矢量、微积分语言与质点运动描述 | 自在学

第1章矢量、微积分语言与质点运动描述

打开手机地图，看见代表自己的小圆点从宿舍移到教学楼，似乎一句“我走了八百米”就把运动说清楚了。可如果同伴只知道这八百米，他能在校园里找到你吗？不能。八百米只告诉他走了多长，还缺方向、起点、路线和用时。更麻烦的是，同一个人绕湖一周回到原处，明明走得气喘吁吁，位置变化却是零。

这正是大学物理开篇要换一套语言的原因。我们不再只用一个数描述运动，而要用矢量记录方向，用坐标把空间位置变成数，用函数记录它怎样随时间改变，再用微分与积分在“某一瞬间”和“一整段过程”之间往返。本章不急着研究某一种特殊曲线运动，而是先把这套通用工具装好。

1. 描述之前，先说明“站在哪里看”

坐在平稳行驶的列车里，你看见桌上的水杯静止；站台上的人却看见水杯随列车前进。两种说法并不打架，因为“位置是否改变”必须相对于某个选定对象来判断。这个用来比较位置和运动的对象或对象组，叫作参考系。

参考系选定之后，还需要一套给位置编号的办法，这就是坐标系。研究沿直轨道行驶的小车，一个带正方向的坐标轴通常已经够用；研究桌面上移动的气垫滑块，可用平面直角坐标系；研究空间中的无人机，则常用三个互相垂直的坐标轴。坐标系是数学标尺，参考系是观察运动所依附的物理对象，两者相关，却不是同一个概念。

还有一个常被忽略的选择：我们要不要关心物体的大小和形状？计算高铁从长沙到武汉的行程时，车身长两百多米通常不影响结论，可以把整列车抽象成一个有质量但无大小的点，称为质点。可是讨论列车进站后车头已经过站台、车尾是否仍在站外时，车长就不能丢掉。

质点不是“小到看不见的物体”，而是针对当前问题作出的理想化。能否视为质点，取决于物体的形状、大小和转动是否会影响所问结果，而不只取决于物体本身有多大。

为了让不同地点、不同实验者的结果可以比较，我们还约定时间读数 $t$ 和所用单位。本册采用国际单位制：长度用米（ $\mathrm{m}$ ），时间用秒（ $\mathrm{s}$ ）。至此，一条运动描述至少应交代参考系、坐标系、计时方式和研究对象的模型。

2. 标量回答“多少”，矢量还要回答“朝哪儿”

温度 $25\ ^\circ\mathrm{C}$ 、质量 $2\ \mathrm{kg}$ 、时间 $3\ \mathrm{s}$ ，只要数值和单位确定，物理量就确定了。这类量叫标量。位移、速度、加速度却不同：“速度为 $5\ \mathrm{m/s}$ ”仍没有说清朝哪边运动，它们属于矢量。

矢量可以画成带箭头的有向线段：箭头长度按比例表示大小，箭头指向表示方向。书写时常用粗体 $\boldsymbol A$ ，其大小写成 $A=|\boldsymbol A|$ 。两个矢量相等，要求大小相同且方向相同；把方向反过来得到 $-\boldsymbol A$ 。因此“负矢量”并不是大小小于零，而是方向与原矢量相反。

矢量分量与合成示意图

图中分量的数值用于说明合成关系，示意布局不作为等比例作图，方向角应由分量计算。

把两个矢量首尾相接，从第一个的起点指向第二个的终点，得到它们的和；等价地，也可以用平行四边形的对角线作和矢量。减法 $\boldsymbol A-\boldsymbol B$ 则可理解为 $\boldsymbol A+(-\boldsymbol B)$ 。这里有个小问题：两个大小分别为 3 和 4 的矢量相加，结果一定是 7 吗？

答案是否定的。两者同向时大小为 7，反向时可能为 1，互相垂直时为 5。矢量运算不能只拿大小做普通算术，方向也参与结果。

在直角坐标系中，选取沿三个坐标轴正方向的单位矢量 $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ ，任意矢量都可写成

\boldsymbol A=A_x\boldsymbol i+A_y\boldsymbol j+A_z\boldsymbol k.

其中 $A_x,A_y,A_z$ 是带正负号的标量分量，而不是三个新的矢量。矢量大小为

A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.

相加时只需对应分量相加：

\boldsymbol A+\boldsymbol B=(A_x+B_x)\boldsymbol i+(A_y+B_y)\boldsymbol j+(A_z+B_z)\boldsymbol k.

这种“先投影、再按标量计算、最后合成”的办法会贯穿整册。下面的交互可以让你故意把分量改成正、负或零，观察和矢量怎样跨越不同象限。特别留意：方向角必须结合两个分量的符号判断，不能只算一个普通反正切就草率收工。

“矢量的大小”和“矢量在某轴上的分量”不是一回事。大小按定义不为负，分量却可为负；负号说明投影指向坐标轴负方向。

3. 位置矢量与位移：终点相减，而不是长度相减

坐标系原点 $O$ 指向质点所在点 $P$ 的矢量叫位置矢量，简称位矢：

\boldsymbol r=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+z\boldsymbol k.

运动时，坐标随时间改变，所以更完整的写法是

\boldsymbol r(t)=x(t)\boldsymbol i+y(t)\boldsymbol j+z(t)\boldsymbol k.

这就是质点的运动方程。它像一段可查询的录像：给定时刻 $t$ ，就能读出当时的位置。 $x(t),y(t),z(t)$ 也称参数方程；若在允许的时间范围内消去参数 $t$ ，便得到坐标之间的关系，即轨迹方程。运动方程包含“何时到哪里”，轨迹方程通常只保留“走过哪些点”，不要把两者混为一谈。

质点从时刻 $t_1$ 的位置 $\boldsymbol r_1$ 移到时刻 $t_2$ 的位置 $r_{}$ ，位移定义为

\Delta\boldsymbol r=\boldsymbol r_2-\boldsymbol r_1.

它只由起点和终点决定。路程则是沿实际轨迹累积的长度，记作 $\Delta s$ ，是标量。一般有 $\Delta s\ge |\Delta\boldsymbol r|$ ；只有在这段时间内沿同一方向走直线时才取等号。

路程与位移的区别

现在想一想：绕操场一圈回到起点，位移为零，是否意味着全过程每一刻的速度也为零？当然不是。位移只压缩了起、终两个时刻的信息，中间怎样走已经被省略；速度要靠更细的时间变化来描述。

4. 从平均速度到瞬时速度：让时间间隔缩到零

在时间间隔 $\Delta t=t_2-t_1$ 内，平均速度定义为

\overline{\boldsymbol v}=\frac{\Delta\boldsymbol r}{\Delta t}.

当位移非零时，平均速度方向与这一段的位移方向相同；位移为零时平均速度也是零矢量，没有确定方向。若用路程除以时间，得到的是平均速率，不是平均速度的大小在所有情况下的简单替代。绕一圈回到起点，平均速度为零，平均速率却显然不为零。

要知道某一时刻运动得多快、朝哪里走，可以把观察时间压得越来越短：

\boldsymbol v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\boldsymbol r(t+\Delta t)-\boldsymbol r(t)}{\Delta t} =\frac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm dt}.

这不是把 $\Delta t$ 真的设成零去做除法，而是考察比值在 $\Delta t$ 趋近于零时逼近哪个确定值。几何上，两个邻近位置之间的位移沿轨迹割线；邻近点不断靠拢，割线趋向轨迹在该点的切线，所以在速度非零的光滑轨迹点，瞬时速度沿轨迹切向。

由割线逼近切线理解瞬时速度

在固定的直角坐标系中，单位矢量 $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ 不随时间转动，因此可以逐分量求导：

\boldsymbol v=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\boldsymbol i+ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\boldsymbol j+ \frac{\mathrm dz}{\mathrm dt}\boldsymbol k =v_x\boldsymbol i+v_y\boldsymbol j+v_z\boldsymbol k.

速度的大小叫速率：

v=|\boldsymbol v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}.

最后一个等式中的 $s$ 是沿轨迹累计的弧长，随正常计时不减小，所以 $\mathrm ds/\mathrm dt$ 表示非负的速率。注意符号习惯：粗体 $\boldsymbol v$ 是速度矢量，普通斜体 $v$ 在这里表示它的大小。

5. 加速度：速度的任何变化都算

汽车速度表一直显示 $40\ \mathrm{km/h}$ ，能否断定加速度为零？如果汽车在笔直道路上保持方向，可以；如果它正以相同速率转弯，就不行。速度是矢量，大小或方向任一发生变化，速度矢量就在变化。

平均加速度和瞬时加速度分别为

\overline{\boldsymbol a}=\frac{\Delta\boldsymbol v}{\Delta t},\qquad \boldsymbol a=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\boldsymbol v}{\Delta t} =\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm d^2\boldsymbol r}{\mathrm dt^2}.

在固定直角坐标系中，

\boldsymbol a=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}\boldsymbol i+ \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}\boldsymbol j+ \frac{\mathrm d^2z}{\mathrm dt^2}\boldsymbol k.

加速度的国际单位是 $\mathrm{m/s^2}$ 。它表示速度矢量的瞬时变化率，而不是“每秒走多少米”。还要避开两个直觉坑：某时刻 $\boldsymbol v=\boldsymbol0$ ，并不保证 $\boldsymbol a=\boldsymbol0$ ；某时刻 $\boldsymbol a=\boldsymbol0$ ，也不保证质点静止，它还可能保持非零速度运动。

来看一个不借助受力的纯运动学例子。设

\boldsymbol r(t)=(2t)\boldsymbol i+(t^2-1)\boldsymbol j\quad(\mathrm m),

其中 $t$ 用秒计。逐分量求导得到

\boldsymbol v(t)=2\boldsymbol i+2t\boldsymbol j\quad(\mathrm{m/s}), \qquad \boldsymbol a(t)=2\boldsymbol j\quad(\mathrm{m/s^2}).

在 $t=2\ \mathrm s$ 时，位置为 $(4,3)\ \mathrm m$ ，速度为 $(2,4)\ \mathrm{m/s}$ ，速率是 $2\sqrt5\ \mathrm{m/s}$ 。由得，消去参数后轨迹满足。请注意，轨迹方程本身没有告诉你质点以多快的节奏经过各点；同一条曲线完全可以用不同的依赖走出。

下面把时间滑块来回拖动，比较位置、速度和加速度矢量。先别急着看读数，试着只看轨迹，预测速度该朝哪里，再用导数结果核对。

6. 微分向下追问，积分把过程重新累积起来

已知位置函数，求导可以依次得到速度和加速度。反过来，若已知加速度，能否恢复运动？可以，但必须同时知道初始条件。原因很直观：许多具有相同加速度的物体，完全可能拥有不同的初速度和初位置。

先把这条关系看成一条双向通道：向右求导时，从位置中读出变化率，再从速度中读出变化率；向左积分时，每走一步都必须补回相应的初值。图里的“积分＋初值”不是附加装饰，而是在提醒我们：求导会丢掉常量信息，只给变化率不足以唯一确定原来的函数。

位置、速度与加速度的微分积分双向关系

记初始时刻的速度为 $\boldsymbol v_0=\boldsymbol v(t_0)$ 。由 $\mathrm d\boldsymbol v=\boldsymbol a(t)\,\mathrm dt$ ，在到之间累积，得到

\boldsymbol v(t)=\boldsymbol v_0+\int_{t_0}^{t}\boldsymbol a(\tau)\,\mathrm d\tau.

这里用 $\tau$ 作积分变量，是为了不让积分上限 $t$ 与积分内部的临时变量混淆。再记初始位置为 $\boldsymbol r_0=\boldsymbol r(t_0)$ ，积分一次：

\boldsymbol r(t)=\boldsymbol r_0+\int_{t_0}^{t}\boldsymbol v(\tau)\,\mathrm d\tau.

这两个式子表达的不是“看到积分号就套公式”，而是一个物理事实：速度的改变量是每一小段时间里的加速度贡献之和，位移是每一小段时间里的速度贡献之和。

例：一维运动中 $a(t)=\beta t$ ，其中 $\beta=3\ \mathrm{m/s^3}$ ；在 $t_0=0\ \mathrm s$ 时，、。那么

先积加速度并带入初速度： $v(t)=v_0+\int_0^t\beta\tau\,\mathrm d\tau=2\ \mathrm{m/s}+\dfrac12\left(3\ \mathrm{m/s^3}\right)t^2$ 。

同一个加速度函数究竟能对应多少种运动？下面让质点甲、乙共用 $a(t)$ ，只改变初位置或初速度。先完成预测，再观察三条图线：如果只换初位置，速度图线会不会跟着移动？如果换的是初速度，位置差又会怎样随时间发展？

操作后可以看到，共用 $a(t)$ 只保证两者的加速度相同。初速度相同而初位置不同时，两条速度曲线重合，位置曲线保持固定间隔；初速度不同时，速度曲线相差一个常量，位置差还会随时间继续累积。这正是积分常量的物理身份：第一次积分需要初速度，第二次积分还需要初位置。

由加速度积分时漏掉初速度、由速度积分时漏掉初位置，是运动学计算最常见的失分原因之一。定积分写法会把初始条件明明白白地保留下来，也比写两个含糊的“ $+C$ ”更容易检查。

这里还藏着建模条件。导数要求所讨论时刻附近的运动函数足够平滑；发生理想化瞬时碰撞时，速度可能跳变，普通加速度函数便不能在跳变点照常使用。本章讨论的是分段光滑的经典质点运动，碰撞将在后续章节用冲量处理。

7. 自然坐标初步：顺着轨迹看“快慢变”与“方向变”

直角坐标的基矢方向固定，适合计算分量；但当轨迹弯曲时，我们也可以把观察方向绑在轨迹上。在某一点沿运动方向取切向单位矢量 $\boldsymbol e_t$ ，朝轨迹弯曲的内侧取法向单位矢量 $\boldsymbol e_n$ 。这种随质点位置改变方向的描述称为自然坐标。

在速度非零且轨迹光滑的点，速度沿切线，因此

\boldsymbol v=v\boldsymbol e_t.

对它求时间导数时，既要对速率 $v$ 求导，也不能忘记 $\boldsymbol e_t$ 自身会随轨迹转弯而改变：

\boldsymbol a=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\boldsymbol e_t+ v\frac{\mathrm d\boldsymbol e_t}{\mathrm dt} =a_t\boldsymbol e_t+a_n\boldsymbol e_n.

若轨迹在该点曲率非零、曲率半径为 $\rho$ ，自然坐标下的两个分量为

a_t=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt},\qquad a_n=\frac{v^2}{\rho}.

切向分量 $a_t$ 负责改变速率，可以为正、负或零；法向分量 $a_n$ 负责改变速度方向，指向局部曲率中心，其大小按上述约定不为负。轨迹越弯， $\rho$ 越小，同样速率下法向分量越大；直线路段可看作 $\rho\to\infty$ ，于是法向分量趋于零。

自然坐标中的切向与法向分解

先回答一个问题：质点沿弯曲轨迹保持恒定速率，是否“没有加速”？不是。此时 $a_t=0$ ，但只要 $v\ne0$ 且 $\rho$ 有限，就有 $a_n=v^2/\rho\ne0$ 。日常语言里的“加速”常指速率增加，物理学里的加速度却描述完整速度矢量的变化。

下面的交互只聚焦某一瞬间的局部分解。把速率调成两倍之前先预测法向分量会变成几倍，再用数值验证。完整的圆周运动、一般曲线运动和相对运动留到下一章展开。

8. 量纲：代数算完以后，物理还要再问一句

如果有人写出“位移 $x=v+t$ ”，代数形式看着很简单，物理上却不能成立：速度与时间不是同类物理量，不能相加。量纲只关注物理量由哪些基本量构成，不关心具体用米还是千米。本章涉及的基本量主要是长度 $L$ 和时间 $T$ ：

[x]=L,\qquad [v]=LT^{-1},\qquad [a]=LT^{-2}.

一个正确的物理方程必须量纲齐次，也就是等号两边以及可相加各项的量纲一致。例如

x=x_0+At+Bt^2

若要表示位置，就必须有 $[A]=LT^{-1}$ 、 $[B]=LT^{-2}$ 。三角函数、指数函数和对数函数的自变量通常必须是无量纲量，例如不能直接写 $\sin(3t)$ 而不说明系数 3 的量纲；若用秒，系数就应具有的量纲。

量纲检查很像机场安检：它能迅速拦住不少错误，却不能证明通过检查的式子一定正确。 $x=vt$ 与 $x=2vt$ 量纲都对，那个数字 2 是否合理仍要靠物理规律、初始条件或实验判断。

数量级估计也属于这套语言。假设普通步行速率约 $1\ \mathrm{m/s}$ ，十分钟约 $10^3\ \mathrm s$ ，那么路程数量级约为 $10^3\ \mathrm m$ 。若精算结果是 $10^6\ \mathrm m$ ，即使计算器没有报错，也应回头检查单位和模型。期末题里，这种“最后十秒钟的自检”往往比重新算一遍更有效。

9. 把真实运动翻译成方程

面对一个新的运动学问题，可以按下面的顺序整理，而不是先在记忆里搜索某个长得相似的公式。

明确研究对象与问题尺度，判断能否视为质点。
选参考系、坐标系、正方向和计时起点，并把它们写清楚。
判断已知的是 $\boldsymbol r(t)$ 、 $\boldsymbol v(t)$ 、 $\boldsymbol a(t)$ ，还是若干离散测量值。
需要瞬时变化时求导，需要由变化率恢复累计量时积分，并带入初始条件。
对矢量逐分量处理，再合成大小和方向；弯曲轨迹的局部问题可尝试自然坐标。
检查单位、量纲、定义域、极端情形以及模型是否仍适用。

本章最重要的不是背住三个定义式，而是建立一条双向链：位置对时间求导得到速度，速度再求导得到加速度；加速度结合初速度积分可恢复速度，速度结合初位置积分可恢复位置。矢量保证方向没有在计算中丢失，量纲和模型条件负责最后把关。

课后练习

第1题（概念辨析）

下列说法正确的是哪一项？

A. 矢量的大小可以为负

B. 两个大小相等的矢量一定相等

C. 速度的某个直角坐标分量可以为负

D. 标量相加也必须使用平行四边形法则

第2题（位移与路程）

一名同学从坐标原点出发，先向东走 $300\ \mathrm m$ ，再向北走 $400\ \mathrm m$ 。求总路程、位移矢量和位移大小。

第3题（由运动方程求运动状态）

质点在平面内的位矢为

\boldsymbol r(t)=(3t^2-2t)\boldsymbol i+(4t-t^2)\boldsymbol j\quad(\mathrm m),

其中 $t$ 用秒计。求 $t=2\ \mathrm s$ 时的位置、速度、加速度和速率。

第4题（参数方程与轨迹）

某质点的参数方程为 $x=2t+1$ 、 $y=t^2$ ，其中坐标用米、时间用秒，且 $t\ge0$ 。

（1）消去 $t$ 得到轨迹方程；（2）求质点经过点 $(5,4)\ \mathrm m$ 时的速度方向。

第5题（由加速度恢复运动）

一维运动的加速度为 $a(t)=(6t-4)\ \mathrm{m/s^2}$ ，其中 $t$ 的数值以秒计。已知 $t=0$ 时、，求和，并计算时的位置。

第6题（平均量与瞬时量）

一维位置函数为 $x(t)=(t^3-6t^2+9t)\ \mathrm m$ ，其中 $t$ 的数值以秒计。求到的平均速度，以及、的瞬时速度。平均速度能否由这两个端点瞬时速度直接取算术平均得到？

第7题（自然坐标）

某质点经过一段弯曲轨迹时，瞬时速率为 $6\ \mathrm{m/s}$ ，速率正以 $2\ \mathrm{m/s^2}$ 的变化率增加，局部曲率半径为 $9\ \mathrm m$ 。求切向、法向加速度大小以及总加速度大小。若速率变为原来的两倍，而曲率半径与速率变化率不变，法向分量变为原来的几倍？

第8题（量纲检查）

某同学为一维运动写出候选公式

x=x_0+At+Bt^3.

（1） $A$ 、 $B$ 应具有怎样的量纲？（2）若 $A=2\ \mathrm{m/s}$ ， $B=-0.5\ \mathrm{m/s^3}$ ，求速度和加速度表达式；（3）量纲正确能否保证公式一定符合真实运动？

第9题（离散数据与模型判断）

下面是一组用于练习数据建模的模拟位置数据，采样间隔为 $0.50\ \mathrm s$ ：

$t/\mathrm s$	0.00	0.50	1.00	1.50	2.00
$x/\mathrm m$	0.00	0.25	1.00	2.25	4.00

（1）猜测一个最简单的位置函数；（2）用相邻数据估计 $0.50$ 到 $1.00\ \mathrm s$ 内的平均速度；（3）根据模型求 $t=1.00\ \mathrm s$ 的瞬时速度；（4）说明二者为何不同。

2

\boldsymbol r_2

j

(

m / s^{2}

)

.

\boldsymbol a=6\boldsymbol i-2\boldsymbol j\quad(\mathrm{m/s^2}).

v_0=3\ \mathrm{m/s}

0

0

\overline v=\frac{x(3)-x(0)}{3-0}=0.

第1章 矢量、微积分语言与质点运动描述