第2章 波的干涉、驻波与多普勒效应
把两只扬声器接到同一台信号发生器上，单独开哪一只，教室里听到的声音都很平稳；两只一起开，沿着过道慢慢走，却会经过一连串忽响忽轻的位置。声源明明没有调音量，声音为什么像被空间切成了条纹？再把一根绳的一端固定，让波不断反射，绳上有些点几乎不动，旁边的点却上下翻飞。波一旦相遇，事情就不再只是“两个振动相加”那么简单了。
上一章已经建立波函数、波速和能量的语言，本章只追问三件事：波相遇时怎样叠加，边界怎样挑选出驻波，以及声源或观察者运动时为何会改变接收到的频率。它们看起来是三个现象，背后却共享一条主线：先比较相位，再检查边界或相对介质的运动条件，最后才写计算式。
波可以穿过彼此，位移要逐点相加
两列小振幅横波沿同一根均匀细绳传播，相遇之后会不会像两个小球那样撞回去？实际看到的是：相遇区域的绳元按两列波各自引起的位移做代数和，离开重叠区域后，每列波仍按原来的形状继续传播。在线性范围内，介质的运动方程是线性的，因此若 y₁、y₂ 分别是方程的解，
仍是解。这就是波的叠加原理。这里的“相加”发生在同一位置、同一时刻的同一种物理量上：横波位移按带正负的横向分量相加，声压扰动按声压相加，不能把一列波的能量直接当作另一列波的位移去加。
叠加原理还有条件。介质响应必须近似线性，波幅大到使材料明显进入非线性区时，简单相加不再精确；两列横波若振动方向互相垂直，矢量位移当然仍可相加，但不会在同一方向上出现完全相消。波穿过彼此不代表能量凭空消失，某一点瞬时位移为零，也可能仍有动能或来自其他分量的能流。
现在让两列同方向、同频率的简谐波到达同一点：
它们的相位差 Δφ=φ₂−φ₁ 若保持不变，合振动仍是同频简谐振动。用相量或三角恒等式可得合振幅
当 Δφ=2kπ 时，A=A₁+A₂，振幅加强；当 Δφ=(2k+1)π 时，A=|A₁−A₂|，振幅最小。注意，这是个很常见的陷阱：反相不一定“完全没有波”。只有 A₁=A₂ 时，最小振幅才为零。
为什么两只独立扬声器即使频率标称相同，也常看不到稳定的强弱条纹？关键不是“有没有相遇”，而是相位差能否长期保持。请先比较下面两列波列：哪一种能让某个位置持续加强，哪一种的强弱位置会不断漂移？
稳定干涉要求波源频率相同、相位差恒定，并且在观察处振动方向相容、波能稳定重叠。这样的波源称为相干波源。相位差漂移时，某一点也会一会儿加强、一会儿减弱，但长时间平均后稳定条纹被洗掉。工程上常用同一振源分出两路，正是为了锁住频率和相位关系。
强度与振幅平方成正比，但比例常数取决于介质和所研究的波。对同一介质中同频、同方向且可相干叠加的两列波，可把上面的振幅式写成
等强度时 I₁=I₂=I₀，最大强度是 4I₀，不是 2I₀；最小强度为零。振幅先相加、强度再平方，正是“两个等振幅波同相时振幅翻倍、强度变四倍”的来源。
这里也解释了为什么不能写成“总强度永远等于两强度之和”。瞬时扰动先叠加，平方求平均时会多出交叉项；相干波的交叉项在观察时间内不会被平均掉，于是出现稳定的强弱差别。不相干波的相位差快速而无规则地变化，足够长时间内 cosΔφ 的平均值接近零，才有平均强度约等于 I₁+I₂。所以“能量守恒”并不要求每个位置的强度都简单相加：加强区多得到的能流，由减弱区少得到的能流补偿，干涉只是重新分配能量。
先别急着记结论。若 A₁=2A₀、A₂=A₀，相位差从零调到 π，最小强度会不会降为零？在交互中先选预测，再连续改变相位差，看合成波和强度读数怎样回应。
证据很直接：相位差只决定相量之间的夹角，不能抹掉两根相量长度的差。A₁≠A₂ 时即使反相，仍留下 |A₁−A₂|。期末题常把“反相”和“完全相消”放在同一个选项里，检查振幅是否相等就是挡住这个失分点的第一步。
从相位差走到空间中的干涉条纹
一点上的相位差说清了，接下来把观察点放回空间。设两相干点源 S₁、S₂ 到观察点 P 的距离分别为 r₁、r₂。到达 P 的波可写成
其中 k=2π/λ。若定义 Δr=r₂−r₁、初相差 Δφ₀=φ₂−φ₁，则 P 点两波相位差为
符号会随“谁减谁”的约定改变，但 cosΔφ 不变，所以加强、减弱判断不会变。真正危险的是一会儿用 r₂−r₁，一会儿又按 r₁−r₂ 代入带符号的相位式，却没有声明约定。
先看几何关系。图中两条路程都随 P 移动，但决定相位关系的是它们的差，而不是某一条路单独有多长。
若两源同相，即 Δφ₀=0，加强条件可写为
等振幅时的完全相消条件为
若两源本来反相，两组条件恰好交换；若初相差既不是零也不是 π，就应回到完整的相位差式，而不是硬套“整数波长加强”。此外，实际点源振幅随传播距离衰减，P 点两波振幅通常不完全相等，所以“减弱处”未必安静到零。
某一位置若 Δr=0.75λ，它算加强还是减弱？答案都不是：同相等强度源在这里有 Δφ=−1.5π，交叉项为零，强度等于 I₁+I₂。干涉不是只允许最大和最小，中间位置有连续的强度层次。
现在移动 P，先凭程差预测，再打开强度结果。把波长或两源间距调大，还能看到条纹疏密怎样改变。
观察结果应当把一个做题习惯固定下来：先由几何求 r₁、r₂，再把程差连到相位差，最后才判断强弱。只看 P 离哪个源近，无法替代程差计算；把两路强度直接相加，则漏掉了决定条纹的交叉项。
例如两同相声源相距 3.0 m，观察点到两源的距离为 5.0 m 和 4.0 m，波长为 0.40 m。程差是 1.0 m=2.5λ，等振幅时对应减弱。若题目把第二只声源的初相改成 π，传播造成的 5π 相差再叠加初相差，合相位差变为偶数倍 π，同一点反而加强。这个例子故意把几何和初相放在一起：程差不是最终答案，它只是相位差的一部分。
在三维空间中，满足同一程差的点构成曲面；平面图里看到的曲线只是截面。若两源位置固定，中央等程差面上的相位关系由初相差决定，绝不能一看到“中垂线”就无条件判为加强。稳定条纹还要求观察时间内传播环境足够稳定；温度或流速显著波动会改变声速和相位，使条纹位置漂移。
两列行波相向而行，为什么波形像“站住了”
绳上的波从固定端反射回来，入射波和反射波频率相同、传播方向相反。假设在某段绳上可写成
相加得到
这个式子不像 cos(kx−ωt) 那样把某个波形整体向右平移。对每个固定位置 x，绳元只以角频率 ω 原地振动，但振幅由 |2A cos kx| 决定，于是形成驻波。
在本式的相位原点选择下，cos kx=0 的位置始终不动，称为波节：
|cos kx|=1 的位置振幅最大，称为波腹：
若换一种初相或把坐标原点放在波节，公式会变成 2A sin kx cosωt，节点坐标也随原点改变，但相邻波节、相邻波腹的距离总是 λ/2，波节到相邻波腹的距离总是 λ/4。
下面四幅不是四条不同的驻波，而是同一驻波在不同瞬间的快照；纵坐标表示归一化的瞬时形状。先找始终落在平衡位置的点，再比较相邻两个波腹区的运动方向。
相邻两波节之间的所有质点同相振动；跨过一个波节，空间因子改变符号，相邻波段反相。驻波也不是“介质冻结成一条曲线”：除波节外，各质点都在振动，只是节点和腹点的位置不随时间平移。理想驻波中入射波与反射波平均能流大小相等、方向相反，因此没有沿传播方向的净平均能量输运；能量仍在各波段的动能与势能之间转换。
还要分清“振幅”和“某时刻位移”。驻波的振幅是位置的函数 A(x)=|2Acos kx|，在节点处恒为零，在腹点处为 2A；某时刻若 cosωt=0，所有质点同时经过平衡位置，此时整条绳的位移都为零，却不代表所有位置都是节点。节点是对全部时刻作出的判断，不能由单帧照片认定。类似地，相邻波腹在某一时刻可能一个向上、一个向下，这是它们反相的表现，不是波形沿绳传播了半个波长。
拖动时刻时，盯住节点，而不要追着某个波峰跑。再切换边界或模式，检查 λ/2 和 λ/4 的空间标尺是否仍成立。
你会看到，改变整体时间相位只会让各波段一起翻转，不会移动节点；改变允许的模式才会改变节点数。考查驻波图像时，先找“不随时间动的位置”，比数某一瞬间有几个波峰可靠得多，因为在某些时刻整根绳恰好同时通过平衡位置，波峰数会暂时看不出来。
边界决定反射相位，也决定允许的模式
把一个向上的脉冲送向绳的固定端，返回的是向下的脉冲；送向能自由上下移动的轻环，返回脉冲仍向上。为什么边界只是换了个固定方式，相位就差了 π？固定端的位移必须始终为零，入射与反射位移在端点只能相消；理想自由端没有横向约束力，对小振幅绳波对应端点斜率近似为零，入射与反射在端点同相相加。
对绳的位移波而言，固定端反射反相，可说发生 π 的相位突变；自由端反射不反相。教材中有时把 π 相变称作“半波损失”，因为它等效于多走了 λ/2 的相位，但这个词必须绑在具体波量和边界上。一般介质交界面会同时反射和透射，反射系数的符号与波阻抗有关；声压波在刚性端的相位关系又与空气质点位移波不同。只背“反射必有半波损失”会在气柱和光学中连续出错。
一根长度为 L、两端固定的均匀弦，两端都必须是位移节点。允许的驻波只能把整数个半波长装进弦长：
弦上横波速度 v=√(T/μ)，其中 T 是张力、μ 是线密度，于是正常模式频率为
基频对应 n=1，第一泛音对应 n=2，也就是第二谐波。先预测：张力变成四倍而弦长、线密度不变，所有正常频率变几倍？由于波速按 √T 变化，答案是两倍，不是四倍。
图中模式序号数的是弦长内装入的半波个数，不是某一时刻向上的“波峰数”。任何不满足端点为节点的漂亮正弦曲线，都不是这根固定弦的正常模式。
气柱也由边界选频率，但先要说明画的是什么量。本章用空气质点位移描述：理想开口处空气容易运动，是位移波腹；理想闭口处空气不能沿管轴运动，是位移波节。声压变化恰好相反，开口近似压强波节，闭口近似压强波腹。
两端同类边界的理想气柱——双开管或双闭管——同样满足
一端闭、一端开的气柱，两端必须相差奇数个四分之一波长：
因此理想闭管只有基频的奇数倍正常频率。真实管口存在端部修正，实际有效长度略大于几何长度；本章做基本模型时若题目没有给修正量，就按理想边界处理，不能一边使用理想公式，一边凭经验偷偷改长度。
为什么开口处是位移腹，却是压强节点？空气质点在开口处容易往复运动，但开口和外界大气连通，声压变化难以维持；闭口处恰好相反，质点位移受限，压缩与稀疏造成的声压变化却能达到较大值。这两种描述是同一驻声波的互补侧面。题图若只写“节点”而没有说明画的是位移还是压强，应先从纵轴或文字辨认，不能把两套节点位置直接混用。
拍：强弱在时间里周期起伏
理论第一册讨论过同方向振动合成。现在让两列频率很接近的声波到达同一点：
利用和差化积，
第二个余弦快速振动，角频率接近两者平均值；前一个因子变化很慢，控制合振动包络的大小。听觉把一次“响—轻—再响”作为一个拍周期，因此拍频为
有人看到包络余弦含 (ω₁−ω₂)/2，便把拍频错写成 |f₁−f₂|/2。问题在于响度由包络绝对值或强度决定：余弦从正极大到负极大，虽然符号反了，响度都达到峰值，所以一个包络余弦周期中出现两次响度峰。
若两波振幅不等，最弱处也不会完全安静。先把频率差从 1 Hz 增大到 4 Hz，预测每秒响度峰有多少次；再把两振幅调得不等，看包络谷底是否还能落到零。
结果把两个量分得很清楚：快速波纹反映接近平均频率的振动，慢包络反映差频；差频越大，强弱起伏越快。严格说两列频率不同的波相位差在持续变化，它们不产生静止不动的空间干涉条纹，拍是随时间周期变化的干涉现象。乐器调音时把拍频逐渐调到接近零，就是让两个频率逐渐靠拢。
多普勒效应：改变的是单位时间遇到多少个波面
救护车驶来时音调偏高，驶过后突然变低。声源并没有在经过你的一瞬间重写振动频率，变化来自你接收波面的速率。声波有介质，所以分析时必须把声源和观察者相对介质的运动分开。
先设空气静止，声速为 u，声源固有频率为 f₀。若声源静止，它每隔周期 T₀=1/f₀ 发出一个同相波面，相邻波面间距为 λ₀=uT₀=u/f₀。观察者若以速率 v_O 朝声源运动，相对迎面而来的波面速度变为 u+v_O，于是
这里观察者运动没有改变已经铺在空气中的波长，只改变每秒遇到的波面数。
再让观察者静止、声源以速率 v_S 朝观察者运动。声源发出相邻两个波面之间，自己向前走了 v_ST₀，前方波长被压缩为
因此
移动声源改变介质中的波长，移动观察者改变遇波速率；两种效应在低速近似下数值接近，却不是同一个过程。
对沿声源—观察者连线的一维问题，约定 v_O 朝向声源为正，v_S 朝向观察者为正，可合并为
这个符号约定比“上加下减”更值得记：观察者靠近声源，分子增大；声源靠近观察者，分母减小。若彼此远离，相应速度取负。实际运动若不沿连线，应使用速度在传播方向上的径向分量。经过声源旁边时，径向分量会变号，所以听到的频率在靠近和远离阶段不同。
可以用一个极端但不危险的检查检验公式。设声源在后、观察者在前，二者都以相同的亚声速 w 向右运动。观察者是在远离声源，所以 vO=−w；声源又是在朝观察者运动，所以 vS=+w。代入得到 f'=f₀(u−w)/(u−w)=f₀，与两者间距不变、每发出一个周期仍接收一个周期相符。若只把两人的地面速度都机械取正，便会错误地得到频移。
有风时，最稳妥的处理不是把风速直接塞进 u，而是选空气为参考系，把声源和观察者对空气的速度分别求出，再使用同一套推导。声速 u 指相对介质的传播速度。若题目只问沿连线的一维传播，这样转换足够；若传播方向随位置明显变化或介质不均匀，就需要追踪声线，本章的均匀介质模型不再适用。
在交互里先固定声源、移动观察者，再交换角色。让二者以相同速度同向运动，看看为何相对距离不变时接收频率仍可回到 f₀，同时观察空气中的波长究竟由谁改变。
实验结果应当留下三层检查。第一，靠近使接收频率升高，远离使它降低；若算式给出相反趋势，符号必有问题。第二，所有速度必须相对同一介质，存在风时不能只用相对地面的速度生搬公式。第三，上式按经典线性声波、均匀静止介质和亚声速运动推导；在这里讨论的常见教材范围内，要求 |v_O|<u、|v_S|<u，从而保证观察者仍会依次遇到传来的波面且分母不为零。声源达到或超过声速时会形成冲击波；观察者若沿远离波面方向达到或超过声速，普通“后一个波面继续追上观察者”的接收次序也会改变，都不能把原分式机械外推。
光也有多普勒效应，但真空中没有“相对介质的声速”，高速情况下必须用狭义相对论公式。本章的 (u+v_O)/(u−v_S) 只用于有介质的经典机械波。期末题最常见的失误不是算术，而是把声源速度放进分子、把观察者速度放进分母，或者忘了在相遇后改变径向方向。
把整章压缩成一条判断链
遇到波的叠加，第一问是介质是否在线性范围、相加的是不是同一物理量；要判断稳定干涉，再查频率、相位差和振动方向。出现两个波源与观察点，就把传播路程变成相位差，不要只背同相源的程差特例。看到驻波，先找边界要求的节点或腹点，再用半波长、四分之一波长装进系统长度。遇到拍，分清快速振动频率和包络重复频率。遇到多普勒，先画出介质、声源、观察者和传播方向，再决定谁改变波长、谁改变遇波率。
这些步骤并不是额外的“解题模板”，而是在不同现象中反复追问同一件事：你比较的相位从哪里来，公式成立的边界在哪里。把条件写在式子旁边，看似多花半分钟，往往正是期末和考研阅卷中最稳定的给分点。
课后练习：先判断条件，再计算相位
练习1：哪些声源能产生稳定干涉
下列四组波在同一区域重叠：甲，两只独立信号源驱动、频率分别为 500 Hz 和 501 Hz 的同向声波；乙，同一信号源分成两路驱动的同频扬声器；丙，同频但振动方向互相垂直的两列横波；丁，频率相同但相位差随机漂移的两只独立声源。哪些最容易形成稳定、清晰的干涉分布？说明理由。
练习2：不等振幅的反相叠加
同一点处两相干波振幅分别为 3.0 mm 和 1.0 mm。求相位差为零和 π 时的合振幅；若同一介质中强度与振幅平方成正比，求最大强度与最小强度之比。
练习3：由程差判断强弱
两同相相干声源频率为 680 Hz，空气中声速取 340 m/s。某点到两源的路程分别为 4.25 m 和 5.00 m。忽略振幅差异，判断该点是加强、减弱还是中间状态，并求相位差的一个等价值。
练习4：初相差不能丢
两相干点源初相差为 π/2，波长为 0.80 m。若某观察点的程差定义为 Δr=r₂−r₁=0.20 m，并采用 Δφ=Δφ₀−2πΔr/λ，求该点相位差及干涉交叉项的符号。
练习5：由驻波方程找节点和相位
一列驻波写成 y=0.040 cos(2πx)cos(100πt)，各量采用国际单位。求波长、频率、相邻波节距离，并判断 x=0 与 x=0.40 m 两点是否同相振动。
练习6：固定弦的正常模式
一根长 1.20 m 的均匀弦两端固定，张力为 48 N，线密度为 3.0×10⁻³ kg/m。求波速、基频和第三谐波频率；第三谐波在两端之间有多少个内部节点？
练习7：固定端与自由端反射
一向上的横向脉冲沿细绳传播。分别遇到理想固定端和理想自由端时，反射脉冲方向怎样？若有人据此说“任何波在任何边界反射都有半波损失”，应如何纠正？
练习8：一端闭管为什么只出现奇次模式
理想空气柱一端闭、一端开，长度 L=0.85 m，声速 u=340 m/s。按空气质点位移波求基频和下一允许频率，并说明端点类型。
练习9：由拍频反推未知频率
标准音叉频率为 440 Hz，与待测音叉同时发声时听到每秒 3 次响度峰。给待测音叉黏上一小块蜡后，拍频减为 1 Hz。求待测音叉原频率。
练习10：移动观察者与移动声源不是同一分式
空气中声速为 340 m/s，汽笛固有频率 680 Hz。求下列两种情况下观察者听到的频率：甲，声源静止，观察者以 20 m/s 朝声源运动；乙，观察者静止，声源以 20 m/s 朝观察者运动。
练习11：同向追赶中的多普勒判断
空气静止，声速 340 m/s。前方观察者以 10 m/s 向右运动，后方声源发出 600 Hz 的声音并以 30 m/s 向右追赶。求观察者接收频率，并检查结果应高于还是低于源频率。