第 3 章　牛顿定律、常见力与非惯性系

公交车突然起步时，站着的人会向车尾方向晃一下。你明明没有被谁向后推，身体为什么会“倒向后面”？再换一个视角：站台上的人看你，会说你的脚被车带着向前加速，而上半身还来不及改变原来的运动状态；车内的人却很容易觉得，仿佛有一股力把你拉向后方。

这两个说法并不矛盾。它们分别使用了近似惯性的地面参考系和正在加速的车厢参考系。上一章主要回答“物体怎样运动”，本章要追问“什么相互作用使运动改变”，并且把参考系的选择写进方程。真正有用的不是背下若干受力模板，而是学会从情境中辨认相互作用、建立微分方程，再检查模型的适用条件。

三条定律不是三句互不相干的口号

先想象一枚冰球在足够光滑的冰面上滑行。推冰球的手早已离开，它为什么还能继续前进？“因为还有向前的力”是一个很自然、也很顽固的误解。若水平方向合力接近零，冰球速度近似不变；真正需要力解释的不是“运动本身”，而是速度的改变。

第一定律：既说明惯性，也挑选参考系

牛顿第一定律说，在不受外力或所受外力合力为零时，质点保持静止或匀速直线运动状态。物体保持原有运动状态的性质叫作惯性，质量是惯性大小的量度。同样大小的合力作用下，质量越大的物体加速度越小，这正是“更难改变运动状态”的定量含义。

第一定律还有一项常被忽略的任务：它定义了惯性参考系。牛顿定律能够保持通常形式的参考系叫作惯性系。相对一个惯性系做匀速直线运动的参考系仍是惯性系；相对它有加速度或发生转动的参考系一般是非惯性系。工程尺度上，实验室地面常可近似当作惯性系，但它并非严格惯性系——地球自转、公转都带来加速度，只是在许多问题中影响足够小。

现在自己判断：一辆做匀速直线运动的高铁车厢能不能作为惯性系？忽略车身振动和地球转动时，可以。车厢“正在运动”并不妨碍它成为惯性系；决定因素不是速度是否为零，而是相对已知惯性系的速度是否保持不变。

第二定律：把相互作用翻译成运动变化

对一个质点，更一般的写法是

$\sum \boldsymbol F=\frac{\mathrm d\boldsymbol p}{\mathrm dt}$

当质量不变且速度远低于光速时，$\boldsymbol p=m\boldsymbol v$，于是

$\sum \boldsymbol F=m\boldsymbol a=m\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}=m\frac{\mathrm d^2\boldsymbol r}{\mathrm dt^2}$

式子左边必须是作用在同一个研究对象上的全部真实外力的矢量和，右边的加速度必须在惯性系中测量。加速度方向与合力方向相同，却不一定与速度方向相同：合力与速度同向时速率增大，反向时速率减小，在非零速度处垂直时，瞬时速率变化率为零，速度方向仍可改变。

还有一个不起眼但很重要的点：第二定律是瞬时关系。力随时间、位置或速度改变时，加速度也随之改变，不能拿某一时刻的 $F/m$ 直接乘整段时间。此时方程本身就是一个微分方程，初始位置和初始速度决定它对应哪一条具体运动。

反过来，速度为零并不等于加速度为零，加速度为零也不等于物体静止。把球竖直抛到最高点的瞬间，速度为零，重力仍使它具有向下的加速度；深空中远离显著外力的探测器可以高速飞行，合力和加速度却近似为零。判断动力学状态时，必须分别问“现在怎样运动”和“速度怎样改变”，不能用一个量替另一个量作答。

第二定律还告诉我们怎样从测量反推作用。若记录到质点轨迹 $\boldsymbol r(t)$，对它求二阶时间导数可得到 $\boldsymbol a(t)$，于是合力为 $m\boldsymbol a(t)$。但这只给出合力，不能仅凭轨迹唯一拆出每一种力。相同的向心加速度，可能由绳张力、轨道支持力、摩擦力或引力提供；要辨认具体相互作用，还得回到装置结构和接触条件。

第三定律：力成对出现，但不会互相抵消

若物体 A 对物体 B 的力为 $\boldsymbol F_{A\to B}$，物体 B 对物体 A 的力为 $\boldsymbol F_{B\to A}$，则

$\boldsymbol F_{A\to B}=-\boldsymbol F_{B\to A}$

在本章采用的经典相互作用模型中，这两个力大小相等、方向相反，属于同一种相互作用；对这里的中心力和沿接触法线的作用力，它们还在同一直线上。关键是：它们作用在不同物体上。书压桌面的力作用在桌面上，桌面对书的支持力作用在书上；分析“书”的运动时只画后者，二者绝不会在书的受力图中自行抵消。

先把物体从世界里“单独拿出来”

真实装置里常有地面、绳、弹簧、空气和相邻物体同时作用。若不先选研究对象，很容易把“这个物体给别人的力”也画进来。可靠做法是画隔离体图：在思维中把研究对象与环境分开，只保留环境作用在它上面的力。

常见力不是固定箭头，而是相互作用模型

重力。 在地面附近且研究范围不大时，可写成

$\boldsymbol G=m\boldsymbol g$

方向近似竖直向下。$g$ 会随纬度和高度略有变化，常规计算可取 $9.8\ \text{m/s}^2$。重力是地球对物体的作用；“物体的重量”在不同语境中可能指重力，也可能指物体对支承面的作用力，涉及加速电梯时必须把两者分开。

支持力与压力。 两物体接触并发生法向形变时，会有垂直接触面的弹性力。支持力 $N$ 的方向容易判断，大小却通常要由运动约束和牛顿第二定律求出。水平桌面上的物体若还有竖直拉力，$N$ 就未必等于 $mg$；脱离接触后 $N$ 更应变为零，不能让方程算出一个“负支持力”后还照常使用。

绳的张力。 理想轻绳只传递拉力，张力沿绳并指向绳离开物体的方向。只有在绳质量可忽略、绳不可伸长，且所跨滑轮质量和轴摩擦也可忽略时，同一根绳各处张力才可视为相等。真实粗绳加速时，各段张力可能不同。

弹性力。 一维轻弹簧在弹性限度内满足胡克定律

$\boldsymbol F_{\mathrm s}=-k\boldsymbol x$

$\boldsymbol x$ 是相对弹簧自然长度（原长）、沿弹簧轴测得的有向形变量，负号表示弹力总指向减小形变的方向。若把坐标原点改设在竖直悬挂系统的受载平衡位置，重力与平衡弹力合并后的合回复力可以写成 $-k\boldsymbol\xi$；此时 $\boldsymbol\xi$ 是相对系统平衡位置的位移，而 $-k\boldsymbol\xi$ 不是弹簧自身的完整弹力。超过弹性限度，$k$ 可能不再是常量；橡皮筋只有拉长后才明显受力，也不能机械套用压缩弹簧模型。

摩擦力。 接触面有相对滑动时，常用库仑滑动摩擦近似

$f_k=\mu_kN$

方向与接触面的相对滑动速度相反。尚未滑动时，静摩擦力会在需要的范围内自行调整：

$0\leq f_s\leq f_{s,\max}=\mu_sN$

它并不总等于 $\mu_sN$。方向也不是简单地“与物体运动方向相反”，而是阻碍接触面的相对滑动趋势。放在向右加速传送带上的箱子可能受到向右的静摩擦力，正是这股力使箱子随带加速。

现在换成水平桌面上的物块，把水平拉力从零缓慢增大。你先猜一猜：静摩擦力会不会从一开始就等于 $\mu_sN$，然后一直不变？沿下图从左向右读：静止阶段，摩擦力会跟着外力增大；到临界状态时，它才达到 $f_{s,\max}$；继续增大外力，物块开始滑动，模型随之切换为滑动摩擦。

所以“静摩擦力等于多少”不是查表题，而是先由平衡或动力学方程算出所需值，再检验它是否超过上限。临界点也不是多出一种新力，只是原先的静止约束走到了边界；一旦滑动，若采用 $f_k=\mu_kN$ 的库仑近似，就要用滑动摩擦系数重新列式。干摩擦的这种分段切换很醒目，而流体中的阻力通常会随相对速度连续变化，接下来看看另一类依赖运动状态的力。

流体阻力。 阻力总与物体相对流体的速度相反，但大小没有一个覆盖所有情形的万能公式。黏性占主导、相对速度较小时，常近似

$\boldsymbol f=-b\boldsymbol v_{\mathrm{rel}}$

较高雷诺数的许多情境则常用平方阻力近似

$\boldsymbol f=-\frac12C_D\rho A|\boldsymbol v_{\mathrm{rel}}|\boldsymbol v_{\mathrm{rel}}$

其中 $C_D$ 还会受形状与流动状态影响。看到“空气阻力”四个字就默认恒力，往往等于在第一步就换错了模型。

把这些力放在一起看，会发现“常见”不等于“已知”。重力常能由 $mg$ 直接估算，弹簧力要知道形变，阻力要知道相对速度，支持力、张力和静摩擦则常由约束反求。尤其要警惕把运动结果当成新力：物体“有向心加速度”不代表多出一种向心力，汽车“有前进趋势”也不是在受一种叫作“动力”的神秘力。力的名字应指向可识别的相互作用来源。

上图的摩擦箭头适用于物块向上滑动或有上滑趋势的情形。若物块有下滑趋势，静摩擦方向应沿斜面向上；不能把图中的方向用于所有拉力大小。

从隔离体到方程，按同一顺序走

来看一个斜面上的小陷阱。质量 $m=5.0\ \text{kg}$ 的箱子放在倾角 $30^\circ$ 的粗糙斜面上，沿斜面向上受拉力 $T=20\ \text{N}$，$\mu_s=0.40$，取 。法向力为 。若没有摩擦， 大于拉力，箱子有向下滑的趋势，因此静摩擦应向上，维持静止所需大小只有 ，小于最大静摩擦力 。所以箱子静止，不能一上来就写 。

若把拉力增到 $50\ \text{N}$，向上滑动一旦发生，取 $\mu_k=0.30$，摩擦力变为向下的 $12.7\ \text{N}$，于是

$a=\frac{T-mg\sin30^\circ-\mu_kmg\cos30^\circ}{m}\approx2.56\ \text{m/s}^2$

下面的交互把“先判趋势、再选摩擦模型”放进同一张动态隔离体图。操作前先猜一次状态，再看方程是否支持你的判断。

操作后把前面的两组数据重新放进去核对。$T=20\ \text{N}$ 时，物块若要静止，只需要 $4.5\ \text{N}$、方向沿斜面向上的静摩擦，所需值没有超过上限，所以“静止”这个假设自洽；$T=50\ \text{N}$ 且物块已经向上滑动时，摩擦方向翻为沿斜面向下，模型也应切换为 $f_k=\mu_kN$。如果你的判断不同，优先复查两步：摩擦方向看的是，静摩擦大小则应先由方程求“需要多少”、再与上限比较。把这两步分开，受力图才真正能变成可信的动力学方程；下面就让方程中的力进一步依赖速度。

牛顿第二定律真正的威力在微分方程里

把受力图画对只是入口。若力依赖于时间、位置或速度，动力学方程一般写成

$m\frac{\mathrm d^2\boldsymbol r}{\mathrm dt^2}=\boldsymbol F(\boldsymbol r,\boldsymbol v,t)$

给定 $\boldsymbol r(0)$ 和 $\boldsymbol v(0)$ 后，才构成一个具体的初值问题。常量合力只是最简单的特例；那时加速度为常量，积分两次便回到熟悉的匀变速运动公式。大学物理向前迈的一步，是不再假定每个过程都必须匀加速。

线性阻力下落：加速度为什么越来越小

让小球从黏性流体中竖直下落，取向下为正，忽略浮力并采用线性阻力模型。小球速度为 $v\geq0$ 时，重力向下、阻力向上，方程为

$m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=mg-bv$

刚释放且 $v=0$ 时，阻力为零，加速度为 $g$；速度增大后，阻力增大，加速度便减小。当 $bv=mg$ 时合力为零，速度不再改变，得到终极速度

$v_t=\frac{mg}{b}$

“终极速度”不是运动结束，而是加速度趋近零后的稳定下落速度。把方程改写为

$\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}+\frac bm v=g$

由一阶线性微分方程可得

$v(t)=v_t+(v_0-v_t)e^{-t/\tau},\qquad \tau=\frac mb$

$\tau$ 叫时间常数。若 $v_0=0$，经过一个 $\tau$，速度达到 $v_t(1-e^{-1})\approx0.632v_t$；经过约 ，已经非常接近 。这里要把两个问题分开： 决定最终平台有多高， 决定靠近平台的特征时间。参数变化会让它们同向变化还是反向变化，先留给下面的预测来回答。注意这些关系属于线性阻力模型，不能直接搬到高速跳伞情境。

先别代公式公布答案。在交互的“增大质量 $m$”情景中，分别预测终极速度 $v_t$ 和时间常数 $\tau$ 会增大、减小还是不变，再点击“把参数增大 50% 验证”；同时比较新旧曲线的平台高度，以及达到各自平台相同比例所需的时间。想得更极端一点：若质量恰好加倍而 $b$、$g$ 不变，两项读数会怎样？

现在揭晓：质量增加 50% 时，$v_t=mg/b$ 与 $\tau=m/b$ 都增加 50%；若质量加倍，两者也都变为两倍。平台更高不等于“更快稳定”——用 $t/\tau$ 衡量趋近过程时，较大的 $\tau$ 表示达到新平台同一比例需要更久。最常见的误判，是只看到重物后来速度更大，便把“速度数值大”和“趋近稳定所需时间短”混成一件事。线性模型的参数效应已经读清，接下来换一种阻力随速度变化的规律，看看平台公式为什么随之改变。

如果采用平方阻力，稳定条件给出

$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{C_D\rho A}}$

它与质量、迎风面积的关系已经不同。现在的问题是：只听到“空气阻力”，能不能直接断言线性模型和平方模型谁的终极速度更大？不能，因为 $b$ 与 $C_D\rho A/2$ 是不同模型中的参数，数值和量纲也不同，必须给定具体参数后再比较。

下面先选择一组参数并作出预测，再分别运行两个模型。操作时不要只盯着最后的平台高度，还要读速度曲线最初的斜率和靠近平台时的弯曲程度；它们对应瞬时加速度如何从 $g$ 逐渐减到零。

交互中两条曲线都趋向稳定速度，是因为各自都能达到“阻力等于重力”；平台数值不同，则来自阻力随速度变化的规律不同。线性阻力常用于黏性效应占主导、速度较低的近似，平方阻力常用于许多较高雷诺数情境，不能把同一条实际轨迹随意套进两种方程。比较这两个结果的目的，不是多背一个公式，而是养成“先选模型，再写微分方程”的习惯。阻力依赖速度；下一小节再看外力直接依赖时间时，这条建模链怎样保留。

已知时变力：先保留函数，再做积分

再看一种更直接的变力。质量为 $m$ 的小车在光滑直轨上由静止出发，推进器在 $0\leq t\leq T$ 内提供

$F(t)=F_0\left(1-\frac tT\right)$

取推力方向为正，动力学方程不是“平均挑一个加速度”，而是

$\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{F_0}{m}\left(1-\frac tT\right)$

由初始条件 $v(0)=0$ 积分得到

$v(t)=\frac{F_0}{m}\left(t-\frac{t^2}{2T}\right)$

所以 $v(T)=F_0T/(2m)$。结果等于用平均推力 $F_0/2$ 计算，只是因为这里的力随时间线性下降；一般变力不能先猜平均值。再对 $v($ 积分，才会得到位置随时间的关系。这个例子展示了标准链条：受力模型给出微分方程，初始条件选定解，最终结果再接受单位和极限检查。令 时速度改变趋近零，令 增大时速度改变减小，都符合直觉。

多个物体与约束：未知力要和加速度一起求

两物体用绳连接时，张力往往不是题目给定的力，而是维持约束所需的未知量。以理想阿特伍德机为例，若 $m_2>m_1$，较重的 $m_2$ 一定以 $g$ 下落吗？先别急着答：它还要通过绳拉动 上升，所以两边的运动必须一起确定。

沿图中的箭头读约束：取 $m_2$ 向下和 $m_1$ 向上为各自正方向，轻绳不可伸长使两物体加速度大小相同，但在同一竖直坐标轴中方向相反；理想滑轮使绳两侧张力相同。因此要给两个物体分别列式：

$T-m_1g=m_1a$

$m_2g-T=m_2a$

联立得到

$$a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g,\qquad T=\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$$

若 $m_1=m_2$，$a=0$ 且 $T=mg$；若 ， 接近 ，但只要 仍为正，张力就不为零。这些极限检查比重新算一遍代数更容易发现符号错位。

下面把质量改成几组差别明显的数值。先预测运动方向，再启动动画；随后对照两张隔离体图和两条方程，检查“同一根绳”到底约束了什么，而不是凭直觉把两个加速度都写成同一个带符号的量。

操作后应能看到：质量差决定合外驱动力 $(m_2-m_1)g$，总质量 $m_1+m_2$ 决定这股驱动力要加速多少惯性；张力则是保证绳长约束成立的内部未知量。直线绳长约束讲清后，同样的思路可以转向曲线轨道：这一次未知的约束力通常是支持力，约束条件则体现在法向加速度上。

曲线运动中的约束也按同一原则处理。物体以速率 $v$ 沿曲率半径 $\rho$ 的轨道运动，在惯性系的自然坐标中有

$$\sum F_\tau=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt},\qquad \sum F_n=m\frac{v^2}{\rho}$$

$m v^2/\rho$ 是法向合力应达到的数值，不是与重力、支持力并列的一种新“向心力”。例如小车过拱桥顶端时，指向曲率中心的方向向下，方程是 $mg-N=mv^2/\rho$。速度越大，支持力越小。可支持力会不会继续减成负数，让桥面把车“向下吸住”？先沿下图比较接触、临界和脱离三个阶段。

图中的关键读数是 $N=0$：这是刚好失去接触的临界条件。若原方程给出 $N<0$，结论不是存在负支持力，而是“仍贴着桥面”的假设已经失效，之后汽车进入抛体运动，不能继续用桥面的曲率约束。连接体和桥顶问题都提醒我们，约束力由运动反求，却只能在约束仍成立时使用。下面再改变观察问题的参考系，看看同一运动为什么会出现额外的惯性力项。

参考系一加速，方程为什么要多一项

回到开头的公交车。设地面惯性系为 $S$，车厢参考系为 $S'$；车厢相对地面做无转动的平动，加速度为 $\boldsymbol a_0$。同一质点在两系中的加速度满足

$\boldsymbol a=\boldsymbol a'+\boldsymbol a_0$

在地面系中，真实力满足 $\sum\boldsymbol F=m\boldsymbol a$。代入上式并整理：

$\sum\boldsymbol F-m\boldsymbol a_0=m\boldsymbol a'$

若希望在车厢系中仍保留“左边是力、右边是质量乘相对加速度”的形式，可以定义平动惯性力

$\boldsymbol F_{\mathrm{in}}=-m\boldsymbol a_0$

于是

$\sum\boldsymbol F+\boldsymbol F_{\mathrm{in}}=m\boldsymbol a'$

惯性力没有施力者，也没有与之对应的第三定律反作用力；它是我们在非惯性系中改写运动方程时引入的项。车向前加速时，车内惯性力指向后方，于是能简洁解释人相对车厢的后倾趋势。在地面惯性系中则不画这股力，只分析脚与地板的摩擦如何使身体获得向前加速度。

下面的总览图要分成左右两格读。先看左格：沿蓝色箭头确认车厢向右加速，再沿红色箭头判断车厢系中的平动惯性力为何向左；接着看右格：先找转轴，再确认红色离心惯性力沿半径向外。读图前先回答一个问题：两支红箭头都向“外”或向“后”，是否说明物体在地面惯性系中真的多受了一股这样的相互作用力？

答案是否定的。左格只在随车加速系中补入 $-m\boldsymbol a_0$；回到地面系，摆球的偏斜必须由重力与悬线拉力的真实合力解释。右格只在随转盘转动的系中补入径向向外的离心惯性力；回到地面系，物块需要的向心加速度来自指向转轴的真实约束力。图的左格预告平动非惯性系，右格预告转动非惯性系：先用电梯和货车把左格算清，再回到圆盘处理右格，不能把两套参考系的箭头抄进同一张受力图。

电梯里的“变重”，变的是支持力

质量为 $m$ 的人站在竖直加速的电梯中，秤的读数对应支持力 $N$。若电梯加速度向上且大小为 $a_0$，在地面惯性系中

$N-mg=ma_0$

所以 $N=m(g+a_0)$。人在上升时不一定“超重”：若电梯正在上升却向下减速，加速度向下，读数反而小于 $mg$。决定读数的是加速度，不是速度方向。

在电梯系中，人相对电梯静止，加入向下的惯性力 $ma_0$，便有 $N-mg-ma_0=0$，得到同一结果。电梯自由下落时 $$ 向下，；人的重力仍为 ，只是人与秤一起自由下落，秤不再需要挤压人体。

同一道题用两个参考系列式，结果必须一致。比如箱子要随水平货车以加速度 $a_0$ 一起前进，在地面系中，静摩擦向前并满足 $f_s=ma_0$；在货车系中，箱子相对静止，向前的真实静摩擦与向后的惯性力 $ma_0$ 平衡。由 都得到不打滑条件 。若在货车系中加了惯性力，又把右边写成箱子的对地加速度 ，就把同一参考系加速度算了两次。

匀速转动系：相对静止也可能需要离心惯性力

考虑以恒定角速度 $\boldsymbol\omega$ 转动的圆盘。小物块固定在距轴 $r$ 处，相对圆盘静止。在地面惯性系中，物块仍做圆周运动，必须有真实约束力指向转轴，大小为 $m\omega^2r$。

在随圆盘转动的参考系中，物块的相对加速度为零。为了写成平衡形式，需要引入离心惯性力

$\boldsymbol F_{\mathrm{cf}}=-m\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r)$

它沿垂直转轴的径向向外，大小为 $m\omega^2r$，与向内的真实约束力平衡。请留意措辞：在惯性系中，物块不是受到“向心力和离心力”而平衡；它只受到真实的向内合力并产生向心加速度。离心惯性力只属于转动非惯性系的方程。

若圆盘水平，物块仅靠静摩擦随盘转动，则必须满足

$m\omega^2r\leq\mu_smg$

也就是

$r\leq\frac{\mu_sg}{\omega^2}$

质量约掉了，所以同种接触条件下，是否打滑与物块质量无关。若物块相对圆盘运动，或圆盘角速度变化，还会出现与相对速度、角加速度有关的附加惯性项；它们不属于本章的基础范围，不能在那些情形下只保留离心惯性力。

进入交互前做两组具体操作。先在实验 A 选择“平动惯性力与车厢加速度反向”，提交预测后把 $a_0$ 从正值调成负值，同时保持真实合力不变，观察惯性力是否随 $a_0$ 翻向，并逐行对照地面系与车厢系的账本。再切到实验 B，固定 $m$ 与 $r$，把 $\omega$ 调为原来的两倍；先预测径向力变为几倍，再读两种参考系给出的数值。

两组结果应这样对齐。实验 A 在地面系只写 $\sum\boldsymbol F=m\boldsymbol a$，在车厢系则写 $\sum\boldsymbol F-m\boldsymbol a_0=m\boldsymbol a'$；两式借助 描述同一运动。实验 B 在地面系由真实向内约束力提供 ，在转盘系才加入大小相等、方向向外的离心惯性力，使相对静止的物块满足平衡； 加倍时两者的大小都变为四倍。最常见的混画错误，是在地面系既画向外的离心惯性力，又把 当成另一股“向心力”；前者不属于该参考系，后者只是合力要求，并非新增相互作用。把参考系账本分清后，还要再问所用系统边界和惯性系近似是否成立，这正是下一节的两个边界提醒。

两个边界提醒：质量变化与参考系近似

第一，$\sum\boldsymbol F=m\boldsymbol a$ 默认研究对象质量不变。火箭喷气、漏沙小车等开放系统有质量穿过所选边界，不能把 $m(t)$ 随手塞进 $ma$，也不能不说明系统边界就机械写 $\boldsymbol F=\mathrm d(m\boldsymbol v)/\mathrm dt$。正确方程还要记录进出质量携带的动量流；动量章节将建立封闭质点系的基本方法；连续变质量开放系统还需另行建立动量通量方程，这里只识别模型边界。

第二，实验室地面被当作惯性系是一种近似。普通斜面、小车和落体实验中，地球自转效应远小于测量精度，近似很可靠；长程大气运动、远程弹道或高精度摆实验中，这些效应可能积累到不能忽略。好模型不是“永远正确”的模型，而是在说明的尺度和精度内足够准确的模型。

动力学答案还应经过三类自检。先看量纲：$ma$、$bv$、$m\omega^2r$ 都必须具有力的量纲；再看极限：令摩擦系数趋近零、令参考系加速度趋近零，方程应退回更简单且熟悉的情形；最后看约束：绳的张力不能把柔绳“压”出去，接触面的支持力不能为负，静摩擦不能超过上限。一旦违反约束，通常不是自然界出了错，而是原先假设的绷紧、接触或静止状态已经结束，需要切换运动阶段重新建模。

到这里再看常见考查，真正容易失分的通常不是不会写 $F=ma$，而是研究对象混乱、静摩擦过早取最大值、把 $mv^2/r$ 当作额外的力，或者在加速参考系中既直接用 $ma'$ 又忘了惯性力。稳妥的检查顺序始终是：参考系、研究对象、相互作用、坐标投影、约束与模型边界。

如果两个解法得到不同结果，先不要比较谁的代数更漂亮。把两边使用的参考系、正方向、摩擦状态和加速度定义逐项对齐，矛盾通常会在某个未写出的假设处现身。

把假设写出来，往往比多算一页更有效。

课后练习

练习 1：平衡力还是第三定律力对

一本书静止在水平桌面上。指出书所受重力、桌面对书的支持力各自的反作用力，并说明书为何平衡。

显示答案

书所受重力是地球对书的引力，其反作用力是书对地球的引力；支持力是桌面对书的弹力，其反作用力是书对桌面的压力。书所受重力和支持力作用在同一本书上，二者大小相等、方向相反，因此书的合力为零。两组第三定律力对分别作用在不同物体上，不能把重力与支持力说成一对作用力和反作用力。

练习 2：静摩擦会不会达到最大值

质量为 $4.0\ \text{kg}$ 的物块静置在倾角 $20^\circ$ 的斜面上，$\mu_s=0.50$，取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$。求静摩擦力，并判断物块能否保持静止。

显示答案

若保持静止，沿斜面方向所需静摩擦力为 $f_s=mg\sin20^\circ\approx13.4\ \text{N}$，方向沿斜面向上。法向力 $N=mg\cos20^\circ\approx36.8\ \text{N}$，最大静摩擦力 。由于所需值小于上限，物块能静止，实际静摩擦力是 而不是 。

练习 3：理想连接体

理想阿特伍德机两端悬挂 $m_1=2.0\ \text{kg}$、$m_2=3.0\ \text{kg}$ 的物体，绳和滑轮均理想。求加速度大小与绳张力。

显示答案

取 $m_2$ 向下为正，两物体加速度大小相同。由 $T-m_1g=m_1a$ 和 ，得 。再代回第一式，。张力小于 且大于 ，方向和数量级都合理。

练习 4：线性阻力的特征量

质量为 $0.20\ \text{kg}$ 的小球在流体中由静止下落，阻力满足 $f=bv$，$b=0.40\ \text{kg/s}$，忽略浮力。求终极速度、时间常数及 $t=1.0\ \text{s}$ 时的速度。

显示答案

取向下为正，模型为 $m\dot v=mg-bv$。终极速度 $v_t=mg/b=4.90\ \text{m/s}$，时间常数 。由 ，在 时，，方向向下。 的单位 与 的力单位相符。

练习 5：由速度相关力建立方程

水平直线上质量为 $m$ 的质点受到驱动力 $F_0$ 和阻力 $-bv$，初速度为零。写出动力学方程，并求稳定速度和速度随时间的表达式。

显示答案

取驱动力方向为正，方程是 $m\,\mathrm dv/\mathrm dt=F_0-bv$。稳定时加速度为零，所以 $v_t=F_0/b$；时间常数仍为 。满足 的解为 。常见错误是把阻力写成恒定的 ，这样不仅物理模型错，单位也不对。

练习 6：拱桥顶端的接触条件

质量为 $1000\ \text{kg}$ 的汽车驶过半径 $50\ \text{m}$ 的凸形桥顶，桥面对车的支持力为 $6000\ \text{N}$，取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$。求车速，并求刚好不离开桥面时的临界车速。

显示答案

桥顶处取竖直向下、即指向曲率中心为正，真实力方程为 $mg-N=mv^2/r$。代入得 $v=\sqrt{(mg-N)r/m}=\sqrt{(9800-6000)\times50/1000}\approx13.8\ \text{m/s}$。刚好失去接触时 ，故 。 是合力要求，不应再额外画一股“向心力”。

练习 7：电梯读数看速度还是加速度

质量为 $60\ \text{kg}$ 的人站在电梯秤上。电梯以 $2.0\ \text{m/s}$ 的速度向上运动，却以 $1.5\ \text{m/s}^2$ 的加速度向下减速。求秤的示数。

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取向上为正，人的加速度是 $a=-1.5\ \text{m/s}^2$，而不是因为“向上运动”就取正。由 $N-mg=ma$，得 $N=m(g-1.5)=60\times8.3=498\ \text{N}$。读数小于静止时的 。这说明表观重量由加速度决定，速度方向只描述当下运动方向。

练习 8：加速车厢中的悬线

车厢以水平加速度 $a_0$ 向右运动，一质量为 $m$ 的小球由轻线悬挂并相对车厢静止。求悬线与竖直方向的夹角 $\theta$ 以及张力大小。

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在车厢系中加入水平向左的平动惯性力 $ma_0$。小球相对车厢平衡，张力的水平分量平衡惯性力，竖直分量平衡重力：$T\sin\theta=ma_0$，$T\cos\theta=mg$。因此 ，。也可在地面惯性系中用张力水平分量提供向右加速度，结果相同。

练习 9：转盘上的静摩擦边界

水平转盘以恒定角速度 $\omega=2.0\ \text{rad/s}$ 转动，物块与盘面间的静摩擦系数为 $0.40$。求物块能随盘一起转动而不滑动的最大半径。

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在地面惯性系中，静摩擦力提供向心合力，需满足 $m\omega^2r\leq\mu_smg$。因此 $r_{\max}=\mu_sg/\omega^2=0.40\times9.8/4.0=0.98\ \text{m}$。在转盘系中，也可说向内的静摩擦与向外的离心惯性力平衡到极限。质量在不等式两边约去，结果与物块质量无关。

练习 10：模型边界综合判断

10

关于牛顿定律与参考系，下列说法正确的是：

A.相对惯性系做匀速直线运动的参考系仍可视为惯性系B.静摩擦力的大小在任何时候都等于静摩擦系数与支持力之积C.在匀速转盘参考系中研究相对转盘静止的物体，可以引入离心惯性力D.连续喷气的火箭只需把变化的质量代入 F=ma 就能得到完整方程

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本章收束

牛顿第一定律给出惯性运动并定义惯性系，第二定律把同一物体所受合力与瞬时加速度联系起来，第三定律说明相互作用如何在不同物体之间成对出现。处理具体问题时，先选参考系和研究对象，再画隔离体、选轴投影、加入约束并检验模型边界。

支持力、张力和静摩擦通常不是预先知道的固定值；阻力更要依据速度范围和流动状态选择模型。力依赖于位置、速度或时间时，牛顿第二定律自然成为微分方程。进入加速或转动参考系后，可以用惯性力恢复熟悉的方程形式，但必须记住它没有施力者，并且不能和惯性系中的真实力混画。下一章将从力沿位移的累积效果出发，引入另一套跨越运动过程的描述方法。