刚体的能量、角动量与守恒
自行车架空后，用手拨一下后轮，它会转很久；若把同样的力用在靠近轮轴的位置，轮子却不太肯加速。再换一个场景：你站在转椅上抱紧双臂，别人轻轻把你推转，随后你把双臂收向胸前，转速会明显增大。前一个现象在问“力怎样给转动输入能量”，后一个现象在问“没有继续推，转速为什么还能变”。
它们不能只靠上一章的 M=Iα 全部解释。转动定律擅长逐时刻追踪角加速度，这一章则换两本更全局的账：一本记功和能，另一本记力矩在一段时间内怎样改变角动量。选对账本，许多不必知道每一瞬间受力细节的问题，会一下子变得清楚。
先约定范围：本章先把定轴转动的标量公式讲熟，再把结论放到刚体平面运动和一般三维转动中辨认边界。凡写 I 都必须说明是对哪条轴的转动惯量；凡写 L=Iω，都要先确认是在说定轴分量，或转轴确为主轴。这个小习惯，会挡住本章大多数“公式长得对、对象却用错”的失误。
每个质元都在跑：转动动能从哪里来
一个飞轮看似只是在原地转，可轮缘上每一点都有线速度。设刚体绕固定的 z 轴以角速度 ω 转动，第 i 个质元质量为 mᵢ，到轴的垂直距离为 rᵢ，它的速率是 vᵢ=ωrᵢ。把全部质元的平动动能相加：
Eₖ=Σ(1/2 mᵢvᵢ²)=1/2(Σmᵢrᵢ²)ω²=1/2 I_zω²。
这不是把质点公式“类比”成转动公式，而是从质点动能逐项求和得到的。I_z=Σmᵢrᵢ² 或 I_z=∫r_⊥²dm 是刚体对当前固定轴的转动惯量。质量离轴越远，同样的 ω 下质元跑得越快，动能也越大，因此 I 不只是“质量的转动版”，它还记住了质量怎样分布。
现在想一个容易答快的问题：质量和半径相同的薄圆环与实心圆盘，以同样角速度绕中心轴转动，谁的动能大？薄圆环的 I=MR²，实心圆盘的 I=1/2 MR²，所以圆环动能是圆盘的两倍。若把“同角速度”悄悄换成“同角动量”，答案却会反过来，因为稍后会得到 Eₖ=L_z²/(2I)。条件一换，直觉也要换挡。
定轴公式很干净，但别让它冒充所有刚体运动。一个车轮在路上向前滚，质心在平动，轮子还绕质心转动。对于刚体的一般平面运动，总动能可以拆成
Eₖ=1/2 Mv_C²+1/2 I_Cω²，
其中 C 是质心，I_C 是过质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量。第一项是把全部质量仿佛集中在质心处的平动动能，第二项是相对质心的转动动能。这叫柯尼希分解。它告诉我们：滚动小球的动能不能只写 1/2 I_Cω²，否则整辆车向前跑的那一份动能被漏掉了。
把摄像机想象成和质心一起走：在这个随质心平移的画面里，刚体只剩下绕质心的转动；再站回地面看，刚体还整体向前跑。下面两栏不是说运动真的先平移、后转动，而是在同一瞬间把总动能拆成两项来记账。
图中质心的向右箭头决定平动项，绕质心的弧形箭头决定转动项。两种运动可以彼此独立：抛出的不自转木板可有 v_C≠0、ω=0，在原地绕质心轴转动的圆盘可有 v_C=0、ω≠0；只有题目另给纯滚动等约束时，二者才通过 v_C=ωR 联系起来。
若刚体绕空间中的固定点转动，一般形式是 Eₖ=1/2 ω·L_O=1/2 ω·𝐈_Oω，这里 𝐈_O 是惯量张量。任一瞬间也可写成 1/2 Iω²，但此时 I 必须是关于穿过该固定点、沿瞬时角速度方向的轴的转动惯量，且一般会随姿态变化。主轴条件是把矢量角动量写成 L=Iω 所需的条件，不能与动能的标量表达混淆。本课程不展开惯量张量的求解。
Eₖ=1/2 Iω² 中的 I 必须对应实际转轴。用平行轴定理求出了 I_O=I_C+Md²，刚体绕 O 轴转动就用 I_O；不能为了熟悉而仍拿质心轴的 I_C 代入。
先给自己一个预测：保持圆盘自转快慢不变，只让质心平移得更快，总动能中的哪一项会变？再反过来，让质心速度不变而提高自转角速度呢？下面的实验把两个旋钮故意分开，让你看到它们分别改动哪一本“小账”。
结果应该很干净：改变 v_C 只直接改变 1/2Mv_C²，改变 ω 只直接改变 1/2I_Cω²。最容易犯的错，是一看到物体“在转”就只保留第二项，或随手找一个瞬时速度为零的点，把它当成永久固定轴套完整的定轴动力学。
力矩怎样做功：不是“有力矩就一定做功”
推门时，手在门把手处沿切向移动，力对门做功；若你用力顶着已经卡死的门，力矩可能不为零，门却没有角位移，做功仍为零。转动中的功也要同时看“作用”和“位移”。
刚体绕固定轴发生微小角位移 dθ。某个力 F 作用在离轴垂直距离为 r 的点上，只有切向分量 F_t 沿作用点位移做功：
dW=F_t(r dθ)=(rF_t)dθ=M_z dθ。
先看图回答：若切向力和转角不变，只把作用点移近转轴，功会怎样？读图时沿红色箭头看作用点走过的弧长 r dθ，再看力矩 M_z=rF_t。
答案是变小：半径减小，弧长和力矩都随之减小，故 dW=F_t r dθ=M_zdθ 也减小。若圆盘被卡住、dθ=0，有力矩仍不做功。
把各外力矩相加，并从初角位置积到末角位置，得到
W_ext=∫_{θ₁}^{θ₂} M_z dθ。
若合外力矩恒定，就是 W_ext=M_zΔθ。符号由约定的转动正方向决定：力矩与角位移同向，功为正；反向，功为负。若力矩随角位置变化，就要积分，或在 M_z-θ 图像上读取带符号面积，不能拿末态力矩乘总转角。
功率是做功快慢。对时间求导可得
P=dW/dt=M_z(dθ/dt)=M_zω。
这同样是带符号关系。电动机驱动飞轮时，驱动力矩与角速度同向，机械功率为正；制动器的摩擦力矩与角速度反向，机械功率为负，飞轮的转动动能下降。工程设备铭牌给出功率时，常还要区分输入功率、轴上输出功率和效率，本章公式里的 P 是所研究力矩对刚体的瞬时机械功率。
先预测两件事：保持力矩和转角不变而增大 I，功与末角速度会怎样？再选负力矩并增大目标转角，圆盘总能到达吗？拖动四个滑块，让“外力矩做功”与“动能变化”两栏对账。
结果是：恒力矩下 W=M_zΔθ 与 I 无关，但 I 越大，ω² 的改变量越小；制动力矩足够大时，圆盘会提前停下，不能把“负的 ω²”解释成反向角速度。实验限于固定轴、恒定 I 和恒力矩；变力矩要积分。下面把观察写成解析式。
把上一章的定轴转动定律 M_z=I_zα 代入力矩功，并利用 α=dω/dt=ω dω/dθ，有
W_ext=∫I_zαdθ=∫I_zωdω=1/2 I_zω₂²-1/2 I_zω₁²。
于是得到定轴转动的动能定理：
W_ext=ΔEₖ。
这里的 W_ext 是合外力矩做的总功。固定转轴的约束力作用点不动，通常不做功；刚体内部维持形状的约束力，其总功在理想刚体模型中也不改变宏观机械能。若有轴承摩擦、材料形变或空气阻力，相关功必须如实进账。
来看一台简化电机：飞轮对轴的转动惯量为 2.5 kg·m²，角速度由 10 rad/s 增到 18 rad/s，忽略阻力。电机做功为 1/2×2.5×(18²-10²)=280 J。若轴上恒定力矩为 6.0 N·m，则转角 Δθ=W/M≈46.7 rad。注意 rad 在功的量纲中视为无量纲，所以 N·m 与 J 量纲相同；但力矩和能量的物理含义不同，不能只因单位外形相同就混称。
如果重力也参与，例如均匀细杆绕水平固定端下摆，最省力的记账方法往往是把“杆和地球”纳入系统，写
1/2 I_Oω₁²+Mgy_{C1}=1/2 I_Oω₂²+Mgy_{C2}。
固定铰链力不做功，若忽略阻力，机械能守恒。这里重力势能属于杆—地球系统，而不是孤零零地属于杆；y_C 是质心高度，不是杆端高度。
再看一个很能暴露“漏账”的装置：两物体用不打滑的轻绳跨过一个有质量的定滑轮。一边下降、一边上升时，两物体都有平动动能，滑轮还有转动动能。若绳速为 v、滑轮半径为 R，无滑动约束给出 ω=v/R。设下降物体质量 m₁、上升物体质量 m₂，滑轮转动惯量为 I，下降高度为 h，忽略轴摩擦且由静止释放，则
(m₁-m₂)gh=1/2(m₁+m₂)v²+1/2I(v²/R²)。
把右侧合并后，v²=2(m₁-m₂)gh/(m₁+m₂+I/R²)。分母里的 I/R² 像一份“等效质量”：滑轮越难转，同样的重力势能差能分给两物体平动的就越少。若直接照搬“理想无质量滑轮”结论，相当于把滑轮吃掉的能量整项抹去了。
这个装置还提醒我们，功—能法与逐个受力法并不矛盾。分别对两物体列牛顿第二定律时，滑轮两侧张力一般不相等，正是这份张力差给滑轮提供力矩；把整个系统放进能量账后，两侧张力属于系统内部作用，不必逐个求出。方法的差别来自研究对象不同，不是某一种方法“忽略了力”。
角动量不是“转动的动量”一句话就够了
飞轮已经高速旋转时，你从侧面轻推轮轴，会觉得它不肯沿推力方向直接倒下。这种对“转动状态改变”的抵抗，不能只由动能描述，因为动能没有方向。角动量则同时记录大小和方向。
对选定原点 O，质点系或刚体的角动量定义为
L_O=Σ rᵢ×mᵢvᵢ。
它是矢量，方向由叉乘的右手规则确定。对于绕固定 z 轴转动的刚体，最稳妥的标量结论是
L_z=I_zω。
这句话说的是角动量在转轴方向的分量。为什么不马上写矢量式 L=Iω？因为一般刚体的质量分布并不对称，角速度方向未必与总角动量方向平行；正确的三维关系要用 L_O=𝐈_Oω。若固定轴是刚体的一条主轴，特别是对称轴，L 才与 ω 平行，此时矢量式才可以用标量 I 简写。
这一区分看似挑剔，其实很实用。普通定轴题往往只问轴向分量，直接用 L_z=I_zω 即可；陀螺发生进动时，角动量方向本身在空间改变，就必须回到矢量图像。考试中若题目明确“绕固定对称轴转动”，写 L=Iω 通常没有歧义；若题目说“任意形状刚体作一般运动”，就不能无条件照搬。
动能和轴向角动量还能互相改写：
Eₖ=1/2 I_zω²=1/2 L_zω=L_z²/(2I_z)。
三种写法对应三种已知条件。同 ω 比较时，I 大者动能大；同 L_z 比较时，I 小者动能大。这正是开头圆环和圆盘问题会因约束条件不同而换答案的原因。
把这个判断放进一个常见实验：同轴的两个圆盘转速不同，落在一起后靠接触面摩擦，最终以共同角速度转动。若轴向外力矩可忽略，总角动量守恒：I₁ω₁+I₂ω₂=(I₁+I₂)ω_f。可是初、末转动动能通常不相等，两个盘之间的滑动摩擦把一部分机械能变成了内能。若两盘转向相反，ω 必须带正负号；最终甚至可能停下，但“停下”只说明总角动量恰好为零，不说明初始动能也是零。
你可以用一个极端情况自检：两个完全相同的圆盘分别以 +ω₀、-ω₀ 转动，接触后共同静止。初始总角动量为零，末态也为零，角动量守恒得很好；初始动能却是 Iω₀²，末态为零，全部差额转成内能。这一例子把两条守恒的边界分得非常干净：外力矩决定角动量账，是否存在耗散和外部做功决定机械能账。
力矩的时间积累：角动量定理与守恒
用扳手拧螺母，力矩很大但只作用极短时间，改变可能有限；用较小力矩持续作用很久，转动状态也能明显改变。把力矩在时间上的积累叫角冲量。对于惯性系中固定原点 O，质点系角动量定理为
dL_O/dt=M_{O,ext}，
积分后是
L_{O2}-L_{O1}=∫_{t₁}^{t₂} M_{O,ext}dt。
对定轴转动取轴向分量，就得到
L_{z2}-L_{z1}=∫M_{z,ext}dt。
恒定外力矩下，右边是 M_zΔt。它和动能定理长得很像，却回答不同问题：∫M_zdθ 改变转动动能，∫M_zdt 改变轴向角动量。一个积角位移，一个积时间，千万别把积分变量串台。
若给出 M_z-t 图像，曲线与时间轴之间的带符号面积就是角动量变化；若给出 M_z-θ 图像，面积才是功。比如一个大小恒为 8 N·m 的力矩作用 0.25 s，产生的角冲量为 2.0 N·m·s。它能告诉你 L_z 增加多少，却不能仅凭这些数据断定做了多少功，因为这段时间内转过的角度还未知。反过来，知道力矩做了 2.0 J 的功，也不能在不知道作用时间时求角动量变化。
如果关于固定点 O 的合外力矩为零，那么矢量角动量 L_O 守恒；如果只有合外力矩的某个方向分量为零，那么只保证该方向的角动量分量守恒。守恒的条件不是“没有外力”，而是“关于所选点或轴的合外力矩为零”。轴承对转轴可能施加很大的支持力，但只要其作用线通过轴，对该轴的力矩就是零。
选矩心有时能让复杂外力自动“消音”。橡皮泥撞圆盘时，取转轴中心为矩心，轴的冲量再大也没有轴向力矩；若错误地对橡皮泥单独取它自己的瞬时位置，圆盘对它的冲量矩就不能忽略。又如刚体绕固定铰链摆动，取铰点为矩心能消去未知铰链力矩，但重力通常仍有力矩，所以摆动过程中角动量并不守恒。选点不是为了让公式好看，而是要让外力矩条件真实成立。
选取矩心时必须前后一致。M_O=0 推出的是关于同一固定点 O 的角动量守恒；换到另一个点，外力矩可能不再为零。若矩心在惯性系中加速运动，直接写最简形式 dL/dt=M 还可能漏掉修正项。本章计算优先选惯性系中的固定点或固定轴。
转椅实验常写成 I₁ω₁=I₂ω₂。可严格地说，人收臂时“人加转椅”的形状在改变，已经不是一个不变形的单个刚体；角动量守恒应用于这个可变形系统。若竖直轴方向外力矩可忽略，系统的轴向角动量仍守恒。I 变小，ω 增大。
把收臂前后两帧并排看，先盯住那根方向不变的角动量箭头，再看转速怎样变化。不要反过来用“转得更快”猜角动量一定更大，因为 L_z 同时由 I 和 ω 决定。
这幅图表达的是可变形系统在外力矩可忽略时的两种状态，不是一个形状不变的刚体突然改变了自身转动惯量。右侧转得更快，只够推出 I 变小与 ω 变大的配合；它没有承诺机械能不变。
那转动动能呢？由 Eₖ=L_z²/(2I) 可知，L_z 不变而 I 变小，动能反而增大。能量没有凭空出现：收臂者的肌肉做功，化学能转化为转动动能。因此“角动量守恒”绝不自动推出“机械能守恒”。反过来，一个受恒定制动力矩的飞轮，角动量和机械能都不守恒，只是分别要用角冲量和负功去计算变化。
这里比较收臂前后径向速度为零的状态，或采用径向动能可忽略的准静态近似；Eₖ 专指转动动能。有限径向速度时，总动能还包含各质量块的 1/2 m(dr/dt)²，内力总功不能只用转动动能增量代替。
图只给了两个端点，交互展示上述准静态状态的连续比较。固定初始角动量，预测两块相等质量向轴移动时 I(r)、ω(r)、Eₖ(r) 怎样变；再拖动 r，观察内力功 W_internal=ΔEₖ 的正负。
若主体惯量为 I_base、两块质量各为 m，则 I(r)=I_base+2mr²；L_z 固定时，ω=L_z/I、Eₖ=L_z²/(2I)。向内移动使 I 减小、ω 与动能增大，正的 W_internal 就是动能增量；向外则相反。角动量守恒不妨碍可变形系统靠内力做功改变动能。接着看碰撞中另一种 I 改变。
你可以先判断：一团橡皮泥以切向速度撞上可自由转动圆盘边缘并粘住，碰撞瞬间能否同时用角动量守恒与机械能守恒？对转轴而言，轴力矩为零，短暂碰撞中外力矩的角冲量可忽略，所以角动量守恒；但粘连是完全非弹性过程，有形变和内能增加，机械能不守恒。两条“守恒”各有各的门卫，不能因为名字里都有守恒就结伴放行。
滚动：平动和转动必须记在同一本账里
把实心球、实心圆柱和薄圆环从同一斜面同一高度同时释放，谁先到底？如果它们无滑动地滚下，答案通常是实心球。奇怪的是，三个物体失去的重力势能都按 Mgh 计算；差别藏在能量如何分给平动和转动。
刚体相对静止地面作纯滚动时，接触点相对地面的瞬时速度为零。由速度合成得到
v_C=ωR，
加速度的切向约束为 a_C=αR。第一式只说质心速率和角速度的大小关系，转动方向要由实际运动判断。圆轮向右滚时，若取纸面外为角速度正方向，它通常是顺时针，ω 的代数值为负；做标量题时常直接使用大小以免符号干扰，但矢量判断不能丢。
设刚体对质心轴的转动惯量为 I_C=kMR²，从高度差 h 处由静止沿固定斜面纯滚动而下，忽略滚动阻力。固定斜面对刚体的支持力不做功；静摩擦力作用处的接触点瞬时静止，因此静摩擦力的瞬时功率也为零。机械能关系是
Mgh=1/2 Mv_C²+1/2 I_Cω²=1/2 Mv_C²(1+k)，
所以
v_C=sqrt(2gh/(1+k))。
半径 R 和质量 M 都约掉了，但形状因子 k 留下。实心球 k=2/5，实心圆柱 k=1/2，薄圆环 k=1，因此同高到底时实心球最快、圆柱其次、圆环最慢。不是因为球受到更大的重力，也不是因为环“摩擦更多”，而是环把更大比例的能量分给了转动。
如果暂时把公式盖住，只观察三种刚体的能量条和底端速度箭头，你能否说出为什么圆环落后？先想一想“转动占比”随质量分布向轮缘集中怎样变化，再看图中的对应关系。
答案是：同一份 Mgh 中，薄圆环分给转动的比例最大，留给质心平动的比例最小，所以它的质心速度最小。图中速度箭头比较的是同高到底时的质心速率，不表示三者所受重力或静摩擦力按箭头长度成比例。
你也可以不走能量路线，直接比较加速度。把平动方程和绕质心的转动方程联立，会得到 a_C=g sinβ/(1+k)。它与上面的末速结论彼此核对：同一斜面长度 s 上，v_C²=2a_Cs，而 h=s sinβ，恰好仍是 v_C²=2gh/(1+k)。能量法快速连接起点与终点，动力学法则还能给出加速度和摩擦力；一道题若追问到达时间，通常还需要后者。
静态图已经回答形状排序，交互只问“能否纯滚”。先猜高度 h 加倍会不会提高摩擦门槛；再调节 k、倾角 β 和 μ_s，让 μ_s 穿过临界值，观察纯滚动与滑动怎样切换。
结果是 μ_req=[k/(1+k)]tanβ 与 h 无关：高度只改变纯滚动成立时的末速，k 或 β 增大才会抬高门槛。若 μ_s<μ_req，便发生相对滑动，v_C=ωR 及纯滚动速度公式必须停用。静摩擦也只是按需取值，并非总等于 μ_sN。接下来解释它为何在理想固定斜面上不消耗机械能。
“静摩擦不做功”是最容易被背成错误口号的地方。在固定、刚性、无形变的静止地面上理想纯滚动时，接触点对地瞬时静止，所以接触力对整个刚体不传递机械功；静摩擦仍可能不为零，它负责提供角加速度。若接触面本身运动，例如传送带，或轮胎与地面明显形变并有滚动阻力，静摩擦或接触力可以传递能量，刚才的结论不能原样搬用。
有人会说：“既然接触点瞬时静止，那轮子这一刻就是绕接触点转，直接写 Eₖ=1/2I_Pω² 行不行？”对于平面纯滚动的瞬时动能，可以。由平行轴定理 I_P=I_C+MR²，于是 1/2I_Pω²=1/2I_Cω²+1/2M(ωR)²，正好等于平动加绕质心转动两项。不过，接触点 P 不是始终固定在刚体上的同一个物质点，它的加速度也不为零。把“瞬时转动中心”继续当成永久固定轴去套 M_P=I_Pα，通常会出错。它是方便描述瞬时速度和动能的工具，不自动变成动力学中的固定支点。
再问一步：有静摩擦就一定能保证纯滚动吗？不一定。沿倾角 β 的斜面下滚时，列质心平动和绕质心转动方程：
Mg sinβ-f=Ma_C，fR=I_Cα，再用 a_C=αR，可得
a_C=g sinβ/(1+k)，f=[k/(1+k)]Mg sinβ。
所需静摩擦必须满足 f≤μ_sMg cosβ，即
μ_s≥[k/(1+k)]tanβ。
若实际静摩擦系数不够，接触点会滑动，v_C=ωR 不再成立，摩擦通常耗散机械能；这时必须重新列平动和转动方程，不能继续套纯滚动末速公式。请注意，上述“摩擦沿斜面向上”针对的是物体在重力作用下由静止滚下的常见情形；若另有驱动力矩或初始滑动，摩擦方向要根据接触点相对滑动趋势判断，不能死记。
进动：外力矩不只会改变角动量大小
普通静止陀螺支在一点上会倒，高速旋转的陀螺却常让自转轴绕竖直方向缓慢转圈。第一眼很反常：重力向下，为什么轴没有直接向下掉，反而横着“绕圈”？关键是力矩决定的是 dL/dt 的方向，而不是物体立刻沿力矩方向转过去。
以支点 O 为矩心，重力矩为 M_O=r_C×Mg。高速对称陀螺的自转角动量近似沿对称轴，大小约为 L≈I_sω_s。重力矩大致与 L 垂直，于是很短时间内 ΔL=M_OΔt 主要改变 L 的方向而不是大小；自转轴便跟着转向，形成进动。
在快速自转、进动稳定、章动可忽略的近似下，若自转轴与竖直方向夹角为 θ，有 |dL/dt|=ΩL sinθ，而重力矩大小 Mgr_C sinθ，从而
Ω≈Mgr_C/(I_sω_s)。
这里 Ω 是进动角速度，ω_s 是陀螺自转角速度。自转越快，进动通常越慢；质量或质心到支点距离越大，重力矩越大，进动越快。这个式子有明确边界：它描述的是快速自转的对称陀螺在稳定进动近似下的主要关系，不负责处理启动瞬间的章动，也不是任意姿态三维刚体的通用公式。
进动不是角动量守恒的例子：重力对支点有外力矩，角动量方向正在改变。它恰恰是矢量角动量定理最直观的演示——外力矩若近似垂直于角动量，主要改变方向；若平行或反平行，则主要改变大小。
公式似乎在说自转越慢，进动越快，那么能不能把 ω_s 一路调到接近零？先用下面的矢量实验观察 M_O、L 与短时间 ΔL 的方向，再把自转速度调低，留意页面为什么只提示“近似可靠性下降”，而不继续伪装成精确预言。
你会看到，稳定进动关系来自 ΩL sinθ≈Mgr_C sinθ。在 θ 不接近零且近似条件成立时，两边的 sinθ 才能自然约去；当自转太慢、章动不可忽略，或轴几乎竖直使几何关系退化时，应回到完整刚体动力学，而不是把简式外推到发散。
三本账怎样选：动力学、能量还是角动量
走到这里，本章并不是又添了一堆彼此竞争的公式，而是给同一过程装上三个观察窗口。
实际解题时，先别急着问“这一章该套哪一个公式”，而要问“题目给的是一段时间、一段转角，还是两个状态”。时间对应角冲量，转角对应力矩的功，两个状态之间若没有耗散则可能使用守恒。再检查系统边界和转轴，这个选择过程往往比后面的代数更关键。
- 想知道某一瞬间的角加速度、摩擦力或轴力，优先从
ΣM=Iα配合质心运动方程入手。 - 已知起末角位置或高度，关心角速度而不关心经历多久，优先检查功—能关系；定轴用
∫M_zdθ=Δ(1/2I_zω²)，平面运动别漏掉1/2Mv_C²。 - 过程很短、碰撞力复杂，或外力矩为零而系统的
I发生变化，优先看角冲量与角动量守恒。 - 遇到一般三维运动，回到矢量定义
L=Σr×mv；不要默认L与ω平行。遇到滚动，先检查是否真的无滑动，再使用v_C=ωR。
到了期末或考研复习阶段，常见失分并不是不会算，而是把适用条件藏起来：把质心轴转动惯量用到偏心固定轴；把 L_z=I_zω 扩写成任意方向的矢量结论；看到“角动量守恒”就再补一条机械能守恒；看到“摩擦”就断言机械能必定减少。每次列式前用一句话写清系统、矩心或转轴、外力矩、接触是否滑动，这些陷阱就很难再钻空子。
课后练习
1
关于刚体能量和角动量，下列说法正确的是哪些？
2
恒定合外力矩 M 使定轴飞轮转过角度 Δθ。若 M 与角位移同向，飞轮转动动能的变化是？
第 3 题： 一个飞轮对轴的转动惯量为 4.0 kg·m²，初角速度为 25 rad/s。制动器施加恒定大小为 10 N·m、方向与转动相反的力矩。求：（1）停止所需时间；（2）停止前转过的角度；（3）制动力矩做的功。
第 4 题： 一台电机输出力矩随角位置变化为 M(θ)=M₀(1-θ/θ₀)，在 0≤θ≤θ₀ 内驱动转动惯量为 I 的飞轮，初角速度为零，忽略阻力。求飞轮转到 θ₀ 时的角速度。
5
转椅上的人以非零角速度转动后收臂，关于竖直轴的外力矩可忽略，比较初末径向速度为零的状态。收臂后系统转动惯量减小，则哪项正确？
第 6 题： 质量 m 的小橡皮泥以速度 v 沿切线撞上半径 R、质量 M 的均匀圆盘边缘并粘住。圆盘原来静止，可绕中心光滑竖直轴转动。求碰后角速度，并说明机械能是否守恒。
7
实心球、实心圆柱和薄圆环从同一高度由静止沿同一固定斜面纯滚动到底，质量和半径可不同。忽略滚动阻力，正确的是哪些？
第 8 题： 一个均匀实心圆柱从倾角 30° 的斜面上由静止纯滚动下滑。已知 I_C=1/2MR²。（1）求质心加速度；（2）求所需静摩擦系数的最小值；（3）说明摩擦方向。取 g=9.8 m/s²。
第 9 题： 长度 l、质量 M 的均匀细杆可绕上端水平轴无摩擦转动。细杆从水平位置由静止释放，求它转到竖直向下位置时的角速度和轴对杆的支持力大小。已知杆对端点轴的转动惯量 I_O=1/3Ml²。
第 10 题： 一个快速自转的对称陀螺，质量 0.50 kg，质心到支点距离 0.080 m，绕对称轴转动惯量 2.0×10⁻⁴ kg·m²，自转角速度 400 rad/s。在稳定进动近似下求进动角速度，取 g=9.8 m/s²，并说明若自转角速度降为一半，公式预言进动怎样变化。