第7章 电通量、高斯定理及其应用

把电场想成风，把一块平面想成窗户。窗户正对着风时，穿过去的风最多；把窗户转到与风平行，明明风还很强，却几乎没有风穿过窗面。再换一个问题：用一个看不见的封闭“气球”把电荷罩住，无论气球捏成球、方盒还是皱巴巴的不规则形，穿出整个气球表面的电场究竟由什么决定？

这两个问题把本章的两条线连在一起。电通量回答“一个矢量场穿过给定曲面多少”，高斯定理则把封闭曲面的总通量与曲面内部的净电荷联系起来。它们既是一条普遍规律，也是一种计算工具。不过这句话要拆开理解：高斯定理对任意闭合曲面都成立，只有电荷分布具有足够对称性时，它才容易被反过来用来求场强。

曲面也要规定“正面”：有向面元

先取一小块面积为 $\Delta S$ 的平面。面积本来是标量，但要描述电场从哪一侧穿过，仅有“多大”还不够，于是给它配一个单位法向量 $\boldsymbol n$，定义面积矢量

把曲面分得越来越细，极限中的小块写成

这里的 $\boldsymbol n$ 不是电场方向，而是我们给曲面规定的法向。对开放曲面，两种法向都可以选；一旦选定，就必须保持一致。把法向整体反转，同一电场通过该面的通量会整体变号。对闭合曲面，约定法向一律指向曲面外侧，这样“穿出”为正、“穿入”为负，所有人使用高斯定理时才有统一符号。

看图时别急着数箭头，先找到每个小面元的法向。开放面上的两种法向都是合法选择；闭合面却不能一会儿向内、一会儿向外。曲面即使弯曲，每个位置也都有自己的局部法向，因此 $\mathrm d\boldsymbol S$ 的方向会随位置变化。

现在给小面元所在处一个电场 $\boldsymbol E$。设 $\theta$ 为 $\boldsymbol E$ 与 $\mathrm d\boldsymbol S$ 的夹角，小面元贡献的电通量定义为

为什么用点积？因为我们只关心电场垂直穿过曲面的分量。$E\cos\theta$ 是法向分量；也可以把它理解为电场乘以曲面在垂直于电场方向上的投影面积。两种看法得到同一结果。

一块面积为 $S$ 的平面处在匀强电场中，若整块面的法向相同，就有

$\theta=0$ 时通量为 $ES$；$\theta=90^\circ$ 时通量为零；$\theta=180^\circ$ 时通量为 。注意，零通量不等于零电场：电场完全擦着曲面走时， 可以很大，法向分量仍为零。

先在下面的实验室里预测三个关键角度的结果，再翻转法向。留意数值变号时，电场和曲面本身有没有发生变化。

实验给出的证据应当一致：面积加倍，通量加倍；法向与电场垂直，通量为零；只翻转法向，通量大小不变而符号反转。真正参与计算的是 $E_n=E\cos\theta$，不是不加区别地使用整个 $E$。

若电场在曲面上不均匀，或曲面本身弯曲，就不能直接拿一个 $E$、一个 $\theta$ 乘完整面积。正确做法是对所有小面元求和：

一个很实用的习惯是先写面积矢量，再做点积。例如矩形面面积为 $0.30\ \mathrm{m^2}$，选定法向为 $+x$ 方向，所在处匀强电场为

那么 $\boldsymbol S=0.30\boldsymbol e_x\ \mathrm{m^2}$，通量为

$y$ 分量虽比 $x$ 分量大，却完全沿着曲面滑过，不贡献通量。若题目给的是一个折面，就对各片分别写 $\boldsymbol S_i$ 后相加；若给的是曲面，才进一步写成积分。这样处理比先猜夹角更不容易丢符号。

曲面积分还有一个常用的“补面”思路。若直接计算弯曲面的通量很麻烦，可以给它补上一块或几块简单平面，组成闭合面；先求闭合面的总通量，再减去补面的通量。本章练习中的半球面就是这种做法。补面不是改变原问题，而是在总账中添加一项再减回去。

国际单位制中，电通量单位为 $\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}$。电通量是标量，但它可以有正负；正负来自面元方向约定，不表示“通量是矢量”。电场线能帮助形成穿入、穿出的图像，却不是空间中真实存在的细线，更不能靠随意画出的线条数代替积分。

从开放面到闭合面：穿出与穿入要算总账

给曲面加上边界，把它封闭起来，通量写作

圆圈表示积分面是闭合的，$\mathrm d\boldsymbol S$ 默认向外。设一个均匀电场穿过没有包围电荷的立方体：它从左面穿入，从右面穿出，其他四面可能没有通量。穿入为负、穿出为正，两者大小相等，所以总通量为零。这里每一面的通量并不都为零，只有六面相加为零。

现在换成一个形状任意的闭合面，并在面内、面外放置几个正负电荷。直觉很容易走向两个极端：要么认为只有内部电荷产生面上的电场，要么认为外部电荷既然能改变场强，也一定会改变总通量。两种说法都不准确。

面上任一点的总电场由所有电荷共同叠加，当然包括外部电荷；但一个外部电荷的场线若从闭合面某处穿入，必定又从别处穿出，对总通量的正负贡献相消。内部电荷则像场线的源或汇：正电荷带来净穿出，负电荷带来净穿入。

这也解释了为什么“数穿出的箭头”必须带符号。一条场线从外部进入曲面又离开，若只数两个交点，会误以为贡献了两份正通量；实际上穿入处 $\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol S<0$，穿出处大于零，积分后相消。对于内部正电荷发出的场线，按外法向带符号累计交点后，净穿出次数比净穿入次数多一次；曲面若不凸，单条场线可能多次穿入、穿出。内部负电荷对应净穿入，不能把任意曲面都想成只穿过一次的球面。

下面可以拖动电荷跨过曲面边界。先保持面内净电荷不变，只移动外部电荷，观察局部箭头与总通量分别怎样变化；再把一个电荷拖入曲面。

当外部电荷移动时，面上不同位置的 $\boldsymbol E$ 可以明显改变，但总通量不变；电荷一旦跨入，包围电荷 $Q_{\text{in}}$ 改变，总通量随之跳到新的值。若面内有等量异号电荷，总通量为零，却不代表面上处处 $E=0$。这三个量必须分清：局部场强、某一小块的局部通量、整个闭合面的总通量。

高斯定理：闭合面的总通量只认净包围电荷

高斯定理的积分形式为

其中 $S$ 是任意闭合曲面，$Q_{\text{in}}$ 是曲面包围体积内全部电荷的代数和，$\varepsilon_0$ 为真空介电常量。若体电荷密度为 $\rho$，则

面电荷和线电荷则分别用 $\int\sigma\,\mathrm dS$ 与 $\int\lambda\,\mathrm dl$ 计算。高斯定理右边只数闭合面内部的净电荷，电荷离曲面中心多远、曲面是什么形状都不改变这个等式。电荷若恰好落在数学曲面上，点电荷处的场出现奇异，普通形式不能含糊地直接代入；实际解题应移动高斯面，使电荷明确位于内侧或外侧。

“净”字也很重要。一个闭合面包围 $+5\ \mathrm{nC}$ 和 $-2\ \mathrm{nC}$，右边应写 $3\ \mathrm{nC}/\varepsilon_0$，不是把电荷量绝对值加成 $7\ \mathrm{nC}/\varepsilon_0$。若面内正负电荷代数和为零，闭合面总通量为零；这只是一张收支平衡表，既不保证曲面上各处通量为零，也不保证内部没有电荷。

为什么一个点电荷会给出 $q/\varepsilon_0$？先把正点电荷放在球心。半径为 $r$ 的球面上，电场处处沿外法向且大小相等：

因此

球变大时，面积按 $r^2$ 增长，场强按 $1/r^2$ 减小，两者恰好抵消。把球面连续捏成任意闭合曲面，只要仍包围电荷，每个方向所截取的“立体角份额”总和不变，总通量也不变。若电荷在曲面外，从它看去，曲面一部分被场线穿入，另一部分被穿出，净贡献为零。再利用电场叠加，就得到任意多个电荷的高斯定理。

高斯定理还告诉我们，电场线可从正电荷发出、向负电荷终止，静电场是有源场。但本章不把它扩写为完整的散度理论；先学会从积分式读出物理意义并完成典型对称性计算。

定理总成立，为什么有时仍然算不出场强

看到 $\oint\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol S=Q_{\text{in}}/\varepsilon_0$，你可能会想：随手画个球，把未知 $E$ 移到积分号外，不就结束了吗？问题就在“移出去”这一步。要从总通量反求局部场强，通常需要对称性保证：

• 在高斯面的有效部分，$E$ 的大小处处相同；
• $\boldsymbol E$ 与面元法向的夹角处处已知，最好是平行、反平行或垂直；
• 未知场强能以一个共同因子从积分中提出。

球对称分布适合同心球面；无限长的线或圆柱对称分布适合同轴圆柱面；无限大平面对称分布适合跨过平面的薄柱。高斯面是为了积分而假想出来的几何面，不是带电物体的表面，也不必由导体或薄膜做成。

对称性判断不能只看“物体像什么”，还要看带电分布像什么。一只几何上完美的球壳，若电荷只堆在北半球，就没有完整球对称；一根直径处处相同的圆柱，若线电荷密度随轴向位置改变，就没有平移对称。反过来，我们要求的不是高斯面本身把电场“变对称”，而是场源的对称性先约束了电场，高斯面只是顺势利用这个约束。

判断电场方向时，还可以做一个反证。例如无限长均匀线电荷若存在沿轴分量，把整个系统关于某个垂直于轴的平面反射，电荷分布不变，轴向分量却应反向，除非它为零；若存在环绕轴的切向分量，把系统关于包含轴的平面反射，也会得到矛盾。因此电场只能沿径向。球对称和平面对称的方向结论也来自同样的“变换后场源不变，电场不能凭空改变”逻辑。

在下面的训练器里，不要只按外形配对。有限短棒“看起来像圆柱”，端点却破坏了平移对称；偏心电荷放在球壳附近，“看起来有球”，总场也不再只依赖半径。先检查对称变换，再选择计算面。

训练结果可以归结为一句话：选高斯面不是为了让右边容易数，而是为了让左边容易积分。 对一个不规则带电体，高斯定理依然准确给出任意闭合面的总通量，却往往不能单独确定面上每一点的 $E$；此时应回到库仑定律积分、数值计算或其他方法。

一套可靠的选面检查

遇到高斯定理求场强，可以依次问：

1. 电荷分布在旋转、平移或反射后是否保持不变？
2. 这些对称性限制了 $\boldsymbol E$ 的方向吗？
3. 能否构造一个闭合面，使有通量的部分上 $E$ 等大？
4. 其他部分能否因 $\boldsymbol E\perp\mathrm d\boldsymbol S$ 而给出零通量？
5. 该高斯面真正包围了多少净电荷？

最后一问经常最容易被忽略。左边选的是半径 $r$ 的计算面，右边就只能积分到 $r$；不能把带电体的总电荷无条件全部写进 $Q_{\text{in}}$。

球对称：场强只依赖到中心的距离

若电荷分布绕中心作任意旋转都不变，电场不可能偏爱某个切向方向，只能沿径向。规定径向单位矢量 $\boldsymbol e_r$ 指向球外，把电场写成 $\boldsymbol E=E_r(r)\boldsymbol e_r$：同一半径上有符号径向分量 相同， 表示向外， 表示向内。取半径 的同心球面，有

所以

这条式子看似统一，真正决定分段的是 $Q_{\text{in}}(r)$。

对半径为 $R$、总电荷为 $Q$ 的均匀带电薄球壳：

壳内高斯面没有包围电荷，而球对称又保证可把 $E_r$ 提出积分，所以得到 $E_r=0$，也就是 $\boldsymbol E=\boldsymbol 0$。这里“零场强”既用了高斯定理，也用了球对称；只知道 而没有对称性，只能推出总通量为零。球壳的 可以带符号： 时壳外电场向外， 时 、电场向内，而场强大小始终是 。

再看半径 $R$、体电荷密度均匀为 $\rho$ 的非导体实心球。当 $r<R$ 时，高斯面只包围半径 $r$ 的那部分：

于是

若总电荷 $Q=\rho(4\pi R^3/3)$，球外则有

所以实心球内部的场强大小 $|E_r|$ 从中心的零值随 $r$ 线性增大，到表面达到最大，外部再按 $1/r^2$ 衰减；$\rho>0$ 时方向向外， 时方向向内。不要把它和导体球混淆：均匀带电非导体的电荷充满体积，内部一般有场；导体静电平衡时电荷重新分布，内部电场为零，那是第9章的内容。

先选择与你预测相符的曲线选项，再切换薄球壳与实心球并揭示结果。尤其观察 $r=R$ 两侧是否连续，以及改变 $R$ 而保持总电荷或保持 $\rho$ 时，曲线为什么不同。

证据会揭示一个通用解题习惯：每进入一个新的 $r$ 区间，都重新画高斯面、重新计算 $Q_{\text{in}}(r)$，不要把上一段的包围电荷沿用下来。期末题最常见的失分并非积分本身，而是内区误用了总电荷，导致本应正比于 $r$ 的结果写成 $1/r^2$。

柱对称：长度会消去，半径留下来

一条无限长、线电荷密度为 $\lambda$ 的直线，在绕轴旋转和沿轴平移后都不变。因此电场沿径向，大小只依赖到轴的距离 $r$。规定柱坐标的 $\boldsymbol e_r$ 指向远离轴线的方向，并写成 $\boldsymbol E=E_r(r)\boldsymbol e_r$；这里 是可正可负的径向分量。取半径 、长度 的同轴闭合圆柱作为高斯面。

侧面的外法向为 $\boldsymbol e_r$，侧面通量为 $E_r(r)2\pi rL$；两个端面的法向沿轴，和电场垂直，通量为零。包围电荷为 $\lambda L$，所以

若 $\lambda<0$，$\boldsymbol e_r$ 前的系数为负，电场实际指向轴线。辅助长度 $L$ 在两边消去，说明结果不应依赖我们随手截取多长一段高斯面。

半径为 $R$、体电荷密度为 $\rho$ 的无限长均匀带电实心圆柱也要分段。内区 $r<R$ 时 $Q_{\text{in}}=\rho\pi r^2L$，所以

外区 $r>R$ 时只包围 $\rho\pi R^2L$，于是

它和均匀带电实心球都有“内线性、外衰减”，但外部幂次不同：球面面积随 $r^2$ 增长，柱侧面积只随 $r$ 增长，所以球外为 $1/r^2$，无限长圆柱外为 $1/r$。这是几何扩散维数留下的痕迹，不是需要死背的两张表。

平面对称：离平面更远，理想场强仍不变

无限大均匀带电平面在面内平移、绕法线旋转都保持不变；反射对称还说明两侧电场大小相等、方向相反，并垂直于平面。取横截面积为 $A$、跨过带电平面的薄柱作为高斯面。

薄柱侧面法向在平面内，电场与它垂直，侧面通量为零。先设 $\sigma>0$，两个端面各有 $EA$ 的通量，包围电荷为 $\sigma A$，因此

正电面两侧电场背离平面，负电面两侧电场指向平面。结果与距离无关并不违反直觉，因为“无限大”是一种理想化：离开平面再远，视野中的电荷也同时增多，恰好补偿单个电荷作用的减弱。有限大平面只有在观察距离远小于其横向尺寸、且远离边缘时，才可近似使用这一结果。

两个平行的无限大平面若分别带 $+\sigma$ 与 $-\sigma$，利用叠加可得两板之间场强为 $\sigma/\varepsilon_0$、板外为零。这是理想平行板电容器内部匀强场的来源之一。注意单个无限大非导体带电面的每侧是 $\sigma/(2\varepsilon_0)$；导体表面外侧的场强关系涉及静电平衡和边界条件，不能把两条结论提前混为一谈。

最后用一个交互把线、实心圆柱和平面放在同一张工作台上。先预测扩大高斯面后 $E$ 的变化，再观察 $L$ 或 $A$ 为什么从方程两边消掉。

比较结果应当落回几何：线电荷的通量摊在随 $r$ 增长的柱侧面上，故 $E\propto1/r$；无限平面的有效端面面积不因薄柱高度改变，故 $E$ 与距离无关；均匀实心圆柱内部的包围电荷与 $r^2$ 成正比，而侧面积与 $r$ 成正比，故 $E\propto r$。公式不再是三条孤立记忆，而是“包围电荷怎样增长”和“有效面积怎样增长”的比值。

高斯定理解题：先做物理判断，再做积分

下面用一个例题把完整路径串起来。

一半径为 $R$ 的非导体球，体电荷密度不是常量，而是 $\rho(r)=\rho_0r/R$。求球内、球外电场。

这个例题提醒我们：高斯定理简化的是通量积分，不一定免除电荷积分。对称性让左边变简单，右边的 $Q_{\text{in}}$ 仍可能需要认真积分。

结果出来后，再过四道检查门

高斯定理题的代数往往不长，因此错误更容易藏在模型里。得到结果后，不妨快速检查四件事。

• 方向：正电分布的场通常背离场源，负电分布通常指向场源。若只写 $E$ 的正数，应另用文字或单位矢量交代方向。
• 单位：例如 $\lambda/(\varepsilon_0r)$、$\sigma/\varepsilon_0$、$\rho r\mathrm{/}{}_{}$ 都应还原为 。若结果还带着辅助长度 或任意端面面积 ，通常说明高斯面两边没有正确约掉。

这几步不会替代推导，却能抓住“把总电荷误塞进内区”“把球外写成 $1/r$”“漏掉两个端面”等高频错误。考试中，把选面依据和 $Q_{\text{in}}(r)$ 单独写出，也是比只摆最终公式更可靠的得分路径。

本章小结

有向面元 $\mathrm d\boldsymbol S=\boldsymbol n\mathrm dS$ 把面积和法向结合起来，电通量 $\Phi_E=\int\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol S$ 统计电场的法向穿越。闭合面统一取外法向，高斯定理

对任意闭合曲面成立。它约束的是总通量，不直接说明面上每一点的场强；面上电场来自全部电荷，而总通量只认内部净电荷。球、无限长圆柱和无限大平面具有足够对称性，能让 $E$ 从积分中提出，因而适合反求场强。分段问题中，必须让 $Q_{\text{in}}$ 随高斯面半径同步改变。

下一章将换一个角度描述同一个静电场：既然静电场力做功与路径无关，就可以引入电势，把矢量场的某些问题转化为标量的能量账本。

课后练习

练习1：匀强电场中的开放面

面积为 $0.020\ \mathrm{m^2}$ 的平面处在大小为 $3.0\times10^4\ \mathrm{N\,C^{-1}}$ 的匀强电场中。面法向与电场夹角为 $60^\circ$。求电通量；若只把法向反转，答案怎样变化？

练习2：立方体中的点电荷

电荷量为 $q$ 的正点电荷位于立方体中心。求整个立方体表面的总电通量，以及每个面的电通量。

练习3：零净包围电荷意味着什么

一个闭合曲面内有 $+2q$ 与 $-2q$ 两个点电荷，曲面外另有一个 $+5q$ 电荷。判断：①总通量是否为零；②面上电场是否处处为零；③移走外部电荷会不会改变总通量和面上局部场强。

练习4：球壳内部零场的推理条件

均匀带电薄球壳内部场强为零。若只把一个任意闭合高斯面放在壳内且不包围电荷，能否仅凭 $Q_{\text{in}}=0$ 就推出该高斯面上处处 $E=0$？

练习5：均匀带电实心球的内外场

半径为 $R$、总电荷为 $Q>0$ 的非导体实心球均匀带电。求 $r=R/2$ 和 $r=2R$ 处的场强大小，并求两者之比。

练习6：非均匀球对称分布

半径为 $R$ 的球体内有体电荷密度 $\rho(r)=ar^2$，球外无电荷。求球内与球外电场，$a>0$。

练习7：无限长线电荷

一无限长直线均匀带电，$\lambda=2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C\,m^{-1}}$。求距线 $0.10\ \mathrm m$ 处的场强大小和方向，取 ${\epsilon }_0=8.85\times {10}^{}$。

练习8：均匀带电实心圆柱

半径为 $R$ 的无限长非导体实心圆柱，体电荷密度为 $\rho>0$。比较 $r=R/2$ 与 $r=2R$ 处电场强度大小。

练习9：两个无限大带电平面

两平行无限大非导体平面从左到右分别带面电荷密度 $+\sigma$ 和 $+2\sigma$。求左侧外部、两面之间、右侧外部的合电场，取向右为正，且 $\sigma>0$。

练习10：匀强电场中的半球面

半径为 $R$ 的半球形曲面与其圆形底面组成闭合面，处在沿半球对称轴向上的匀强电场 $\boldsymbol E$ 中。半球开口朝上，求弯曲半球面的电通量。

练习11：选择方法而不是强套公式

下列情形中，哪些适合直接用高斯定理求场强？说明理由：①均匀带电有限长直棒中垂面上的任意点；②无限长均匀线电荷；③均匀带电立方体外部任意点；④均匀带电球体内外；⑤无限大均匀带电平面。

法向反转后夹角变为 $120^\circ$，通量变为 $-3.0\times10^2\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}$。变化的是符号约定，不是电场或曲面的实际状态。

点电荷位于中心，六个面由立方体对称性完全等价，所以每个面的通量相同：

若点电荷偏离中心，总通量仍为 $q/\varepsilon_0$，但六个面的通量不再相等。每面均分依赖对称性，不是高斯定理单独给出的。

球外

因此 $E(R/2):E(2R)=2:1$。内区必须使用 $Q_{\text{in}}=Q(r^3/R^3)$，直接把总电荷 $Q$ 代入内区会得到错误的平方反比。

故

总电荷为 $Q=4\pi aR^5/5$，球外

在 $r=R$ 两式都给出 $aR^3/(5\varepsilon_0)$，连续性检查通过。

$\lambda>0$，方向沿径向背离直线。若线电荷为负，大小公式不变，方向改为指向直线。

圆柱外部 $E=\rho R^2/(2\varepsilon_0r)$，所以

两者相等。这不是说场强处处相等：它从轴线起线性增大到表面，再按 $1/r$ 衰减，恰好在这两个对称位置取同值。

高斯定理先给出单个平面的场，再用矢量叠加；不能把两面的面电荷密度不分区域地直接相加。

不必在弯曲面上直接积分；先补成闭合面，再用高斯定理和简单底面，是更可靠的路径。