Ch08 微分形式：从坐标表达走向局部 Stokes

在平面上，沿着一个小闭合边界读一个量，为什么会得到一个“内部总量”？如果把同一个几何区域换成极坐标或曲面参数，计算式会变得完全不同；可真正的几何结论不应依赖你选择了哪两个坐标。微分形式正是用来处理这件事的语言。

这一章不重新讲向量场、线积分、曲面积分和向量场版 Stokes 公式。那些是先修背景。我们从切向量的对偶对象开始，定义 1-形式、外积、外微分和 pullback，再在一个坐标片上推导 Stokes 的局部入口。重点是看清每个符号为什么这样变换，以及“换坐标后仍是同一个量”究竟由什么保证。

学习目标

学完本章，你应当能够：

• 把 1-形式理解为切向量上的线性函数，并在坐标中计算它的值；
• 使用外积构造定向的面积型 2-形式，处理反对称性和符号；
• 计算函数与 1-形式的外微分，并验证 $d^2=0$；
• 对给定映射计算 pullback，知道它如何作用在函数、坐标 1-形式和外积上；
• 判断坐标变换是否保持定向，并说明定向反转时顶次形式为何变号；
• 在局部坐标片上使用并推导 $\int_{\partial D}\alpha=\int_Dd\alpha$；
• 把微分形式的公式与几何对象对应起来，而不是把它们当作一串形式代数。

8.1 1-形式是切向量的线性测量器

在曲面 $S$ 的一点 $p$，切空间 $T_pS$ 是所有经过 $p$ 的曲线切向量组成的二维向量空间。一个余切向量，也叫协向量，是一个线性映射

$$\alpha_p:T_pS\longrightarrow\mathbb R, \qquad \alpha_p(aX+bY)=a\alpha_p(X)+b\alpha_p(Y).$$

随点光滑变化的余切向量场称为 1-形式。若 $(u,v)$ 是正则坐标，任意 1-形式可唯一写成

$$\alpha=A(u,v)\,du+B(u,v)\,dv.$$

这里 $du,dv$ 不是三维空间中的箭头。它们是切向量上的线性函数：若

$$X=a\frac{\partial}{\partial u}+b\frac{\partial}{\partial v},$$

那么 $du(X)=a$、$dv(X)=b$，从而

$$\alpha(X)=Aa+Bb.$$

对于光滑函数 $f$，它的微分 $df$ 是最基本的 1-形式，定义为

$$df_p(X)=X(f).$$

在坐标中，若 $X=a\partial_u+b\partial_v$，链式法则给出

$$df=f_u\,du+f_v\,dv, \qquad df(X)=af_u+bf_v.$$

因此 $df$ 记录的是函数沿每个切向方向的瞬时变化率；它与用度量把梯度变成切向量是不同的对象。没有指定度量时，$df$ 仍然有意义。

![切向量与余切向量的配对：箭头表示运动方向，等值线族表示 1-形式对方向的线性测量。]

图示替代文字：同一点处画出两个切向量和一组等值线；余切向量不是另一支箭头，而是把切向量送到实数的线性测量器。

8.2 外积记录有序的面积

两个 1-形式 $\alpha,\beta$ 的外积 $\alpha\wedge\beta$ 是一个 2-形式。它对两个切向量 $(X,Y)$ 给出一个交替双线性函数，满足

$$(\alpha\wedge\beta)(X,Y) =\alpha(X)\beta(Y)-\alpha(Y)\beta(X).$$

交替性意味着交换输入会变号，输入相同则为零：

$$\alpha\wedge\beta=-\beta\wedge\alpha, \qquad \alpha\wedge\alpha=0.$$

在二维坐标中，任意 2-形式写成 $h(u,v)\,du\wedge dv$。若

$$\alpha=A\,du+B\,dv,\qquad \beta=C\,du+D\,dv,$$

利用 $du\wedge du=dv\wedge dv=0$ 和 $dv\wedge du=-du\wedge dv$，展开得到

$$\alpha\wedge\beta=(AD-BC)\,du\wedge dv.$$

系数 $AD-BC$ 是两个系数向量张成的有向面积。它为零时，两个 1-形式在代数上不提供两个独立方向；它变号时，输入的顺序或坐标定向反了。

![外积把两个线性测量组合为定向面积：交换顺序会让平行四边形的有向面积变号。]

图示替代文字：两条独立方向张成一个有向平行四边形，交换两条方向后箭头方向反转，面积系数从正变负。

一个快速计算

令 $\alpha=2du-dv$，$\beta=du+3dv$。直接使用行列式结构比逐项展开更可靠：

$$\alpha\wedge\beta =\begin{vmatrix}2&-1\\1&3\end{vmatrix}du\wedge dv =(6+1)du\wedge dv=7du\wedge dv.$$

若把顺序换成 $\beta\wedge\alpha$，答案必须是 $-7du\wedge dv$。这个符号检查经常能及时发现坐标变换中漏掉的负号。

8.3 外微分 $d$：把局部变化升一阶

外微分是一个把 $k$-形式变成 $(k+1)$-形式的运算。对函数，定义为通常的微分：

$$d f=f_u\,du+f_v\,dv.$$

对 1-形式

$$\alpha=P(u,v)\,du+Q(u,v)\,dv,$$

定义

$$d\alpha=(Q_u-P_v)\,du\wedge dv.$$

这个顺序不是任意约定。用乘积法则和 $d(du)=d(dv)=0$ 展开即可看出：

$$\begin{aligned} d(Pdu+Qdv) &=dP\wedge du+dQ\wedge dv\\ &=(P_u du+P_vdv)\wedge du+(Q_u du+Q_vdv)\wedge dv\\ &=-P_vdu\wedge dv+Q_udu\wedge dv\\ &=(Q_u-P_v)du\wedge dv. \end{aligned}$$

这里要求 $P,Q$ 至少有连续的一阶偏导，使这些局部运算有意义。对一般 $k$-形式，$d$ 仍按“对系数求导，再与相应的坐标微分外积”来定义，并满足分次乘积法则

$$d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta$$

其中 $\alpha$ 是 $k$-形式。

为什么 $d^2=0$

对 $f\in C^2$，

$$d(df)=d(f_u du+f_vdv) =(f_{uv}-f_{vu})du\wedge dv=0.$$

最后一步使用混合偏导相等。对 1-形式再施加一次 $d$ 时，二维曲面上的结果本来是 3-形式，而二维坐标中不存在三个线性独立的方向，所以也为零。更一般地，外微分的反对称性保证 $d(d\omega)=0$；这正是“边界的边界为空”在形式语言中的局部影子。

![外微分把函数的一阶变化和 1-形式的旋转型变化编码成更高阶的形式。]

图示替代文字：左侧从标量函数的等值线得到 $df$，右侧从 1-形式系数的交叉变化得到 $d\alpha$，两者都由相邻坐标方向的差异产生。

8.4 Pullback：把目标空间的形式拉回参数域

设 $F:M\to N$ 是光滑映射，$\omega$ 是 $N$ 上的微分形式。pullback $F^*\omega$ 是 $M$ 上的形式，它先用 把 的切向量送到 ，再让 测量这些向量。

对函数 $h:N\to\mathbb R$，

$$F^*h=h\circ F.$$

若目标坐标为 $(x,y)$，源坐标为 $(u,v)$，且 $F(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$，则

$$F^*(dx)=x_u du+x_vdv,\qquad F^*(dy)=y_u du+y_vdv.$$

pullback 保持线性、外积和外微分：

$$F^*(\alpha\wedge\beta)=F^*\alpha\wedge F^*\beta, \qquad d(F^*\alpha)=F^*(d\alpha).$$

第二个等式可以先对函数检查：$d(F^*h)=d(h\circ F)$ 正是链式法则；对坐标表达的 1-形式，再用前面的外微分公式和混合偏导相等即可验证。它说明“先在目标空间求变化再拉回”和“先换到源坐标再求变化”得到相同结果。

例题：极坐标中的角向 1-形式

令

$$F(r,\theta)=(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta),\qquad r>0,$$

考虑平面上的 1-形式 $\alpha=-y\,dx+x\,dy$。求 $F^*\alpha$，并解释结果。

选择直接拉回 $dx,dy$ 的方法，是因为 $\alpha$ 已经由坐标 1-形式线性组合给出；不必先把它解释成某个向量场再转换。

![pullback 把目标空间的坐标网格、切向量和 1-形式一起拉回参数域。]

图示替代文字：右侧笛卡尔平面中的 1-形式沿映射被拉回左侧的参数平面，曲线切向量先经微分映射，再由原形式取值。

![极坐标映射下 $-y\,dx+x\,dy$ 变成 $r^2d\theta$，径向变化与角向变化被分开。]

图示替代文字：极坐标网格中的径向线和圆周线分别标出 $dr$ 与 $d\theta$，拉回后的形式只对角向运动有非零值，并带有系数 $r^2$。

8.5 定向：面积形式的正负从哪里来

二维向量空间的一个有序基 $(e_1,e_2)$ 可以被规定为正向；另一个基若由它变换而来，且变换矩阵行列式为正，则与原基同向。若行列式为负，则反向。

一个曲面可定向，意味着能在每个局部坐标片中选择一致的正向，使重叠坐标之间的 Jacobian 行列式始终为正。对嵌入在 $\mathbb R^3$ 中的曲面，连续选择单位法向常常提供这种定向；但像 Möbius 带这样的曲面不能做全局一致选择。

在坐标片 $(u,v)$ 中，$du\wedge dv$ 代表一个正向的面积型 2-形式。如果交换坐标，

$$dv\wedge du=-du\wedge dv.$$

这不是面积变成负数，而是同一个有向面积的取向被反过来了。积分顶次形式时，定向必须与区域和边界的约定保持一致。

有向区域 $D$ 的正向边界取法是：沿边界行走时，区域保持在左侧。对标准定向 $du\wedge dv$，这就是逆时针方向；若 $\tau$ 是边界的正向切向量、$n_{\mathrm{out}}$ 是外法向，那么有序基 $(n_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$ 与平面定向一致。最安全的做法是对矩形亲手检查，而不是只凭“顺时针/逆时针”的口令。

![定向区域与正向边界：行走方向使区域位于左侧，反向行走会使边界积分变号。]

图示替代文字：一个带箭头的矩形区域，箭头沿逆时针方向使区域处在左侧；旁边用反向箭头表示定向反转后积分符号改变。

8.6 局部 Stokes：边界信息等于内部的外微分

在一个坐标片中，设 $D\subset\mathbb R^2$ 是边界分段光滑的紧致定向区域，$\alpha=P(u,v)du+Q(u,v)dv$ 的系数具有连续一阶偏导。局部 Stokes 公式是

$$\int_{\partial D}\alpha=\int_Dd\alpha =\int_D(Q_u-P_v)\,du\wedge dv.$$

这条公式把一维边界上的 1-形式积分与二维内部的 2-形式积分连接起来。右侧不是另起一个“向量场版 Stokes”章节；这里的重点是形式如何在坐标变换下保持结构，以及定向如何同时控制两侧符号。

例题：绕矩形的局部计算

取矩形 $D=[0,a]\times[0,b]$，并令

$$\alpha=-v\,du+u\,dv.$$

求两侧积分并核对局部 Stokes 公式。选择矩形是为了把边界方向和每一段的参数都写清楚，能直接检查符号。

![局部 Stokes 的结构图：矩形边界上的 1-形式贡献相加，等于内部 $d\alpha$ 的有向面积积分。]

图示替代文字：矩形四条边按正向标箭头，边界上的四段积分汇入右侧的内部区域；内部标注 $d\alpha=2du\wedge dv$。

公式的“局部”二字很重要。我们在一个坐标片里使用 $du,dv$ 和普通二重积分；若曲面需要多个坐标片，就要处理重叠区域、定向一致性和形式的拼接。微分形式的价值正在这里显现：它允许同一个几何对象在不同参数中写出不同公式，却通过 pullback 和 $d$ 的交换律保持同一结构。

在第二个交互中，先预测把边界方向反转后哪一侧的数值会变号，再逐段拖动边界点，观察 $\alpha$ 的边界贡献和 $d\alpha$ 的内部贡献怎样同步变化。随后切换笛卡尔与极坐标参数，检查坐标表达变化而积分结论不变；若映射反定向，必须把 Jacobian 的符号纳入观察。

这里的交互任务：用两条可拖动的余切方向构造 $\alpha\wedge\beta$，实时显示行列式系数、交换顺序后的符号和退化情形；再把区域定向反转，观察顶次形式积分的变化。

这里的交互任务：在矩形和极坐标参数域之间切换，计算同一个 1-形式的 pullback、外微分及边界/内部积分；允许输入一个错误的边界方向，给出明确的符号反馈和重置状态。

练习

练习 1：余切向量的线性作用

在坐标 $(u,v)$ 中，$\alpha=3du-2dv$，$X=4\partial_u+5\partial_v$。求 ，并说明这个数为什么不是向量长度。

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由 $du(X)=4$、$dv(X)=5$，所以 $\alpha(X)=3\cdot4-2\cdot5=2$。这是 1-形式对向量的线性测量值；向量长度需要一个度量 ，通常写成 ，不能仅凭 得到。

练习 2：外积与退化

设 $\alpha=du+2dv$，$\beta=2du+4dv$。计算 $\alpha\wedge\beta$，并解释结果。

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系数行列式为 $1\cdot4-2\cdot2=0$，所以 $\alpha\wedge\beta=0$。两个系数向量线性相关，二者不能构造非零的有向面积型 2-形式；这就是外积退化。

练习 3：外微分与 $d^2$

令 $f(u,v)=u^2v+\sin v$，求 $df$ 和 $d(df)$。

查看解答

有 $f_u=2uv$、$f_v=u^2+\cos v$，因此 。再次外微分得到 函数足够光滑，混合偏导相等正是 在此处的原因。

练习 4：pullback 的直接计算

设 $F(s,t)=(x,y)=(s+t,s-t)$，平面上的 1-形式为 $\alpha=x\,dy-y\,dx$。求 。

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先算 $dx=ds+dt$、$dy=ds-dt$，再拉回系数 $x=s+t$、。于是 可以检查：在 方向移动时形式值为 ，在 方向移动时形式值为 。

练习 5：定向反转

在同一矩形区域上，标准定向使用 $du\wedge dv$；若改用坐标 $(v,u)$，说明 $du\wedge dv$ 如何表示，并判断同一个 2-形式的积分符号怎样变化。

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因为 $du\wedge dv=-dv\wedge du$，在 $(v,u)$ 的正向坐标中，同一个有向面积形式写成 $-dv\wedge du$；若只把区域定向反转而形式不变，积分变为原来的相反数。面积的无向大小没有变，改变的是定向符号。

练习 6：局部 Stokes 的迁移

在 $D=[0,1]\times[0,2]$ 上取 $\alpha=4v\,du+3u\,dv$。求 $$，并用局部 Stokes 判断正向边界积分的值。

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这里 $P=4v$、$Q=3u$，所以 $d\alpha=(Q_u-P_v)du\wedge dv=(3-4)du\wedge dv=-du\wedge dv$。矩形面积为 ，故内部积分为 ，正向边界积分也为 。若边界方向反转，边界积分应变成 。

练习 7：闭形式不是全局势函数的保证

在去掉原点的平面上考虑

$$\alpha=\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}.$$

在每个不穿过原点的坐标片上它满足 $d\alpha=0$。为什么这还不足以断言整个去心平面上存在一个单值光滑函数 $f$ 使 $df=\alpha$？

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它在局部等于角度函数的微分，所以局部闭且局部有势；但沿绕原点一周的闭曲线，角度增加 $2\pi$，因此 $\int\alpha=2\pi\ne0$。若存在全局单值 $f$，沿闭曲线的积分应为 $f$ 回到原值后的差，即 $$，矛盾。缺口来自区域的拓扑，而不是局部公式失效。