第6章 电荷、库仑定律与电场叠加

冬天脱下化纤外套时，常能听见细碎的噼啪声；把刚梳过头发的塑料梳子靠近纸屑，纸屑还会自己跳起来。这里最让人卡壳的并不是“摩擦能起电”——而是两件更深的问题：电荷究竟从哪里来？隔着一段距离，带电体又怎样让另一个物体受力？

如果只把电学理解成“正负相吸、同种相斥”，遇到三个电荷或一根带电细棒就很快会乱。本章要建立一种更耐用的语言：先用电荷守恒记账，再用库仑定律写出单个点电荷的作用，最后把许多作用做矢量叠加。等这套方法站稳，下一章的电通量和高斯定理才不是从天而降的新公式。

起电不是“造出电荷”

宏观物体通常含有数量几乎相等的正、负电荷，所以整体显电中性。摩擦、接触或感应过程改变的，常常是电子在物体之间的分配。一个物体得到电子而带负电，另一个失去电子而带正电；如果把二者及周围没有漏掉的交换对象一起圈成孤立系统，系统总电荷并没有改变。

设系统中各部分的电荷分别为 $q_i$，电荷守恒写成

这是带符号的代数和，不是电荷量绝对值之和。正、负电荷可以成对转移、重新分布或在更广泛的物理过程中成对产生与湮灭，但封闭系统的净电荷保持不变。

图里真正该盯住的是系统边界。若只看其中一个物体，它的电荷当然变了；把两个交换电子的物体一起看，得到量与失去量一正一负，账又平了。很多“电荷不守恒”的错觉，都是因为系统少圈了一部分。

电荷还有离散性。宏观物体的净电荷通常可写成

其中 $n$ 为整数，$e=1.602\times10^{-19}\,\mathrm C$ 是元电荷的大小。电子带电量为 $-e$，质子带电量为 $+e$。夸克带有分数元电荷，但在普通电学实验中不能把自由夸克当作可单独搬运的带电小球；对常见宏观带电体，$$ 是合适的记账方式。

现在想一想：一个绝缘小球带电量为 $-3.2\times10^{-12}\,\mathrm C$，它是“产生”了多少负电荷，还是比中性时多了多少电子？后者才准确，电子数约为

两千万听起来很多，但与宏观物体中电子的总数相比仍只是极小的失衡。这也解释了为什么我们在计算中常把电荷密度视为连续量，同时又不否认电荷在微观上量子化。

从两个小球开始：库仑定律的对象和方向

两个带电小球之间的力，什么时候可以只由电荷量和距离决定？关键不是小球是否真的“没有大小”，而是它们的线度相对间距足够小，或者电荷分布具有足够好的球对称性，外部作用可以等效为电荷集中在一点。这样的理想对象叫点电荷。

在真空中，两个静止点电荷间的作用满足库仑定律。若电荷 $q_1$、$q_2$ 的位置分别为 $\vec r_1$、，定义

则电荷2对电荷1的力为

其中

这里的下标不能含糊：$\vec F_{12}$ 表示“2对1”，$\hat r_{12}$ 从电荷2指向电荷1。 时，力沿 ，表现为排斥； 时，力反向，表现为吸引。

库仑力同时满足牛顿第三定律：$\vec F_{21}=-\vec F_{12}$。这句话不能被“一个电荷比较大”动摇。电荷量较大的物体并不会因此受到更大的相互作用力；若两物体质量不同，加速度不同来自 ，不是一对作用力大小不同。

例如 $q_1=+2.0\,\mu\mathrm C$、$q_2=-3.0\,\mu\mathrm C$，相距 $$，力的大小为

方向为相互吸引。若距离变为两倍而电荷量不变，力变为原来的 $1/4$，不是 $1/2$。先预测下面实验中距离变成三倍时力的倍数，再移动滑块核对。

实验里无论怎样改 $q_1$、$q_2$，两端力箭头都应等长反向；改变电荷符号只改变吸引或排斥，改变距离则按平方影响大小。真正容易错的是把三个判断揉成一句口诀：大小看 $|q_1q_2|/r^2$，方向看电荷符号和连线，作用对象看下标。

当空间中有多个电荷时，某个电荷受到的合力等于其他电荷分别单独存在时所产生的力的矢量和：

求和中没有 $j=i$ 的“自身作用”。另外，叠加的是矢量，不能先把各力大小相加再补方向。比较稳妥的做法是逐项画箭头、选坐标轴、分解分量，最后合成。

例如两个相同正电荷 $q$ 分别放在 $(a,0)$ 和 $(0,a)$，另有正电荷 $q_0$ 位于原点。前一个源电荷把 $q_0$ 沿 方向推，后一个沿 方向推，两项大小均为 。所以合力不是二倍，而是

若把其中一个源电荷改成负电荷，相应分量方向反转，合力大小在这个特殊几何中仍是原来的 $\sqrt2kqq_0/a^2$。这正好提醒我们：大小相同不能证明方向相同，矢量答案必须同时交代两个方面。

库仑定律在本章按真空中的静止点电荷使用。真实带电体有尺寸，电荷分布也可能被邻近物体重新排布；在电介质中，相互作用还会受到介质极化影响。若题目给的是“带电金属小球”，先判断能否按点电荷处理，不能只看它的名字里有“小”字。物体半径与间距相比是否可以忽略，才是模型尺度的依据。

为什么还要定义电场

库仑定律像是在说：两个电荷隔空直接互相拉扯。但若我们把一个很小的正电荷放到不同位置，它在每一点受到的力都不同，仿佛空间本身已经保存了一张“受力地图”。为了把源电荷对空间的影响与后来放入的探测对象分开，我们定义电场强度。

在某点放入正的试验电荷 $q_0$，测得电场力 $\vec F$。电场强度定义为

取极限不是说真实电荷能无限小，而是要求试验电荷足够小，不显著改变原有源电荷分布。约定使用正试验电荷，因此 $\vec E$ 的方向就是正电荷在该点的受力方向。电场单位是 $\mathrm{N/C}$。

点电荷 $q$ 在与它相距 $r$ 的位置产生

其中 $\hat r$ 从源电荷指向场点。若 $q>0$，场指向远离源电荷的方向；若 $q<0$，场指向源电荷。把电荷 $q_0$ 放入已知电场后，它受到

注意，负试验电荷受力方向与 $\vec E$ 相反。这不表示该点电场突然反向，只是 $q_0$ 的符号改变了力与场的关系。

多个点电荷产生的合电场为

式中 $\vec r_i$ 是第 $i$ 个源电荷的位置，$\vec r$ 是场点位置。分母的三次方常让人疑惑：库仑关系不是反平方吗？因为分子还是一个长度为 的位移矢量，整体大小仍是 。若改写成单位矢量形式，分母就是平方。

电场和电场力还要分清“谁属于空间、谁属于物体”。把 $q_0$ 换成 $2q_0$，在不扰动源分布的前提下，$\vec E$ 不变， 变为两倍；把 换成 ， 仍不变， 反向。若一道题先问某点场强、再问放入电子后的受力，应先用源电荷求场，最后才乘电子电荷。把电子的负号提前混进场强，后面往往会再反一次方向。

还有一个边界要说清：理想点电荷在自身位置的表达式发散，因此讨论某个源电荷受到其他电荷的力时，应求“其他源”在它位置产生的外场，不把它自己的点电荷场加入。对有尺寸的真实带电体，自身各部分间的作用涉及内部应力，已经不是把一个点电荷对自己代入库仑公式那么简单。

举个对称性很强的例子：两个相同正电荷 $q$ 位于 $(\pm a,0)$，场点 $P$ 位于 $(0,y)$。左右两个场的水平分量抵消，竖直分量相加，所以

在 $y=0$ 的中点，合场为零；但这不等于“那里没有电场概念”，也不等于附近处处为零。只要稍微离开中点，抵消条件就被破坏。下面先选一个对称场景，预测 $E_x$、$E_y$ 哪个会抵消，再拖动 $P$ 看分量怎样变化。

操作后应该能看出，源电荷的场要分别计算，其他源电荷的存在不会让某一项“失效”；变的是最后的矢量和。零场点来自各项精确抵消，不是每一项都为零。期末题里最常见的失分点，正是只把场强大小相加，或者把负源电荷产生的场误写成“负的大小”，却没有落实到坐标分量。

从许多点电荷走向连续分布

一根带电棒实际由离散电荷组成，为什么可以积分？因为宏观尺度下，一个很小但仍包含大量带电粒子的区域已经足够平滑。把它继续缩小为数学微元 $dq$，对每个微元使用点电荷场，再对整个带电体求和的极限，就是连续分布模型。

三种常见电荷密度是

单位依次为 $\mathrm{C/m}$、$\mathrm{C/m^2}$、$\mathrm{C/m^3}$。若密度不均匀，它们是位置的函数，不能把变量密度直接提出积分号。

密度和总电荷的关系也值得反向检查。例如一根长度为 $L$ 的细线若有 $\lambda(x)=\lambda_0(1+x/L)$，总电荷应由 $Q=\int\lambda(x)dx$ 求出，而不是随手写成“某处密度乘总长度”。只有均匀分布时，才可直接用 、 或 。建立微元后先把 在全区域积分一次，往往能提前发现上下限或密度单位写错。

“连续”也不是绝对标签，而是与观察尺度有关。若研究点离带电体很近，近到少数离散电荷的颗粒性不可忽略，平滑密度模型会失效；大学物理中的宏观静电题默认尺度足够大，使一个微元内仍含许多基本电荷。模型既保留总量和几何分布，又主动忽略原子级涨落。

设源点位置为 $\vec r'$，场点为 $\vec r$，从源点指向场点的位移为 。连续分布产生的电场统一写成

这是一条矢量积分。真正的难点往往不是积分本身，而是积分前的建模：$dq$ 取什么、$\vec R$ 指向哪里、哪些分量因对称性抵消、剩下的分量用哪个变量积。

这里有个符号陷阱：$\rho$ 常用作体电荷密度，但有些几何题又用它表示径向坐标。同一道推导中应主动换一个符号，例如用 $s$ 表示圆盘上的径向变量，避免一个字母扮演两个角色。

均匀带电细棒：先抵消，再积分

取长度为 $L$ 的均匀带正电细棒放在 $x$ 轴上，范围为 $-L/2\le x\le L/2$，线密度为 $\lambda$。求中垂线上 $P(0,y)$ 处的电场，其中 。

位于 $x$ 和 $-x$ 的两个微元到 $P$ 距离相同，产生的水平分量等大反向，竖直分量同向。因此不必对完整矢量硬积，只需保留 $y$ 分量。对 $dq=\lambda dx$，有

于是

方向沿 $+y$。若 $\lambda<0$，公式给出负号，方向自然反转。令总电荷 $Q=\lambda L$，当 $y\gg L$ 时，$\sqrt{y^2+(L/2)^2}\approx y$，所以

有限细棒在远处退化为点电荷。相反，当 $y\ll L$ 且观察点又远离棒端时，$E_y\approx2k\lambda/y$，它接近无限长直线电荷的结果。

离散求和怎样一步步逼近这个积分？先预测把棒分成更多段会改变真实电场，还是只改变近似误差，再观察下面的收敛过程。

随微元数充分增大，离散和趋近解析值；有限微元数下相邻两次误差不必严格单调下降。改变的是数值近似精度，不是物理带电棒本身。对称微元的横向分量应在每一对中抵消，如果程序算出的 $E_x$ 随微元数增加反而稳定在非零值，优先检查微元位置和配对，而不是怀疑对称性。

若场点在棒的延长线上，对称抵消不再适用，但方向统一。设棒仍在 $[-L/2,L/2]$，场点 $x_0>L/2$，则

同一根棒、同一个库仑积分，因为场点位置改变，最省力的分量选择也会改变。不要背“带电棒公式”，要记住微元和几何关系。

两个细棒结果还能互相检查：中垂线问题在 $y\to0^+$ 时，理想线模型给出发散趋势；延长线问题在 $x_0\to(L/2)^+$ 时同样发散。这并不表示真实棒端附近能产生无限大电场，而是说明“零半径、连续线电荷”的理想化在贴近带电体时超出了适用尺度。看到数学发散，应先检查模型边界，而不是急着把无穷大当作可测量结论。

均匀带电圆环：中心为零，轴上并非处处为零

半径为 $R$、总电荷为 $Q$ 的均匀细圆环位于 $xy$ 平面，求轴线上 $P(0,0,z)$ 的电场。每个微元到 $P$ 的距离都是 $\sqrt{R^2+z^2}$。对称位置微元的平面内分量抵消，轴向分量相加。

由 $\cos\theta=z/\sqrt{R^2+z^2}$，得到

几何因子对整圈相同，积分只留下 $\int dq=Q$：

三个检查很有用。第一，$z=0$ 时 $E=0$，因为圆心处各方向完全抵消。第二，$|z|\gg R$ 时，场强大小满足 $|E|\approx k|Q|/z^2$，方向与总电荷为 的点电荷场一致，远处已经看不清圆环结构。第三，对 的场强大小求极值，可得最大值位置为 。所以从圆心沿轴线出发，场强不是一路减小，而是先从零增大，再衰减。

你能在看曲线前猜出峰值大约出现在 $z<R$ 还是 $z>R$ 吗？下面同时改变 $R$ 和 $Q$，看看峰值位置由谁决定、峰值高度又由谁决定。

当 $Q\ne0$ 时，交互给出的证据是：场强大小的无量纲峰值位置固定在 $|z|/R=1/\sqrt2$，而电荷符号决定方向， 和 共同决定尺度。 时各处电场均为零，不存在唯一峰值位置。若只记“距离越远场越弱”，就会错过非零电荷时从圆心零场到峰值的那一段；反平方直觉只在远场才恢复。

均匀带电圆盘：把旧结果当作新微元

现在把半径为 $R$、面电荷密度为 $\sigma$ 的均匀圆盘放在 $xy$ 平面。直接切成小面积块当然能积，但更聪明的微元是半径为 $s$、宽度为 $ds$ 的同心细环。这个细环带电量

对轴线上 $z>0$ 的场点，直接使用刚得到的圆环结果：

从 $s=0$ 积到 $R$，有

这个推导展示了一个很重要的积分习惯：微元不一定非得是“点状小块”，只要已知某个子结构的场，就可以把圆环整体当作新微元。选得好，二维面积积分会变成一维积分。

再做两次极限检查。若 $z\gg R$，展开根式可得

若 $0<z\ll R$，圆盘边缘显得很遥远，$E_z\approx\sigma/(2\varepsilon_0)$，接近无限大均匀带电平面一侧的场。这里只是在直接积分结果上取极限；利用对称性更快处理无限平面的方法，将在下一章借助高斯定理完成。

电场线是地图，不是带电粒子的轨迹

电场是空间中每一点的矢量。为了把整张矢量地图画在纸上，人们引入电场线：线上每一点的切线方向与该点 $\vec E$ 方向一致，线画得较密处表示场较强。电场线从正电荷或无穷远出发，终止于负电荷或无穷远；静电场线不会相交，否则交点处会同时出现两个电场方向。

画场线时，线的条数本身没有统一物理单位，同一幅图中保持“疏密反映强弱”即可。不能因为某片区域没画线，就断言那里场严格为零；也不能在两个同号电荷之间把线从一个正电荷接到另一个正电荷。对点电荷，越靠近源场越强，示意线应更密，但任何有限分辨率的图都只能挑选少数代表线。

但电场线不是实物，也通常不是带电粒子的运动轨迹。粒子的加速度由 $q\vec E/m$ 决定，而速度还保留此前运动的历史；在非均匀弯曲电场中，即使粒子某一刻速度沿场线，之后也未必始终贴着同一条线走。把“受力方向”偷换成“运动方向”，是从力学带到电学的一类老错误。

一个非常重要的中性电荷系是电偶极子：$-q$ 与 $+q$ 相距很小，定义从负电荷指向正电荷的位移矢量为 $\vec d$，电偶极矩为

虽然偶极子的净电荷为零，它的电场并不为零，只是远场中点电荷的 $1/r^2$ 主项相互抵消，剩下的场按 $1/r^3$ 衰减。对于 $r\gg d$，一般远场近似为

在偶极轴线上，大小约为 $2kp/r^3$，方向沿 $\vec p$；在中垂面上，大小约为 $kp/r^3$，方向与 相反。系数不同、方向不同，但衰减阶数相同。

先预测：若把观察距离扩大两倍，足够远处的偶极场变为原来的多少？再比较精确叠加值与远场近似，不要在 $r$ 只比 $d$ 大一点时过早使用近似。

当距离扩大两倍，远场偶极场约降到原来的 $1/8$；但只有 $r/d$ 足够大时，这个比例才稳定。交互也揭示了“净电荷为零”真正意味着什么：反平方的单极项消失，不是所有空间点的场同时消失。

把一章的方法收成四个问题

遇到新的静电场计算，不妨依次问：

1. 源是什么？ 是几个点电荷，还是具有 $\lambda$、$\sigma$、$\rho$ 的连续分布？
2. 方向怎么定？ 从源点到场点写位移，先判断对称抵消，再做坐标分解。
3. 怎样叠加？ 离散分布求矢量和，连续分布把 $dq$ 代入矢量积分。
4. 结果可靠吗？ 检查单位、符号、特殊位置和远近极限。

这套流程比背一串环、棒、盘公式更可靠。考试中真正的给分点通常也落在这些环节：微元写对没有、积分上下限是否覆盖整个源、被积矢量方向是否统一、近似条件有没有交代。公式算得再快，如果把场点和源点混成同一个变量，后面的漂亮积分也救不回来。

到这里，我们已经能从库仑定律直接叠加出电场。但对无限长直线、无限平面或球对称分布，每次都做积分显得很笨。有没有一种方法，只看一个封闭面的整体“穿出情况”，就能迅速得到场？下一章将把电场线的空间图像量化为电通量，并引出高斯定理。

课后练习

1. 两个相同绝缘小球原来均不带电。用某种方式使 $3.0\times10^7$ 个电子从A球转移到B球。求两球最终电荷量及系统总电荷。

2. 真空中 $q_1=+4.0\,\mu\mathrm C$ 位于原点，$q_2=-1.0\,\mu\mathrm C$ 位于 $$ 处。求 对 的力，并写出方向。

3. 两个相同正点电荷 $q$ 位于 $x=\pm a$。在 $y$ 轴上是否存在除无穷远以外的零场点？在两电荷连线的中点场强如何？

4. 点电荷 $q_1=+2q$ 位于 $x=0$，$q_2=-q$ 位于 。求两电荷之间零场点是否存在；若不存在，指出零场点位于哪一侧并求位置。

5. 长度为 $L$、线密度为 $\lambda>0$ 的均匀细棒沿 $x$ 轴放置，中心在原点。求中垂线上距离中心 $y>0$ 处的电场，并验证 $y\gg L$ 时的极限。

6. 半径为 $R$、总电荷为 $Q>0$ 的均匀带电圆环，求轴线上 $z=R$ 处的场强；它是否达到轴线上最大值？

7. 均匀带电圆盘半径为 $R$、面密度为 $\sigma>0$。求轴线上 $z>0$ 处的电场，并说明 $z\ll R$ 与 $z\gg R$ 两个极限的物理意义。

8. 电偶极子由 $\pm3.0\,\mathrm{nC}$ 组成，间距为 $2.0\,\mathrm{mm}$。求偶极矩大小。若在足够远的轴线上取 $r=0.20\,\mathrm m$，估算电场强度大小。

9. 判断下列说法是否正确并说明理由：（a）某点合电场为零，说明没有任何源电荷在该点产生电场；（b）电场线就是正试验电荷释放后的运动轨迹；（c）场强方向等于负电荷受力方向。

10. 一段有限带电体的电荷分布已知。请给出不用现成公式、从库仑定律求某场点电场的通用步骤，并列出至少三项结果自检。

因此 $q_A+q_B=0$，与初态总电荷相同。若只写B球“产生了负电荷”，就漏掉了A球这个交换对象；正确图像是电子转移和净电荷重新分配。

异号电荷相吸，$q_2$ 位于 $q_1$ 右侧，所以 $q_1$ 对 $q_2$ 的力指向左，即

常见错误是把负号同时算进“大小”并写成负牛顿。大小应非负，方向由矢量或文字另外说明。

因此有限位置只有 $y=0$ 时合场为零，也就是两电荷连线中点。中点处两项电场均不为零，只是等大反向。不能把“合场为零”说成“两个源电荷在那里都没有产生电场”。

由于 $x>d$，取正距离得 $x=\sqrt2(x-d)$，所以

它位于 $-q$ 的右侧。若只解平方方程而不先分区域，很容易保留一个方向不可能抵消的伪解。

得到

当 $y\gg L$ 时，根式约为 $y$，而总电荷 $Q=\lambda L$，于是

极限恢复点电荷场，既检查了幂次，也检查了总电荷因子。

方向沿 $+z$。轴线上 $z>0$ 的最大值出现在 $z=R/\sqrt2$，不是 $z=R$。原因是从圆心出发时，轴向投影因子随 $z$ 增大，而距离衰减也在增强；二者竞争决定峰值，不能凭“离圆环近”直接猜最大位置。

当 $z\ll R$ 时，$E\approx\sigma/(2\varepsilon_0)$，局部看起来像无限大均匀平面；当 $z\gg R$ 时，$E\approx kQ/z^2$，其中 $Q=\pi R^2\sigma$，整个圆盘在远处近似为点电荷。两个极限分别丢掉边缘细节和内部结构细节。

因为 $r/d=100\gg1$，可以使用轴线远场近似：

方向沿 $\vec p$。若 $r$ 与 $d$ 同量级，就必须回到两个点电荷的精确矢量叠加，不能使用这一近似。

随后利用对称性消去成对抵消的分量，对剩余分量按覆盖整个带电体的上下限积分。结果至少应检查：单位是否为 $\mathrm{N/C}$；方向是否与电荷符号和几何对称性一致；特殊点是否符合直觉；远场是否在净电荷不为零时趋向 $kQ/r^2$；近似过程是否满足相应尺度条件。这个步骤链比记忆某一种几何体的结论更能迁移到新题。