第 4 章　功、动能、势能与机械能守恒

推一辆空购物车和推一辆装满饮料的购物车，同样走十米，后者显然更费劲。可若你只是用力扶着一只箱子，在水平地面上匀速走十米，手臂明明很酸，物理学却可能说：你向上的托力对箱子没有做功。难道物理学不承认你的辛苦？

它承认肌肉消耗了化学能，只是“某个力对某个物体做了多少机械功”有非常精确的含义：只累计力在位移方向上的分量。这个看似有点挑剔的定义，恰好把牛顿定律从“每一瞬间怎样受力”推进到“经过一段路程后速度怎样改变”，也让我们能绕过复杂的时间过程，直接比较初态与末态。

一、功不是“力乘路程”那么简单

1. 从恒力的标量积说起

质点在恒力 $\mathbf F$ 作用下发生位移 $\Delta\mathbf r$，这个力做的功定义为

$\theta$ 是力与位移的夹角。功是标量，却有正负：$0\leq\theta<90^\circ$ 时做正功，力有助于增加质点的动能；$90^\circ<\theta\leq180^\circ$ 时做负功，力倾向于降低动能；垂直时功为零。国际单位制中，功的单位是焦耳，。

现在回看开头的箱子。箱子的位移水平，手的托力竖直，两者垂直，所以托力对箱子做功为零。人的肌肉仍要维持张力，人体内部发生复杂的能量转化；“托力对箱子的机械功为零”并不等于“人没有消耗能量”。研究对象一换，账目就会变，这件事后面还会反复出现。

还有一个容易被忽略的词：位移。若力恒定而质点绕一圈回到出发点，$\Delta\mathbf r=\mathbf 0$，这个恒力的总功为零；不能把公式偷换成 $Fs$，再把整圈路程 $s$ 填进去。只有力的大小恒定、且始终与运动方向同向时，才有 $W=Fs$。

2. 变力做功：把轨迹切成足够小的段

真实的力常随位置变化，运动方向也可能不断转动。把轨迹分成许多小段，在第 $i$ 小段上，力近似不变，元功近似为 $\mathbf F_i\cdot\Delta\mathbf r_i$。把所有小段相加并取极限，得到

其中 $F_\tau$ 是力沿轨迹切线方向的分量。直角坐标中，若

则

这叫作沿实际路径的线积分。上下限不只告诉我们起点和终点，还隐含“沿哪条路径、朝哪个方向走”。若 $\mathbf F=\mathbf F(\mathbf r)$ 是只依赖位置、不随时间改变的定态力场，并且固定同一条几何路径，则反向积分满足

这个变号结论不是所有“反向运动”的通行证。若力显含时间或速度，反向运动时力本身可能改变，必须把新过程重新代入积分。例如滑动摩擦总与瞬时速度反向，物体沿同一路径往返时，摩擦力在回程也随速度反向，因而往、返通常都做负功，而不是一正一负。

真正计算曲线路径时，最稳妥的办法是先参数化轨迹。令

那么 $\mathrm d\mathbf r=(\mathrm d\mathbf r/\mathrm d\lambda)\mathrm d\lambda$，功就变成普通定积分

参数 $\lambda$ 可以选时间、路程或方便描述曲线的角度。若力还显含时间或速度，就应把实际运动中的 $t(\lambda)$、$\mathbf v(\lambda)$ 一并代入，不能只知道几何轨迹便擅自把力写成位置函数。线积分的本质仍是沿实际运动逐段累计 $\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r$。

在一维直线运动中，若力是位置的函数 $F_x(x)$，功化为

画出 $F_x-x$ 图像后，功等于曲线与横轴之间的带符号面积。横轴上方面积计正，横轴下方面积计负。这比“平均一下力再乘位移”可靠，因为只有特殊函数或明确给出的平均力，才允许那样做。

可若题目只给出一条弯曲的实验曲线，没有方便积分的函数，功还能怎么算？先把区间切成宽度 $\Delta x$ 的小段，在每段选一个代表力 $F_x(\xi_i)$，元功近似为

再把小段相加：

你可以先猜：只切成两个宽条和切成二十个窄条，哪一种更能贴合曲线？如果曲线跨过横轴，横轴下方的矩形又该加还是减？

细分后，窄条顶部与曲线之间的空缺通常更小；当最大分段宽度趋于零，面积和才成为定积分。横轴下方对应 $F_x<0$，其元功必须带负号，与上方正面积作代数相加。若把阴影全按绝对面积累加，算到的是“正负贡献的总量”，不是净功。

下面的一维实验台把左端矩形、中点矩形与梯形近似放在同一张力—位置图上。先用少量分段押一个结果，再增加分段数，看误差是否真的收敛。

观察时别急着宣布“梯形法永远最准”。对足够光滑的常见曲线，它往往比同样分段数的左端矩形更快接近参考值，但具体误差还与曲线形状和取样方式有关。可靠的物理结论是：每一条面积都必须对应一个明确的 $F_x\Delta x$，并在细分极限中检验结果稳定。接下来把这套方法用到一条恰好能精确积分的直线——理想弹簧的 $F_x=-kx$。

例如一根理想弹簧沿 $x$ 轴作用于质点，原长位置取 $x=0$，弹力为 $F_x=-kx$。质点从 $x_1$ 移到 时，弹力功为

先自己判断一下：从 $x=a$ 移到 $x=-a$，除经过原点的瞬间外，弹力均不为零，总功是不是也不为零？答案是零。前半程弹力大体推动质点，做正功；越过原点后弹力阻碍质点，做同样多的负功。功看的是整段过程的代数累积，不是把每一刻的“费劲程度”取绝对值后相加。

下面的实验台允许你给同一力场换不同路径。先预测，再比较数值；尤其留意保守场和旋转型非保守场的差别。实验台内置的两种力场都只依赖位置，所以“反向”按钮演示的是固定 $\mathbf F(\mathbf r)$ 与同一几何路径时的积分变号，不代表摩擦等速度相关力的回程功也会变号。

3. 功依赖参考系，别把两套位移混在一起

力做功用的是质点相对所选参考系的位移。站台上的人看列车内乘客的位移，与列车内观察者看到的位移不同，同一个力在两个参考系中算出的功可以不同；动能也随速度的参考系改变。动能定理仍会保持自洽，前提是功中的位移与动能中的速度属于同一惯性参考系。

这不是说功“随便怎么算都行”，而是说定义必须完整。解题时最好在开头说明参考系，通常默认地面惯性系。若研究传送带、移动斜面或车厢里的过程，更要先问一句：题目给出的位移究竟是相对谁的？

二、功率：不仅问做了多少，还问做得多快

两台起重机把相同货物提升到同一高度，做功相同，但用时更短的那台功率更大。平均功率定义为

瞬时功率则是

功率单位为瓦特，$1\ \mathrm W=1\ \mathrm{J/s}$。式子中的 $\mathbf F$ 是你正在计算其功率的那个力，不一定是合力；$\mathbf v$ 是受力点在同一参考系中的速度。若发动机牵引力与速度同向，$P=Fv$；若有夹角，就只能取切向分量。

先别动公式，做三个预测：力与速度同向时功率应为正还是负？把力转到与速度垂直，力明明还在，功率是否会降到零？继续转到斜后方，功率的符号又会怎样？在下面的实验台中先选答案，再拖动力的方向；同时改变 $F$ 和 $v$，看看究竟是哪一个分量进入功率。

你会看到，决定功率的不是整支力矢量，而是沿速度方向的投影 $F\cos\theta$。侧向约束力可以很大，却因 $\theta=90^\circ$ 而没有瞬时机械功率；制动力指向速度斜后方时 $P<0$。最容易错的是只把 $F$、$v$ 的大小相乘，忘记夹角与符号，或者把别的参考系中的速度塞进来。抓住投影后，我们再看一个工程上很实用的反直觉关系。

想一想：汽车发动机保持相同输出功率，在忽略其他条件变化时，车速越高，牵引力会怎样？由 $P=Fv$ 可知，牵引力反而越小。这就是低速挡更容易提供较大牵引力的能量视角。不过现实车辆还有传动效率、功率曲线与阻力变化，本章只讨论理想化的瞬时机械功率。

功率也有正负。某力的 $P>0$，表示它此刻向研究对象输入机械能；$P<0$，表示它此刻从研究对象的动能中取走能量。汽车制动时，制动力与速度反向，机械功率为负；写“制动功率为 $50\ \mathrm{kW}$”的工程口语常说的是其大小，代入能量方程时仍要把符号判清。若问机器的额定功率或耗电功率，还要区分输入功率、有效机械输出功率与效率，不能把铭牌数值不加判断地当成 $\mathbf F\cdot\mathbf v$。

三、质点动能定理：把一段过程压缩成首尾两项

1. 为什么动能恰好是 $\tfrac12mv^2$

设质量不变的质点在惯性系中受合力 $\mathbf F$。从牛顿第二定律出发，

于是自然定义质点动能

从状态 1 到状态 2 积分可得

这就是质点动能定理：合力的总功等于质点动能的增量。这里的“合力的功”也等于各个力的功的代数和。动能是状态量，只由该时刻的质量和速率决定；功是过程量，记录力沿路径的累积作用。过程可能千回百转，最后都收进 $\Delta K$。

零功也不等于零力。质点做匀速圆周运动时，指向圆心的合力始终与瞬时位移垂直，合力功为零，所以动能和速率不变；但速度方向持续改变，质点仍有加速度。动能定理只追踪速率平方的变化，方向变化要回到矢量形式的牛顿定律判断。反过来，总功为零也不要求每个力都不做功，几个力的正、负功完全可能彼此抵消。

2. 遇到变力，不必先求加速度随时间怎样变

质量为 $m$ 的滑块在光滑水平面上从 $x=0$ 出发，受到 $F_x=F_0(1-x/L)$ 的力，移动到 。若初速为 ，直接积分得

因此

若走牛顿第二定律路线，就要先处理随位置变化的加速度，再把位置与时间关系接起来；动能定理直接跨过中间时刻。它特别适合“求速率而不问时间”的问题，但它只给出速率平方，不能自动告诉你速度方向。方向仍需结合轨迹、约束与运动过程判断。

四、从一个质点到质点系：内力功不会凭空消失

把系统中的每个质点分别使用动能定理，再相加，得到质点系动能定理：

$W_{\text{外}}$ 是所有外力功之和，$W_{\text{内}}$ 是所有内力功之和。这里有个很诱人的错误：内力成对出现、大小相等方向相反，所以内力总功为零。问题出在“做功”还要乘各自受力点的位移。对一对内力 $\mathbf F_{12}=-\mathbf F_{21}$，它们的总元功是

一般并不为零。弹簧把两只滑块弹开时，弹力是一对内力，却能使系统总动能增加；增加的动能来自弹簧势能的减少。作用力与反作用力的矢量和为零，和它们的功之和为零，是两件完全不同的事。

当然，某些约束下内力对的总功确实为零，但必须从相对位移证明，而不能从牛顿第三定律直接宣布。例如一对沿两质点连线的内力，若两质点间距离严格不变，则 $\mathrm d\mathbf r_1-\mathrm d\mathbf r_2$ 在连线方向的投影为零，这一对内力的总元功才为零。弹簧伸缩时距离正在改变，恰好不满足这个条件。

系统边界决定谁是“内”、谁是“外”。只选滑块为系统，重力是外力；把滑块与地球一起选入系统，重力相互作用成为内部保守相互作用。两种选法都能做对，但方程中的项目名称会改变。最危险的做法，是画受力图时选一个系统，写能量式时又悄悄换了另一个系统。

选系统没有“越大越高级”的说法。边界较小，通常要计算更多外力功，但动能项简单；边界较大，可以把某些保守力功吸收到势能差里，却要同时追踪更多对象的动能或相互作用。一个实用原则是：让未知而难算的内力尽量留在系统内部，同时别把并不需要的运动物体一股脑纳入。系统一旦选定，就把“谁的动能、哪一种势能、哪些力跨边界”逐项写明。

下面这本“能量账本”会故意让你切换系统边界。请先判断哪一项应该记作外功，再查看同一过程在不同边界下怎样保持结果一致。

五、保守力与势能：把路径账变成位置账

1. 哪些力允许定义势能

若某力从 $A$ 到 $B$ 所做的功只取决于始末位置，与具体路径无关，就称它为保守力。等价地，在定义域内沿任意闭合路径有

近地面重力、万有引力和理想弹簧弹力都是常见保守力。滑动摩擦力、黏滞阻力通常是非保守力：它们的功不仅看起终点，还与走过的路径长度、速度等有关。

对保守力，可以定义势能函数 $U$，使

也就是

保守力做正功，势能减少；保守力做负功，势能增加。这里最常见的符号错误，是把“功等于势能变化”少写一个负号。你可以用下落检验：重力做正功，而重力势能明明在降低，所以二者必须反号。

2. 势能属于相互作用系统，零点可以选

势能不是孤零零地“装在物体里”。重力势能属于物体—地球系统，弹性势能属于发生弹性相互作用的系统。日常表达常说“物体具有重力势能”，是把地球背景省略了；一旦讨论系统边界，就不能再忘记它。

势能只由差值确定。给 $U$ 整体加同一个常量 $C$，$\Delta U$ 不变，力学预言也不变，所以必须约定零势能参考位置。

把这个自由度画出来会更直观。想象同一保守系统从位置 $A$ 运动到 $B$：若把参考零线向上移动，两点的势能数值会同时改变。你先判断，$U_B-U_A$ 会不会跟着改变？由势能曲线斜率得到的力会不会改变？

观察两幅图，曲线形状、起终点间的竖直差以及每处斜率都相同，只是纵坐标标签整体加减了常量。因此 $\Delta U$ 不变，$\mathbf F=-\nabla U$ 也不变。易错点是只改某一个状态的势能而没有把全部状态一起平移，那已经不是“换零点”，而是偷偷改变了物理模型。

有了这个判断，再看几种常用零点选择。近地面重力势能取 $U_g=mgy$，把某个高度定为 $y=0$；弹簧自然长度处取零，有

万有引力问题常取无穷远为零，则

万有引力势能为负不代表“能量不合法”，只表示该位置的势能比选定的无穷远零点低。换零点会让每个 $U$ 的数值整体平移，却不会改变力、功、稳定性或任何可观测结果。

在一维情况下，保守力与势能的关系是

三维中写成 $\mathbf F=-\nabla U$。负号告诉我们：保守力指向势能下降最快的方向。势能曲线越陡，力的大小通常越大；曲线水平处，力为零。

六、功能原理与机械能守恒：条件比公式更重要

把质点系内力分成内部保守力与内部非保守力。由于内部保守力功 $W_{\text{内保}}=-\Delta U$，质点系动能定理可改写为

其中

叫作系统的机械能。这条式子常称为质点系的功能原理：外力功与内部非保守力功之和，等于系统机械能的增量。

因此机械能守恒的准确条件是

于是

常见的充分情形是外力都不做功、内部只有保守力做功。但请注意，条件要求的是有关功的代数和为零，并不是看到“有外力”就判定不守恒，也不是看到“有摩擦”三个字就立刻判死刑。外力可以存在却不做功，例如光滑固定轨道的支持力；两个非零的外力功也可能恰好抵消。反过来，即使合外力为零，内部非保守作用仍可能改变机械能。

若要判断机械能是否在整个过程中保持常量，还可以看瞬时功率形式：

右边在每一时刻都为零，机械能才在过程中处处不变。若只知道某段时间内的总功代数和为零，只能断定这段的初、末机械能相同，中间完全可能先增加后减少。这个区别在周期驱动或分段受力问题中尤其重要。

1. 光滑轨道上，速度只看高度吗

小球从静止出发沿光滑固定轨道下滑。选“小球—地球”为系统，支持力是外力但始终垂直瞬时位移，不做功；系统内部只有重力这一保守力做功，因此

得到

在模型成立时，速度大小只由下降高度决定，与轨道弯曲成什么形状无关。但轨道形状仍会影响运动时间和支持力；能量方法没有把这些量一并送给我们。一个公式好用，不等于它回答了所有问题。

“支持力不做功”也有隐藏条件：这里的轨道固定，接触点的瞬时位移沿轨道切线，而支持力沿法线。若轨道本身在移动，受力点相对地面可能具有法向速度，支持力便可能对质点做功。碰到移动斜面、升降平台或运动约束时，不要把“支持力永不做功”当成口诀，应回到 $P=\mathbf N\cdot\mathbf v$ 检查。

2. 有摩擦时，把“少掉的机械能”记到正确账目

若小球在粗糙固定轨道上滑动，只选“小球—地球”为系统，摩擦力来自轨道，是外力，它做负功：

若把小球与轨道都纳入系统，摩擦成为内部非保守作用，机械能的减少转化为系统内能的增加。两种记账方式描述同一物理过程，不能一边把摩擦写成外力功，一边又把同一份耗散重复加成内能增加。

期末和考研题里，真正容易失分的往往不是 $K+U$ 会不会写，而是系统边界含糊、某个力算重了两次，或把“支持力存在”误判成“不守恒”。先写系统名称，再逐项判断外力功和内部非保守力功，会比背“只有重力弹力做功”更稳。

七、势能曲线：看斜率、看极值、看能量线

1. 平衡位置不一定稳定

一维保守系统中，$F_x=-\mathrm dU/\mathrm dx$。平衡位置满足 $F_x=0$，也就是势能曲线斜率为零。但斜率为零只说明“此刻受力为零”，还要看稍微偏离后，力把质点拉回来还是推得更远。

• 势能局部极小处，向两侧稍微偏离都会使势能升高，保守力指回极小点，是稳定平衡。
• 势能局部极大处，轻微偏离后保守力会把质点推得更远，是不稳定平衡。
• 若曲线在平衡点附近非常平坦，单靠二阶导数可能无法判断，需要查看更高阶变化或直接考察偏离后的力方向。

若 $U''(x_0)>0$，$x_0$ 是局部极小点，通常稳定；若 $U^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}($，是局部极大点，通常不稳定。稳定说的是对小扰动的响应，不等于这个点拥有全局最低势能。

这个结论还能从极值附近的展开看得更清楚。令 $\xi=x-x_0$ 表示相对平衡位置的小偏离，在 $U'(x_0)=0$ 时，

若 $U''(x_0)>0$，力与偏离方向相反，确实把质点拉回；若 $U''(x_0)<0$，力与偏离同向，扰动会被放大。这里我们只用它判断稳定性，不继续求随时间的往复运动；平衡点附近的振动会在后面的振动章节系统展开。

2. 总能量线划出经典可达区域

机械能守恒时，

动能不能为负，所以质点只能到达 $U(x)\leq E$ 的区域。$U(x)=E$ 处动能为零，若运动随后反向，这些点就是转折点；$U(x)>E$ 的区域对该总能量下的经典质点不可达。

现在自己想一想：把势能零点整体上移，会不会改变转折点？不会。若 $U$ 整体加常量，使用同一零点定义的总机械能 $E$ 也整体加相同常量，$E-U$ 不变，转折点和速度都不变。

下面的探索器把力方向、动能与可达区域放在同一张图上。先只看曲线猜平衡稳定性，再移动总能量线检验质点能否越过势垒。

八、把能量题写成一份可核对的账本

遇到复杂过程时，不妨先问三个问题：研究对象或系统是谁？初末状态是什么？过程中哪些作用跨越系统边界、哪些相互作用留在系统内部？接着再决定使用质点动能定理还是质点系功能原理。

若只研究单个质点并且各力功容易求，写

若研究含有内部保守相互作用的系统，写

只有确认左边代数和为零，才进一步写机械能守恒。最后检查三个细节：功和能的单位应为焦耳；速度、位移与功属于同一参考系；势能零点虽可任选，但同一道题必须前后一致。

若算出的动能为负、根号内小于零，不要把它当作纯粹的代数麻烦；它通常在提醒你：假设的末状态不可达、运动早已在某个转折点改变方向，或漏记了能量输入。

这套方法的价值，是让你不必逐秒追踪运动也能连接初末状态。下一章将从另一种累积方式研究相互作用：力对时间的累积会引出冲量和动量。这里先把空间累积与能量账目彻底理顺。

章末练习：先独立作答，再展开核对

练习 4： 一维保守力对应势能 $U(x)$。写出力的分量 $F_x$，并给出机械能为 $E$ 时位置在能量上允许的条件。

5. 质点沿 $x$ 轴运动，所受合力为 $F_x=(4x+2)\ \mathrm N$，其中 $x$ 以米计。质量 $m=2.0\ \mathrm{kg}$，在 处速率为 。求它到达 时的速率。

6. 在 $xy$ 平面内有力场 $\mathbf F=-\alpha y\mathbf i+\alpha x\mathbf j$，其中 $\alpha>0$，单位为 $\mathrm{N/m}$。质点从 到 ：路径甲先沿 轴到 ，再竖直到 ；路径乙先沿 轴到 ，再水平到 。分别求功，并判断该力是否为保守力。

7. 质量为 $1200\ \mathrm{kg}$ 的汽车沿倾角 $5.0^\circ$ 的长直坡以 $20\ \mathrm{m/s}$ 匀速上行，滚动与空气阻力合计 $400\ \mathrm N$，取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$。求发动机牵引力的瞬时机械功率。

8. 两个滑块和夹在它们之间的轻弹簧放在光滑水平面上，弹簧劲度系数 $k=200\ \mathrm{N/m}$，初始压缩量 $0.10\ \mathrm m$，由静止释放。忽略弹簧质量，求弹簧恢复自然长度瞬间两个滑块的总动能。仅凭这些条件能否分别求出两个滑块的速率？

9. 质量 $2.0\ \mathrm{kg}$ 的滑块由静止从粗糙斜面顶端下滑。斜面长 $5.0\ \mathrm m$、高 $3.0\ \mathrm m$，动摩擦因数 $0.20$，取 $g=10\ \mathrm{m/s^2}$。求滑块到达底端时的速率。

10. 近地面重力势能原先以地面为零点。现改取高于地面 $h_0$ 的水平面为零点。写出新势能 $U'(y)$，并说明这一改变是否会影响物体从 $y_1$ 落到 时由机械能守恒求得的速率。

11. 一维质点的势能为 $U(x)=ax^4-bx^2$，其中 $a>0$、$b>0$。求全部平衡位置，判断稳定性，并求从任一势阱最低点到中央不稳定平衡点的势垒高度。

在同一地面惯性系中使用动能定理，

解得 $v=5.0\ \mathrm{m/s}$。这里不能直接拿终点的力 $14\ \mathrm N$ 乘 $3\ \mathrm m$，因为力随位置改变。

路径乙第一段有 $x=0$、$\mathrm dx=0$，元功为零；第二段有 $y=a$、$\mathrm dy=0$，所以

同一始末位置得到不同功，故该力不是保守力。两条路径相接形成闭合回路时，闭合积分也不为零。

即约 $28.5\ \mathrm{kW}$。这里求的是牵引力对汽车的机械功率，不等于发动机燃料输入功率；若计效率还需额外信息。

这些条件只能给出两者动能之和；要分别求速率，还需要两滑块质量以及另一条独立关系。本章不把“总动能已知”误当成“每个滑块动能已知”。

所以

若用机械能账本，同样得到机械能减少 $16\ \mathrm J$；不能在同一方程里既写摩擦功 $-16\ \mathrm J$，又重复减去一份“损失的机械能”。

所有状态的势能都减去同一常量，势能差仍为

因此机械能方程两端的常量会抵消，求得的速率不变。势能零点影响数值标签，不影响功和运动预言。

所以 $x=0$ 或 $x=\pm\sqrt{b/(2a)}$。再看

在 $x=0$ 处，$U''=-2b<0$，势能为局部极大，属于不稳定平衡；在 $x=\pm\sqrt{b/(2a)}$ 处，$U''=4b>0$，是两个稳定平衡。中央点势能 $U(0)=0$，谷底势能

故势垒高度为 $0-U_\text{min}=b^2/(4a)$。当总机械能低于零时，质点只能留在其中一个势阱的可达区域；总机械能高于零时才可以在两阱之间越过。恰好等于零是分界情形：由阱内出发的理想质点会无限趋近中央不稳定点，而不会在有限时间内穿过。