第 10 章局部结构的回收：连接、曲率与 Gauss–Bonnet 视角｜微分几何 I | 自在学

第 10 章局部结构的回收：连接、曲率与 Gauss–Bonnet 视角

上一章已经允许我们在不依赖三维箭头的情况下谈切向量。现在还差一个更尖锐的问题：给定曲面上的度量，怎样比较相邻点的方向？在平面里，把一个向量平行移动到另一个点似乎不需要说明；在球面上沿不同路径移动，同一个初始方向可能得到不同的结果。差异从哪里来？

本章把前面的第一基本形式、测地线、第二基本形式和微分形式收回到一条局部计算链中。连接描述“如何微分切向量”，曲率 2-形式记录沿小回路移动一圈后的失配，Gauss 方程说明它和曲面在空间中的形状相容，Gauss–Bonnet 则把局部曲率与边界转角、整体拓扑联系起来。我们停在二维曲面和低阶微分形式的入口，不展开一般维数的完整高阶张量计算。

10.1 度量给出长度，却没有直接给出普通导数

在一张曲面坐标图 $(u,v)$ 中，第一基本形式写作

g=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2,

其中 $EG-F^2>0$ 。它能计算曲线速度的长度、夹角和面积，但普通偏导数

\frac{\partial}{\partial u}(X^u\partial_u+X^v\partial_v)

并不是几何上可靠的向量变化：坐标基 $\partial_u,\partial_v$ 自己也会随着位置变化。我们需要的规则应当满足两件事：对向量场保持线性，并且对函数乘向量遵守乘积法则。

在曲面上，连接 $\nabla$ 是一种协变微分规则。对向量场 $X,Y$ 和光滑函数 $f$ ，它满足

\nabla_{fX}Y=f\nabla_XY,\qquad \nabla_X(fY)=X(f)Y+f\nabla_XY.

在坐标基下定义 Christoffel 符号：

\nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k_{ij}\partial_k, \qquad i,j,k\in\{u,v\}.

于是对 $Y=Y^j\partial_j$ ，

\nabla_{\partial_i}Y= \left(\partial_iY^k+\Gamma^k_{ij}Y^j\right)\partial_k.

Christoffel 符号本身不是张量，它会随着坐标基的变化多出一项；真正几何的是连接作用出的协变导数。

第 10 章教学图 1

图 10.1 普通偏导只看分量的变化，连接还要补偿坐标基的变化。

我们采用由度量唯一确定的 Levi–Civita 连接。它满足：

无挠，即 $\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$ ；
与度量相容，即 $X ⟨ Y, Z ⟩ = ⟨ \nabla_{X} Y, Z$ 。

这两个条件分别排除了“方向比较带有额外旋转”的自由度和“平行移动改变长度”的自由度。

Christoffel 公式的推导

令 $g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle$ ，并把一个指标降下来，记

\Gamma_{ijk}=g_{k\ell}\Gamma^\ell_{ij} =\langle\nabla_{\partial_i}\partial_j,\partial_k\rangle.

要得到公式，不能只把它当作记忆题；需要同时使用两个条件。

由度量相容性， $\partial_i g_{jk}=\Gamma_{ijk}+\Gamma_{ikj}$ 。这一步把度量分量的偏导写成连接在两个坐标基方向上的内积变化。

曲线 $\gamma(t)=(u(t),v(t))$ 的速度是 $\dot\gamma=\dot u\partial_u+\dot v\partial_v$ 。沿曲线的加速度由

\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0

定义为测地线方程。坐标形式为

\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}\dot x^i\dot x^j=0.

它表示速度沿自身方向平行移动；这就是“在曲面内部尽可能直”的精确版本，并不要求曲线作为 $\mathbb R^3$ 中的曲线是一条直线。

第 10 章教学图 2

图 10.2 测地线要求协变加速度为零；坐标分量的二阶变化要和 Christoffel 修正项抵消。

10.2 正交标架把连接压缩成一个 1-形式

在定向曲面的一小块区域内，可以选取正交归一标架 $e_1,e_2$ ，满足

\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}.

令 $\theta^1,\theta^2$ 是它的对偶余标架： $\theta^i(e_j)=\delta^i_j$ 。于是

g=(\theta^1)^2+(\theta^2)^2, \qquad dA=\theta^1\wedge\theta^2.

度量相容性要求 $\nabla e_1$ 和 $\nabla e_2$ 之间只发生旋转，因此在二维情形只需要一个 1-形式 $\omega$ 记录这种旋转：

\nabla_Xe_1=\omega(X)e_2,\qquad \nabla_Xe_2=-\omega(X)e_1.

无挠条件转化为两个结构方程

d\theta^1=\omega\wedge\theta^2, \qquad d\theta^2=-\omega\wedge\theta^1.

以第一式为例，对任意向量场 $X,Y$ ，左侧 $d\theta^1(X,Y)$ 测量余标架沿小平行四边形的失配；右侧的楔积则把连接造成的旋转写成有向面积量。它不是新增的神秘公理，而是“无挠”和“正交标架”在微分形式语言下的同一内容。

第 10 章教学图 3

图 10.3 $\theta^1,\theta^2$ 测量两个正交方向， $\omega$ 记录标架沿曲面移动时的旋转。

球面上的连接 1-形式

单位球面用球坐标

r(u,v)=(\sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u), \qquad 0<u<\pi.

第一基本形式是

g=du^2+\sin^2u\,dv^2.

选择

\theta^1=du,\qquad \theta^2=\sin u\,dv.

于是 $d\theta^1=0$ ，而

d\theta^2=\cos u\,du\wedge dv.

取

\omega=\cos u\,dv.

因为

-\omega\wedge\theta^1 =-\cos u\,dv\wedge du =\cos u\,du\wedge dv,

所以 $d\theta^2=-\omega\wedge\theta^1$ ，两个结构方程都成立。这里的 $\omega$ 不是球面上某个点的固定角度，而是一个可以作用在切向量上的 1-形式。

10.3 曲率 2-形式与二维 Gauss 方程

连接告诉我们怎样微分；把微分再做一次，就能看到沿一个无穷小回路移动后的旋转失配。对上面的定向正交标架，定义曲率 2-形式

\Omega=d\omega.

在二维中，所有 2-形式都可以写成面积形式的函数倍数，所以定义 Gaussian 曲率 $K$ 使得

\Omega=-K\,\theta^1\wedge\theta^2.

负号来自本章选择的连接符号约定 $\nabla e_1=\omega e_2$ 。如果更换整套符号约定， $\omega$ 和结构方程会一起变化，最终的 $K$ 不会变化。

第 10 章教学图 4

图 10.4 连接 1-形式取外微分得到曲率 2-形式，面积形式把它归一化为 $K$ 。

对球面，

d\omega=d(\cos u\,dv)=-\sin u\,du\wedge dv =-\theta^1\wedge\theta^2,

因此 $K=1$ 。这个结论只用到了球面的第一基本形式和连接计算；它没有把球面先当作“弯在三维空间里的东西”才得到。

现在把外在和内在两条路径对照起来。若曲面嵌入 $\mathbb R^3$ ，第二基本形式在坐标中写作

II=\ell\,du^2+2m\,du\,dv+n\,dv^2,

第一基本形式的系数矩阵是

I=\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix},

形算子 $S$ 的两个特征值是主曲率；Gauss 方程在二维表面上给出

K=\det S=\frac{\ell n-m^2}{EG-F^2}.

左边的 $K$ 由连接和曲率 2-形式得到，右边由嵌入的第二基本形式得到。这个相等性说明：对嵌入在欧氏三空间中的曲面，内在曲率受到外在形状的严格约束；但计算 $K$ 时可以选择更方便的一侧。

第 10 章教学图 8

平面和圆柱可以在局部展开而不改变第一基本形式，因此它们的 Gaussian 曲率都是零；球面不能这样展开， $K=1$ 记录的正是这种内在差异。外在的法向弯曲可以改变，内在的长度、角度和曲率未必改变。

10.4 综合计算：从球面度量到大圆和曲率积分

我们完整做一次球面计算。目标不是只得到 $K=1$ ，而是同时检查度量、连接、测地线和一个整体角度关系。

第一步：由度量得到连接系数

球面度量的系数为 $g_{uu}=1,g_{uv}=0,g_{vv}=\sin^2u$ 。由 Christoffel 公式，只有下列符号可能非零：

\Gamma^u_{vv}=-\sin u\cos u, \qquad \Gamma^v_{uv}=\Gamma^v_{vu}=\cot u.

例如

\Gamma^u_{vv} =-\frac12\partial_u(\sin^2u) =-\sin u\cos u,

而 $g^{vv}=1/\sin^2u$ ，所以

\Gamma^v_{uv} =\frac12\frac1{\sin^2u}\partial_u(\sin^2u)=\cot u.

第二步：写出测地线方程并检查两类曲线

代入测地线方程，得到

\ddot u-\sin u\cos u\,\dot v^2=0,

\ddot v+2\cot u\,\dot u\dot v=0.

方法选择上，直接用 Christoffel 公式适合检查给定参数曲线；若要找所有测地线，通常还要结合能量守恒或常微分方程初值理论，这里不把问题扩大到全局求解。

取赤道 $u=\pi/2,v=t$ 。此时 $\dot u=0,\ddot u=0,\dot v=1,\ddot v=0$ ，第一式中的为零，第二式也成立，所以赤道是测地线。取经线，有，两式同样成立。相反，固定的纬线只有在时满足第一式，因此一般纬线不是测地线。

第 10 章教学图 5

图 10.5 球面上的赤道、经线与一般纬线。赤道和经线是大圆，属于测地线；除赤道外，一般纬线的内在加速度不为零。

第三步：由连接 1-形式得到曲率

选取 $\theta^1=du,\theta^2=\sin u\,dv$ 与 $\omega=\cos u\,dv$ ，于是

\Omega=d\omega=-\sin u\,du\wedge dv =-\theta^1\wedge\theta^2.

与 $\Omega=-K\theta^1\wedge\theta^2$ 比较，得到 $K=1$ 。面积形式是

dA=\theta^1\wedge\theta^2=\sin u\,du\wedge dv.

这里有一个检查：前面第一基本形式的面积因子是 $\sqrt{EG-F^2}=\sin u$ ，与 $dA$ 一致；曲率的单位是面积的倒数，而单位球面上数值正好为。

第四步：用 Gauss–Bonnet 看一个球面三角形

取第一卦限的球面三角形，它的三个顶点是

(1,0,0),\quad(0,1,0),\quad(0,0,1),

边界由三个大圆弧组成。每条边是测地线，所以边界测地曲率 $k_g=0$ 。在球坐标中，这个区域可取

0\le u\le\frac\pi2,\qquad 0\le v\le\frac\pi2.

因此

\int_DK\,dA =\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\sin u\,dv\,du =\frac\pi2.

三个内角都是 $\pi/2$ ，每个顶点的外转角是 $\pi-\pi/2=\pi/2$ 。带有分段光滑边界的 Gauss–Bonnet 关系写成

\int_DK\,dA+\int_{\partial D}k_g\,ds +\sum_i(\pi-\alpha_i)=2\pi.

代入得到

\frac\pi2+0+3\cdot\frac\pi2=2\pi.

曲率积分贡献了球面三角形的面积，边界测地曲率记录边界不是测地线时的偏离，角点转角补足了闭合边界的总转向。这个关系把局部 2-形式和整体区域的角度信息接在了一起。

第 10 章教学图 6

图 10.6 三条大圆弧围成的球面三角形：局部曲率积分与三个角点转角共同给出 $2\pi$ 。

交互时可以先猜：若把球面三角形的顶点沿大圆移动，哪一项会改变？观察区域面积、角点转角和边界是否仍为测地线，再检查三项之和。不要把“角度和超过 $\pi$ ”误解为公式失效；多出来的量正是曲率积分在起作用。

10.5 圆柱说明外在弯曲不是 Gaussian 曲率

半径为 $R$ 的圆柱可用坐标 $(u,v)$ 参数化为

r(u,v)=(R\cos v,R\sin v,u).

第一基本形式为

g=du^2+R^2dv^2.

取正交余标架 $\theta^1=du,\theta^2=Rdv$ ，它们都是闭 1-形式。选择 $\omega=0$ ，两个结构方程成立，因而

\Omega=d\omega=0,\qquad K=0.

圆柱在 $\mathbb R^3$ 中明显有法向弯曲，但展开成平面后长度和角度保持不变，说明这种弯曲属于外在信息。用第二基本形式计算时，一个主曲率为 $1/R$ ，另一个为 $0$ ，所以 $K$ 的乘积仍为零。

第 10 章教学图 7

图 10.7 圆柱可局部展开；外在形状改变了，第一基本形式和 Gaussian 曲率没有改变。

可以在交互中切换 $g=du^2+a(u)^2dv^2$ 的函数 $a(u)$ 。先预测的一阶变化会影响连接，还是直接决定曲率；然后查看 Christoffel 符号、连接 1-形式和的同步变化。把、和放在一起比较，能看见“局部坐标形式相似”并不代表曲率相同。

10.6 本章的范围边界

二维曲面的连接可以用两个 Christoffel 符号族、一个连接 1-形式和一个曲率函数表达；这正是本章能够把计算完整走通的原因。一般维数中，曲率作用在两个方向和一个向量上，通常写成四阶分量的 Riemann 曲率张量；随后还会出现 Ricci 收缩、标量曲率、Bianchi 恒等式和更高阶联络。这些内容需要另一套张量记号与更长的代数链，本课不在这里展开。

本章留下的核心结构可以压缩成一条检查链：

\text{第一基本形式} \longrightarrow \text{Levi--Civita 连接} \longrightarrow \text{连接 1-形式 }\omega \longrightarrow \text{曲率 2-形式 }\Omega=d\omega \longrightarrow K \longrightarrow \text{Gauss--Bonnet 的区域关系}.

每个箭头都有条件。度量必须正定，连接要满足无挠和度量相容，正交标架要在所选局部区域内光滑，Gauss–Bonnet 还要说明区域的边界、角点和定向。把条件写出来，才不会把一条只在局部成立的公式误用到奇异坐标或带边界的非规则区域。

10.7 练习：连接与曲率的多条路径

练习 1（理解）

Levi–Civita 连接由哪两个条件刻画？各自排除了什么样的错误方向比较？

练习 2（应用）

对度量

g=du^2+a(u)^2dv^2,\qquad a(u)>0,

计算非零的 Christoffel 符号。

练习 3（应用）

沿用练习 2 的度量，取 $\theta^1=du,\theta^2=a(u)dv$ 。求连接 1-形式和 Gaussian 曲率 $K$ 。

练习 4（方法选择）

要判断球面上一条给定参数曲线是否为测地线，你会优先使用“第二基本形式的法曲率”还是“Christoffel 符号写出的测地线方程”？说明选择，并检查纬线 $u=u_0,v=t$ 的结论。

练习 5（迁移）

对半平面 $u>0$ 上的度量

g=du^2+e^{2u}dv^2,

求 $K$ ，并判断固定 $u=u_0$ 的曲线能否成为测地线。

练习 6（综合）

半径为 $R$ 的圆球面满足 $g=R^2du^2+R^2\sin^2u\,dv^2$ 。不必重新计算全部 Christoffel 符号，说明它的 Gaussian 曲率应为多少，并计算整个球面的曲率积分。

练习 7（综合迁移）

设一个拓扑圆盘的边界由三段曲线组成，三段都是测地线，只有一个角点的内角为 $\pi/3$ ，另两个角点的内角分别为 $\pi/2$ 和 $2\pi/3$ 。若区域内 $K$ 为常数，且边界测地曲率为零，求 $\int_DK\,dA$ 。

⟩

+

⟨

Y

,

\nabla_{X}

Z

⟩

X\langle Y,Z\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle

第 10 章 局部结构的回收：连接、曲率与 Gauss–Bonnet 视角