第 5 章　光的干涉、衍射与偏振

阳光照在肥皂膜上，会出现一圈圈流动的彩色条纹；激光穿过一条很窄的缝，屏上最亮的地方反而比缝本身宽；戴上偏振太阳镜再慢慢转动镜片，水面的反光会忽明忽暗。三个现象看起来毫不相干：一个关乎颜色，一个关乎“拐弯”，一个关乎方向。可它们都在追问同一件事——如果光是波，它的相位、波前和振动方向会怎样留下可测量的痕迹？

这一章不另铺一套完整的几何光学，而是沿着波动光学的主线前进。我们先设法让两束光保持稳定的相位关系，再用光程把“走过什么介质”计入相位账本；随后观察有限孔径怎样改变光的传播，最后用偏振证明光的振动并非沿传播方向。你会发现，条纹不是花纹，而是一张把纳米级波长和微小位移放大的测量表。

一、为什么两盏灯叠在一起看不到干涉条纹

1. 光强相加之前，先问相位能否保持

把两束同色灯光照到同一面墙上，亮度会增加，却通常没有稳定的明暗相间条纹。你可能会想：机械波能够叠加，光波为什么不行？其实光仍然服从叠加原理，问题出在普通灯源中大量原子各自、间歇地发光。两束光到达同一点时的相位差变化得太快，眼睛和探测器只能记录一段时间内的平均值，干涉项便被平均掉了。

先从理想情况出发。两列频率相同、偏振方向相同的简谐光波在某点的电场分量写成

光强与电场瞬时值平方的时间平均成正比，叠加后的光强为

其中 $\delta=\varphi_2-\varphi_1$ 是两束光在该点的相位差。若 $\delta$ 能长期保持不变，某些位置总是加强，另一些位置总是减弱，稳定条纹才有可能出现。若相位差快速随机变化，则 $\langle\cos\delta\rangle=0$，探测器只记录到 。

这说明获得清晰干涉至少需要三个条件：频率相同，相位差稳定，参与叠加的偏振方向不互相垂直。两束光强还应相差不大，否则暗处仍被较强的一束照亮，条纹对比度会很差。定义条纹可见度

可见 $I_1=I_2$ 时 $V=1$，明暗最分明；“能够干涉”和“肉眼容易看清”不是同一个要求。

图中的关键不是两路光离得近，而是它们有同一个“祖先”。实际实验常把同一束光分开再重合：杨氏双缝属于分波阵面，薄膜和迈克尔逊干涉仪属于分振幅。这样，两路光源内部偶然发生的一次相位变化会共同带入两条路径，二者的相位差仍能保持可控。

真实光源也不会发出无限长、频率绝对单一的正弦波列。一次发光持续的有限时间称为相干时间的量级，光在这段时间传播的距离给出相干长度的量级。若两路光程差远大于相干长度，它们在探测器上相遇时已很难属于同一段波列，条纹便会变淡甚至消失。因此迈克尔逊干涉仪调节两臂时，先让光程大致相等，并非只是为了让两束光都能照到屏上，而是为了把光程差放进光源能够维持相干的范围。单色性越好，通常可容许的光程差越大；这也是普通白光干涉只在光程差很小处容易观察的原因。

2. 相位差才是明暗的最终裁判

若两束相干光到达某点时相位差为 $2m\pi$，其中 $m$ 为整数，它们同相叠加，光强取最大值；若相位差为 $(2m+1)\pi$，它们反相叠加，光强取最小值。对等强相干光，$I_{\max}=4I_0$、。这里的 并不违反能量守恒：干涉只是把能量从暗纹重新分配到亮纹，屏上足够大区域的总能量没有凭空增加。

现在先想一想：让两束同频光的偏振方向夹角从 $0^\circ$ 转到 $90^\circ$，亮纹会不会移动？答案是条纹位置由路径相位差决定，一般不会因这一步移动；但干涉项会乘上偏振方向的内积因子，条纹反差逐渐降低，到 $90^\circ$ 时消失。这个区分很重要：条纹“在哪里”和“看得多清楚”由不同因素控制。

二、杨氏双缝：把相位差变成可以拿尺量的距离

1. 路程差怎样决定条纹位置

杨氏双缝实验用同一单色光照亮两条很窄、很近的缝 $S_1$、$S_2$。两缝相当于一对相干次级光源，间距为 $d$，观察屏与双缝平面相距 $D$。屏上点 $P$ 离中央轴的横向坐标为 。

在远场条件 $D\gg d$ 且观察角不大时，两路几何路程差可近似为

若两缝初相相同、光在同一均匀介质中传播，亮纹和暗纹条件分别是

因此第 $m$ 级亮纹位置和相邻亮纹间距为

公式已经很短，但别急着背。它在说：波长越长，相位积累得越慢，要走更大的路程差才多出一个完整周期，所以条纹更疏；屏越远，相同角度差被投影成更大的线距离；双缝越开，相同观察角对应的路程差越大，所以只需较小角度就能完成一次明暗变化，条纹反而更密。

先别代数值，预测下面四次改变：增大 $D$、增大 $d$、换用更长波长、把整套装置浸入折射率更大的透明液体，条纹间距各怎样变化？做完预测再拖动滑块，特别留意最后一种情况中应使用介质内波长 $\lambda=\lambda_0/n$。

结果应该是：$D$ 与 $\lambda_0$ 增大时条纹变疏，$d$ 与 $n$ 增大时条纹变密。常见失误是把“缝距增大”想成两列条纹被拉开；真正被拉开的是两个光源，屏上相位随位置变化得更快，所以条纹间距减小。期末题若问某一点由亮变暗，也不能只比较 $\Delta x$，而应直接算该点的光程差或相位差。

2. 光程：同样一米，不一定积累同样相位

在真空中波长为 $\lambda_0$ 的光进入折射率为 $n$ 的透明介质，频率由光源决定而保持不变，传播速度变成 $c/n$，波长变成 $\lambda_0/n$。光在介质中走过几何长度 $r$ 时，完成的周期数为

于是我们把 $nr$ 定义为这段路径的光程。分段经过不同均匀介质时，总光程为

两路光的光程差 $\Delta L=L_2-L_1$ 与传播产生的相位差满足

这里沿用 $E_i=E_{0i}\cos(\omega t+\varphi_i)$ 和 ：光程更长的第二路相位更滞后，所以传播项带负号。明暗由 决定，不因同时反转相位差约定而改变。注意这里统一使用真空波长 。若你改用某段介质中的波长，就必须同时改变对应的路程表达，不能在同一式子里把真空波长、介质波长和折射率重复计算。

假设在双缝的一条光路中插入厚度为 $t$、折射率为 $n$ 的薄玻璃片，它替代了同样厚度的空气，新增光程为

整个条纹系统会平移，越过中央参考点的条纹数为

条纹会向放玻璃片的那条缝一侧移动，因为新的中央亮纹必须靠近该缝，用较短的几何路程抵消玻璃片增加的光程。这里最容易错的是写成 $nt$：玻璃片不是凭空增加一段路，而是替换了原有的空气段，所以应比较 $nt$ 与 $t$。

三、薄膜干涉：除了传播相位，还要记反射时的相位突变

1. 肥皂膜为什么会有颜色

白光照到肥皂膜，部分光在上表面反射，另一部分进入膜内、在下表面反射后再射出。两束反射光来自同一束入射光，可以相干叠加。由于膜厚和观察方向不同，各波长满足加强条件的位置也不同，于是白光被重新分配成彩色条纹。

设膜的折射率为 $n$、厚度为 $t$、膜内折射角为 $r$。上下表面反射光的传播光程差为

本节反射相位的简化规则适用于透明、非磁性介质的法向或近法向入射；一般斜入射需区分偏振，并排除全反射情形。对于满足这些条件的反射，从光疏介质射向光密介质并反射时，反射波会发生 $\pi$ 的相位突变，常说产生“半波损失”；从光密介质射向光疏介质反射时，没有这次 $\pi$ 突变。稳妥做法不是死记某一套明暗公式，而是写总相位差

再用 $\delta=2m\pi$ 判断亮、用 $\delta=(2m+1)\pi$ 判断暗。

若两次反射中恰有一次发生 $\pi$ 突变，反射光的亮、暗条件在法向入射附近分别为

若两次都发生或都不发生相位突变，额外相位差为 $0$ 模 $2\pi$，亮暗条件对调。特别是 $t=0$ 的接触处：在“恰有一次半波损失”的反射系统中呈暗纹。把半波损失误当作“实际路程多走了半个波长”会带来概念混乱；它是界面反射造成的相位变化，只是在明暗判断中可等效写成半个真空波长的光程差。

先根据题设介质排列判断两束反射光的相变差，再在实验台选择仅一次发生 $\pi$ 突变，或零次、两次的情形，预测指定膜厚处反射增强还是减弱。入射角只在 $0^\circ$ 至 $15^\circ$ 的近法向范围调节，不要漏掉 $\cos r$；切换相变次数时，观察为什么同一厚度会亮暗互换。

实验台揭示了一个很实用的解题顺序：先算传播光程差，再数两束参与光的反射相变差，最后判断明暗。若一上来就套“$2nt=m\lambda$ 是亮还是暗”，换一个介质排列便容易整题翻转。

2. 等厚条纹与等倾条纹别只凭外形区分

若观察方向大致固定，而膜厚随位置改变，满足同一干涉级次的点有相同厚度，这类条纹称为等厚干涉。空气劈尖是最简模型：两平板夹一个很小角度 $\alpha$，距棱边 $x$ 处空气层厚度约为 $t\approx\alpha x$。反射光且恰有一次半波损失时，相邻暗纹对应厚度差 $\lambda_0/2$，条纹间距为

棱边处 $t=0$ 为暗纹。若缝中进入液体，需把分母改为 $2n\alpha$，条纹会变密。等厚条纹还能把表面极小的起伏转成条纹弯曲，因此常用于检验平面度。

牛顿环也是等厚干涉的典型图像。曲率半径为 $R$ 的平凸透镜放在平玻璃板上，空气膜厚度随离中心的半径增大。近轴处 $t\approx r^2/(2R)$；反射暗环满足

中心是否暗仍取决于接触处是否存在一次相对半波损失。若中心混入灰尘形成非零厚度，就不能机械认定它一定是零级暗纹。

若膜厚近似均匀，光程差主要随入射倾角变化，同一倾角的光形成同一级条纹，这就是等倾干涉。条纹常通过透镜在焦平面上表现为同心环，但“同心圆”不是定义；等厚还是等倾，要看级次由厚度还是倾角决定。等倾环中，靠近中心的光倾角较小，改变膜厚会让整组环纹吞入或冒出，这也为迈克尔逊干涉仪的读数方式埋下伏笔。

3. 增透膜并不是让光在膜中“消失”

在空气、膜层、玻璃满足 $n_0<n_f<n_s$ 时，两束主要反射光都经历一次从光疏到光密的反射，相位突变相同，二者没有额外相对半波损失。若希望真空波长 $\lambda_0$ 的光在法向入射时反射相消，可取

即最小正厚度

要获得很深的反射最低点，还希望两束反射光振幅相近，理想单层膜常取 $n_f\approx\sqrt{n_0n_s}$。反射减弱的能量主要转入透射光，并非被薄膜无故吞掉。真实宽带增透膜需要多层设计，本章只要求理解单层四分之一波膜的相位思想。

四、迈克尔逊干涉仪：把微小位移放大成条纹计数

一束光经半透半反镜分成互相垂直的两臂，分别到达反射镜后折返，再次重合。适当补偿玻璃中的传播后，两臂光程差可以精细调节。你可以把它等效看成某一反射镜与另一反射镜虚像之间形成的“空气膜”，这正是为什么仪器能呈现近似等倾的圆环，也能在镜面略有夹角时出现近似直条纹。

若一面反射镜沿光路移动 $\Delta L$，光在该臂多走或少走一个来回，因此光程差改变 $2\Delta L$。每改变一个波长，便有一条条纹穿过视场中心，计数 $N$ 满足

移动方向决定条纹向中心吞入还是从中心冒出，条纹数取绝对值。比如使用 $632.8\ \mathrm{nm}$ 的激光，若观察到 $200$ 条条纹经过中心，镜面位移只有

先预测镜面移动 $10\ \mathrm{\mu m}$ 时大约会经过多少条可见光条纹，再在模拟中选择“由位移求波长”或“由条纹数反推位移”。务必把“镜子移动一次”与“光往返一次”区分开。

你会看到，若漏掉往返因子 $2$，反演结果恰好差一倍。这是期末计算中最常见的失分点之一。迈克尔逊干涉仪还可通过插入气室测折射率变化：长度为 $l$ 的气室折射率改变 $\Delta n$，若光往返通过，光程改变 $2l\Delta n$。仪器真正测量的始终是光程差，镜面位移只是改变光程的一种方法。

五、单缝衍射：一条缝内部的光也会彼此相消

1. “缝越窄，影子越清楚”为什么会失效

按照直线传播的直觉，挡板上的缝越窄，屏上的亮带似乎就该越窄。实际却相反：当缝宽与波长差距不再悬殊时，中央亮纹显著展开，缝越窄，衍射越强。原因并不是光子撞到缝边后随机弹开，而是缝口整个波前上的各点都可视为次级波源，它们在不同方向上的相位差不同。

在夫琅禾费衍射条件下，入射到宽度为 $a$ 的狭缝上的波可近似看作平面波，观察屏位于透镜焦平面或足够远处。对观察方向 $\theta$，狭缝上相距 $y$ 的两点产生的光程差约为 $y\sin\theta$。把整个缝上等振幅贡献积分，得到复振幅因子

其中

于是强度分布为

当 $\beta=m\pi$ 且 $m\ne0$ 时出现暗纹，即

半波带法给出更直观的解释。若缝两端到观察点的光程差正好是 $\lambda$，可把缝分成两半；对应点的光程差为 $\lambda/2$、相位相反，贡献两两抵消，于是出现一级暗纹。若总光程差是 $m\lambda$，可分成偶数个半波带继续配对抵消。

中央主极大位于两个一级暗纹之间，因此它的角宽近似为

若屏距为 $D$ 且小角度近似成立，中央亮纹线宽为

两侧次极大并不简单位于相邻暗纹正中；精确位置由 $\tan\beta=\beta$ 决定，且强度迅速变弱。大学物理基础题通常把重点放在暗纹位置和中央亮纹宽度，不要把相邻暗纹间距误当成处处相等的“双缝条纹间距”。

先预测把缝宽减半后，中央亮纹宽度与中心强度会怎样。若只把图线按峰值归一化，宽度会加倍；但真实通过狭缝的总能量也变少，中心绝对强度并不会凭空保持不变。下面的交互把“图样几何”和“强度归一化”分开显示。

操作后的关键结论是：$a$ 越小或 $\lambda$ 越大，衍射角越大；$D$ 只把角分布投影成不同线宽，不改变各级暗纹对应的衍射角。双缝干涉和单缝衍射都来自叠加，但前者重点比较两个缝的相位，后者要把一个有限缝面内部的连续贡献全部相加。

这也解释了为什么实验中的双缝条纹常常罩在一个缓慢变化的亮度包络里：每条缝并非没有宽度，它先产生自己的单缝衍射包络；两缝中心之间的距离又产生更密的干涉条纹。屏上真正看到的是两种因子的乘积，而不是从“干涉模式”和“衍射模式”中二选一。若缝宽增大，包络收窄，较远处的双缝亮纹可能被压得很弱；若缝距增大，包络基本不变而细条纹变密。把这两个尺度分开，下一节理解光栅的“尖锐主峰套在单缝包络中”就顺理成章了。

2. 圆孔与分辨本领：不是镜头做得完美就能无限清楚

圆形孔径对远处点光源成像时，像面上不是理想几何点，而是中央亮斑加若干弱环，称为艾里斑。孔径直径为 $D_a$ 时，第一暗环对应角度近似为

两个等强点光源的像靠得太近，衍射斑会重叠。瑞利判据把“一个像的中央主极大恰落在另一个像的第一暗环”作为刚好可分辨的标准，因此最小角分辨约为

现在想一想：天文望远镜要分开更近的双星，应该增大还是减小物镜口径？答案是增大 $D_a$，这样衍射斑更窄，最小可分辨角更小。“大口径只为收集更多光”是不完整的，大口径也提高衍射极限下的角分辨本领。实际成像还会受到像差、大气扰动和探测器采样影响，瑞利判据描述的是有限孔径带来的理想衍射极限。

六、衍射光栅：让许多狭缝一起选出波长

1. 主极大为什么又窄又亮

双缝只有两路相干光，光栅则有大量等间距平行狭缝。设每条缝宽为 $a$，相邻缝中心距离即光栅常量为 $d$，被照亮的缝数为 $N$。相邻两缝在方向 $\theta$ 上的光程差是 $d\sin\theta$。当它等于整数个波长时，所有缝的贡献同相，形成主极大：

缝数越多，稍微偏离主极大方向就会出现越来越多不完全抵消的相位，从而把主极大压得更窄。若只看相对形状，$N$ 缝干涉因子可写为

但每条缝本身有有限宽度，因此总图样还要乘上单缝包络：

其中 $\beta=\pi a\sin\theta/\lambda$，常数 $C$ 取决于入射强度和归一化方式。

光栅方程还带来两个直接结论。第一，必须有 $|\sin\theta|\le1$，因此可存在的级次满足 $|m|\le d/\lambda$；若 $d/\lambda$ 恰为整数，形式上对应 $90^\circ$ 的最高级通常不能在常规屏面上直接观察。第二，对固定级次求导，得到角色散

高阶谱线通常分得更开，但可用级次数有限，而且高阶处强度受单缝包络影响。包含 $N$ 条有效狭缝的理想光栅在第 $m$ 级的分辨本领为

这说明“角色散大”和“能分开多近的两条谱线”也不是同一个概念：前者描述角位置随波长的变化率，后者还依赖被照亮的缝数。

2. 缺级：方程允许的位置为什么没有亮线

假设光栅方程预言某方向应有第 $m$ 级主极大，但该方向同时满足单缝暗纹条件

那么每条缝在这个方向上自身就几乎不给出净振幅，多缝主极大便被单缝包络“挖掉”。联立可得

若 $d/a=p$ 是整数，则第 $p,2p,3p,\ldots$ 级缺失。例如 $d=3a$ 时，第 $3,6,9,\ldots$ 级主极大缺级。注意，中央 不因这个关系消失，因为单缝中央方向不是暗纹。

下面先选择一组 $d/a$，不要看结果就判断哪些级次会缺失；再打开双波长比较，观察不同级次的谱线间隔。本实验固定缝数为12；增加缝数会提高谱峰锐度的结论可结合公式分析。

结果复盘时要把两套条件分开：$d\sin\theta=m\lambda$ 决定多缝主极大“想出现在哪里”，$a\sin\theta=q\lambda$ 决定单缝包络“哪里不给光”。只解第一条式子会列出不存在的谱线，只解第二条式子又看不到光栅的锐利主峰。

七、偏振：光的振动方向也能被筛选

1. 自然光、线偏振光和偏振片

抖动绳子时，如果手只上下运动，波的振动方向固定；若手在横截面内不断换方向，传播方向仍向前，但横向振动不再固定。光是横波，电场矢量在垂直于传播方向的平面内振动。普通光源中大量发光过程彼此独立，各个横向方向的振动在统计上等概率，这种光称为自然光。它不是“一根电场箭头同时指向所有方向”，而是在探测时间内包含不断变化、互不相干的横向分量。

理想偏振片只允许沿透光轴方向的电场分量通过。自然光强为 $I_0$，通过第一个理想偏振片后，平均强度为

出射光成为线偏振光。再放一个透光轴与前者夹角为 $\theta$ 的检偏器，电场振幅投影为 $E=E_P\cos\theta$，由于强度与振幅平方成正比，得到马吕斯定律

这里有两个常见陷阱。第一，题目给的 $I_0$ 到底是自然光入射强度，还是已经通过起偏器后的线偏振光强度？只有前一种情况要先乘 $1/2$。第二，夹角是两片偏振片的透光轴夹角，不是光线和偏振片平面的夹角。

先猜：检偏器从 $0^\circ$ 转到 $60^\circ$，透射强度是原来的 $1/2$ 还是 $1/4$？再比较 $30^\circ$ 与 ，看看强度为什么不会随角度线性下降。随后切到界面反射模块，调节两侧折射率，找出反射光偏振最完全的角度。

答案是 $1/4$，因为振幅先投影成 $\cos60^\circ=1/2$，强度还要平方。交互中若从自然光开始，屏上显示的是 $I_0/8$；若把起偏后的 $I_P$ 当作基准，则显示 。许多计算差一倍，就是因为没有说明强度基准。

2. 布儒斯特定律：反射也能起偏

自然光从折射率 $n_1$ 的介质射向折射率 $n_2$ 的透明介质。电场可分解为垂直入射面的 $s$ 分量和平行入射面的 $p$ 分量。在某个特殊入射角 $i_B$， 分量的反射振幅为零，反射光成为电场垂直入射面的线偏振光。这个角满足

同时折射角 $r_B$ 与它互余：

若光从空气射向折射率 $1.50$ 的玻璃，$i_B=\arctan1.50\approx56.3^\circ$。注意，布儒斯特角属于入射角，均从界面法线量起；“反射光和折射光互相垂直”说的是两条传播方向的夹角，不是它们各自与界面的夹角相等。

水面和路面反光在某些角度下具有很强的水平偏振分量，偏振太阳镜把透光轴设计在近似竖直方向，可削弱眩光。转动镜片时明暗变化，正是马吕斯定律在生活中的直接表现。摄影偏振镜还能减弱非金属表面的反光、提高天空与云层的反差；应力双折射和液晶显示也利用了偏振态对材料和电场的敏感性。这里我们掌握起偏、检偏和界面反射的基本规律，不展开晶体光学的完整形式体系。

八、把三种现象放回同一张波动图景

干涉、衍射和偏振不是三个互不相干的公式抽屉。干涉研究少数几路相干光的相位差；衍射把孔径上连续分布的次级波全部叠加；偏振则追踪横波电场矢量的方向。它们共同使用“先确定振幅和相位，再做叠加，最后取强度”的思路。

遇到波动光学题，可以依次问：参与叠加的是哪几路光？真空波长与介质折射率是否已统一进光程？反射相位突变是否不同？孔径内部是否需要积分叠加？题目给的是电场振幅还是光强？这五个问题能挡住大多数机械套公式造成的错误。

干涉仪把微小光程差变成条纹移动，光栅把不同波长变成不同角位置，偏振器把电场方向变成强度变化。看似“看不见”的相位、波长和振动方向，就这样被转换为可数、可量、可比较的实验信号。下一章进入静电场时，我们会再次遇到矢量场；不同的是，光场随时间振荡并传播，而静电场从静止电荷的空间分布出发。

章末练习：先独立判断，再核对完整解析

2. 真空波长为 $600\ \mathrm{nm}$ 的单色光照射双缝，缝距 $d=0.30\ \mathrm{mm}$，屏距 $D=1.50\ \mathrm m$。求相邻亮纹间距；若装置整体浸入折射率 $n=1.50$ 的液体，间距变为多少？

3. 在双缝的一条光路中插入厚度 $t=12.0\ \mathrm{\mu m}$、折射率 $n=1.50$ 的玻璃片，单色光真空波长为 $500\ \mathrm{nm}$。有多少条条纹越过原中央位置？条纹向哪一侧移动？

4. 一层折射率 $n=1.40$ 的透明膜处在空气与折射率 $1.60$ 的玻璃之间，光从空气法向入射。要使真空波长 $560\ \mathrm{nm}$ 的反射光出现最小值，求最小正膜厚，并说明两次反射相位突变的作用。

5. 两玻璃板形成空气劈尖，夹角 $\alpha=2.0\times10^{-4}\ \mathrm{rad}$，用 $600\ \mathrm{nm}$ 单色光近法向照射并观察反射条纹。求相邻暗纹间距；若缝中充满 $n=1.50$ 的液体，间距如何变化？

6. 迈克尔逊干涉仪使用未知波长的单色光。一面反射镜移动 $0.158\ \mathrm{mm}$，观察到 $500$ 条条纹经过视场中心。求光的波长。

7. 波长 $500\ \mathrm{nm}$ 的平行光垂直照射宽度 $a=0.20\ \mathrm{mm}$ 的单缝，透镜焦距 $f=1.00\ \mathrm m$，在焦平面观察。求中央亮纹宽度和第一级暗纹离中心的距离。

8. 一台望远镜物镜直径为 $0.12\ \mathrm m$，观察波长 $550\ \mathrm{nm}$ 的光。按瑞利判据估算最小可分辨角；若两个目标距望远镜均约 $10\ \mathrm{km}$，且位于同一横向平面，它们至少相隔多远才能刚好分辨？

9. 光栅常量 $d=2.0\ \mathrm{\mu m}$，用波长 $500\ \mathrm{nm}$ 的单色光法向照射。求一级和二级主极大角，并判断最高可存在的级次。

10. 某透射光栅的光栅常量 $d=4a$，其中 $a$ 为单缝宽度。哪些非零主极大会因单缝包络而缺级？说明推理。

11. 强度为 $I_0=80\ \mathrm{W/m^2}$ 的自然光依次通过两片理想偏振片，两片透光轴夹角为 $60^\circ$。求最终透射光强。若入射光已经是沿第一片透光轴方向的线偏振光，结果又是多少？

12. 自然光从空气射向折射率 $n=1.60$ 的透明介质。求布儒斯特角和相应折射角，并说明此时反射光的偏振方向。

本章小结

稳定干涉要求同频光之间保持稳定相位差，并具有共同偏振分量。杨氏双缝把路程差映射为等间距条纹；光程 $L=\sum nr$ 则把介质造成的相位积累统一纳入计算。薄膜干涉还必须比较界面反射的相位突变，等厚条纹主要记录膜厚，等倾条纹主要记录方向。迈克尔逊干涉仪利用往返光程，使镜面微小位移对应可计数的条纹移动。

有限孔径让光发生衍射。单缝夫琅禾费衍射的暗纹满足 $a\sin\theta=m\lambda$，中央亮纹宽度随 $\lambda/a$ 增大；圆孔造成艾里斑，并给出 $1.22\lambda/D_a$ 的衍射分辨极限。多缝光栅的主极大满足 $d\sin\theta=m\lambda$，又受到单缝包络调制，因此可能出现缺级。偏振揭示光的横波本性，马吕斯定律把电场投影转成强度变化，布儒斯特定律则说明介质界面也能选择偏振方向。

即 $3.00\ \mathrm{mm}$。浸入液体后频率不变，介质内波长为 $\lambda_0/n$，所以

容易错在认为“光变慢，频率也变小”；跨越介质界面时频率由光源锁定，改变的是速度和波长。

条纹向插入玻璃片的那条缝一侧移动，新中央亮纹靠缩短该路几何路径来补偿增加的光程。若写 $nt/\lambda_0$ 会忘记玻璃替换掉的原空气光程。

若只看到“薄膜反射”就额外添加一次半波损失，会把明暗条件反转。必须分别判断两处界面的反射方向。

即 $1.50\ \mathrm{mm}$。充液后光程差变为 $2nt$，所以

折射率增大使相同几何厚度变化对应更大的光程变化，条纹因此变密。

若漏掉往返因子 $2$，会得到 $316\ \mathrm{nm}$。条纹吞入还是冒出影响移动方向判断，不影响由条纹数求波长时的绝对值。

中央亮纹位于左右一级暗纹之间，宽度为

“中央到一级暗纹的距离”和“中央亮纹全宽”相差因子 $2$，这是读题时必须分清的两个量。

目标距离 $L=10\ \mathrm{km}$，小角度下横向间距

即约 $5.6\ \mathrm{cm}$。这个结果是假设没有像差、大气扰动和探测器限制时的衍射极限。

故 $\theta_1\approx14.5^\circ$。二级有 $\sin\theta_2=0.50$，所以 $\theta_2=30.0^\circ$。

由 $|m|\le d/\lambda=4$，数学上可写到第四级；但第四级对应 $\sin\theta=1$、即 $90^\circ$ 掠射方向，常规屏面通常不能直接观察。因此实际正入射光谱中通常把可观察级次讨论到三级，并单独说明第四级边界。

因此第 $4,8,12,\ldots$ 级以及对应负级次缺失，前提是该级次还满足 $|\sin\theta|\le1$。中央零级不是单缝暗纹，不能把 $q=0$ 当作“零级缺失”。

再由马吕斯定律

若入射光已经沿第一片透光轴线偏振，理想第一片不再带来 $1/2$，最终为 $80\times1/4=20\ \mathrm{W/m^2}$。是否乘 $1/2$ 取决于入射光的偏振状态，而不是偏振片的数量。

得 $i_B\approx58.0^\circ$。布儒斯特条件下反射光与折射光互相垂直，所以

此时平行于入射面的 $p$ 分量不反射，反射光的电场振动方向垂直于入射面，即为 $s$ 偏振。角度都应从法线量起，不能把 $58.0^\circ$ 误当作与界面的夹角。