第 9 章　狭义相对论的时空观与动力学初步

假设你坐在一列匀速行驶的高铁里，轻轻把球竖直抛起。对你来说，球仍落回手中；对站台上的人来说，球走的是一条向前弯的抛物线。两个人画出的轨迹不同，却都能用牛顿定律得到正确结果。这似乎在告诉我们：换一个匀速参考系，不过是换一套坐标，时间仍由全宇宙共用的一只钟掌管。

可把小球换成光，麻烦就来了。若仍照搬伽利略速度叠加，迎向来光的人应测到较大的光速，沿光的传播方向追赶的人应测到较小的光速；真实实验却表明，任何惯性观察者测得的真空光速都相同。不是光“不肯服从加减法”，而是我们关于时间和空间的旧前提需要修改。

本章只讨论彼此做匀速直线运动的惯性系。我们会从两个基本原理出发，建立洛伦兹变换，再依次弄清同时性、时间、长度和速度为什么会呈现新的关系，最后把动量与能量也改造成相容的形式。引力、加速参考系的完整理论和广义相对论不在本章范围内。

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一、旧时空观究竟在哪里卡住了

1. 伽利略变换把时间当作公共背景

取惯性系 $S$ 和 $S'$：$S'$ 以速度 $v$ 沿 $S$ 的 $x$ 轴正方向运动，两坐标轴平行，且在 $t=t'=0$ 时两原点重合。经典力学写出

$$x'=x-vt,\qquad y'=y,\qquad z'=z,\qquad t'=t.$$

最后一个等式看起来最不起眼，却是整套经典时空观的地基：所有观察者共享同一个时间。对 $x'=x-vt$ 求导，就有

$$u_x'=u_x-v.$$

球在车内向前以 $10\ \mathrm{m/s}$ 运动，列车相对地面为 $30\ \mathrm{m/s}$，地面测得 $40\ \mathrm{m/s}$，完全合理。由于日常速度远小于光速，这套变换长期表现得极其出色。

问题是，若一束光在 $S'$ 中沿 $x'$ 正方向传播，$u_x'=c$，经典叠加会给出 中的速度 。这与真空光速对所有惯性观察者相同的事实冲突。要保住光速不变，就不能同时保住 。

历史上，人们一度设想光像水波、声波那样，需要一种充满空间的传播介质，并试图用地球在这种介质中的运动解释不同方向的光速差。精密干涉实验没有找到预期的方向效应。这里不要把历史压成“某一个实验单枪匹马证明了整套相对论”：更准确地说，电磁理论、光速测量以及相对性要求共同暴露了经典框架的不协调。狭义相对论的关键动作，是不再追问相对某个绝对空间的速度，而把可由钟和尺操作定义的测量关系放在中心。

2. 两条基本原理不是两个互不相干的口号

狭义相对论以两条基本原理为出发点。

第一，相对性原理：一切物理定律在所有惯性系中具有相同形式。匀速封闭列车里做任何局域物理实验，都不能判断列车究竟“绝对静止”还是“绝对运动”。

第二，光速不变原理：真空中的光速 $c$ 与光源或观察者的匀速运动无关，所有惯性观察者测得同一个 $c$。

先想一想：第二条是不是说“光相对任何介质的速度都一样”？不是。这里说的是真空光速；光在介质中的传播会受介质性质影响。也不要把它理解成仪器恰好测不出差别——它是时空变换必须满足的基本约束。

相对论效应为什么在生活中不显眼？看 $\gamma$ 就知道。当 $v=0.1c$ 时，$\gamma\approx1.005$；$v=0.8c$ 时，$\gamma=1.667$；直到 ， 才增至约 。汽车速度与 相比太小，经典近似的误差远低于日常测量分辨率；粒子加速器里的电子则很快进入必须使用相对论的区域。经典力学并非“全错”，而是适用范围有限。

3. “事件”是比物体更合适的记账单位

相对论首先比较的不是一根尺或一只钟，而是事件：某件事在某处、某时发生。一次闪电击中车头、某粒子在探测器中衰变，都是事件。一个事件在 $S$ 中记为 $(x,y,z,t)$，在 $S'$ 中可有另一组坐标 $(x',y',z',t')$；坐标不同，事件本身没有变成两次。

这一区分十分要紧。说“车头在哪里”还缺少时间；说“在某时刻测得车头的位置”才是完整记录。后面讨论长度时必须同时记录两端，讨论钟的快慢时必须选中同一只钟经历的两次事件，条件都藏在“如何选事件”里。

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二、洛伦兹变换怎样同时照顾两个基本原理

1. 从光脉冲给变换加上约束

仍考虑前述标准构型。原点重合时发出一个光脉冲。在 $S$ 中，沿 $x$ 方向的波前满足 $x=ct$；在 $S'$ 中，同一个波前必须满足 $x'=ct'$。空间和时间的均匀性使坐标变换为线性；再结合空间各向同性、相对性原理以及沿正负方向传播的光都满足光速不变，并选择低速时回到伽利略变换的分支，可得以下变换。这里列出结果，不把这些条件省略为单条光线的方程

$$\begin{aligned} x'&=\gamma(x-vt),\\ y'&=y,\qquad z'=z,\\ t'&=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right), \end{aligned} \qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

$\gamma$ 称为洛伦兹因子。只要 $|v|<c$，就有 $\gamma\geqslant1$。当 $v\ll c$ 时，$\gamma\approx1$，且 在日常尺度下很小，于是 、，经典变换自然成为低速近似。

逆变换只需交换两个参考系，并把相对速度改为 $-v$：

$$x=\gamma(x'+vt'),\qquad t=\gamma\left(t'+\frac{vx'}{c^2}\right).$$

容易错在哪里？最常见的是给空间式换了符号，却忘了时间式也要换；另一个错误是把 $\gamma$ 写成 $\sqrt{1-v^2/c^2}$。可以做个快速体检：高速下 应大于 1，若算出小于 1，定义一定写反了。

还可以用光线做代数自检。把 $x=ct$ 代入正变换，便有

$$x'=\gamma(c-v)t,\qquad ct'=\gamma(c-v)t,$$

所以 $x'=ct'$，光在 $S'$ 中仍以 $c$ 传播。这个检查不等于重新证明洛伦兹变换，却能迅速发现时间式中的 $c^2$、正负号或 写错没有。

2. 时间坐标为何必须含有位置

公式中真正颠覆直觉的是

$$t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right).$$

同一 $t$ 下发生在不同位置的事件，其 $t'$ 一般不同。也就是说，不能先坚持“远处两只钟当然同步”，再用光信号去检验同步；远距离同步本身就依赖光信号与参考系。

将差分形式写出来更便于解题：

$$\Delta x'=\gamma(\Delta x-v\Delta t),\qquad \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right).$$

别急着把四个量都代进去。先问：题目给出的“同地”属于哪个系？“同时”又属于哪个系？这两个条件一旦找准，公式通常会立刻缩短。

下面的交互把两个事件放进 $x$—$ct$ 图。先选“地面系同时”的列车闪电，再拖动 $v/c$，观察 $\Delta t'$ 如何从零偏离；随后切换到同地事件，比较两种条件为何不能混用。

3. 一个数值例子检查符号与单位

设 $S'$ 以 $0.6c$ 沿正方向运动，某事件在 $S$ 中为 $x=600\ \mathrm{m}$、$t=4.0\ \mu\mathrm{s}$。此时 ，且 。于是

$$x'=1.25(600-0.6\times1200)\ \mathrm{m}=-150\ \mathrm{m},$$ $$t'=1.25(4.0-1.2)\ \mu\mathrm{s} =3.5\ \mu\mathrm{s}.$$

这里 $600/c=2.0\ \mu\mathrm{s}$。把长度直接和时间相减是不能过单位关的；用 $ct$ 与 $x$ 同用长度单位，或把 $vx/c^2$ 完整换算成时间，能少掉很多数量级错误。

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三、同时性为什么不再绝对

设事件 A、B 在 $S$ 中同时发生，即 $\Delta t=0$，但位置不同，$\Delta x\neq0$。由洛伦兹变换立即得到

$$\Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}.$$

因此，它们在 $S'$ 中一般不同时。若 $v>0$ 且 B 位于 A 的正方向，即 $\Delta x>0$，则 $\Delta t'<0$，表示 B 在 中先发生。符号不是靠背“车头先还是车尾先”，而是由你给出的坐标方向和事件次序决定。

经典列车思想实验很适合建立直觉。地面观察者让两道闪电同时击中车头和车尾，并认为地面中点会同时收到两束光。列车若向车头方向运动，列车中点在光传播期间迎向车头来的光、远离车尾来的光，所以先收到车头方向的信号。由于列车观察者也认为两束光的传播速率都是 $c$，他会判断两次雷击并非同时发生。

这里有个隐藏陷阱：“先看到”通常不能直接等同于“先发生”，因为还要扣除光的传播时间。这个思想实验之所以能用于判断，是因为观察者已在自己的参考系中知道到两端的距离，并按同一参考系的同步规则校正传播时间。只盯着眼睛收到信号的先后，论证是不完整的。

怎样给远处分开的钟同步？在一个惯性系中，可以让位于中点的光源同时向两端发光，并按光速相同来校准两端钟；也可以从一端发信号、用往返时间的一半估计单程传播时间。另一惯性系沿途经过时，会认为这套远钟并不同步。双方不是在争论钟的机械质量好不好，而是各自在自己的惯性系内执行了一套自洽的同步操作。于是“同时”不再是一张覆盖宇宙的公共标签，而是参考系结构的一部分。

会不会出现事件 B 在某个系先发生、在另一个系后发生，从而让结果反过来成为原因？对于能够用不超过光速的信号联系的因果事件，不会发生这种颠倒。本章不展开时空间隔的分类，只需记住：同时性相对并不等于因果次序可以任意改写。

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四、时间延缓：先找到哪只钟在原地

1. 固有时由同一只钟亲自记录

考虑一只随 $S'$ 静止的钟。它在两次滴答事件之间始终位于同一处，所以在 $S'$ 中 $\Delta x'=0$。这只钟直接记录的时间间隔称为固有时，记作 $$。由逆洛伦兹变换

$$\Delta t=\gamma\left(\Delta t'+\frac{v\Delta x'}{c^2}\right)$$

得到

$$\Delta t=\gamma\Delta\tau.$$

因为 $\gamma\geqslant1$，观察系测得的运动钟两次滴答间隔更长，常说“运动钟变慢”。更严谨的说法是：在所有惯性系对同一对事件给出的时间间隔中，使这两个事件同地发生的惯性系测得的时间间隔最短。这里比较的是同一事件对的惯性坐标时间；不同运动路径上的钟在重逢时所累积的固有时，则是另一项比较。

“钟”也不只指机械表或电子表。粒子的衰变、原子的稳定跃迁以及人在相同生理条件下的生命过程，都可承担计时过程；如果不同类型的理想钟在相同运动状态下给出不同延缓比例，观察者就能靠钟的种类识别自己的所谓绝对运动，这会违背相对性原理。因此时间延缓是时空测量规律，不是高速运动把某一种钟的零件单独弄慢了。

光钟能把这个结论画出来。光钟自身看来，光在两镜间竖直往返；地面看来，光钟横向移动，光走斜边。两系都测得光速为 $c$，地面系中的光路更长，完成一次滴答所需时间就更长。不是光在运动钟里“偷懒”，而是同一滴答的时空坐标发生了变化。

若两镜间距为 $D$，只看半个滴答，光钟自身有 $D=c\Delta\tau/2$。地面系中，光走的斜边为 $c\Delta t/2$，光钟横移 $v\Delta t/2$。勾股关系给出

$$\left(\frac{c\Delta t}{2}\right)^2 =D^2+\left(\frac{v\Delta t}{2}\right)^2.$$

代入 $D=c\Delta\tau/2$，整理后正好得到 $\Delta t=\gamma\Delta\tau$。这段推导的重要性不在勾股计算本身，而在它只用了光速不变和不同参考系对同一对滴答事件的几何描述。

2. 双方都说对方的钟慢，为什么不矛盾

$S$ 看 $S'$ 的钟在运动，于是说它慢；$S'$ 也看 $S$ 的钟在运动，于是同样说它慢。这听起来像两人都声称对方年龄更小。关键在于，要比较远处分散的钟，双方各自使用了不同的同时性标准；他们比较的并不是完全相同的一组远处事件。

只要两人始终处在对称的匀速惯性状态，结论就是互易的。若让两人离开后重新相遇，就必然涉及转向或加速，参考系切换破坏了前述对称性。那是著名双生子问题的完整讨论入口，本章不把它简化成一句“加速让钟变慢”。

先预测一个理想化旅程：地球系看旅行者以相同速率完成去程和回程，途中瞬时转向；重逢时，是地球钟积累的时间较少、旅行者钟积累的时间较少，还是二者相同？把过程画成事件路径后，差别不再神秘：地球的路径从出发到重逢一直留在同一位置，旅行者的路径则在转向点折返，两人连接的是相同的首尾事件，却走了不同的时空路径。

若每一段在地球系持续 $T$，旅行速率大小均为 $v$，地球钟累计 $2T$，旅行者在两段匀速阶段累计的固有时为

$$\Delta\tau_{\text{旅}}=\frac{T}{\gamma}+\frac{T}{\gamma}=\frac{2T}{\gamma}<2T.$$

所以重逢时旅行者较年轻。瞬时转向只是便于计算的理想化；真实转向可用很多短小阶段逼近并逐段累计固有时。加速使旅行者改变惯性运动路径和同时性判定，却不能被粗暴解释成某种“加速一发生，钟就按固定比例变慢”的局域规则。

下面把地球系的每段时长和速率交给你控制。请先选答案，再拖动参数；特别比较“始终不重逢时的互易描述”和“有共同重逢事件时直接核对两只钟”为什么不是同一道问题。

交互中的年龄差只由两条完整路径的固有时累计得出。它没有调用引力，也没有把转向阶段当作广义相对论问题；在本章范围内，分段使用狭义相对论已经足够说明这项比较。

3. μ 子为何能跑到地面

静止 μ 子的平均寿命约为 $2.20\ \mu\mathrm{s}$。若它以 $0.998c$ 相对地面运动，

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.998^2}}\approx15.8.$$

地面系测得平均寿命

$$\Delta t=\gamma\Delta\tau\approx34.8\ \mu\mathrm{s},$$

对应平均飞行距离约为 $0.998c\Delta t\approx10.4\ \mathrm{km}$。若错误地把 $2.20\ \mu\mathrm{s}$ 当成地面时间，只得到约 $0.66\ \mathrm{km}$。这个例子不是说 μ 子“感到自己活得更久”；在 μ 子的近似静止系中，它的寿命仍是固有时，而大气层沿运动方向发生长度收缩。两种说法描述的是同一组事件。

下面先让你判断哪个量才是固有量，再显示计算。建议故意选错一次：若把“地面测得运动 μ 子的寿命”认成固有时，程序给出的物理条件会立刻提醒你。

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五、长度收缩：测两端必须加上“同时”

1. 固有长度属于物体的静止系

一根杆静止在 $S'$ 中，两端坐标差

$$L_0=x_2'-x_1'$$

称为固有长度。它是在物体自身静止系测得的长度。现在让杆相对 $S$ 运动。$S$ 中的观察者要测杆长，必须在 $S$ 的同一时刻记录两端位置，即 $\Delta t=0$。由

$$\Delta x'=\gamma(\Delta x-v\Delta t)$$

得到

$$L_0=\gamma L,\qquad L=\frac{L_0}{\gamma}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$$

这就是沿运动方向的长度收缩。垂直于相对运动方向的尺寸在此标准构型下不发生收缩。

为什么非要同时测两端？想象你上午记下正在行驶列车的车尾位置，下午再记车头位置，相减当然得不到某一时刻的列车长度。对同一参考系来说，“同时记录两端”是长度定义的一部分，不是额外的小技巧。

2. 收缩不是材料被挤压

若杆的固有长度为 $120\ \mathrm{m}$，以 $0.8c$ 运动，$\gamma=5/3$，地面测得

$$L=\frac{120}{5/3}\ \mathrm{m}=72\ \mathrm{m}.$$

杆上的观察者仍测得自身长度为 $120\ \mathrm{m}$，并会测得地面上一段随地面静止的尺发生收缩。这里没有分子被额外压紧，也不需要弹性形变；差异来自两个参考系对“同一时刻两端在哪里”使用了不同切片。

复习时最容易把固有量记反。一个可靠口诀不是“谁最长谁固有”，而是回到定义：时间找同地，长度找静止。两次事件在某系同地，该系给出固有时；物体在某系静止，该系给出固有长度。长度的固有值确实最大、时间的固有值确实最小，但那是推论，不应替代条件判断。

还要注意，“固有”并不等于“观察者主观觉得真实”。一般的固有时是理想钟沿指定运动路径在两事件间累计的时间；本节匀速钟的特殊情形，可用两事件同地的惯性系来计算，固有长度属于一个物体的静止系；换了事件对或换了物体，不能拿原来的固有量直接套用。题目若同时出现飞船长度、地面隧道长度和两地钟读数，应分别标记各自属于谁，不要把整道题只设一个笼统的“固有值”。

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六、速度变换：光速为什么仍然是光速

由洛伦兹变换取微分，

$$dx'=\gamma(dx-vdt),\qquad dt'=\gamma\left(dt-\frac{v\,dx}{c^2}\right),$$

两式相除得纵向速度变换

$$u_x'=\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2}.$$

逆变换为

$$u_x=\frac{u_x'+v}{1+u_x'v/c^2}.$$

若物体在 $S'$ 中以 $u_x'=0.7c$ 前进，而 $S'$ 相对 以 前进，则

$$u_x=\frac{0.7c+0.8c}{1+0.7\times0.8} \approx0.962c,$$

并不是 $1.5c$。分母正是高速世界里不能漏掉的修正。

先不代特殊值，想象保持 $u_x'$ 不变并逐渐增大 $v$：经典相加会画出一条不断上升、甚至穿过 $c$ 的直线，相对论合成曲线会怎样？

图中相对论曲线在低速区贴近经典结果，说明伽利略变换仍是可靠近似；进入高速区后，分母中的 $u_x'v/c^2$ 不再可忽略，曲线逐渐弯向光速上限。这里的“上限”不是发动机功率不够，而是惯性系之间的时空变换结构决定的。

现在把 $u_x'=c$ 代入：

$$u_x=\frac{c+v}{1+v/c}=c.$$

这不是事后补丁，而是洛伦兹变换自动保证的结果。若 $u_x'$ 与 $v$ 都小于 $c$，同向合成也不会超过 $c$。

横向分量也会受影响。由 $dy'=dy$ 得

$$u_y'=\frac{u_y}{\gamma(1-u_xv/c^2)},\qquad u_z'=\frac{u_z}{\gamma(1-u_xv/c^2)}.$$

所以二维问题不能只对 $x$ 分量使用相对论公式，再把横向速度原封不动搬过去。基础题多集中于共线运动，涉及斜向运动时要回到 $d\boldsymbol r/dt$ 的定义逐分量处理。

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七、动力学为什么也必须改写

1. 保留守恒律，但换掉动量表达式

若仍用 $\boldsymbol p=m_0\boldsymbol v$，在洛伦兹变换下分析高速碰撞，会发现不同惯性系不能同时保持动量守恒。为了让守恒律与相对性原理相容，自由粒子的相对论动量定义为

$$\boldsymbol p=\gamma m_0\boldsymbol v.$$

$m_0$ 是粒子的静质量，也称不变质量。现代教材通常让 $m_0$ 保持不变，把速度效应放在 $\gamma$ 中，不再说“物体的质量随速度增加”。因此本章的 $m_0$ 不是一个会随参考系改变的量。

低速时 $\gamma\approx1$，上式回到 $\boldsymbol p\approx m_0\boldsymbol v$。当有合外力时仍可写

$$\boldsymbol F=\frac{d\boldsymbol p}{dt},$$

但一般不能再随手化成 $m_0\boldsymbol a$。特别是力与速度平行时，$\gamma$ 自身也随速度改变。基础必修层面掌握动量表达式与守恒应用即可，不必展开相对论力在不同方向的完整变换。

相对论动量并没有取消功—能联系。由 $\boldsymbol F=d\boldsymbol p/dt$ 可以得到

$$dE=\boldsymbol v\cdot d\boldsymbol p, \qquad \frac{dE}{dt}=\boldsymbol F\cdot\boldsymbol v.$$

因此合力做正功仍使粒子能量增加，只是能量不再按 $\tfrac12m_0v^2$ 在任意速度下增长。越接近 $c$，继续增加相同速度所需的能量越惊人；有静质量粒子的速度只能无限逼近 $c$，不能靠有限能量推到或越过 。

2. 总能、静能与动能是一套账

自由粒子的总能量为

$$E=\gamma m_0c^2.$$

粒子静止时 $\gamma=1$，仍具有静能

$$E_0=m_0c^2.$$

总能减去静能，得到动能

$$E_k=E-E_0=(\gamma-1)m_0c^2.$$

处理碰撞或衰变时，应先选定一个惯性系，在同一系内分别写总能量守恒和矢量动量守恒。不同惯性系会给单个粒子不同的 $E$ 与 $\boldsymbol p$，却会共同承认守恒是否成立。不能把甲粒子在实验室系的能量和乙粒子在质心系的动量拼进同一条守恒方程；那像把人民币金额与未经换算的外币金额直接相加，形式整齐也没有物理意义。

先做一个低速检查。利用

$$\gamma\approx1+\frac{v^2}{2c^2}\qquad(v\ll c),$$

就有

$$E_k\approx\frac12m_0v^2.$$

新的理论没有把旧理论推翻后扔掉，而是在低速区准确回到旧结果。凡是推导出的相对论公式无法通过低速极限检查，都值得重新查符号或系数。

3. 质能关系不是“质量可以凭空变成能量”

$E_0=m_0c^2$ 表明静质量对应静能。先看条件最干净的情形：一个装置最初静止，并在它的初始静止系中向各方向对称释放总能量 $Q$，使辐射的净动量为零，装置释放前后都保持静止。能量守恒给出 $E_{0i}=E_{0f}+Q$，因此装置的静质量变化满足

$$\Delta E_0=\Delta m\,c^2,\qquad \Delta m=m_f-m_i=-\frac{Q}{c^2}.$$

反过来，若从各方向对称输入能量并把它储存在装置内部，装置仍保持静止，其静质量会增加 $Q/c^2$。这里比较的是装置在两个静止状态下的静能，能量守恒始终成立。若辐射只沿一个方向射出，辐射净动量不为零，剩余装置就会反冲；此时释放的总能量还要和装置的反冲动能一起记账，不能不看动量守恒便直接写成 $Q=-\Delta(m_0c^2)$。这也提醒我们，不能把质能关系说成“质量消失后能量无中生有”，更不能把运动物体的全部总能当作可随意释放的能量。

系统观点还能解释一个很反直觉的情形：两束能量相同、方向相反的光各自静质量为零，但把它们作为整体看，总动量为零、总能量不为零，因此这个封闭系统具有非零静质量。静质量不是把组成粒子的静质量逐个机械相加，它还包含系统内部的能量与动量安排。这是考研拓展中常见的思想，不过本章只要求会用质能关系做基本守恒判断。

现在换成一个可算的碰撞：两粒子静质量相同、以相同速率迎面而来，所以质心系总动量为零。若它们无辐射地完全合并，末态复合粒子的静质量会不会只是两个静质量相加？先别急着说“质量当然可加”，别忘了初态动能也没有离开系统。

在质心系中，两粒子的动量相互抵消，但能量相加；无辐射合并时，初态动能进入复合物的内部能，因而 $Mc^2=2\gamma m_0c^2$，通常有 $M>2m_0$。若初态是满足电荷等守恒条件的粒子—反粒子对，并转化为两束反向等能光，光束动量仍相互抵消。若只向一侧发光，剩余物就必须反冲——这正是上一段不能漏掉辐射净动量条件的原因。

4. 能量—动量关系把几条公式合在一起

由 $E=\gamma m_0c^2$、$p=\gamma m_0v$ 消去速度，可得

$$E^2=p^2c^2+m_0^2c^4.$$

看到平方和，先猜一猜：若把它画成直角三角形，哪一条边应是总能？

答案是总能 $E$ 对应斜边，两个直角边分别为静能 $m_0c^2$ 和动量对应的能量尺度 $pc$。低速时 $pc$ 相对静能较小，总能只比静能多一点；高速时 $pc$ 迅速变得重要。图只是帮助识别结构，定量计算仍须使用平方关系，不能把三者误写成 。

静止时 $p=0$，它回到 $E=m_0c^2$；对于静质量为零的光子，关系化为 $E=pc$。注意，不能给光子硬套 ：其中 、 会形成没有意义的 型式，光子应直接使用 。

以电子为例，静能约为 $0.511\ \mathrm{MeV}$。当 $v=0.8c$ 时 $\gamma=5/3$，于是

$$E=\frac53\times0.511\ \mathrm{MeV}\approx0.852\ \mathrm{MeV},$$ $$E_k=\left(\frac53-1\right)0.511\ \mathrm{MeV}\approx0.341\ \mathrm{MeV},$$ $$pc=\gamma\frac{v}{c}m_0c^2 =\frac53\times0.8\times0.511\ \mathrm{MeV}\approx0.681\ \mathrm{MeV}.$$

把数值代回 $E^2-(pc)^2=(m_0c^2)^2$，还能做一次自检。高能题常把动量写成 、质量写成 ；这种单位很方便，但相加前必须先确认每项代表能量、动量还是质量。

下面的交互把速度合成和动力学接在同一条逻辑线上。先把运动系中的物体速度调到 $c$，观察合成结果；再提高粒子速度，比较相对论动能与经典动能何时开始明显分离。

到这里再看期末或考研题，常见失分点其实很集中：把 $\Delta t$ 与 $\Delta\tau$ 对调；忘记长度测量的同时条件；速度直接相加；把总能量写成动能；或者把静质量写成随速度变化。先写条件、后选公式，往往比背更多结论更可靠。

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章末练习：先认事件与参考系，再动笔计算

1

某粒子在实验室中运动，实验室测得它从产生到衰变的时间就是该粒子的固有寿命。

正确错误

2

事件 A、B 在惯性系 S 中异地同时发生。若另一惯性系 S' 相对 S 沿两事件连线运动，则下列说法正确的是

A.A、B 在 S' 中必然仍同时B.A、B 在 S' 中一般不同时C.事件的先后只能由光到眼睛的先后决定D.这说明因果关系可被任意颠倒

3

关于静质量为 m₀ 的自由粒子，下列关系正确的是

A.p=γm₀vB.E=γm₀c²C.Eₖ=γm₀c²D.E²=p²c²+m₀²c⁴

提交

4. 惯性系 $S'$ 以 $0.6c$ 沿 $S$ 的 $x$ 轴正方向运动，两原点在 $t=t'=0$ 重合。某事件在 中的坐标为 、。求该事件在 中的 和 。

显示答案

$\gamma=1/\sqrt{1-0.6^2}=1.25$，且 $ct=1200$。由 得 。又因 ，所以 。负的 只说明事件位于 原点负方向，不代表时间为负。

5. 在地面系中，两次闪电同时击中相距 $900\ \mathrm{m}$ 的 A、B 两点，B 位于 A 的正方向。一列车以 $0.8c$ 沿正方向行驶。求列车系中 $\Delta t'=t_B'-t_A'$，并判断哪次闪电先发生。

显示答案

地面系给出 $\Delta t=0$、$\Delta x=900\ \mathrm{m}$，$\gamma=5/3$。因此 $\mathrm{\Delta }{t}^{\mathrm{\prime }}=-\gamma v\mathrm{\Delta }x\mathrm{/}{c}^2=-(5\mathrm{/}3)\times 0.8\times 900\mathrm{/}c=-$。 表示列车系中 B 事件比 A 事件早 。判断先后必须连同坐标正方向一起说明。

6. 静止 μ 子平均寿命为 $2.20\ \mu\mathrm{s}$，一束 μ 子以 $0.998c$ 相对实验室运动。求实验室测得的平均寿命和这段时间内的平均飞行距离。

显示答案

粒子静止系的寿命是固有时。$\gamma=1/\sqrt{1-0.998^2}\approx15.8$，实验室寿命 $\mathrm{\Delta }t=$。飞行距离 ，约为 。

7. 一艘飞船的固有长度为 $120\ \mathrm{m}$，相对空间站以 $0.8c$ 匀速掠过。空间站应怎样测量飞船长度？结果是多少？飞船上的人会认为自身长度变短吗？

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空间站必须用本系同步的钟，在同一空间站时刻记录飞船头、尾的位置，再取坐标差。$\gamma=5/3$，所以 $L=L_0/\gamma=72\ \mathrm{m}$。飞船静止系测得自身长度仍为固有长度 $120\ \mathrm{m}$；长度收缩不是飞船材料在自身系中被压缩。

8. 飞船相对地面以 $0.8c$ 前进，飞船又沿同方向发射一个相对飞船速度为 $0.7c$ 的粒子。求地面测得的粒子速度。若发射的是沿同方向传播的光，地面测得速度是多少？

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共线速度用逆变换 $u=(u'+v)/(1+u'v/c^2)$。粒子速度 。若 ，则 。直接相加得到 是把只适用于低速的伽利略变换用到了高速情形。

9. 电子静能为 $0.511\ \mathrm{MeV}$，以 $0.8c$ 运动。求它的总能、动能和动量，并用能量—动量关系复核。结果中动量可用 $\mathrm{MeV}/c$ 表示。

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$\gamma=5/3$。总能 $E=\gamma m_0c^2=(5/3)\times0.511\ \mathrm{MeV}=0.852\ \mathrm{MeV}$；动能 ；动量 ，所以 ，即 。复核：，与总能一致。

10. 一只储能装置最初静止，随后在它的初始静止系中向各方向对称释放总能量为 $5.0\ \mathrm{MJ}$ 的辐射。辐射净动量为零，装置释放前后均保持静止；忽略其他物质交换。求装置静质量的变化量，并说明正负号。

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由于辐射各向对称、净动量为零，装置不获得反冲动能，释放前后的装置都可直接用静能 $E_0=mc^2$ 记账。能量守恒给出 $m_ic^2=m_fc^2+Q$，所以 。代入得 。负号表示装置静质量减少。若改为单方向辐射，装置会反冲，就必须同时使用能量和动量守恒，不能沿用这一步简化。