速度的径向分量为 $3.0\,\mathrm{m/s}$、切向分量为 $4.0\,\mathrm{m/s}$。求关于力心的角动量大小；当距离变为 $4.0\,\mathrm m$ 时，切向速度多大？

7. 两个质点在光滑水平面上由连接件相互作用，连接力始终沿两质点连线且满足牛顿第三定律。分别讨论连接件为理想弹簧和有内耗的弹性件时，系统的总动量、关于任意固定点的总角动量、机械能是否守恒。

8. 平面内两个质点分别受到恒定外力 $\vec F$ 与 $-\vec F$，两条作用线平行但相距垂直距离 $$。不考虑其他外力。判断系统总动量和关于任意固定点 的总角动量是否守恒，并给出合外力矩大小。

9. 两质点质量分别为 $m_1=1\,\mathrm{kg}$、$m_2=3\,\mathrm{kg}$。某时刻相对固定点 $$，质心有 、，质点系关于质心的角动量为 。求系统关于 的总角动量。

10. 一颗质量为 $m$ 的小球用轻绳连接到固定点 $O$，在光滑水平面内运动。绳拉力始终指向 $O$。在极短时间内，另有一水平冲量 $\vec J$ 作用于小球。说明冲量前后哪些量守恒，并写出小球关于 $O$ 的角动量突变量。

因此 $\vec L_O=-22\vec k\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}$，方向指向纸内。常见错误是直接用 $mrv$，却忘了 $\vec r$ 与 $\vec v$ 并不垂直；叉乘分量式已经自动包含夹角。

径向速度不贡献角动量。当 $r=4.0\,\mathrm m$ 时，

这只确定切向分量，不能据此断言总速率也是 $2.0\,\mathrm{m/s}$。

总角动量不守恒。误区是把“合外力为零”直接翻译成“合外力矩也为零”。

由分解式

不能只用 $\vec L_C$ 代表关于 $O$ 的总角动量，除非质心运动项恰好为零。

若 $\vec J$ 恰好沿绳方向，则叉乘为零，角动量守恒；若 $\vec J$ 有切向分量，角动量发生突变。冲量过后若又只剩绳拉力，新的角动量值将继续保持不变。机械能是否守恒不能仅凭冲量方向判断，还取决于冲量作用过程与速度变化。