Ch07 参数化不变量：等距、保角与曲率

把一张平面纸卷成圆柱，纸上的格子会变形吗？如果你在纸上量过一条曲线的长度，卷起来以后再量，读数应当保持不变；可是从空间里看，这个圆柱明明已经弯了。平面和圆柱究竟共享了哪些几何信息？球面为什么不能像圆柱那样被完整地摊平？

这一章要建立一条判断路线：先把参数化改变写成微分，观察长度、角度和面积怎样变换；然后用等距与保角分别描述“完全不变”和“只保留角度”；最后把曲率拆成外在的弯曲与内在的弯曲，理解 Gauss 定理为什么是微分几何的转折点。前面已经算过第一、第二基本形式和测地线，这里把它们放在同一个不变量框架里。

学习目标

学完本章，你应当能够：

• 说明什么是正则参数变换，并推导第一基本形式的变换公式；
• 区分参数化依赖的系数与真正由度量决定的长度、角度和面积；
• 判断一个映射是局部等距、保角，还是两者都不是；
• 用平面—圆柱展开说明等距的局部性质和全局限制；
• 计算平面、圆柱、球面的高斯曲率，并解释它们的内在差异；
• 解释高斯绝妙定理的内容、条件和意义，而不是把它误解成“所有曲率都与参数无关”；
• 在遇到一个新曲面时，选择先算度量还是先算形算子，并检查结论是否合理。

7.1 换一套参数，几何对象没有被换掉

设 $S$ 是一个正则曲面片，参数化写成

$$\mathbf r(u,v):U\subset\mathbb R^2\longrightarrow \mathbb R^3,$$

其中 $\mathbf r_u$ 与 $\mathbf r_v$ 在每一点线性无关。第一基本形式是切平面上的内积：

$$\mathrm I=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2, \qquad E=\mathbf r_u\cdot\mathbf r_u,\quad F=\mathbf r_u\cdot\mathbf r_v,\quad G=\mathbf r_v\cdot\mathbf r_v.$$

这里的 $E,F,G$ 会随着坐标网格改变而改变。不要因此说“曲面的度量变了”：改变的是记录同一个切向量时所用的坐标分量。

设另一组参数 $(s,t)$ 通过正则变换给出

$$(u,v)=\phi(s,t)=(u(s,t),v(s,t)),$$

且 $\det D\phi\ne0$。复合参数化是 $\widetilde{\mathbf r}=\mathbf r\circ\phi$。链式法则给出

$$\widetilde{\mathbf r}_s=\mathbf r_u u_s+\mathbf r_v v_s, \qquad \widetilde{\mathbf r}_t=\mathbf r_u u_t+\mathbf r_v v_t.$$

若一条曲线在新参数中写成 $\gamma(\tau)=\widetilde{\mathbf r}(s(\tau),t(\tau))$，它的切向量既可以按旧参数计算，也可以按新参数计算：

$$\gamma'=\widetilde{\mathbf r}_s s'+\widetilde{\mathbf r}_t t' =\mathbf r_u(u_s s'+u_t t')+\mathbf r_v(v_s s'+v_t t').$$

所以切向量本身没有改变，只是坐标分量换了。把这件事代回内积，便有

$$\begin{pmatrix} \widetilde E&\widetilde F\\\widetilde F&\widetilde G\end{pmatrix} =(D\phi)^T \begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}D\phi.$$

这就是度量矩阵的坐标变换律。它解释了为什么单个 $E$、$F$、$G$ 不是参数化不变量，而由它们组成的切向量长度

$$\lVert\gamma'\rVert^2 =E(u')^2+2Fu'v'+G(v')^2$$

却不依赖你选择哪一套正则参数。

![正则参数变换把同一张曲面的坐标网格重新铺设，曲线本身保持不变。]

图示替代文字：左图和右图表示同一曲面片上的两套参数网格；网格线位置和疏密不同，但标出的曲线与切向量代表同一个几何对象。

面积元也遵守同样的规律。由于 $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ 的长度平方是 Gram 行列式，

$$EG-F^2=\lVert\mathbf r_u\times\mathbf r_v\rVert^2,$$

而 $\det(D\phi)$ 描述参数平面面积的缩放，所以

$$\sqrt{\widetilde E\widetilde G-\widetilde F^2} =\sqrt{EG-F^2}\,\lvert\det D\phi\rvert.$$

绝对值表示面积没有方向；如果讨论定向面积，则还要保留 Jacobian 的符号。

![度量矩阵在坐标变换下按 $g\mapsto(D\phi)^TgD\phi$ 变换。]

图示替代文字：一个二维切空间中画出旧基底与新基底，箭头表示新基底由旧基底的线性组合得到，右侧显示度量矩阵的合同变换。

7.2 等距：长度、角度和面积都保留下来

设 $S$ 与 $\widetilde S$ 是带有第一基本形式 $g$ 与 $\widetilde g$ 的正则曲面。光滑映射 在点 处称为，如果微分 满足

$$\widetilde g_{F(p)}(dF_pX,dF_pY)=g_p(X,Y) \quad\text{对所有 }X,Y\in T_pS.$$

若这个条件只在每个点的某个邻域成立，称为局部等距。等距的定义直接要求内积不变，因此有三条立即的后果：向量长度不变，两个非零向量的夹角不变，面积元也不变。由曲线 $\gamma$ 的切向量得到

$$\lVert(F\circ\gamma)'\rVert^2 =\widetilde g(dF(\gamma'),dF(\gamma')) =g(\gamma',\gamma') =\lVert\gamma'\rVert^2,$$

积分后便有 $L(F\circ\gamma)=L(\gamma)$。这里使用了曲线分段光滑且 $F$ 光滑的条件。

例题：把圆柱沿母线剪开并展开

半径为 $R$ 的圆柱可参数化为

$$\mathbf c(\theta,z)=(R\cos\theta,R\sin\theta,z).$$

考虑平面中的映射

$$F(x,y)=\mathbf c\left(\frac{x}{R},y\right) =\left(R\cos\frac{x}{R},R\sin\frac{x}{R},y\right).$$

它把平面中的条带 $0<x<2\pi R$ 映到去掉一条母线的圆柱面。问题是：这是等距映射吗？直接比较两个参数化的第一基本形式最有效，因为目标同时涉及长度和角度，不必逐条挑曲线计算。

这道题的关键不是记住“圆柱能展开”，而是看出等距应当比较拉回的内积。弯曲到三维空间并没有改变圆柱面内的长度和角度；切口、周期性和整体拓扑则属于另一层问题。

![圆柱沿一条母线剪开后展开为宽度 $2\pi R$ 的平面条带。]

图示替代文字：左侧是带有经线和纬线的圆柱，中央标出切口；右侧是展开后的矩形条带，水平长度为 $2\pi R$，竖直方向保持 $z$ 坐标。

7.3 保角：长度可以缩放，角度不能乱

满秩光滑映射 $F:S\to\widetilde S$ 称为保角映射，如果对任意相交于 $p$ 的非零切向量 $X,Y$，有

$$\angle(dF_pX,dF_pY)=\angle(X,Y).$$

在二维正定度量下，这等价于存在正函数 $\lambda$，使得

$$F^*\widetilde g=\lambda^2g.$$

为什么是平方因子？若 $dF$ 把每个长度都乘以同一个 $\lambda$，内积会乘以 $\lambda^2$。对于非零 $X,Y$，

$$\frac{(\lambda^2g)(X,Y)}{\sqrt{(\lambda^2g)(X,X)}\sqrt{(\lambda^2g)(Y,Y)}} =\frac{g(X,Y)}{\sqrt{g(X,X)}\sqrt{g(Y,Y)}},$$

所以夹角的余弦保持不变。等距是 $\lambda\equiv1$ 的特殊情形，但保角并不要求长度保持。

![等距映射与保角映射的对照：小正方形在保角变换下可统一缩放，但直角仍是直角。]

图示替代文字：左侧网格经过等距映射后边长不变；右侧网格经过保角映射后边长按位置变化，但相交网格线的角度保持。

例：平面的整体缩放。 映射 $F(x,y)=(2x,2y)$ 满足 $F^*(dx^2+dy^2)=4(dx^2+dy^2)$，所以 ，它保角但不是等距。一个小区域的长度乘 ，面积乘 ，而两个方向之间的角度保持。

例：圆柱展开。 上面的 $F(x,y)=(R\cos(x/R),R\sin(x/R),y)$ 满足 $\lambda=1$，所以它同时等距和保角。判断顺序可以这样选：题目只问角度时，寻找共形因子就够；题目问弧长、面积或测地线时，必须核对完整的度量，而不能只核对角度。

7.4 外在弯曲与内在弯曲不是一回事

曲面作为 $\mathbb R^3$ 中的对象，有两种观察方式。

• 外在几何允许你看曲面周围的法向、法曲率和第二基本形式。它依赖曲面怎样嵌入三维空间。
• 内在几何只使用曲面上的长度、角度、面积、测地线以及由这些量决定的曲率。只在曲面上拿尺和量角器的人也能获得这些信息。

圆柱和它的平面展开给出最清楚的区分：二者局部等距，所以内在度量相同；但平面没有法向转动，圆柱的法向沿环向转动，因此它们的外在形状不同。

设第二基本形式为

$$\mathrm {II}=e\,du^2+2f\,du\,dv+g\,dv^2,$$

形算子 $S$ 由 $\mathrm {II}(X,Y)=\mathrm I(SX,Y)$ 定义。若 $k_1,k_2$ 是 的两个特征值，即主曲率，则

$$K=k_1k_2=\det S=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}$$

叫作高斯曲率。这里假设曲面正则，且选定局部单位法向；把法向反向会让 $e,f,g$ 同时变号，但 $eg-f^2$ 不变，所以 $K$ 与法向选择无关。

![平面、圆柱和球面的法向与主曲率示意：圆柱一个主曲率为零，球面两个主曲率都非零。]

图示替代文字：三组曲面分别显示法向箭头和两条主方向；平面两方向曲率均为零，圆柱一条方向为零，球面两条方向均向内弯曲。

计算三个基本模型

平面上 $e=f=g=0$，所以 $K=0$。

圆柱按 $(\theta,z)$ 参数化时，第一基本形式为

$$\mathrm I=R^2d\theta^2+dz^2.$$

取外法向 $N=(\cos\theta,\sin\theta,0)$，可得 $e=-R$、$f=0$、$g=0$（符号取决于第二基本形式约定，乘积结论不受影响）。于是

$$K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}=0.$$

圆柱的一个主曲率是 $-1/R$，沿母线方向的另一个是 $0$。它在空间中弯了，但没有把一个原本平直的方向和另一个方向同时弯起来。

半径为 $R$ 的球面上，两个主曲率在同一法向约定下相等，绝对值均为 $1/R$，因此

$$K=\frac1{R^2}>0.$$

这里的正号不是“看上去鼓出来”的主观判断，而是两个主曲率乘积的结果。若有一个方向向外弯、另一个方向向内弯，就可能得到负高斯曲率，例如马鞍面附近。

![高斯曲率公式把第一、第二基本形式的行列式组合成一个标量。]

图示替代文字：左侧显示第一基本形式矩阵和第二基本形式矩阵，右侧用两个行列式的比值标出高斯曲率，并强调法向反向时分子不变。

7.5 Gauss 定理的意义：内在数据竟然决定了 $K$

高斯绝妙定理的核心表述是：对正则曲面的局部参数化，

$$K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}$$

虽然右侧使用了由嵌入和法向得到的第二基本形式系数，但最终的 $K$ 可以只由第一基本形式 $E,F,G$ 及其一阶、二阶导数计算出来。因此 $K$ 是内在曲率。

这不是说 $e,f,g$ 各自都内在。圆柱和展开平面有同一套局部度量，却有不同的法向和第二基本形式；定理说的是它们的高斯曲率必须相同。于是，平面与圆柱都满足 $K=0$，球面却满足 $K=1/R^2$，球面不能在保持长度的意义下局部摊平成平面。

![球面小三角形的内角和大于 $\pi$，平面与圆柱局部展开中的小三角形内角和为 $\pi$。]

图示替代文字：三幅对照图展示平面、圆柱展开面和球面上的测地三角形；前两者角和为平角，球面三角形角和出现正的超额。

可以把这个结论理解成一个可测的实验：在球面上画足够小的测地三角形，三角形内角和超过 $\pi$ 的量与面积的一阶近似由曲率控制；在平面或圆柱上局部测量，角和没有这种正超额。这个观察不替代定理的证明，却说明“内在”不是抽象口号，而是只靠曲面内部测量就能发现的结构。

7.6 一套可复用的判断流程

遇到“改变参数后是否相同”“两个曲面能否展开”“映射是否保角”这类题，可以按对象逐层检查：

1. 确认参数化正则，并写出坐标变换的 Jacobian；
2. 先比较拉回的第一基本形式，判断长度和角度是否都保持；
3. 如果只需判断角度，检查是否存在正的共形因子 $\lambda^2$；
4. 如果题目涉及能否等距变形，比较高斯曲率作为必要条件；
5. 最后单独检查定义域、切口、周期性和一一性，避免把局部结论夸大为全局结论。

在交互探索中，先预测把圆柱横向拉直后哪些读数会保留，再拖动网格观察长度、角度和面积的变化。注意观察的是同一个曲面片在两种表示下的测量结果，而不是屏幕上网格看起来是否“方正”。

这里的交互任务：在平面条带、圆柱面和球面之间切换，拖动曲线端点，比较曲线长度、夹角与局部面积；需要显示局部等距的保持量，并让球面的曲率差异成为可检验的障碍。

第二个交互把 $g$、$\lambda^2g$ 和曲率并列显示。请先判断一个映射是等距还是仅保角，再改变缩放因子，观察长度与角度分别怎样响应。若交互显示了一个“曲率相同”的表面，也要记住：相同曲率是必要线索，不是自动生成全局等距的充分条件。

这里的交互任务：用平面、圆柱、球面和马鞍面的局部模型比较主曲率乘积；操作后显示第一基本形式是否相同、法向是否变化以及高斯曲率的符号。

练习

练习 1：参数化系数是不是不变量

曲面片 $\mathbf r(u,v)$ 的系数为 $(E,F,G)=(4,0,9)$。新参数取 $u=2s$、。求 ，并说明同一条曲线的长度是否改变。

查看解答

由 $D\phi=\operatorname{diag}(2,3)$，度量矩阵的变换给出 $\widetilde E=4\cdot2^2=16$、、。新坐标中的曲线分量同时按反向链式法则变化，所以 与旧坐标中的长度平方相同。改变的是坐标系数，不是曲线的实际长度。

练习 2：等距与保角的区别

判断 $F(x,y)=(3x,3y)$ 是等距、保角，还是两者都不是。给出度量的拉回结果。

查看解答

有 $dF(X)=3X$，因此 $F^*(dx^2+dy^2)=9(dx^2+dy^2)$。它是保角映射，共形因子为 ；但长度被乘以 ，并非等距。

练习 3：圆柱的曲率

圆柱半径为 $5$。若主曲率为 $0$ 与 $-1/5$，求高斯曲率，并解释为什么这个结果不与“圆柱是弯的”矛盾。

查看解答

高斯曲率是主曲率之积，所以 $K=0\cdot(-1/5)=0$。圆柱沿环向有外在弯曲，沿母线方向却完全直；一个主曲率为零使乘积为零。外在弯曲存在，并不强迫内在高斯曲率非零。

练习 4：展开的边界

有人说：“圆柱和平面局部等距，所以整个无限平面可以一一等距地映到整个圆柱面。”指出这句话中的错误，并给出至少一个具体检查。

查看解答

局部等距不保证全局一一性。标准展开映射满足 $F(x+2\pi R,y)=F(x,y)$，不同的平面点映到同一点，因此不能作为整个平面到圆柱面的双射。切开圆柱并把定义域限制到宽度小于 $2\pi R$ 的条带，才得到合适的局部或单片等距表示。

练习 5：曲率障碍的迁移

一个正则曲面片在某邻域内的高斯曲率恒为 $2$。它能否在保持所有曲线长度的情况下局部等距地映到平面？如果把“平面”换成另一个高斯曲率也恒为 $2$ 的曲面，结论是否会自动变成“能”？

查看解答

不能映到平面，因为局部等距必须保持高斯曲率，而平面的曲率为 $0$。换成另一个曲率为 $2$ 的曲面后，只能说曲率障碍消失了；相同的高斯曲率是必要条件，不是存在等距映射的充分条件，还需比较完整的局部度量及其坐标关系。

6

下列哪一个量最能作为判断局部等距可能性的内在障碍？

A.某条坐标线在三维空间中的弯曲程度B.高斯曲率C.参数化中的系数 E 单独的数值D.选定单位法向的方向

练习 7：设计一个可测的判别

你只能在曲面上测量长度和角度，不能从外部观察曲面。请设计一个局部实验，区分“局部平面/圆柱型”与“正高斯曲率型”的区域，并说明实验结果与 $K$ 的关系。

查看解答

在区域内取三条两两连接的短测地线，构成一个足够小的测地三角形，测量三个内角之和。平面与圆柱的局部度量都可展开为平面度量，角和为 $\pi$；正高斯曲率区域的角和出现正的超额，超额在小区域尺度下与曲率和面积相关。实验只能给出局部几何证据，仍需控制测量误差并确认边是测地线。