第 5 章第二基本形式：形算子与曲率｜微分几何 I | 自在学

第 5 章第二基本形式：形算子与曲率

一张平面纸和一张圆柱纸都可以沿着某些方向测出相同的长度与角度，但它们在空间中的弯曲显然不同。怎样把这种“向哪边弯、弯得多厉害”写成曲面上一点的可计算对象？还要怎样判断一个点像碗底、马鞍，还是沿一个方向弯而沿另一个方向不弯？

第一基本形式记录切向量之间的内积；这一章再把单位法向量的变化纳入计算。法向量如何随位置转动，形成 Gauss 映射与 Weingarten 形算子；它的两个特征值给出主曲率，乘积与平均分别给出高斯曲率和平均曲率。需要留意：法向的选择会改变某些符号，但不会改变曲面内在的高斯曲率。

单位法向与 Gauss 映射

设 $r(u,v)$ 是 $C^2$ 正则参数化。由于 $r_u\times r_v\neq0$ ，可以在局部选定单位法向

N=\frac{r_u\times r_v}{|r_u\times r_v|}.

如果把法向方向连续地选在每一点上，映射

N:S\longrightarrow\mathbb S^2,\qquad p\longmapsto N(p)

称为 Gauss 映射。它把曲面上的每一点送到单位球面上的一个方向。平面上 $N$ 不变，Gauss 映射的变化为零；球面上 $N$ 随着位置一起转动，变化则很明显。

第 5 章教学图 1

图示说明：曲面上的点沿曲线移动时，单位法向被送到单位球面上的点；法向转得越快，局部弯曲越强。

因为 $|N|^2=1$ ，对 $u$ 或 $v$ 求导都有

\frac{\partial}{\partial u}\langle N,N\rangle=2\langle N_u,N\rangle=0,\qquad \frac{\partial}{\partial v}\langle N,N\rangle=2\langle N_v,N\rangle=0.

所以 $N_u,N_v$ 都垂直于 $N$ ，也就是都在曲面的切平面内。这一点非常关键：法向的导数虽然来自空间变化，却能被看成切平面上的线性变换。

第二基本形式从二阶偏导出现

定义第二基本形式的三个系数

e=\langle r_{uu},N\rangle,\qquad f=\langle r_{uv},N\rangle,\qquad g=\langle r_{vv},N\rangle.

这里的 $g$ 是第二基本形式的一个系数，不是第一基本形式的矩阵 $g_I$ 。为了不混淆，可以把第二基本形式矩阵写成

b_{II}=\begin{pmatrix}e&f\\\\f&g\end{pmatrix}.

对曲面上的坐标曲线， $r_{uu}$ 、 $r_{uv}$ 、 $r_{vv}$ 描述切向方向如何产生二阶变化；内积把其中垂直于切平面的部分挑出来。因此，对任意切向量

X=a r_u+b r_v

定义

\mathrm{II}(X,X)=e\,a^2+2f\,ab+g\,b^2.

更一般地，对 $X=a r_u+b r_v$ 、 $Y=c r_u+d r_v$ ，用双线性延拓定义

\mathrm{II}(X,Y)=eac+f(ad+bc)+gbd.

第二基本形式不是长度平方：它可以为正、为负或为零，符号依赖所选的法向方向。

第 5 章教学图 2

图示说明： $r_{uu},r_{uv},r_{vv}$ 的法向分量分别由 $e,f,g$ 记录；切向分量不属于第二基本形式。

Weingarten 关系的逐步推导

先从 $\langle r_u,N\rangle=0$ 开始。对 $u$ 求导，乘积法则给出

\frac{\partial}{\partial u}\langle r_u,N\rangle =\langle r_{uu},N\rangle+\langle r_u,N_u\rangle=0.

代入 $e=\langle r_{uu},N\rangle$ ，得到

\langle r_u,N_u\rangle=-e.

同样对 $\langle r_v,N\rangle=0$ 关于 $u$ 求导：

\langle r_{uv},N\rangle+\langle r_v,N_u\rangle=0,\qquad \langle r_v,N_u\rangle=-f.

于是 $N_u$ 是切向量，并且它与基底 $r_u,r_v$ 的内积已经被确定为 $(-e,-f)$ 。设

N_u=a r_u+b r_v.

与 $r_u,r_v$ 分别取内积，得到线性方程组

\begin{pmatrix}E&F\\\\F&G\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\\\b\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}e\\\\f\end{pmatrix}.

第一基本形式正定，所以 $EG-F^2>0$ ，矩阵可逆，从而

\begin{pmatrix}a\\\\b\end{pmatrix}=-g_I^{-1}\begin{pmatrix}e\\\\f\end{pmatrix}.

完全相同地，从 $\langle r_u,N\rangle=0$ 关于 $v$ 求导，以及 $\langle r_v,N\rangle=0$ 关于求导，可得

\langle r_u,N_v\rangle=-f,\qquad \langle r_v,N_v\rangle=-g.

因此，如果定义形算子

S:T_pS\longrightarrow T_pS,\qquad S(X)=-dN_p(X),

那么

S(r_u)=-N_u,\qquad S(r_v)=-N_v.

相对于基底 $(r_u,r_v)$ ， $S$ 的矩阵为

[S]_{(r_u,r_v)}=g_I^{-1}b_{II}.

这里为什么是 $g_I^{-1}b_{II}$ ？形算子的第一列由 $S(r_u)$ 给出，其坐标列向量是；第二列同理由给出，合在一起正是这个矩阵乘积。

第 5 章教学图 3

图示说明： $dN$ 把切向量送到单位球面的切平面，形算子取其相反方向；第一基本形式负责把法向变化还原为切向坐标。

主曲率、高斯曲率与平均曲率

因为 $S$ 来自对称双线性形式 $\mathrm{II}(X,Y)$ ，它相对于第一基本形式是自伴的：

\langle S(X),Y\rangle=\mathrm{II}(X,Y)=\mathrm{II}(Y,X)=\langle X,S(Y)\rangle.

在二维正定内积空间中，自伴线性变换有两个实特征值，并且可以选择一组相互正交的单位特征向量。记它们为

S(e_1)=k_1e_1,\qquad S(e_2)=k_2e_2.

$e_1,e_2$ 称为主方向， $k_1,k_2$ 称为主曲率。对单位切向量，

\mathrm{II}(T,T)=k_1\cos^2\psi+k_2\sin^2\psi.

这个式子说明任意方向的法曲率是两个主曲率的加权平均，不会超出 $\min(k_1,k_2)$ 与 $\max(k_1,k_2)$ 之间。

定义平均曲率与高斯曲率为

H=\frac{k_1+k_2}{2},\qquad K=k_1k_2.

矩阵 $g_I^{-1}b_{II}$ 的迹等于特征值之和，行列式等于特征值之积。因此

H=\frac12\operatorname{tr}(g_I^{-1}b_{II}),\qquad K=\det(g_I^{-1}b_{II})=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}.

把 $2\times2$ 逆矩阵写出来，平均曲率还可化为

H=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)}.

法向 $N$ 换成 $-N$ 时， $e,f,g$ 、 $S$ 、 $k_1,k_2$ 和同时变号；但不变。这解释了为什么高斯曲率不依赖定向选择，而平均曲率的符号需要说明法向。

第 5 章教学图 4

图示说明：主方向是形算子的正交特征方向；沿主方向测量时，法曲率直接等于对应主曲率。

点的分类

在一个点上， $K$ 的符号首先区分了局部形状：

$K>0$ ：椭圆点，第二基本形式定号，两个主曲率同号；球面上的点属于此类。
$K<0$ ：双曲点，两个主曲率异号；典型局部形状是马鞍。
$K=0$ 且 $b_{II}\neq0$ ：抛物点，恰有一个主曲率为零。

若 $k_1=k_2$ ，该点称为脐点。脐点上每个方向都是主方向；球面上每一点都是脐点，平面上也一样。注意“看起来向上弯”并不能代替分类计算，因为反转法向后正负会交换，而 $K$ 的符号不会变。

图面公式与完整例题

设曲面是图面

r(x,y)=(x,y,h(x,y)),

取向上的单位法向。令

p=h_x,\qquad q=h_y,\qquad W=\sqrt{1+p^2+q^2}.

则

r_x=(1,0,p),\qquad r_y=(0,1,q),\qquad N=\frac{(-p,-q,1)}{W}.

所以第一基本形式系数为

E=1+p^2,\qquad F=pq,\qquad G=1+q^2.

二阶偏导为

r_{xx}=(0,0,h_{xx}),\quad r_{xy}=(0,0,h_{xy}),\quad r_{yy}=(0,0,h_{yy}),

与 $N$ 内积得到

e=\frac{h_{xx}}{W},\qquad f=\frac{h_{xy}}{W},\qquad g=\frac{h_{yy}}{W}.

代入 $EG-F^2$ ：

EG-F^2=(1+p^2)(1+q^2)-p^2q^2=1+p^2+q^2=W^2.

于是

K=\frac{h_{xx}h_{yy}-h_{xy}^2}{(1+h_x^2+h_y^2)^2},

以及

H=\frac{(1+q^2)h_{xx}-2pqh_{xy}+(1+p^2)h_{yy}}{2(1+p^2+q^2)^{3/2}}.

这些公式适合图面，因为一阶导数先决定切平面的尺度，二阶导数再决定法向弯曲；不能只看 Hessian 矩阵就把它当作任意点的曲率，分母中的斜率修正不可省略。

例题：一个带有鞍形方向的图面

考虑

r(u,v)=(u,v,u^2-3v^2).

求原点处的形算子、主曲率、 $H,K$ ，并分类原点。

方法选择

这是图面，而且题目只问一个点。先用图面公式得到 $E,F,G,e,f,g$ 最省力；若直接求整张曲面的单位法向并对它求导，会保留许多原点处最终会消失的项。为防止符号误读，最后仍用形算子的矩阵检查一次。

令 $h(u,v)=u^2-3v^2$ ，所以

第 5 章教学图 5

图示说明：碗形图面在两个主方向同向弯曲，鞍形图面在两个主方向反向弯曲；分类看 $K$ 的符号而不是只看某一条剖面。

第 5 章教学图 6

图示说明：椭圆点、双曲点、抛物点和平面点对应主曲率的不同符号组合，法向反转不会改变分类。

交互可以让一个切向量在切平面内转动，并同时显示 $\mathrm{II}(T,T)$ 与两个主曲率。调整 $e,f,g$ 前，先预测极值方向是否一定等于参数坐标方向；当 $F$ 或 $f$ 不为零时，观察形算子矩阵而不是凭图形猜主方向。

可以在一个局部曲面与单位球面之间追踪法向的变化。先预测平面、圆柱和球面中哪些 Gauss 映射会保持不变、沿一条曲线变化或在两个独立方向都变化，再用 $dN$ 的秩和行列式解释观察到的差异。

练习

练习 1：法向反转

把单位法向 $N$ 换成 $-N$ 时，下列哪些量一定保持不变？

法向由 N 换成 -N 时，哪些量保持不变？

练习 2：圆柱的曲率类型

半径为 $R$ 的圆柱参数化为

r(\theta,z)=(R\cos\theta,R\sin\theta,z).

取向外单位法向，求主曲率并判断圆柱面上的点属于哪一类。

练习 3：图面公式的使用条件

对图面 $z=4x^2+y^2$ 的原点，求 $H$ 和 $K$ ，并判断原点类型。

练习 4：从曲率反推方向

某点的主曲率为 $k_1=3,k_2=-1$ ，单位切向量 $T$ 与第一主方向夹角为 $\pi/3$ 。求该方向的法曲率，并说明它是否能判断该点类型。

练习 5：形算子矩阵

某点的第一基本形式矩阵与第二基本形式矩阵分别为

g_I=\begin{pmatrix}2&0\\\\0&5\end{pmatrix},\qquad b_{II}=\begin{pmatrix}4&0\\\\0&-5\end{pmatrix}.

求形算子的矩阵、 $H$ 与 $K$ 。

第 5 章教学图 7

第 5 章教学图 8

第一基本形式与第二基本形式承担不同工作：前者测量切向量的长度和夹角，后者记录法向弯曲。形算子 $S=g_I^{-1}b_{II}$ 正是把“二阶法向信息”转换成关于第一基本形式的线性变换；只有在这个内积背景下谈特征值，主曲率才有明确的几何意义。

h_{u} = 2 u, h_{v} = - 6 v, h_{u u} = 2, h_{u v} = 0, h_{v v} = - 6.

h_u=2u,\qquad h_v=-6v,\qquad h_{uu}=2,\qquad h_{uv}=0,\qquad h_{vv}=-6.

第 5 章 第二基本形式：形算子与曲率