第 1 章 正则曲线与弧长

一条曲线如果只是“画出一条线”，参数似乎无关紧要：把时间换一种走法，轨迹还在那里。但只要你想谈速度、切线，甚至想用一个几何上自然的坐标来描述曲线，参数就不能随便处理。

想象同一个圆周运动。一个人匀速走完一圈，另一个人前半圈走得很慢、后半圈突然加速。他们走过的点完全相同，速度却不同。有没有一种量，不会因为“走得快还是慢”而改变？又能不能把曲线重新参数化，使参数本身就是走过的距离？这一章要把这些问题逐一算清楚。

1. 从参数曲线开始

在本章中，曲线都放在欧氏空间 $\mathbb R^3$ 中；平面曲线可以看成第三坐标恒为零的特殊情形。设 $I\subset\mathbb R$ 是一个区间，给定映射

如果 $\mathbf r$ 至少可微，我们称它为一条参数曲线。$t$ 是参数，$\mathbf r(t)$ 是曲线在时刻 $t$ 所处的点，集合 $\mathbf r(I)$ 是它的轨迹。参数曲线包含的不只是轨迹，还包含了沿轨迹移动的方向和快慢。

例如

与

都描出单位圆的一部分，甚至可以通过重新安排参数描出同一段圆周。可是第二条曲线在 $t=0$ 处的导数为零，它在那个参数时刻“停住”了。这个差别正是正则性的入口。

下面的图把“同一轨迹”和“不同运动方式”放在一起比较。箭头表示参数增大时的运动方向，箭头疏密只作直观提示，不把它当成速度的精确图像。

速度、速率与正则性

曲线的导数

叫作速度向量。它同时记录方向和坐标变化率；它的长度

叫作速率。这里的范数是欧氏范数，所以

如果 $\mathbf r'(t_0)\ne\mathbf 0$，就可以把速度方向标准化，得到单位切向量

若对区间内每个 $t$ 都有 $\mathbf r'(t)\ne\mathbf 0$，则称 $\mathbf r$ 是正则曲线。正则性不是说曲线没有拐弯，而是说参数始终在以非零速度通过曲线；因此单位切向量在每一点都有定义。

2. 参数改变了什么

设 $\phi:J\to I$ 是一个 $C^1$ 函数，用新参数 $u$ 定义

链式法则给出

如果 $\phi'(u)>0$，方向保持不变；如果 $\phi'(u)<0$，运动方向反过来。只要 $\phi'(u)\ne0$，正则曲线仍然是正则曲线，因为非零向量乘以非零标量不会变成零向量。这个条件不能删掉：若 ，新参数可能人为制造一个停滞点。

更严格地说，若 $\phi$ 是区间之间的 $C^1$ 双射，且 $\phi'$ 在区间内处处不为零，那么它是一个允许的正则重参数化。它可能保留方向，也可能反转方向；轨迹本身不因此改变。

3. 弧长公式从哪里来

取分割

把曲线在相邻参数点之间用线段连接，得到折线长度

当分割越来越细时，折线越来越贴近曲线。若 $\mathbf r$ 是 $C^1$ 曲线，在每个小区间上由积分基本定理

当区间很短时，这个向量近似为 $\mathbf r'(\xi_i)\Delta t_i$。因此对应线段长度近似为

连续性保证这些局部近似的误差在分割变细时趋于零，于是曲线长度为

只要右侧积分存在。这里的被积函数正是速率：每一小段参数时间贡献“速率 × 参数增量”的长度。

弧长不依赖正则参数

对重参数化曲线 $\widetilde{\mathbf r}(u)=\mathbf r(\phi(u))$，长度公式变为

若 $\phi$ 保持方向，换元 $t=\phi(u)$ 后直接得到 $L(\widetilde{\mathbf r})=L(\mathbf r)$。若方向反转，换元积分的上下限也反转，绝对值 正好抵消这个符号变化，结果仍相同。

这说明弧长是轨迹及其走法方向的几何量，而不是某一个特定参数的产物。注意“长度不变”不等于“速度不变”：同一条曲线可以被不同速率走完。

完整例题：四分之一圆弧的长度

求

所描出的曲线长度。

这里不应使用起点到终点的直线距离，因为题目问的是圆弧。选择弧长积分，是因为参数曲线的速度已经直接给出局部长度变化率。

在这个交互中，先猜测“把参数速度加快是否会改变轨迹长度”，再分别改变时间函数和观察折线近似。真正需要留意的是：箭头移动快慢会变，速率积分的总和却不变。若把某个重参数化的导数调到零，还应观察正则性条件为什么会失效。

4. 用弧长给曲线重新编号

固定起点参数 $a$，定义从起点走到 $t$ 的弧长

只要 $\mathbf r$ 正则，$\lVert\mathbf r'(t)\rVert>0$，微积分基本定理给出

所以 $s(t)$ 严格递增，能够把原来的参数 $t$ 换成弧长参数 $s$。记反函数为 $t=t(s)$，新曲线写作

对它求导：

由 $ds/dt=\lVert\mathbf r'(t)\rVert$，可得 $dt/ds=1/\lVert\mathbf r'(t)\rVert$。于是

从而 $\lVert d\widehat{\mathbf r}/ds\rVert=1$。弧长参数的核心性质就是单位速率：参数增加一个单位，曲线长度也增加一个单位。

若原曲线已经满足 $\lVert\mathbf r'(t)\rVert=1$，那么 $t$ 本身就是弧长参数，最多只差一个起点常数或方向选择。这个判断常常比显式求反函数方便得多。

完整例题：把圆周改成弧长参数

对

构造从 $(R,0)$ 出发的弧长参数表示，并解释它与原表示的差别。

交互可以显示参数 $t$、弧长 $s$ 和单位切向量的同步变化。调整原曲线的运动速度时，参数刻度会改变；切换到弧长刻度后，每一步的位移长度保持一致，这正是后续定义曲率时要采用弧长导数的原因。

5. 条件检查与几个常见边界

弧长参数并不是任何参数曲线都能直接使用。至少要检查三件事：曲线在所讨论的区间上可微，速率可积；若要把 $s$ 当作新的局部坐标，还需要速率处处为正；若参数曲线在某点停住，$s'(t)=0$，反函数定理不能在该点直接提供光滑反参数。

例如

满足 $\mathbf q'(0)=(0,0)$，所以它不是正则参数曲线。它的弧长函数仍可能存在，但“用弧长作为光滑参数”的标准正则论证在 $t=0$ 处中断。不能因为积分公式还能写出来，就把正则性结论一并使用。

另一个容易混淆的点是重复走过轨迹。若参数化在同一段曲线上来回走，弧长公式计算的是走过的总长度，而不是轨迹集合的几何测度；重参数化不改变长度的前提，是它只改变参数刻度而不改变走法的覆盖方式。

练习

练习 1（理解：正则性）

判断 $\mathbf r(t)=(t^2,\,t^3,\,0)$ 在 $t=0$ 处是否正则，并说明这个判断对单位切向量有什么影响。

练习 2（应用：速度与长度）

求 $\mathbf r(t)=(3t,4t,0)$ 在 $0\le t\le2$ 上的速率和弧长，并解释为什么弧长不是端点距离之外的另一个神秘量。

练习 3（应用：圆弧）

求 $\mathbf r(t)=(\cos(3t),\sin(3t),0)$ 在 $0\le t\le\pi/6$ 上的长度。这个参数化是否以单位速率运动？

练习 4（迁移：重参数化）

设 $\mathbf r$ 正则，$\phi'(u)<0$ 且处处不为零。说明 $\widetilde{\mathbf r}(u)=\mathbf r(\phi(u))$ 的速率、方向和弧长分别发生什么变化。

练习 5（迁移：弧长坐标）

曲线 $\mathbf r(t)=(t,t^2,0)$ 在 $0\le t\le1$ 上正则。写出从 $t=0$ 起算的弧长函数 ，并说明为什么通常不必强行求出 才能使用弧长。

它严格递增，因此局部反函数存在。很多几何推导只需要 $ds/dt=\lVert\mathbf r'(t)\rVert$ 和链式法则，不需要把反函数写成显式初等式；硬求反函数反而会把注意力从结构上带开。