静电场环路定理、电势与电势梯度
你从一楼走到十楼，可以乘电梯，也可以爬楼梯，甚至可以在中途绕几圈。路线不同、体力消耗未必相同，但“十楼比一楼高多少”只由两个楼层决定。静电场里也有一个很像高度的量：电势。它把原本要沿路径逐段计算的电场力做功，压缩成始末两点的差。
不过这个类比只能帮我们开门，不能替代定义。真实地形有高度，静电场没有看得见的坡面；重力只吸引，电荷之间却既可能吸引也可能排斥。我们需要先回答更根本的问题：静电场力做功为什么与路径无关？只有这件事成立，给空间中每一点标一个“电的高度”才有意义。
本章研究由静止电荷产生的电场。上一章已经会用叠加原理和高斯定理求场强，这一章换一个视角：先从场强的线积分得到电势差，再利用电势的标量叠加处理电荷分布，最后用电势的空间变化反求电场。导体静电平衡、电容和电介质留到后两章系统讨论。
绕路不改结果：静电场的保守性
先把一个正试探电荷放在正点电荷附近。它若顺着电场方向向外移动，电场力做正功；若逆着电场方向靠近，电场力做负功。真正有意思的是：从同一个 A 点到同一个 B 点，走直线还是绕弯路，结果会不会不同？
设场源是位于原点的点电荷 Q，试探电荷为 q₀。点电荷的电场沿径向，有符号径向分量为 E_r=kQ/r²，场强大小为 k|Q|/r²。沿任意微小位移 dl，只有径向分量 dr 对点积有贡献，因此电场力的元功为
dW_e=q₀E·dl=kQq₀ dr/r²。
从半径 r_A 的 A 点移到半径 r_B 的 B 点，积分得到
W_{A→B}=∫_A^B q₀E·dl=kQq₀(1/r_A-1/r_B)。
结果里只剩 r_A 和 r_B，路径怎样弯曲已经消失了。多个静止点电荷产生的电场是各点电荷电场的矢量和，每一项的功都只看端点，所以叠加后的总功也只看端点；连续电荷分布可以看成无数电荷微元的极限，结论仍然成立。
先沿图中的蓝色路径走，再换成橙色路径。别急着看公式，先比较两条路上“顺着场走”和“横着场走”的部分：局部贡献显然不同，可正负贡献累计后会怎样？
只要两条路线的端点相同，而且路径不穿过点电荷所在的奇点，电场力总功就相同。把 A 到 B 的任一路径与 B 返回 A 的另一路径拼成闭合曲线，去程功与回程功恰好相反，于是得到静电场的环路定理：
∮_L E·dl=0。
它说明静电场是保守场，也常说静电场无旋。这里的“环路为零”不是说闭合曲线上每一点的 E 都为零，也不是说每一小段 E·dl 都为零；它说的是沿整条闭合曲线的带符号积分为零。某些路段贡献为正，某些为负，最后互相抵消。
你可以先预测：把路径故意拉成大弯，路径积分会不会随路程一起变大？再移动中间控制点，观察数值积分怎样逼近只由端点决定的结果。
交互中的不同路径给出相同的理论积分；离散计算若出现很小差别，那是把曲线切成有限小段造成的数值误差，不是静电场突然不保守。闭合路径的理论环流严格为零，增加离散段数时数值结果应更接近零。
环路定理的前提是静电场。随时间变化的磁场能够产生涡旋电场，那时闭合路径上的电场环流一般不为零。看到“电场”两个字就无条件写 ∮E·dl=0，等于把“静”这个关键条件丢掉了。
把做功存进状态：电势能与电势
保守力做功只与始末位置有关，于是可以引入势能。电场力从 A 到 B 所做的功，等于电势能减少量：
W_{A→B}=U_A-U_B=-ΔU。
这和重力做正功时重力势能下降完全同构。若正电荷顺电场移动，电场力通常做正功，它的电势能降低；负电荷受力方向与电场相反，判断能量变化时不能只盯着电场箭头，必须把电荷符号带进去。
势能 U 属于相互作用系统。说“这个电荷具有多少电势能”时，实际上默认把试探电荷与产生外电场的场源电荷共同纳入系统。为了描述外电场本身，我们把试探电荷的影响除掉，定义某点的电势为单位正电荷在该点的电势能：
V=U/q₀。
电势是标量，SI 单位是伏特，1 V=1 J/C。它只由场源和位置决定，与后来放入的试探电荷大小、正负无关。同一点放 +q 与 -q，电势 V 不变，但势能 U=qV 符号相反。
由做功关系可得 A、B 两点的电势差
V_B-V_A=-∫_A^B E·dl，
也可写成 W_{A→B}=q₀(V_A-V_B)。这两个式子最容易在符号上打架。一个可靠做法是先说物理过程：正电荷若顺电场移动，电场力做正功，所以末态电势更低；再检查公式是否给出 V_B<V_A。
电势的绝对数值需要选择零点。选参考点 P₀ 并令 V(P₀)=0，则
V(P)=-∫_{P₀}^{P} E·dl。
对于有限范围内的局域电荷分布，常把无穷远取作零势点；但无限长带电直线、无限大带电平面或理想匀强电场延伸到无穷远时，积分可能发散，不能机械地写 V(∞)=0，应选一个有限位置作参考。物理上可测的是电势差，整体加上常量 C 不改变任何电势差。
这里还要分清“电场力做功”和“外力做功”。如果电荷只受静电力，电势能减少多少，动能就增加多少，即 ΔE_k=-ΔU。若操作者让电荷极慢地移动，使每一刻动能都近似不变，那么外力大致与电场力平衡，外力功 W_ext=ΔU。题目只说“把电荷移过去”却没有交代运动状态时，不能自动把外力功、电场力功和动能变化写成同一个数。
再做一个符号体检。设 V_A=20 V、V_B=5 V，正电荷从 A 到 B 时 ΔU=q(V_B-V_A)<0，电场力做正功；若换成负电荷，ΔU>0，电场力做负功。两点电势次序没有因试探电荷变号而改变，变化的是势能和受力方向。这也是把电势定义成“单位正电荷势能”的价值：场的性质与被放进去的物体被干净地分开了。
标量叠加：电势计算为何常比场强计算轻松
已知场强时，可以沿任意方便路径积分求电势差；已知场源电荷分布时，还能直接叠加各电荷的电势。点电荷 q 在距它 r 处产生的电势，在无穷远为零的约定下是
V=kq/r。
这里没有方向分解。若有多个点电荷，P 点电势为
V(P)=Σ_i kq_i/r_i。
每一项保留电荷的正负号，再作代数相加。场强叠加需要把矢量分解到各方向，电势叠加只加标量，因此很多对称性不够强的问题，先求势反而省事。
举个很能拆穿直觉的例子：+Q 与 -Q 相距 2a，中点 O 到两电荷距离相同，所以 V_O=kQ/a-kQ/a=0。但两电荷在 O 点产生的电场方向相同，场强并不为零。反过来，在两个等量同号电荷的中点，场强为零，电势却不为零。
所以“V=0 推出 E=0”是错的，“E=0 推出 V=0”也错。电势值像某处海拔，电场像当地坡度：海拔为零的山坡仍可能很陡，山顶坡度为零却不等于山顶恰好在海平面。
先试着安排三枚正负电荷，使 P 点的总电势为零。你可能会下意识追求箭头抵消，但这次真正要配平的是各项 q_i/r_i。
结果面板把每一项 kq_i/r_i 单独列出。只要正、负贡献代数和为零，总电势就是零；这并没有检查场强的方向分量，因此不能顺便宣布场强也为零。改变试探电荷只会把势能 U=q₀V 成比例改变，不会反过来改变这里计算的外场电势。
从电荷微元到连续分布
当电荷连续分布时，把点电荷公式中的 q 换成微元 dq，再对整个带电体积分：
V(P)=k∫dq/r。
其中 r 是每个电荷微元到观察点 P 的距离，不一定是 P 到坐标原点的距离。线分布可写 dq=λdl，面分布可写 dq=σdS，体分布可写 dq=ρdτ。先把几何关系写清，再选择积分变量；不要一看见连续分布就急着把 Q 直接塞进 kQ/r。
标量积分虽然省去了方向分解，却没有省去建模。若电荷密度不均匀，λ、σ、ρ 本身也可能随位置变化；若观察点落在带电体上，还要检查积分是否收敛。最稳的四步是：圈定电荷微元、写出 dq、写出微元到观察点的真实距离、最后确定积分范围。对称性只在这些步骤之后帮助化简，不能用一句“对称”跳过距离关系。
均匀带电细圆环是标量积分优势最明显的例子。设圆环半径为 R、总电荷为 Q，P 位于轴线上，距圆心 x。环上每个 dq 到 P 的距离都等于 sqrt(x²+R²)，所以
V(x)=k∫dq/sqrt(x²+R²)=kQ/sqrt(x²+R²)。
在圆心 x=0，有 V(0)=kQ/R；当 |x|≫R，圆环从远处看近似一个点电荷，V≈kQ/|x|。电势关于 x 是偶函数，而轴向场强稍后由负导数得到，是奇函数，所以圆心处电势未必为零，场强却因对称性为零。
拖动轴上观察点之前，先判断：从圆心向右移动一点，正电圆环的电势是升高还是降低？切线斜率与电场方向应有什么关系？
对正电圆环，x>0 时电势随 x 增大而减小，故 dV/dx<0，而 E_x=-dV/dx>0，场指向轴的正向；x=0 时斜率为零，场强也为零。交互把解析结果与数值差分并列，是为了说明“由势求场”不是另一条互不相干的公式，而是同一空间分布的两种读法。
再看一个积分稍多、方法却相同的例子。半径 R 的均匀带电薄圆盘面电荷密度为 σ>0，求轴线上 z>0 处的电势。把圆盘分成半径 s、宽 ds 的同心细环，dq=σ·2πsds，到 P 的距离为 sqrt(z²+s²)，于是
V(z)=k∫₀^R 2πσsds/sqrt(z²+s²)=σ[ sqrt(z²+R²)-z ]/(2ε₀)。
当 z≫R，根式展开给出 V≈k(πR²σ)/z=kQ/z，恢复点电荷远场。这个极限检查很重要：一个积分结果若在远处连总电荷 Q 的点电荷形式都回不去，通常是微元、积分限或常数因子出了问题。
电荷系的势能：组装时别把每一对算两遍
电势能不仅能描述一个试探电荷在外场中的位置，也能描述一组点电荷的相互作用。把电荷从无穷远逐个搬来：第一个电荷周围还没有其他电荷，搬入不需克服相互作用；搬入第二个时要克服第一个产生的场；搬入第三个时要面对前两个产生的电势。最后得到
U=Σ_{i<j} kq_iq_j/r_{ij}。
每一对只数一次。也可写成
U=(1/2)Σ_i q_i V_i^{(其他)}，
其中 V_i^{(其他)} 是除去电荷 q_i 自己后，其他电荷在它位置产生的电势。前面的 1/2 正是为了消除成对重复。把某个点电荷自己的 kq_i/r 在 r=0 处也算进去，会遇到点电荷模型的自能发散，本章不这样处理。
同号电荷对的相互作用势能为正，表示从无穷远组装时外力通常要做正功；异号电荷对势能为负，表示系统结合后比相隔无穷远时能量更低。势能正负依赖零点，真正决定过程的是 ΔU。
等势面：在“电势地图”上看方向
把空间中电势相等的点连成面，就是等势面；二维截面上看到的是等势线。沿等势面移动，有 ΔV=0，因此静电场力对任意试探电荷做功 W=q₀(V_A-V_B)=0。
如果某点电场不为零，电场方向必定垂直于通过该点的等势面。理由很直接：假如电场还有切向分量，沿等势面的一小段位移就会有 E·dl≠0，电势便发生变化，与“等势”矛盾。电场方向从高电势指向低电势；但负电荷受到的电场力与电场反向，所以负电荷自由释放后可能向更高电势运动，同时它的势能 U=qV 仍降低。
图上相邻等势线若按相同电势差绘制，越密集处表示电势随距离变化越快，电场通常越强。这只是基于等间隔取值的读图规则；若每条线代表的电势差不同，就不能单凭疏密比较场强。
两张不同电势的等势面不能在普通场点相交。假如它们在 P 点相交，P 就会同时拥有两个电势值，而电势作为位置的单值函数不允许这种情况。场线也不会沿等势面“拐着走”：它若有切向分量，就会在等势面内产生电势变化。等势面因此像一组天然的坐标层，把三维矢量场的方向信息压缩成可读的几何结构。
先判断两次移动：沿同一条等势线走一段，电场力做功是否一定为零？从高势等势线沿场线走向低势等势线，正电荷的势能怎样变？
沿等势线移动时，位移处处沿切线，电场处处沿法线，因此 E·dl=0；沿场线方向移动时电势降低。交互中单电荷与电偶极子的图样很不一样，但“场线与等势线正交、场指向电势降低最快的方向”始终不变。
“等势面上电场为零”是常见误判。正确说法是电场的切向分量为零；法向分量完全可以不为零。点电荷周围每个球面都是等势面，可球面上的电场显然不为零。
电势梯度：不仅问降多少，还问往哪边降得最快
一维道路上，坡度可以用高度对位置的导数表示。三维空间里，电势在不同方向下降得快慢可能不同，因此需要梯度。电势的梯度为
∇V=(∂V/∂x)e_x+(∂V/∂y)e_y+(∂V/∂z)e_z。
它指向电势增加最快的方向，大小等于该方向单位长度上的最大增加率。静电场方向恰好相反：
E=-∇V。
在直角坐标系中，
E_x=-∂V/∂x，E_y=-∂V/∂y，E_z=-∂V/∂z。
负号不是装饰，它记录了正电荷受力方向与电势降低最快方向一致。电势梯度的单位是 V/m，而 1 V/m=1 N/C，与场强单位等价。
一维情况下，只需读曲线斜率：曲线向右下降，dV/dx<0，所以 E_x>0；曲线向右上升，E_x<0；曲线在某点斜率为零，只说明该点的这一维场强分量为零。若问题本来是三维的，单独知道 ∂V/∂x=0 还不能推出整个 E=0。
更一般地，沿单位方向 n 的方向导数为 dV/dl=∇V·n，因此该方向的场强分量 E_n=-dV/dl。沿等势面切向，方向导数为零；沿负梯度方向，电势下降最快，这正好把上一节的几何结论写成微分形式。
也可以从一个很小的位移直接看见它。由电势差定义，邻近两点间有 dV=-E·dl。把 dl 分别取向 x、y、z 轴，就得到三个分量关系；把它取成任意方向，又回到方向导数。因而 E=-∇V 不是靠图像猜出的经验规律，而是电势差定义在局部极限下的必然结果。
从已知电势反求电场
设某区域电势为 V(x,y,z)=A(x²+y²)-Bz，其中 A、B 为常量。逐项求偏导：
E=-∇V=-2Ax e_x-2Ay e_y+B e_z。
若给电势整体加上常量 C，梯度不变，电场也不变。若把电势乘二，梯度与电场才会一起乘二。这里也能看出电势是标量场，求梯度后才得到有方向的矢量场。
对于球对称电势 V(r)，电势只随离中心距离变化，场沿径向：
E_r=-dV/dr，E=E_r e_r。
注意这不是把 r 随便当成 x。结论成立是因为球对称性已经保证没有角向分量。柱对称问题同理，要先确认电势确实只依赖柱坐标半径，再写径向导数。
下面把“曲线整体抬高”和“曲线变陡”分开。先预测：加入常量 C 后，某点电势数值变了，测试电荷受力会变吗？再寻找斜率为零、负斜率和折点位置。
图中两条曲线的纵坐标不同，但任意两位置之间的竖直落差相同，对应位置的切线也平行。静态图负责把“换零点”和“改电场”分开；下面再让曲线形状真正变化，比较平移、变陡和出现折点分别会对 E_x 造成什么影响。
整体平移只改变电势的参考数值，不改变两点之差和曲线斜率，所以 E 不变。光滑极值点处斜率为零；如果理想化的分段表达式在某点有折角，普通导数在那里不存在，不能硬取左右斜率的平均值冒充唯一场强。真实模型可能需要更细的空间结构，或分别讨论边界两侧的极限。
一个完整例子：均匀带电实心球的势与场
把上一章的高斯定理与这一章的势联系起来。半径为 R 的均匀带电实心球总电荷为 Q>0，取无穷远电势为零。由高斯定理，球外与球内场强分别为
E_out=kQ/r²，E_in=kQr/R³。
球外电势直接是 V_out=kQ/r。球内不能把全部电荷当成位于球心的点电荷；应从无穷远先积到球面，再从球面积到内部位置 r：
V_in(r)=V(R)-∫_R^r E_in(r')dr'=kQ(3R²-r²)/(2R³)。
因此中心电势 V(0)=3kQ/(2R)，球面电势 V(R)=kQ/R。中心处场强为零，但电势最大；这再次说明“场强为零”只代表电势曲线局部平坦，不代表电势数值为零。
在 r=R 处，内外电势相等，内外场强也相等，因为这里的电荷是平滑分布在体内，没有额外的理想面电荷层。若某边界存在有限面电荷，电势通常仍连续，而场强法向分量可以发生跃变；这个边界规律会在后续导体和电介质问题中继续使用。
为什么分段积分时必须先算到球面？因为球内任一点到无穷远的路线跨过了两个场强表达式。若从 r 到无穷远全程错用 E_in，不仅会把球外区域算错，积分还会发散；若全程错用 E_out，又会在中心制造并不存在的点电荷奇点。边界不是公式换行的装饰，而是物理模型改变的地方。
检查图像时有三道关：第一，V(r) 是否连续；第二，-dV/dr 是否等于对应的 E_r；第三，远处是否回到点电荷极限。只背分段公式而不做这三项检查，很容易把内外表达式、常数或符号拼错。
两条计算路线怎么选
面对静电势问题，先看已知信息，而不是先猜公式。
- 已知
E，尤其是上一章用高斯定理已经求出分段场强时，用V_B-V_A=-∫_A^B E·dl。跨越多个区域要分段积分，并保证同一参考零点。 - 已知离散或连续电荷分布，而直接求场需要复杂的矢量积分时，用
V=kΣq_i/r_i或V=k∫dq/r，再按需要求E=-∇V。 - 只问试探电荷移动的功或势能变化时，优先用
W=q(V_A-V_B)与ΔU=q(V_B-V_A)，不必重走具体路径。 - 给出等势线图时，先找电势降低最快的法向，再判电场方向；若相邻线代表相同电势差，线越密处场越强。
这几条路线还能互相核对。由电荷分布积分得到 V 后，对它求负梯度，应回到直接叠加或高斯定理所得的 E；由 E 积分得到 V 后，再求导也应还原原场。对有限电荷分布，远处的最低阶结果还应趋近总电荷形成的点电荷势。若总电荷恰为零，点电荷项可能消失，远场会衰减得更快，但不能因此断言近处处处无场。
量纲也是最后一道便宜而有效的检查。kq/r 的单位是伏特，qV 的单位是焦耳，E·dl 的单位仍是伏特，而 dV/dx 的单位是伏特每米。量纲正确不能保证推导一定正确，量纲错误却足以说明某一步有问题。尤其在纳库、微库和厘米同时出现时，先统一到 SI 单位再代数值，可以避免数量级错误掩盖物理判断。
到了期末或考研复习阶段，常见扣分点往往不是积分不会算，而是物理对象写混：把 U 当成只由场决定的量，把 V 写成随试探电荷改变；电势叠加时忘记电荷符号；把 V=0 与 E=0 互相推出；对无限电荷分布仍执意取无穷远为零；由 V 求 E 时漏掉负号或只求了一个分量。列式前写清“场源、观察点、参考零点、积分路径和坐标依赖”，比多背五个结论更可靠。
这一章给静电场建立了“势”的语言。下一章把导体放进静电场后，自由电荷会重新分布，直到导体内部的场和表面的电势满足静电平衡条件。到那时，等势体不再只是画出来的几何面，而会变成可检验的物理状态。
课后练习
1
关于静电场环路定理和电势，下列说法正确的是哪些？
2
正点电荷产生的电场中，一个正试探电荷由近处 A 沿任意路径移到远处 B。只受电场力时，正确的是？
第 3 题： 匀强电场沿 +x 方向，大小为 E=600 V/m。A、B 两点坐标分别为 x_A=0.020 m、x_B=0.070 m。（1）求 V_B-V_A；（2）把 q=-3.0 μC 的电荷从 A 移到 B，求电场力做功和电势能变化。
第 4 题： 两点电荷 q₁=+4.0 nC、q₂=-1.0 nC 相距 0.30 m。求连线中点的电势；再判断该点场强是否为零。取无穷远为零，k=9.0×10⁹ N·m²/C²。
第 5 题： 半径为 R 的均匀带电细圆环总电荷为 Q>0。（1）求轴线上距圆心 x 处的电势；（2）由电势求轴向场强；（3）说明 x=0 处为何电势不为零而场强为零。
第 6 题： 一段长为 L 的均匀带电细杆位于 x 轴的 0≤x≤L，线电荷密度为 λ>0。求 x=a（a>L）处的电势，取无穷远为零，并写出远处 a≫L 时的近似。
7
关于等势面和电势梯度，下列说法正确的是哪些？
第 8 题： 某区域电势为 V(x,y,z)=Ax²+Bxy+Cz，其中 A=4 V/m²、B=-3 V/m²、C=2 V/m，坐标 x、y、z 均以米为单位。（1）求电场 E(x,y,z)；（2）求点 (1 m,2 m,0) 处的电场；（3）若把电势改为 V'=V+100 V，电场是否改变？
第 9 题： 半径 R 的均匀带电实心球总电荷为 Q>0，已知 V_in(r)=kQ(3R²-r²)/(2R³)、V_out(r)=kQ/r。（1）分别由电势求内外场强；（2）检查球面处电势和场强是否连续；（3）说明中心处的结果。
第 10 题： 三个点电荷位于等边三角形顶点，边长为 a，电荷分别为 +q、+q、-q。（1）以无穷远为零，求该系统的相互作用势能；（2）若把 -q 缓慢移到无穷远，外力至少做多少功？另外两个正电荷保持固定，忽略辐射和动能变化。