第 2 章 曲率、挠率与 Frenet 标架

两条曲线都可能以同样的速率运动，却给人完全不同的“转弯感”。沿直线走，速度方向不变；沿圆走，速度方向持续转动；沿螺旋走，速度方向不仅转动，还会离开原来的平面。怎样把这三种变化分开测量？更重要的是，计算出来的量是否真的与参数选择无关？

本章把第 1 章的弧长参数接过来。曲率描述单位切向量沿弧长改变得有多快，挠率描述曲线怎样离开密切平面。二者合在一起，Frenet 标架会给出一套随曲线移动的正交坐标，以及三条彼此咬合的微分方程。

1. 曲率必须用弧长来量

设 $\mathbf r(s)$ 是弧长参数曲线，即

$$\lVert\mathbf r'(s)\rVert=1.$$

为了避免把两个参数混在一起，下面用撇号表示对弧长 $s$ 求导，必要时会明确写出对一般参数 $t$ 的导数。单位切向量就是

$$\mathbf T(s)=\mathbf r'(s).$$

由于 $\mathbf T\cdot\mathbf T=1$，求导得到

$$2\mathbf T'(s)\cdot\mathbf T(s)=0,$$

也就是 $\mathbf T'\perp\mathbf T$。速度方向虽然改变了，但改变方向只能发生在垂直于当前切线的方向上。

定义曲率为

$$\kappa(s)=\lVert\mathbf T'(s)\rVert=\left\lVert\frac{d\mathbf T}{ds}\right\rVert.$$

为什么不用 $d\mathbf T/dt$？因为换一个走路速度，单位切向量随时间的变化率会随之改变；除以速率后，才得到“每单位长度转过多少”。半径为 $R$ 的圆的曲率应是 $1/R$：半径越小，同样走一小段距离，方向转得越多，这个定义正好体现了这一点。

当 $\kappa(s)>0$ 时，定义主法向量

$$\mathbf N(s)=\frac{\mathbf T'(s)}{\kappa(s)}.$$

它是单位向量，指向切线正在转向的方向。若曲率在某点为零，主法向量在该点没有由这个公式唯一确定；因此 Frenet 标架的通常定义需要曲率非零。

一般参数下的公式

实际给出的曲线通常不是弧长参数。设 $\mathbf r=\mathbf r(t)$，速率为

$$v(t)=\lVert\mathbf r'(t)\rVert>0.$$

由第 1 章的弧长关系，$ds/dt=v$，所以

$$\frac{d}{ds}=\frac1v\frac{d}{dt},\qquad \mathbf T=\frac{\mathbf r'}v.$$

逐步计算：

$$\begin{aligned} \frac{d\mathbf T}{dt} &=\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf r'}v\right)\\ &=\frac{\mathbf r''v-\mathbf r'v'}{v^2},\\ \frac{d\mathbf T}{ds} &=\frac1v\frac{d\mathbf T}{dt} =\frac{\mathbf r''v-\mathbf r'v'}{v^3}. \end{aligned}$$

直接取这个式子的长度可以得到一个可用公式，但叉积形式更能消掉沿切线方向的部分。因为

$$\mathbf r'\times\mathbf r'' =\mathbf r'\times(\mathbf r''-v'\mathbf T),$$

而 $\mathbf r'=v\mathbf T$，所以 $\mathbf r''-v'\mathbf T$ 正是与切线垂直的加速度部分，且

$$\left\lVert\frac{d\mathbf T}{ds}\right\rVert =\frac{\lVert\mathbf r'\times\mathbf r''\rVert}{\lVert\mathbf r'\rVert^3}.$$

因此

$$\boxed{\displaystyle \kappa(t)=\frac{\lVert\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t)\rVert}{\lVert\mathbf r'(t)\rVert^3}}.$$

平面曲线 $\mathbf r(t)=(x(t),y(t),0)$ 的叉积只有第三坐标，故

$$\kappa(t)=\frac{|x'y''-y'x''|}{\big((x')^2+(y')^2\big)^{3/2}}.$$

绝对值给出无方向的曲率；若保留平面定向，可以使用带符号的曲率 $(x'y''-y'x'')/((x')^2+(y')^2)^{3/2}$。两者承担的用途不同，不能把带符号版本当成三维曲率的定义。

2. 三个互相传递的方向

假设 $\mathbf r$ 是 $C^3$ 弧长参数曲线，且 $\kappa>0$。定义副法向量

$$\mathbf B=\mathbf T\times\mathbf N.$$

由于 $\mathbf T$ 与 $\mathbf N$ 是正交单位向量，$\mathbf B$ 也为单位向量，并且三者构成右手正交标架。它们分别表示切向、主法向和副法向方向。

第一条 Frenet 方程其实就是定义的改写：

$$\boxed{\mathbf T'=\kappa\mathbf N}.$$

接着推导 $\mathbf N'$。因为 $\mathbf N\cdot\mathbf N=1$，有 $\mathbf N'\cdot\mathbf N=0$，所以 只有 和 两个方向的分量。对 求导：

$$\mathbf T'\cdot\mathbf N+\mathbf T\cdot\mathbf N'=0.$$

代入 $\mathbf T'=\kappa\mathbf N$，得到 $\mathbf T\cdot\mathbf N'=-\kappa$。因此 $\mathbf N'$ 在 方向上的系数是 。把在 方向上的系数定义为挠率 ：

$$\tau=\mathbf N'\cdot\mathbf B.$$

于是第二条方程为

$$\boxed{\mathbf N'=-\kappa\mathbf T+\tau\mathbf B}.$$

最后对 $\mathbf B=\mathbf T\times\mathbf N$ 求导：

$$\mathbf B'=\mathbf T'\times\mathbf N+\mathbf T\times\mathbf N'.$$

第一项为零；代入第二条方程，第二项中的 $\mathbf T\times(-\kappa\mathbf T)$ 也为零，只剩

$$\mathbf B'=\mathbf T\times(\tau\mathbf B)=\tau(\mathbf T\times\mathbf B)=-\tau\mathbf N.$$

这里用了右手标架恒等式 $\mathbf T\times\mathbf B=-\mathbf N$。所以三条方程完整地写成

$$\boxed{ \mathbf T'=\kappa\mathbf N,\qquad \mathbf N'=-\kappa\mathbf T+\tau\mathbf B,\qquad \mathbf B'=-\tau\mathbf N. }$$

先固定曲线上的一个点和一组正交方向，沿着弧长移动观察 $\mathbf T,\mathbf N,\mathbf B$ 如何交换分量。操作时应预测：若 $\kappa$ 增大，哪两个方向的变化会变快；若 $\tau=0$，哪个方向应保持固定。三条 Frenet 方程把这些观察逐项解释出来。

挠率的可计算公式来自把 $\mathbf B=\mathbf r'\times\mathbf r''/\lVert\mathbf r'\times\mathbf r''\rVert$ 代入并整理：

$$\boxed{\displaystyle \tau(t)=\frac{\det(\mathbf r'(t),\mathbf r''(t),\mathbf r'''(t))} {\lVert\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t)\rVert^2}}$$

它要求 $\mathbf r'\times\mathbf r''\ne\mathbf0$，也就是曲率非零。分母确保参数缩放不会改变数值，行列式记录曲线向副法向偏离的方向。

3. 圆、平面曲线与螺旋

圆：只有曲率

对半径 $R$ 的圆采用弧长参数

$$\mathbf r(s)=\left(R\cos\frac sR,R\sin\frac sR,0\right).$$

计算可得

$$\mathbf T=\left(-\sin\frac sR,\cos\frac sR,0\right),\quad \mathbf T'=\frac1R\left(-\cos\frac sR,-\sin\frac sR,0\right).$$

因此 $\kappa=1/R$，$\mathbf N=-(\cos(s/R),\sin(s/R),0)$。副法向量恒为 $\mathbf B=(0,0,1)$，所以 。圆在平面内弯曲，却不离开它的密切平面。

平面曲线：挠率为零

若 $\mathbf r(t)=(x(t),y(t),0)$，那么 $\mathbf r'$、$\mathbf r''$、 都位于同一个二维平面内，三阶行列式为零。只要曲率非零，挠率公式立即给出 。

这不是说平面曲线没有法向变化，而是说副法向量不沿曲线扭出平面；$\mathbf B$ 可以保持常向量。比如抛物线

$$\mathbf r(t)=(t,t^2,0)$$

的曲率为

$$\kappa(t)=\frac{2}{(1+4t^2)^{3/2}},\qquad \tau(t)=0.$$

它在顶点附近弯得更急，远离顶点则曲率减小，但始终没有三维扭转。

螺旋：同时弯曲和扭转

考虑圆柱面上的螺旋

$$\mathbf r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt),\qquad a>0.$$

它不是弧长参数，但速率为常数 $v=\sqrt{a^2+b^2}$，使用一般参数公式最省力。各阶导数为

$$\begin{aligned} \mathbf r'&=(-a\sin t,a\cos t,b),\\ \mathbf r''&=(-a\cos t,-a\sin t,0),\\ \mathbf r'''&=(a\sin t,-a\cos t,0). \end{aligned}$$

叉积的长度是 $\lVert\mathbf r'\times\mathbf r''\rVert=a\sqrt{a^2+b^2}$。代入曲率公式：

$$\kappa=\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{(a^2+b^2)^{3/2}} =\frac a{a^2+b^2}.$$

再算行列式，$\det(\mathbf r',\mathbf r'',\mathbf r''')=a^2b$，所以

$$\tau=\frac{a^2b}{a^2(a^2+b^2)}=\frac b{a^2+b^2}.$$

当 $b=0$ 时恢复圆：$\kappa=1/a$、$\tau=0$。当 $a$ 固定而 $|b|$ 变大时，螺旋轴向推进更快，曲率和挠率都按同一个长度尺度衰减；改变 $$ 的符号会反转扭转方向。

完整例题：从 Frenet 方程检查螺旋

对单位螺旋

$$\mathbf r(t)=\left(\frac1{\sqrt2}\cos t,\frac1{\sqrt2}\sin t,\frac t{\sqrt2}\right)$$

求 $\kappa,\tau$，并检查 Frenet 方程至少在 $\mathbf T'$ 和 $\mathbf B'$ 两处成立。

方法选择上，曲线给的是普通参数，且速率为常数 $1$，所以它恰好也是弧长参数；先用导数直接构造标架，再用公式交叉核对，能够同时检查数值和方向。

尝试改变螺旋的半径和轴向步长，先预测曲率与挠率的变化，再用公式验证。保持 $a^2+b^2$ 不变时，曲线的总速度尺度不变，但 $a$ 与 $b$ 的分配会改变弯曲与扭转的比例；这比只看三维图像更能区分两个不变量。

4. 参数不变量与方向

设 $\widetilde{\mathbf r}(u)=\mathbf r(\phi(u))$ 是正则重参数化。若 $\phi'>0$，它保持曲线方向，弧长函数满足 ，因此 、。这里的“相同”要理解为沿同一点对应取值；它们作为函数的自变量名字当然换了。

若 $\phi'<0$，方向反转。单位切向量变成 $\widetilde{\mathbf T}=-\mathbf T$，主法向量保持为对应的 $\mathbf N$，副法向量变成 。由于弧长导数本身也同时反向，挠率的两个符号变化会相互抵消。所以

$$\widetilde\kappa=\kappa,\qquad \widetilde\tau=\tau.$$

曲率是无方向的；挠率虽然记录三维扭转的手性，但在普通的正则重参数化下也是参数不变量。空间平移或旋转不改变 $\kappa(s)$ 与 $\tau(s)$；若发生镜像反射，空间定向被翻转，挠率符号会相应改变。长度缩放则不同：把整条曲线放大 $\lambda>0$ 倍时，曲率和挠率都缩小为原来的 $1/\lambda$。因此“参数不变量”不等于“所有几何变换下都不变”。

在适当的光滑性、$\kappa>0$ 和初始标架条件下，给定同一弧长区间上的 $\kappa(s)$ 与 $\tau(s)$，Frenet 方程会确定曲线，差别至多是一个刚体运动。这个结论解释了为什么曲率和挠率足以描述空间曲线的局部形状；本章只使用它来理解不变量的意义，不把它当作无需条件的分类定理。

练习

练习 1（理解：曲率公式）

说明为什么直线 $\mathbf r(t)=\mathbf p+t\mathbf v$（$\mathbf v\ne0$）的曲率为零。

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$\mathbf r'=\mathbf v$、$\mathbf r''=\mathbf0$，因此 $\mathbf r'\times\mathbf r''=\mathbf0$。代入 得 。从单位切向量看， 为常向量，也说明方向没有改变。

练习 2（应用：平面抛物线）

对 $\mathbf r(t)=(t,3t^2,0)$，求曲率，并判断挠率。

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$\mathbf r'=(1,6t,0)$、$\mathbf r''=(0,6,0)$，所以叉积长度为 ，速率为 。故 。三阶导数为零，且曲线完全位于 平面，所以 。

练习 3（应用：圆柱螺旋）

对 $\mathbf r(t)=(2\cos t,2\sin t,3t)$，求 $\kappa$ 和 $\tau$，并说明它是否为单位速率参数。

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这是螺旋公式中 $a=2,b=3$ 的情形，因此 $\kappa=2/(4+9)=2/13$、$\tau=3/13$。速率为 ，不是单位速率；弧长参数为 加上起点常数。

练习 4（迁移：验证 Frenet 方程）

设单位速率曲线满足 $\mathbf T'=\kappa\mathbf N$，且 $\kappa>0$。只用 $\mathbf T\cdot\mathbf N=0$ 和单位长度条件，推导 $\mathbf N'$ 在 方向上的系数。

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对 $\mathbf T\cdot\mathbf N=0$ 求导，得到 $\mathbf T'\cdot\mathbf N+\mathbf T\cdot\mathbf N'=0$。代入 后，第一项为 ，故 。由于 是单位基向量， 在 方向上的系数就是 。

练习 5（迁移：方向反转）

一条曲线的曲率恒为 $2$，挠率恒为 $1$。将参数方向反转后，新的曲率和挠率分别是什么？若把曲线做空间镜像，再问一次呢？

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参数方向反转不改变曲率，且弧长导数和副法向量同时反向，挠率仍为 $1$；只是 $\mathbf T$ 与 $\mathbf B$ 的方向翻转。空间镜像保持曲率 $2$，但翻转空间定向，所以挠率变为 $-1$。

6

哪一项最能说明挠率不是‘弯曲程度’的另一种写法？

A.圆的曲率可以为零B.平面曲线可以有非零曲率但挠率为零C.直线的速率依赖参数D.弧长参数总是存在