冲量、动量、质心与碰撞 | 自在学

第 5 章　冲量、动量、质心与碰撞

用手慢慢推开一扇门，手上感到的力并不吓人；可一只高速飞来的网球在球拍上只停留几毫秒，也能让手腕猛地一震。奇怪的是，前者作用时间长，后者作用时间短，为什么短暂接触反而这么“有存在感”？再换一个场景：两名穿冰鞋的人面对面站着，互相一推，两人会向相反方向滑开。明明他们之间的力很大，为什么把两人看成整体时，整体的运动却可能一点也不变？

这两个疑问其实在提醒我们：研究运动，不能只盯着某一瞬间的力，还要看力在一段时间内积累了多少效果；研究多个物体，也不能不先说明“系统边界画在哪里”。本章会沿着一条主线前进：冲量改变动量，外力冲量改变系统总动量，而系统总动量又决定质心怎样运动。碰撞和反冲看似猛烈，仍然逃不出这套账本。

球棒击球的碰前、接触与碰后三阶段，合冲量对应动量变化

一、动量与冲量：力的“时间账本”

1. 动量是状态量，而且是矢量

质量为 $m$ 、速度为 $\vec v$ 的质点，其动量定义为

\vec p=m\vec v。

动量的国际单位是 $\mathrm{kg\cdot m/s}$ ，也可写成 $\mathrm{N\cdot s}$ 。质量是标量，速度是矢量，因此动量的方向与速度相同。说“一个物体的动量是 $6\ \mathrm{kg\cdot m/s}$ ”其实只报了大小；只要问题涉及转弯、反弹或多个方向，就必须把方向补回来。

先想一个小问题：同一小球以相同速率垂直撞墙又反弹回来，它的动量变化量为零吗？

不是。动量变化量永远是末量减初量，

\Delta\vec p=\vec p_2-\vec p_1。

若取撞向墙的方向为正，小球初速度为 $+v$ ，反弹后的速度为 $-v$ ，于是 $\Delta p=-mv-mv=-2mv$ 。负号表示动量变化指向离开墙的一侧。很多“反弹题”算错，并不是不会公式，而是把矢量相减偷偷换成了两个速率相减。

动量还依赖参考系。坐在匀速列车里的书，相对车厢动量为零，相对地面却不为零。因此，同一道碰撞题中的所有速度必须相对于同一个惯性系测量，不能把甲相对地面的速度和乙相对甲的速度直接塞进动量守恒式。

2. 冲量记录一段时间内力的累计作用

若合外力随时间变化，在 $t_1$ 到 $t_2$ 内的冲量定义为

\vec I=\int_{t_1}^{t_2}\vec F\,\mathrm dt。

恒力只是它的特例： $\vec I=\vec F\Delta t$ 。冲量是过程量，必须同时说明“哪个力”和“哪段时间”。物体在某一时刻可以有动量，却不能说它“在某时刻有冲量”；冲量属于一段作用过程。

如果只研究一个方向， $F-t$ 图线与时间轴之间的代数面积就是该方向的冲量。图线在轴上方贡献正面积，在轴下方贡献负面积。若图线是一个峰值为 $F_0$ 、底边为 $\tau$ 的三角形脉冲，则冲量大小为 $F_0\tau/2$ ，而不是。实际碰撞力往往忽大忽小，冲量正好绕开了“每一瞬间的力究竟是多少”这个麻烦，把整个接触过程压缩成一个可计算的矢量。

把变力曲线下方切成许多窄条，每条面积都是一小段冲量

图中的窄条不是装饰，它们对应 $F(t_i)\Delta t$ 。分割越细，各窄条面积的代数和越接近 $\int F\,\mathrm dt$ 。若力跨过时间轴，负面积会抵消一部分正面积；“总冲量”与“各段冲量大小之和”便不再相同。下面先猜总冲量的正负，再增加分割数，观察近似值怎样稳定下来。

峰值力较大并不保证冲量较大，曲线的宽度和正负方向同样重要。比较两次冲击时，应比较完整代数面积，不能只盯着最高点。

3. 动量定理从牛顿第二定律积分而来

在惯性系中，对质量不变的质点，牛顿第二定律可以写成

\vec F_{\mathrm{合}}=\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}。

对一段时间积分，得到质点的动量定理：

\int_{t_1}^{t_2}\vec F_{\mathrm{合}}\,\mathrm dt =\vec p_2-\vec p_1。

也就是

\vec I_{\mathrm{合}}=\Delta\vec p。

这条式子左边是全部外力冲量的矢量和，右边是同一质点在同一参考系中的末动量减初动量。它不要求合力恒定，也不要求运动沿直线。二维问题只需投影到坐标轴：

I_x=mv_{2x}-mv_{1x},\qquad I_y=mv_{2y}-mv_{1y}。

举个有数字的例子。质量为 $0.15\ \mathrm{kg}$ 的球以 $20\ \mathrm{m/s}$ 水平向右飞来，被击后以 $30\ \mathrm{m/s}$ 竖直向上飞出。取向右为 $x$ 正方向、向上为 $y$ 正方向，则

\Delta\vec p=(-3.0\,\vec i+4.5\,\vec j)\ \mathrm{N\cdot s}，

合冲量大小为

I=\sqrt{(-3.0)^2+4.5^2}\approx5.41\ \mathrm{N\cdot s}。

注意，不能用“末动量大小减初动量大小”得到 $1.5\ \mathrm{N\cdot s}$ ，因为两支动量箭头互相垂直。矢量问题先画方向或先分解，往往比急着按计算器更省时间。

下面的交互把研究对象和时间过程放在同一张账本里。先预测某个对象的总动量是否守恒，再切换“甲车”“乙车”和“两车系统”，看看同一对相互作用力为什么会在不同边界下拥有不同身份。

动量定理中的 $\Delta\vec p/\Delta t$ 给出的是平均合力，而不一定是某一个接触力。球撞地时若题目问地面的平均支持力，必须把重力也列进合冲量；只有经过数量级判断或题目明确说明，才可以忽略短暂接触中的重力冲量。

二、把多个物体圈起来：质点系动量定理

1. 内力和外力不是力的固定标签

现在把两辆相互碰撞的小车看成一个质点系。系统内各质点的动量相加，定义系统总动量：

\vec P=\sum_{i=1}^{N}\vec p_i=\sum_{i=1}^{N}m_i\vec v_i。

某个力属于内力还是外力，不由力的种类决定，而由系统边界决定。只把甲车作为系统，乙车对甲车的力就是外力；把甲、乙两车一起圈进系统，这对接触力就成为内力。地面对车的摩擦力也一样：若地球不在系统中，它是外力；若把地球也纳入更大的系统，它才可能成为内部相互作用。

两车系统的边界、成对内力与穿过边界的外力

这意味着做题的第一步不是抄公式，而是回答：“我把谁算进系统？”边界一旦改变，力的分类、守恒条件甚至最省力的解法都会改变。

2. 内力为什么会从总动量方程中消失

对第 $i$ 个质点写动量定理，再对所有质点求和。若质点之间的相互作用满足牛顿第三定律，每一对内力等大反向，且作用时间相同，它们的冲量在总和中成对抵消。于是得到质点系动量定理：

\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}=\sum\vec F_{\mathrm{外}}，

积分形式是

\vec P_2-\vec P_1 =\int_{t_1}^{t_2}\sum\vec F_{\mathrm{外}}\,\mathrm dt =\vec I_{\mathrm{外}}。

这条结论说的是：系统总动量的变化只由合外力冲量决定。内力当然能够改变每个成员的动量，也能让物体形变、发热或破碎；它只是不能改变整个系统的总动量。

想一想：两名冰上运动员互推后各自滑开，既然内力在系统总动量方程中抵消，是不是说明两个人都没受力？当然不是。每个人都受到对方的力，各自动量发生改变；只是两份动量变化量等大反向，相加为零。“系统总量不变”和“系统内每个量都不变”是完全不同的两句话。

3. 动量守恒看的是外力总账

若一段过程中系统合外力为零，便有

\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}=0， \qquad \vec P=\text{常矢量}。

更一般地，只要该段时间内合外力的总冲量为零，首末总动量仍相等：

\vec P_{\mathrm{初}}=\vec P_{\mathrm{末}}。

后一种说法比“合外力始终为零”稍宽。例如合外力先向东、后向西，只要两段冲量刚好抵消，首末总动量也相同。不过中间时刻的总动量并不一定守恒。

碰撞、爆炸和反冲通常持续很短，系统受到的外力未必为零，但外力冲量可能远小于内力冲量。此时可以在这段短时间内近似认为系统动量守恒。这里的关键词是“近似”和“所考察方向”。两个小车在水平轨道上碰撞，竖直方向的重力与支持力彼此平衡，水平方向摩擦冲量又很小，所以通常只写水平方向动量守恒。不能因为水平方向守恒，就宣布整个三维矢量在任何方向都守恒。

怎样判断“外力冲量很小”不是一句口号？可以估算它与碰撞造成的典型动量变化之比。例如总质量 $5.0\ \mathrm{kg}$ 的小车系统在 $0.020\ \mathrm s$ 内受到 $2.0\ \mathrm N$ 的水平摩擦力，摩擦冲量只有 $0.040\ \mathrm{N\cdot s}$ ；若两车交换的动量量级约为 $4\ \mathrm{N\cdot s}$ ，忽略摩擦造成的相对误差约为百分之一。若接触持续两秒，外冲量就变成，再说“碰撞时外力可忽略”便站不住脚。短时间只是常用线索，真正依据仍是冲量的数量级。

守恒还可以只在某个方向成立。人在静止小船上沿横向走动时，水对船的竖直浮力和重力都很大，但它们不直接改变水平方向总动量；若忽略水平方向阻力，人与船的水平动量守恒。反过来，如果船被缆绳拴在岸边，缆绳的水平冲量就是外冲量，人与船系统的水平动量不再守恒。题目中“光滑”“短时”“空气阻力忽略”这些字眼，都是在帮助你判断某个方向的外冲量，而不是神秘的公式开关。

二维碰撞也没有新守恒律，只是把同一个矢量方程拆成两本分量账： $P_{x,\mathrm i}=P_{x,\mathrm f}$ 、 $P_{y,\mathrm i}=P_{y,\mathrm f}$ 。两方向必须使用同一系统、同一时间段和同一参考系。

二维相互作用前后，总动量在水平和竖直方向分别保持一致

若已知三支首末速度矢量，第四支可由矢量闭合唯一求出；但动量闭合只给首末约束，不保证任意画出的轨迹都符合具体接触几何。下面只练分量守恒，不把问题扩展成完整散射分析。

如果某方向存在外冲量，就把该方向改写成 $P_{\mathrm f}-P_{\mathrm i}=I_{\mathrm{外}}$ ；另一方向仍可能独立守恒。最后再比较动能，不能用动量闭合替代弹性判断。

动量守恒并不要求“系统不受任何力”，而要求系统合外冲量为零；系统内力可以很大。机械能守恒则要求非保守内力、外力等对系统机械能没有净改变。两条守恒律检查的是不同账本，不能由动量守恒推出机械能守恒。

例如，质量 $m_1=2.0\ \mathrm{kg}$ 的甲车以 $4.0\ \mathrm{m/s}$ 向右运动，质量 $m_2=3.0\ \mathrm{kg}$ 的乙车以向左运动。碰撞中粘在一起，忽略水平外力冲量。取向右为正，共同速度满足

2.0\times4.0+3.0\times(-1.0)=(2.0+3.0)v，

所以 $v=1.0\ \mathrm{m/s}$ ，方向向右。系统初、末总动量都是 $5.0\ \mathrm{kg\cdot m/s}$ ；但初动能为 $17.5\ \mathrm J$ ，末动能只有 $2.5\ \mathrm J$ 。少掉的机械能转化成了形变、内能和声音。若把“粘在一起”理解成“什么能量都守恒”，恰好把最重要的物理过程抹掉了。

三、质心：复杂系统的整体位置

1. 质心是质量加权的平均位置

一根轻杆两端各放一个小球，重球那端更难抬。如果想用一个点代表整个系统的“平均位置”，这个点显然应该更靠近重球。对离散质点系，质心位置定义为

\vec r_C=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec r_i， \qquad M=\sum_i m_i。

在直角坐标系中可分别写成

x_C=\frac{\sum_i m_ix_i}{M},\qquad y_C=\frac{\sum_i m_iy_i}{M},\qquad z_C=\frac{\sum_i m_iz_i}{M}。

连续分布物体则把求和换成积分：

\vec r_C=\frac{1}{M}\int\vec r\,\mathrm dm。

本章只把它作为定义使用；规则均匀物体的质心常由对称性直接确定，不需要每次都做积分。

轻重质点的质心位置，以及内部相对运动中质心的平稳推进

设 $2.0\ \mathrm{kg}$ 与 $6.0\ \mathrm{kg}$ 两个质点位于 $x=0$ 和 $x=4.0\ \mathrm m$ ，则

x_C=\frac{2.0\times0+6.0\times4.0}{8.0}=3.0\ \mathrm m。

质心距重物只有 $1.0\ \mathrm m$ ，距轻物却有 $3.0\ \mathrm m$ 。这里的“平均”不是位置的简单平均；只有质量相等时，质心才在两位置的算术中点。

质心未必落在物体的材料内部。均匀圆环的质心在圆心，而圆心处没有材料；弯曲框架或空心结构也可能如此。质心是描述质量分布的几何点，不是一颗藏在物体里的小珠子。

质心坐标会随坐标原点改变，但质心相对物体的位置不会凭空改变。若把所有质点的坐标都加上同一个位移 $a$ ，质心坐标也恰好增加 $a$ 。这条简单性质很实用：计算组合物体的质心时，可以把原点放在某个端点或对称中心，让坐标尽量简单。若把一个复杂系统拆成若干部分，还可以先求每一部分的质心，再把每一部分连同其总质量当作一个“等效质点”继续加权；只要各部分质量没有漏算，分层计算与一次积分的结果相同。

2. 总动量等于总质量乘质心速度

对质心位置求时间导数，在各质点质量不变时有

\vec v_C=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec v_i，

所以

\vec P=M\vec v_C。

这条关系非常关键：系统里各物体可以乱跑、互撞、振动，系统总动量却只需要看质心速度。若总动量为零，说明质心静止；但不代表每个物体都静止。两个等质量小球以等速率反向运动，总动量为零，质心不动，两球仍在运动。

再求一次导数，并结合质点系动量定理，得到质心运动定理：

M\vec a_C=\sum\vec F_{\mathrm{外}}。

从整体平动来看，一个总质量为 $M$ 的复杂系统，其质心就像一个集中了全部质量的质点，只响应合外力。内部弹簧怎样伸缩、两物体怎样碰撞，都不能单凭内力改变质心运动。

下面先固定系统的总质量、初始质心位置和速度，再只改变内力强度。你会看到成员轨迹明显不同，而质心轨迹重合。随后加入外力，观察质心怎样按 $M\vec a_C=\sum\vec F_{\mathrm{外}}$ 改变。

3. 质心思维能快速排除不可能结果

一枚炮弹在空中飞行，到达最高点时内部炸开。若爆炸时间极短，可以忽略这段时间内重力冲量，于是爆炸前后系统总动量近似相等；在之后的飞行中，所有碎片组成的系统只受总重力 $M\vec g$ ，其质心仍按原炮弹若未爆炸时的抛体轨迹运动。

这不意味着每块碎片都沿原轨迹飞。它们可以四散，其中一块甚至暂时向后，但所有碎片的质量加权位置必须满足质心轨迹。如果一道题给出的碎片运动使质心突然拐了一个没有外力支持的弯，那不是“爆炸太复杂”，而是结果违背了质心运动定理。

已经讲到这里，可以带一句复习提醒：涉及多人、小车、爆炸、分裂的题，先查合外冲量，再查质心运动，常能在正式列方程前排除一半错误选项。最常见的失分点是把“内力抵消”误写成“内力不存在”，或者算质心时忘记质量权重。

四、碰撞：动量守恒还不够

1. 碰撞过程为何适合用冲量描述

碰撞的接触力通常很大、持续时间很短，力随时间的细节又很复杂。若我们只关心碰撞前后的速度，逐时求加速度并不划算；把双方一起选作系统，利用短时间内外力冲量可忽略，再写总动量守恒，正好跳过了接触力的尖峰细节。

可是，一维两物体碰撞后有两个未知速度，仅靠一条动量守恒方程不够。还需要第二条关系说明碰撞有多“弹”。这就是恢复系数登场的原因。

2. 按机械能变化分类

理想完全弹性碰撞中，系统总动量守恒，总动能也守恒。非弹性碰撞中，总动量可以守恒，但总动能减小。完全非弹性碰撞是非弹性碰撞的极端情形，两物体碰后具有相同速度；在给定初始动量的条件下，它损失的动能最多。

注意，“弹性”说的是系统总动能在碰撞前后是否恢复，不是看物体肉眼可见地弹没弹。一个球轻微反弹，却因形变和发热损失了动能，仍是非弹性碰撞；两个理想小球交换速度，则可能是完全弹性碰撞。

3. 恢复系数连接分离速度与接近速度

考虑同一直线上的正碰。设碰前速度为 $u_1,u_2$ ，碰后速度为 $v_1,v_2$ ，并假定碰前物体 1 从后方追上物体 2，即。恢复系数定义为

e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2}， \qquad 0\le e\le1。

分子是碰后双方的分离速度，分母是碰前双方的接近速度。 $e=1$ 对应理想完全弹性碰撞， $e=0$ 对应碰撞结束的瞬间两物体速度相同；粘在一起是它的常见实现，但单凭 $e=0$ 不能断言它们此后永久粘连。 $0\lt e\lt1$ 对应部分非弹性碰撞。

恢复系数比较碰前接近相对速度与碰后分离相对速度

图中比较的是相对速度，不是任一物体单独的速率。恢复系数是对这次接触恢复程度的描述；离开一维正碰模型后，还要沿接触法线讨论相对速度，不能把本节标量式原样套给任意二维方向。

这里最容易把速度的顺序写乱。记忆一句物理话比记符号更稳：

\text{分离相对速度}=e\times\text{接近相对速度}。

同时使用动量守恒

m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2，

可解得

v_1=\frac{(m_1-em_2)u_1+(1+e)m_2u_2}{m_1+m_2}，

v_2=\frac{(1+e)m_1u_1+(m_2-em_1)u_2}{m_1+m_2}。

公式看着长，实际做题时通常直接联立“动量守恒 + 恢复系数”更不易抄错。长公式更适合核对规律：令 $e=0$ ，两式会给出相同的共同速度；令 $e=1$ 且 $m_1=m_2$ ，会得到、，即等质量物体交换速度。

求出速度后，还应检查结果是否真的描述“碰后”。在上述符号约定下，碰前必须有 $u_1-u_2\gt0$ ，否则两物体本来就在分离，不会发生所假设的追碰；碰后则应有 $v_2-v_1\ge0$ ，否则它们仍在互相接近，所谓“碰后瞬间”并未结束。再检查动量量纲、速度方向和动能变化，往往能抓住符号写反造成的荒唐答案。例如一个静止靶球被正向来球撞后却无缘无故更快地向来球方向迎上去，就应回头检查恢复系数方程，而不是急着给负号编故事。

4. 一道完整的一维碰撞例题

质量 $m_1=2.0\ \mathrm{kg}$ 的甲球以 $u_1=6.0\ \mathrm{m/s}$ 向右运动，追上静止的 $m_{}$ 乙球。碰撞恢复系数，忽略外力冲量。求碰后速度和系统动能损失。

取向右为正，把两球一起选为系统。碰撞时间短，水平方向外力冲量可忽略，所以 $2\times6+1\times0=2v_1+v_2$ 。

对于一维两体碰撞，还可以引入约化质量

\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}，

把动能损失写成

K_f-K_i=-\frac12\mu(1-e^2)(u_1-u_2)^2。

它清楚表明：在普通被动碰撞的模型中， $0\le e\le1$ 时动能不会增加； $e=1$ 才没有动能损失。这个结论适用于此处的一维两体碰撞模型，不能不加说明地套到含爆炸、弹簧释放或化学能释放的“超弹性”过程。

一维碰撞前后的速度变化，以及抛物后小车的反冲

五、质心系：把整体平动先减掉

1. 什么是质心参考系

相对实验室系，质心以速度

\vec V_C=\frac{\vec P}{M}

运动。把每个质点的实验室系速度都减去 $\vec V_C$ ，得到相对质心系的速度：

\vec v_i^{\,*}=\vec v_i-\vec V_C。

于是质心系中的总动量恒为

\sum_i m_i\vec v_i^{\,*} =\sum_i m_i\vec v_i-M\vec V_C=0。

从实验室系减去质心速度后，两物体在质心系中的动量等大反向

上、下两幅并不是两次不同碰撞，而是同一时刻的两种观察。统一减去 $\vec V_C$ 后，每个速度都改变了，质量却没变；两支质心系动量因此恰好等大反向。

这不是又多出一条守恒定律，而是质心系定义带来的结果。它的好处是把整个系统共同向前的平动先扣掉，只留下成员之间的相对运动。

对前面的碰撞例题，碰前质心速度为

V_C=\frac{2\times6+1\times0}{3}=4.0\ \mathrm{m/s}。

所以碰前质心系速度为 $u_1^*=2.0\ \mathrm{m/s}$ 、 $u_2^*=-4.0\ \mathrm{m/s}$ ；碰后为、。你可以检查：碰前、碰后都有。

2. 一维两体碰撞在质心系里更整齐

对一维两体碰撞，由质心系总动量为零和恢复系数关系，可以得到

v_1^*=-e u_1^*,\qquad v_2^*=-e u_2^*。

$e=1$ 时，每个物体在质心系中速度反向而大小不变； $0\lt e\lt1$ 时，反向后速率缩小； $e=0$ 时，碰后两物体在质心系中都静止，也就是在实验室系中共同随质心运动。

这里我们只借质心系看清一维正碰的相对运动，不讨论碰撞参数、微分截面或完整散射理论。把参考系切换、总动量和动能变化放到同一个交互里，会比只盯着两串速度数字直观得多。

伽利略变换会改变各物体的动量和动能数值，却不改变“某个孤立系统的总动量是否守恒”。不过“质心系总动量为零”只在质心系成立；回到实验室系，总动量通常是 $M\vec V_C$ ，不必为零。

六、反冲：内部释放如何分配动量

站在静止小车上的人把一个包裹向右抛出，人和车会向左退。这不是包裹“把动量留给了小车”，而是抛掷过程中双方受一对内力；若水平外力冲量可忽略，人、车与包裹组成的系统总动量保持为零。

设抛出后人和车的总质量为 $M$ 、速度为 $V$ ，包裹质量为 $m$ 、速度为 $v$ ，都相对地面测量。取包裹方向为正，则

MV+mv=0，

所以

V=-\frac{m}{M}v。

负号表示反冲方向与包裹相反。若给的是包裹相对车的抛出速度 $w=v-V$ ，就不能把 $w$ 直接当成地面系的 $v$ 。联立可得

V=-\frac{m}{M+m}w，\qquad v=\frac{M}{M+m}w。

例如，人与车抛出后总质量 $M=60\ \mathrm{kg}$ ，包裹质量 $m=5.0\ \mathrm{kg}$ ，包裹相对车以 $w=6.5\ \mathrm{m/s}$ 向右离开，则车速

V=-\frac{5.0}{65}\times6.5=-0.50\ \mathrm{m/s}，

包裹相对地面的速度为 $v=6.0\ \mathrm{m/s}$ 。二者速度之差正好是 $6.5\ \mathrm{m/s}$ 。这类题的主要陷阱不是动量守恒，而是混用相对速度和地面速度。

系统初动能为零，抛出后却有正的动能，这是否违反能量守恒？不违反。人的肌肉化学能转化成了双方的动能。动量守恒只约束矢量总和，不能决定动能从哪里来，也不能要求动能不变。

本章的反冲只处理一次分离、质量分块后各自不再变化的基础模型。连续喷气的火箭属于变质量系统，需要更谨慎地选取开放系统和质量流，不在本章展开。

七、把三本账分开

学完碰撞后，最值得带走的不是一长串公式，而是三个互不替代的问题：

动量账：系统受到的合外冲量是多少？若为零，总动量守恒。
质心账：合外力怎样决定质心加速度？内部运动再复杂，也不能越过 $M\vec a_C=\sum\vec F_{\mathrm{外}}$ 。

遇到题目时，可以先画系统边界，再统一参考系和正方向，接着判断每个方向上的外冲量，最后才选择动量守恒、恢复系数或质心关系。期末与考研基础题常把陷阱藏在“系统选错”“相对速度当绝对速度”“动量守恒便误判动能守恒”这三处。只要账本分开，碰撞题就不会因为场面热闹而失控。

章末练习：先作答，再展开完整解析

两小车在光滑水平轨道上相互作用。把两车选为系统，下列说法正确的是

关于质心，下列说法正确的是

在普通一维两体碰撞模型中，恢复系数 e=0 表示两物体碰后具有相同速度。

质量为 $0.20\ \mathrm{kg}$ 的球以 $12\ \mathrm{m/s}$ 竖直向下撞地，又以 $8.0\ \mathrm{m/s}$ 竖直向上弹起，接触时间为 $0.010\ \mathrm s$ 。取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ ，求地面对球的平均支持力。

一颗质量 $0.10\ \mathrm{kg}$ 的球在水平面内原以 $(6.0,0)\ \mathrm{m/s}$ 运动，受短时作用后速度变为 $(2.0,5.0)\ \mathrm{m/s}$ 。求合冲量的大小和方向。

质量分别为 $2.0\ \mathrm{kg}$ 和 $3.0\ \mathrm{kg}$ 的两个质点位于 $x_1=-1.0\ \mathrm m$ 、 $x_2=4.0\ \mathrm m$ ，速度分别为、。求质心位置、质心速度和系统总动量。

一静止物体在水平光滑面上爆炸成质量 $m$ 与 $2m$ 的两块。质量为 $m$ 的碎片以速度 $6.0\ \mathrm{m/s}$ 向东运动，求另一块的速度，并比较两块动能。

质量 $m_1=1.0\ \mathrm{kg}$ 的球以 $u_1=5.0\ \mathrm{m/s}$ 向右运动，与静止的 $_{}$ 球发生完全弹性正碰。求碰后速度。

两球质量分别为 $2.0\ \mathrm{kg}$ 和 $1.0\ \mathrm{kg}$ ，碰前速度为 $u_1=4.0\ \mathrm{m/s}$ 、 $u_{2} = - 2.0 m /$ 。碰后第一球速度为，系统水平方向动量守恒。求第二球碰后速度和恢复系数，并判断碰撞类型。

人与小车抛出物体后的总质量为 $72\ \mathrm{kg}$ ，所抛物体质量为 $8.0\ \mathrm{kg}$ 。初始系统静止，物体相对小车以 $10\ \mathrm{m/s}$ 水平向右离开，忽略外力冲量。求小车和物体相对地面的速度。

本章小结

冲量是力对时间的积分，合外力冲量等于动量变化量。把多个质点组成系统后，内力冲量成对抵消，系统总动量只由合外力冲量改变；合外冲量为零时，总动量守恒。质心是质量加权的位置平均，系统总动量满足 $\vec P=M\vec v_C$ ，质心运动满足。

碰撞中，动量守恒负责整体账本，恢复系数负责相对速度，机械能是否守恒则决定碰撞的弹性分类。质心系把整体平动扣除，使一维两体碰撞表现为更整齐的相对运动；反冲则展示了内力如何在总动量不变时重新分配各部分动量。每次先画系统边界、统一参考系，再选择守恒关系，远比见到“碰撞”就套公式可靠。

2

=

1.0

k g

m_2=1.0\ \mathrm{kg}

\vec I=0.10[(2.0,5.0)-(6.0,0)] =(-0.40,0.50)\ \mathrm{N\cdot s}。

3.0\ \mathrm{m/s}

m

2

=

4.0

k g

m_2=4.0\ \mathrm{kg}

s

u_2=-2.0\ \mathrm{m/s}

v_{2}

=

4.0

m / s

v_2=4.0\ \mathrm{m/s}

第 5 章 冲量、动量、质心与碰撞