第1章 机械波、波函数与波的能量
在安静的长走廊里，你拍一下栏杆，远处的人很快能感到振动。可栏杆上的金属并没有从你手边一路跑到他那里；空气把说话声送到耳边时，也没有一团空气从讲台整体搬到最后一排。真正向前走的究竟是什么？
上一册研究振动时，我们盯着一个振子，看它怎样随时间往复。本章要把视线拉开：当许多相邻部分存在相互作用，一个地方的振动会依次改变邻近部分的运动状态，于是扰动 和它携带的能量 能够在空间传播。描述这件事，单有 x ( t ) x(t) x ( t )
一、波在走，介质质点并没有跟着远行
把一根长绳平放，迅速抬一下左端再放回。绳上出现一个凸起，它向右移动；在凸起到达某个彩色标记前，标记还静止，凸起经过时标记先上升再下降，随后又回到原处附近。彩色标记没有被凸起一路带走，却把运动状态传给了下一个绳元。
这种在介质中传播的运动状态变化叫作机械波 。它通常需要两个条件：一是存在产生初始扰动的波源，二是介质的相邻部分之间既有惯性，又有能够传递形变的相互作用。惯性使介质质点不会瞬间跟上新的平衡位置，弹性联系则把一个质点的运动传给邻近质点。只有惯性而没有耦合，各部分各动各的；只有理想化的“立即复位”而没有惯性，也形成不了逐段延迟的传播。
先观察下面的传播图，先辨认质点振动与波形传播的两种箭头，再判断能量朝哪里传。若把三者全当成同一种“速度”，后面的波函数很容易从第一行就写错。
图中的质点围绕各自平衡位置做有限范围的运动，扰动却从左向右抵达越来越远的位置。能量也随相互作用向右输运。因此，波速 描述相位或波形的传播速度，不是介质质点振动的瞬时速度。以横波为例，波可沿 x x x y y y
下面把耦合强弱、驱动方式和频率都改一改。操作前先预测：关闭质点之间的耦合后，最左端仍在振动，远处质点会不会照常收到扰动？再追踪一个染色质点，看看它是否会被波峰带到右端。
操作结果会把条件说得很直白：切断耦合，振源只能让自己附近运动，扰动无法继续传递；恢复耦合后，远处质点依次响应，但被追踪的质点始终只在自己的平衡位置附近往复。波带走的是扰动和能量，而不是把介质整体运走。以后看到“波向右传播”，脑中应出现一串有先后相位差的局部运动，不是一队质点集体向右旅行。
“介质质点的振动速度”“波形的传播速度”和“能量的传递速度”是不同概念。在本章讨论的均匀、无色散行波模型中，波形和平均能量以同一波速传播；介质质点的瞬时速度由局部位移对时间求偏导得到，会周期性改变。
横波和纵波：比较方向之前先确定研究对象
若介质质点的振动方向与波的传播方向垂直，称为横波 ；绳上的小振幅波是典型例子。若两者平行，称为纵波 ；空气中的声波表现为压强和密度的疏密变化，空气微团沿传播方向附近往复。
“上下振的是横波、左右振的是纵波”不是可靠判据，因为整套装置可以旋转。真正不变的是两个方向之间垂直还是平行。看图前先问自己：图中哪支箭头属于质点运动，哪支属于扰动传播？
横波图中，绳元沿竖直方向振动而波向右传；纵波图中，质点沿水平方向往复，密部和疏部却依次向右出现。图像画成正弦曲线时也要小心：纵波常用一条正弦曲线表示位移或压强随位置的变化，那条曲线是函数图像，并不是空气真的排成了蛇形。
二、从一个脉冲到行波函数
在 t = 0 t=0 t = 0
y ( x , 0 ) = f ( x ) . y(x,0)=f(x). y ( x , 0 ) = f ( x ) . 若脉冲保持形状，以恒定速度 v v v + x +x + x t t t v t vt v t x x x x − v t x-vt x − v t
y ( x , t ) = f ( x − v t ) . y(x,t)=f(x-vt). y ( x , t ) = f ( x − v t ) . 向 − x -x − x
y ( x , t ) = f ( x + v t ) . y(x,t)=f(x+vt). y ( x , t ) = f ( x + v t ) . 这里最值得想一想的是符号。很多人见到“向右”就本能地在括号里写加号，其实函数要保持同一形状，必须让它的自变量保持不变。令 x − v t = C x-vt=C x − v t = C x = v t + C x=vt+C x = v t + C x x x
f ( x − v t ) f(x-vt) f ( x − v t ) f f f v v v
同一列波，可以沿空间看，也可以守在一点看
波函数 y ( x , t ) y(x,t) y ( x , t ) t t t 波形图 ；固定 x x x 振动图 。两种图都可能长得像正弦曲线，却回答不同问题。
看下面两条曲线前，先预测：波长 λ \lambda λ T T T
固定时刻，空间中相邻同相状态之间的距离是波长 λ \lambda λ T T T Δ x \Delta x Δ x k ∣ Δ x ∣ k|\Delta x| k ∣Δ x ∣ Δ t \Delta t Δ t ω ∣ Δ t ∣ \omega|\Delta t| ω ∣Δ t ∣
三、简谐波函数：把空间延迟写进振动方程
设 x = 0 x=0 x = 0
y ( 0 , t ) = A cos ( ω t + φ 0 ) . y(0,t)=A\cos(\omega t+\varphi_0). y ( 0 , t ) = A cos ( ω t + φ 0 ) . 波以速度 v v v + x +x + x x x x x / v x/v x / v t − x / v t-x/v t − x / v
y ( x , t ) = A cos [ ω ( t − x v ) + φ 0 ] . y(x,t)=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi_0\right]. y ( x , t ) = A cos [ ω ( t − v x ) + 定义角波数和波长
k = 2 π λ , ω = 2 π f = 2 π T , k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}, k = λ 2 π , ω = 2 π f = T 并利用 v = λ / T = λ f = ω / k v=\lambda/T=\lambda f=\omega/k v = λ / T = λ f = ω / k
y ( x , t ) = A cos ( ω t − k x + φ 0 ) . y(x,t)=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0). y ( x , t ) = A cos ( ω t − k x + φ 0 ) . 同一列右行波也常写成 A cos ( k x − ω t + φ 0 ′ ) A\cos(kx-\omega t+\varphi'_0) A cos ( k x − ω t + φ 0 ′ ) 总相位保持不变 ，看相位点随时间向哪里移动。
这一式中：A A A ω \omega ω f f f k k k v v v φ 0 \varphi_0 φ 0
还有一句容易被“所有质点都做简谐振动”掩盖：它们通常同频，却不同相 。以右行波为例，越靠右的质点越晚重复波源的状态，相位相对波源滞后 k x kx k x 2 π 2\pi 2 π π \pi π 2 π 2\pi 2 π
若题目问“波从原点传到 x x x x / v x/v x / v T T T
现在用探针固定一个位置，再固定一个时刻；分别改变 A , λ , f , φ 0 A,\lambda,f,\varphi_0 A , λ , f , φ 0
你会发现，增大 A A A λ \lambda λ k k k f f f ω \omega ω k x − ω t + φ 0 = C kx-\omega t+\varphi_0=C k x − ω t +
从波函数读取质点的运动
给定 x = x 0 x=x_0 x = x 0
y ( x 0 , t ) = A cos ( ω t − k x 0 + φ 0 ) , y(x_0,t)=A\cos(\omega t-kx_0+\varphi_0), y ( x 0 , t ) = A cos ( ω t − k x 0 + u y ( x 0 , t ) = ∂ y ∂ t = − A ω sin ( ω t − k x 0 + φ 0 ) , u_y(x_0,t)=\frac{\partial y}{\partial t}
=-A\omega\sin(\omega t-kx_0+\varphi_0), u y ( x 0 , t ) = ∂ t a y ( x 0 , t ) = ∂ 2 y ∂ t 2 = − ω 2 y ( x 0 , t ) . a_y(x_0,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\omega^2y(x_0,t). a y ( x 0 , t ) = ∂ t 这里把质点横向速度写作 u y u_y u y v v v y = 0 y=0 y = 0
∂ y ∂ t = − v ∂ y ∂ x . \frac{\partial y}{\partial t}=-v\frac{\partial y}{\partial x}. ∂ t ∂ y = − v ∂ x ∂ y . 右行波在某点若空间斜率为正，则该点横向速度为负。注意这是形状不变的右行波关系；左行波符号相反，驻波也不能直接套用。
例1：从一条波函数读出全部参数
一列波写成
y = 0.020 cos ( 4 π t − 0.50 π x + π / 3 ) m , y=0.020\cos(4\pi t-0.50\pi x+\pi/3)\ \text{m}, y = 0.020 cos ( 4 π t − 0.50 π x + π /3 ) m , 其中 x x x t t t
由系数直接读出
A = 0.020 m , ω = 4 π rad/s , k = 0.50 π rad/m . A=0.020\ \text{m},\quad \omega=4\pi\ \text{rad/s},\quad k=0.50\pi\ \text{rad/m}. A = 0.020 m , ω = 4 π rad/s , k = 0.50 π rad/m . 所以
f = ω 2 π = 2.0 Hz , λ = 2 π k = 4.0 m , f=\frac{\omega}{2\pi}=2.0\ \text{Hz},\qquad
\lambda=\frac{2\pi}{k}=4.0\ \text{m}, f = 2 π ω = 2.0 Hz , λ = k v = ω k = 8.0 m/s . v=\frac{\omega}{k}=8.0\ \text{m/s}. v = k ω = 8.0 m/s . 令相位 4 π t − 0.50 π x + π / 3 4\pi t-0.50\pi x+\pi/3 4 π t − 0.50 π x + π /3 x = 8.0 t + 常量 x=8.0t+\text{常量} x = 8.0 t + 常量 + x +x + x k k
四、波速由介质决定：弦为什么会把扰动传下去
同一台振动器接到粗细不同、张力不同的弦上，驱动频率可以保持不变，波峰间距却会改变。这说明频率主要听波源的节奏，传播速度则要问介质“多难加速、又有多强的恢复作用”。
对均匀柔软弦，设张力为 F T F_T F T μ \mu μ Δ x \Delta x Δ x
用小角近似 sin θ ≈ tan θ ≈ ∂ y / ∂ x \sin\theta\approx\tan\theta\approx\partial y/\partial x sin θ ≈ tan θ ≈ ∂ y / ∂ x
F y ≈ F T [ ∂ y ∂ x ∣ x + Δ x − ∂ y ∂ x ∣ x ] ≈ F T ∂ 2 y ∂ x 2 Δ x . F_y\approx F_T\left[\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+\Delta x}-
\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_x\right]
\approx F_T\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\Delta x. F y ≈ F T 弦元质量为 μ Δ x \mu\Delta x μ Δ x ∂ 2 y / ∂ t 2 \partial^2y/\partial t^2 ∂ 2 y / ∂ t 2 Δ x \Delta x Δ x
∂ 2 y ∂ t 2 = F T μ ∂ 2 y ∂ x 2 . \frac{\partial^2y}{\partial t^2}
=\frac{F_T}{\mu}\frac{\partial^2y}{\partial x^2}. ∂ t 2 ∂ 2 y = 与标准一维波动方程
∂ 2 y ∂ t 2 = v 2 ∂ 2 y ∂ x 2 \frac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2} ∂ t 2 ∂ 2 y = v 比较，得到弦上横波速度
v = F T μ . v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}. v = μ F T 张力越大，局部形变越有力地拉动邻近弦元，传播越快；线密度越大，同样合力越难产生加速度，传播越慢。量纲也能自检：F T / μ F_T/\mu F T / μ ( kg ⋅ m / s 2 ) / ( kg / m ) = m 2 / s 2 (\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2)/(\text{kg}/\text{m})=\text{m}^2/\text{s}^2 ( kg ⋅ m / s 2 ) / ( kg /
这个推导的条件必须与公式一起保存：弦均匀、柔软，张力大小近似恒定，横向位移的空间斜率足够小，且忽略弯曲刚度和耗散。把它无条件套给粗杆、大振幅甩绳或明显色散的介质，结果不会可靠。
波动方程看起来像一串二阶偏导，却有清楚的物理含义：某处的空间曲率决定该处的横向加速度。下面先猜哪些函数“长得像波”却不一定满足方程，再用三条对齐曲线比较空间曲率与时间加速度。
检验会显示，只要函数足够光滑，f ( x − v t ) f(x-vt) f ( x − v t ) g ( x + v t ) g(x+vt) g ( x + v t ) v v v
例2：改变张力后，谁保持不变
线密度为 4.0 × 10 − 3 kg/m 4.0\times10^{-3}\ \text{kg/m} 4.0 × 1 0 − 3 kg/m 36 N 36\ \text{N} 36 N 50 Hz 50\ \text{Hz} 50 Hz 4 4 4
初始波速为
v = 36 4.0 × 10 − 3 = 94.9 m/s , v=\sqrt{\frac{36}{4.0\times10^{-3}}}=94.9\ \text{m/s}, v = 4.0 × 1 0 − 3 36 波长为
λ = v f = 1.90 m . \lambda=\frac{v}{f}=1.90\ \text{m}. λ = f v = 1.90 m . 张力乘 4 4 4 2 2 2 190 m/s 190\ \text{m/s} 190 m/s 50 Hz 50\ \text{Hz} 50 Hz 2 2 2 3.80 m 3.80\ \text{m} 3.80 m
五、波的能量：局部质点来回走，能量却有净输运
一个绳元振动一周又回到原处，看上去什么也没带走；可绳的远端能够被波带动，说明能量确实跨过了中间位置。关键在于：每个弦元既有横向运动的动能，又因弦的局部伸长储存弹性势能；张力对相邻弦元做功，使这份能量继续向前传。
对弦上小振幅波，单位长度的瞬时动能为
u K = 1 2 μ ( ∂ y ∂ t ) 2 , u_K=\frac12\mu\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2, u K = 2 1 μ ( ∂ t 单位长度的瞬时势能为
u P = 1 2 F T ( ∂ y ∂ x ) 2 . u_P=\frac12F_T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2. u P = 2 1 F T 对右行简谐波
y = A sin ( k x − ω t + φ 0 ) , y=A\sin(kx-\omega t+\varphi_0), y = A sin ( k x − ω t + φ 0 ) , 利用 F T = μ v 2 F_T=\mu v^2 F T = μ v 2 v = ω / k v=\omega/k v = ω / k
u K = u P = 1 2 μ A 2 ω 2 cos 2 ( k x − ω t + φ 0 ) . u_K=u_P=\frac12\mu A^2\omega^2\cos^2(kx-\omega t+\varphi_0). u K = u P = 2 这与单个弹簧振子的经验有一点反直觉：对理想右行波，某处的动能密度和势能密度同相变化，而不是此消彼长。先看图判断波峰处、平衡位置处各有多少能量，再对照导数式解释原因。
在波峰或波谷处，局部斜率和横向速度都为零，所以这套理想弦模型的瞬时能量密度为零；在穿过平衡位置且斜率最大处，两种能量密度同时最大。这里讨论的是沿弦分布的能量密度，不是把某个弦元隔离成独立弹簧振子。一个弦元的能量还会通过张力做功流入或流出，所以不能套用“孤立振子总能量恒定”的直觉。
总能量线密度为
u = u K + u P = μ A 2 ω 2 cos 2 ( k x − ω t + φ 0 ) , u=u_K+u_P=\mu A^2\omega^2\cos^2(kx-\omega t+\varphi_0), u = u K + u P = μ A 一个周期或一个波长内的平均值为
u ‾ = 1 2 μ A 2 ω 2 . \overline u=\frac12\mu A^2\omega^2. u = 2 1 μ A 2 ω 2 . 张力在位置 x x x
P ( x , t ) = − F T ∂ y ∂ x ∂ y ∂ t . P(x,t)=-F_T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}. P ( x , t ) = − F T ∂ x ∂ y 对上面的右行波，平均功率为
P ‾ = 1 2 μ A 2 ω 2 v = u ‾ v . \overline P=\frac12\mu A^2\omega^2v=\overline u\,v. P = 2 1 μ A 2 ω 2 v 这个结果值得做两次数量级检查：振幅加倍，平均功率变为 4 4 4 4 4 4 v v v
实验台把三种速度分开后，能量账本就清楚了：弦元的横向速度随相位改变，波速由 F T / μ \sqrt{F_T/\mu} F T / μ P ‾ ∝ A 2 f 2 \overline P\propto A^2f^2
波的振幅变为原来的两倍，能量或平均功率通常变为四倍，而不是两倍；但必须说明比较条件。对弦波公式，还要保持线密度、张力和频率等相应参数不变。
六、能流密度与声强：同样的功率为何越远越“摊薄”
平均功率说明每秒有多少能量通过，却没有说明这些能量挤在多大面积上。定义垂直于传播方向的单位面积上通过的平均功率为能流密度 ，常记为
I = d P ‾ d S ⊥ , I=\frac{\mathrm d\overline P}{\mathrm dS_\perp}, I = d S ⊥ d P , 若截面上分布均匀，则简化为
I = P ‾ S . I=\frac{\overline P}{S}. I = S P . 它的国际单位是 W/m 2 \text{W/m}^2 W/m 2 w ‾ \overline w w I = w ‾ v I=\overline w v I = w v
设一个各向同性点声源在均匀介质中以总声功率 P s P_s P s r r r 4 π r 2 4\pi r^2 4 π r 2
I ( r ) = P s 4 π r 2 . I(r)=\frac{P_s}{4\pi r^2}. I ( r ) = 4 π r 2 P s . 看图前先算一遍：距离从 r r r 2 r 2r 2 r
半径加倍，球面积变为 4 4 4 1 / 4 1/4 1/4 1 / r 2 1/r^2 1/ r 2
在远场球面波中，若介质和辐射条件不变，振幅通常按 1 / r 1/r 1/ r
声波中的压强振幅
声波在流体中是纵波，常用声压相对平衡压强的微小变化 p ′ ( x , t ) p'(x,t) p ′ ( x , t ) ρ \rho ρ v v v p m p_m p m
I = p m 2 2 ρ v . I=\frac{p_m^2}{2\rho v}. I = 2 ρ v p m 2 . 因此声压振幅加倍，其他条件相同，声强同样变为四倍。这个关系针对平面、线性、行进简谐声波；在近场、驻波或复杂边界附近，声压与能流的简单对应可能失效。
七、分贝：不是把声音再换一个单位，而是取对数比较
人耳能接触的声强跨越许多数量级，直接用 W/m 2 \text{W/m}^2 W/m 2
β = 10 lg ( I I 0 ) , I 0 = 1.0 × 10 − 12 W/m 2 , \beta=10\lg\left(\frac{I}{I_0}\right),
\qquad I_0=1.0\times10^{-12}\ \text{W/m}^2, β = 10 lg ( I 0 I ) , 并用分贝（dB \text{dB} dB I 0 I_0 I 0 I / I 0 I/I_0 I / I 0 I I I β \beta
下面的阶梯图并不是说能量“一格一格”传播，而是在展示对数怎样压缩比例。先自己判断：强度乘 100 100 100 100 100 100
由对数运算可得
Δ β = 10 lg ( I 2 I 1 ) . \Delta\beta=10\lg\left(\frac{I_2}{I_1}\right). Δ β = 10 lg ( I 1 I 2 声强乘 10 10 10 10 dB 10\ \text{dB} 10 dB 100 100 100 20 dB 20\ \text{dB} 20 dB 2 2 2 3.01 dB 3.01\ \text{dB} 3.01 dB 3 dB 3\ \text{dB} 3
最后把功率、距离和声源数一起交给下面的模型。先预测距离加倍会减少多少分贝，再检查两个不相干等强声源为何只增加约 3 dB 3\ \text{dB} 3 dB
模型给出的约 − 6 dB -6\ \text{dB} − 6 dB 10 lg ( 1 / 4 ) = − 6.02 dB 10\lg(1/4)=-6.02\ \text{dB} 10 lg ( 1/4 ) = − 6.02 dB + 3 dB +3\ \text{dB} + 3 dB 10 lg 2 = 3.01 dB 10\lg2=3.01\ \text{dB} 10 lg 2
例3：从声功率算到声强级
一个可视为各向同性点声源的扬声器，声功率为 1.0 × 10 − 3 W 1.0\times10^{-3}\ \text{W} 1.0 × 1 0 − 3 W 2.0 m 2.0\ \text{m} 2.0 m
球面面积为
4 π r 2 = 16 π m 2 , 4\pi r^2=16\pi\ \text{m}^2, 4 π r 2 = 16 π m 2 , 所以
I = 1.0 × 10 − 3 16 π ≈ 1.99 × 10 − 5 W/m 2 . I=\frac{1.0\times10^{-3}}{16\pi}
\approx1.99\times10^{-5}\ \text{W/m}^2. I = 16 π 1.0 × 1 0 − 3 ≈ 1.99 × 1 声强级为
β = 10 lg ( 1.99 × 10 − 5 1.0 × 10 − 12 ) ≈ 73.0 dB . \beta=10\lg\left(\frac{1.99\times10^{-5}}{1.0\times10^{-12}}\right)
\approx73.0\ \text{dB}. β = 10 lg ( 1.0 × 1 0 − 12 1.99 × 1 0 计算时先求强度，再取无量纲比值的对数。若把 P s P_s P s r 2 r^2 r 2 4 π 4\pi 4 π l n ln l n l g lg l
八、把本章的三条主线接起来
机械波不是一条会移动的物质曲线，而是介质各部分带着相位差依次运动。用 y ( x , t ) y(x,t) y ( x , t )
传播线：f ( x − v t ) f(x-vt) f ( x − v t ) f ( x + v t ) f(x+vt) f ( x + v t )
动力学线：均匀弦的小振幅横波满足 ∂ 2 y / ∂ t 2 = v 2 ∂ 2 y / ∂ x 2 \partial^2y/\partial t^2=v^2\partial^2y/\partial x^2 ∂
复习时真正容易丢分的不是记不住某一条公式，而是把公式的对象和条件混掉：把波速当质点速度，把 k k k 1 / λ 1/\lambda 1/ λ
下一章会让两列波在同一介质中相遇。那时单列行波的相位不再只是定位波峰的工具，它将直接决定相长、相消、驻波节点以及观察者听到的频率变化。
课后练习
1 关于机械波在均匀介质中的传播，下列说法正确的是哪一项？
A. 介质质点随波形一起从波源运动到远处 B. 波传播的是扰动和能量，质点在平衡位置附近运动 C. 只要有振动源，即使质点之间没有相互作用也能形成机械波 D. 横波的质点速度始终等于波速
2 对波函数 y=A cos(kx−ωt+φ₀)，下列判断正确的是哪些？
3. 从波形平移写函数
在 t = 0 t=0 t = 0 y ( x , 0 ) = a exp [ − ( x / b ) 2 ] y(x,0)=a\exp[-(x/b)^2] y ( x , 0 ) = a exp [ − ( x / b ) 2 ] v v v
查看解析 向负方向传播的固定形状波写作 f ( x + v t ) f(x+vt) f ( x + v t )
y ( x , t ) = a exp [ − ( x + v t b ) 2 ] . y(x,t)=a\exp\left[-\left(\frac{x+vt}{b}\right)^2\right]. y ( x , t ) = a exp [ − ( 4. 两点相位差和振动状态
右行简谐波为 y = 0.030 cos ( 20 π t − 4 π x ) m y=0.030\cos(20\pi t-4\pi x)\ \text{m} y = 0.030 cos ( 20 π t − 4 π x ) m x x x 0.125 m 0.125\ \text{m} 0.125 m
查看解析 角波数 k = 4 π rad/m k=4\pi\ \text{rad/m} k = 4 π rad/m
∣ Δ φ ∣ = k Δ x = 4 π × 0.125 = π 2 . |\Delta\varphi|=k\Delta x=4\pi\times0.125=\frac{\pi}{2}. ∣Δ φ ∣ = k Δ x = 4 π × 0.125 = 5. 判断质点下一瞬间怎样运动
一列形状不变的横波沿 + x +x + x x 0 x_0 x 0 ∂ y / ∂ x > 0 \partial y/\partial x>0 ∂ y / ∂ x > 0
查看解析 右行波满足 y = f ( x − v t ) y=f(x-vt) y = f ( x − v t )
∂ y ∂ t = − v ∂ y ∂ x . \frac{\partial y}{\partial t}=-v\frac{\partial y}{\partial x}. ∂ t ∂ y = 6. 弦上的波速和波长
均匀弦的张力为 64 N 64\ \text{N} 64 N 1.0 × 10 − 2 kg/m 1.0\times10^{-2}\ \text{kg/m} 1.0 × 1 0 − 2 kg/m 40 Hz 40\ \text{Hz} 40 Hz 4 4 4
查看解析 初始波速
v = F T μ = 64 1.0 × 10 − 2 = 80 m/s , v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}=\sqrt{\frac{64}{1.0\times10^{-2}}}=80\ \text{m/s}, v = μ F T 7. 验证一个非正弦脉冲
函数 y ( x , t ) = C / ( 1 + α 2 ( x − v t ) 2 ) y(x,t)=C/(1+\alpha^2(x-vt)^2) y ( x , t ) = C / ( 1 + α 2 ( x − v t ) 2 )
查看解析 令 ξ = x − v t \xi=x-vt ξ = x − v t y = F ( ξ ) y=F(\xi) y = F ( ξ )
∂ 2 y ∂ x 2 = F ′ ′ ( ξ ) , ∂ 2 y ∂ t 2 = v 2 F ′ ′ 8. 振幅和频率怎样影响平均功率
同一根弦上传播两列简谐行波。第二列的振幅是第一列的 3 3 3 1 / 2 1/2 1/2
查看解析 同一根弦且张力不变时，μ \mu μ v v v
P ‾ = 1 2 μ A 2 ω 2 v \overline P=\frac12\mu A^2\omega^2v P = 2 1 μ A 9. 球面扩散中的距离变化
各向同性点声源的功率保持不变。某处距离声源 r r r I I I 3 r 3r 3 r
查看解析 球面波声强满足 I ∝ 1 / r 2 I\propto1/r^2 I ∝ 1/ r 2
I ′ = I 9 . I'=\frac{I}{9}. I ′ = 9 I 10. 多台不相干设备的噪声级
一台设备在测点产生的声强级为 70 dB 70\ \text{dB} 70 dB
查看解析 不相干声源的平均声强相加，四台使总声强变为单台的 4 4 4
Δ β = 10 lg 4 ≈ 6.02 dB . \Delta\beta=10\lg4\approx6.02\ \text{dB}. Δ β = 10 lg 4 ≈ 6.02 dB . 因此总声强级约为
β 总 = 70 + 6.02 ≈ 76 dB . \beta_{\text{总}}=70+6.02\approx76\ \text{dB}. β 
