第 4 章第一基本形式：长度、角度与面积｜微分几何 I | 自在学

第 4 章第一基本形式：长度、角度与面积

把一张有经纬线的地图铺在桌面上，地图上的两条小路夹角是 60°；现在把地图卷成圆柱，路的位置没有被撕裂，角度还应该是 60° 吗？如果把地图拉伸成一个弯曲的薄片，原来相邻的网格边长又怎样计算？

这一章要建立的工具，正是把曲面上的坐标变化翻译成长度、角度和面积的规则。它只看曲面内部的测量方式，不需要先知道曲面在空间里弯成什么形状。我们会把切向量的内积整理成三个系数 $E,F,G$ ，并弄清楚为什么它们在换参数后会按矩阵规则变化。

从参数曲面读出测量规则

设 $U\subset\mathbb R^2$ 是开集，

r:U\longrightarrow\mathbb R^3,\qquad (u,v)\longmapsto r(u,v)

是一个 $C^1$ 参数化。我们要求 $r_u$ 与 $r_v$ 在每一点线性无关；这就是正则性条件。它保证参数平面中的两个独立方向，经过 $r$ 后仍给出曲面上两个独立的切向方向。于是

T_{r(u,v)}S=\operatorname{span}\{r_u,r_v\}.

如果曲面上的曲线写成

\alpha(t)=r(u(t),v(t)),

链式法则给出

\alpha'(t)=r_u\,u'(t)+r_v\,v'(t).

记坐标速度向量为 $\dot q=(u',v')^{\mathsf T}$ 。曲线在空间中的速度平方是

\begin{aligned} |\alpha'|^2 &=\langle r_u u'+r_v v',r_u u'+r_v v'\rangle\\ &=\langle r_u,r_u\rangle (u')^2 +2\langle r_u,r_v\rangle u'v' +\langle r_v,r_v\rangle (v')^2. \end{aligned}

因此定义

E=\langle r_u,r_u\rangle,\qquad F=\langle r_u,r_v\rangle,\qquad G=\langle r_v,r_v\rangle,

并把矩阵

g_I=\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}

称为第一基本形式的矩阵。这里的下标 $I$ 只是提醒我们这是第一基本形式；它不是一个新的坐标。

于是速度平方可以压缩成

|\alpha'|^2=\dot q^{\mathsf T}g_I\dot q =E(u')^2+2Fu'v'+G(v')^2.

这条式子不是记号游戏。它说的是：只要知道曲面在某个坐标点的 $E,F,G$ ，就能从坐标速度算出真实的空间速度。

第 4 章教学图 1

图示说明：参数平面网格经过参数化后成为曲面上的两族坐标曲线， $r_u,r_v$ 是网格边在曲面上的切向量。

正定性不是额外装饰

第一基本形式必须能把每个非零切向方向的长度平方算成正数。设 $a,b$ 不全为零，则

\begin{aligned} a^2E+2abF+b^2G &=\langle ar_u+br_v,ar_u+br_v\rangle\\ &=|ar_u+br_v|^2. \end{aligned}

正则性说明 $ar_u+br_v\neq0$ ，所以这个数严格大于零。因而 $g_I$ 正定。

也可以从 $E,F,G$ 直接检查这一点。因为 $E=|r_u|^2>0$ ，而柯西—施瓦茨不等式给出

F^2=\langle r_u,r_v\rangle^2\le |r_u|^2|r_v|^2=EG.

等号成立当且仅当 $r_u,r_v$ 线性相关；正则性排除了等号，所以

E>0,\qquad EG-F^2>0.

这两个不等式也说明了一个重要边界：如果 $EG-F^2=0$ ，参数化在该点退化，不能把它当作正常的曲面坐标使用。

第 4 章教学图 2

图示说明：同一个切向量在正定度量下的长度平方只能为正；退化时会出现非零坐标方向被压成零向量的情形。

行列式与叉积面积

第一基本形式还记录了 $r_u,r_v$ 张成的平行四边形面积。由向量恒等式

|r_u\times r_v|^2=|r_u|^2|r_v|^2-\langle r_u,r_v\rangle^2

以及 $E=|r_u|^2,F=\langle r_u,r_v\rangle,G=|r_v|^2$ ，得到

|r_u\times r_v|^2=EG-F^2=\det(g_I).

这一步可以逐项看清楚：叉积长度的平方先给出两个切向量长度平方的乘积，再减去它们内积平方；把三个定义代入后，恰好变成 $2\times2$ 矩阵的行列式。

第 4 章教学图 3

图示说明： $r_u,r_v$ 在切平面上围成的平行四边形，其面积平方等于第一基本形式矩阵的行列式。

长度、角度和面积

曲线长度

若 $\alpha:[a,b]\to S$ 是 $C^1$ 曲线，且 $\alpha(t)=r(u(t),v(t))$ ，定义它的长度为

L(\alpha)=\int_a^b|\alpha'(t)|\,dt =\int_a^b\sqrt{E(u')^2+2Fu'v'+G(v')^2}\,dt.

这里要求参数曲线分段 $C^1$ ，这样速度在有限个点出现不光滑也不影响积分。若换一个单调 $C^1$ 参数 $t=t(s)$ ，曲线的几何轨迹不变，长度也不变。原因不是“参数不重要”这么笼统，而是速度和微元会同时变换：

\frac{d\alpha}{ds}=\frac{d\alpha}{dt}\frac{dt}{ds},\qquad ds=\left|\frac{ds}{dt}\right|dt.

因此

\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|ds =|\alpha'(t)|\left|\frac{dt}{ds}\right|\left|\frac{ds}{dt}\right|dt =|\alpha'(t)|dt.

如果参数反向，绝对值正好消除方向改变；如果参数不是单调的，必须分段处理，不能把它当作一次合法的坐标替换。

角度

曲面上同一点的两个切向量

X=a r_u+b r_v,\qquad Y=c r_u+d r_v

的内积为

\langle X,Y\rangle=(a,b)g_I\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}.

由于 $g_I$ 正定，非零向量的长度不为零，于是夹角 $\theta\in[0,\pi]$ 可以定义为

\cos\theta=\frac{\langle X,Y\rangle}{\sqrt{\langle X,X\rangle}\sqrt{\langle Y,Y\rangle}}.

特别地，坐标曲线 $u=\text{常数}$ 与 $v=\text{常数}$ 的切向量分别是 $r_v,r_u$ ，它们正交当且仅当。所以衡量的是两族坐标线是否斜交，而不只是一个需要代入的系数。

第 4 章教学图 4

图示说明： $F$ 控制两条坐标曲线的夹角； $F=0$ 时，坐标网格在切平面内正交。

面积

把参数小矩形 $[u,u+\Delta u]\times[v,v+\Delta v]$ 映到曲面上。对足够小的增量，像区域的一阶近似是由 $\Delta u\,r_u$ 与张成的平行四边形，其面积近似为

|r_u\times r_v|\,\Delta u\,\Delta v =\sqrt{EG-F^2}\,\Delta u\,\Delta v.

取极限便得到曲面面积元

dA=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv=\sqrt{\det(g_I)}\,du\,dv.

这个公式在正则性条件下成立，因为正则性保证 $r_u\times r_v\neq0$ ，面积密度不会因为坐标退化而失去意义。

第 4 章教学图 5

图示说明：参数小矩形在曲面上的一阶像是切平面内的平行四边形，面积密度为 $\sqrt{EG-F^2}$ 。

参数变换与矩阵变换律

同一个曲面片可以有两套坐标。设旧参数化为 $r(u,v)$ ，新参数化写成

\widetilde r(s,t)=r(u(s,t),v(s,t)).

令

A=\frac{\partial(u,v)}{\partial(s,t)} =\begin{pmatrix}u_s&u_t\\v_s&v_t\end{pmatrix}.

链式法则给出

\widetilde r_s=r_u u_s+r_v v_s,\qquad \widetilde r_t=r_u u_t+r_v v_t.

若把 $B=[r_u\ \ r_v]$ 看成列向量组成的矩阵，那么

[\widetilde r_s\ \ \widetilde r_t]=BA.

新坐标下的第一基本形式矩阵因此是

\widetilde g_I=(BA)^{\mathsf T}(BA)=A^{\mathsf T}g_IA.

每一步的依据都很具体： $BA$ 来自一阶偏导的链式法则；转置乘积来自内积矩阵；没有引入新的几何假设。

行列式也随之变化：

\det(\widetilde g_I)=\det(A^{\mathsf T})\det(g_I)\det(A) =(\det A)^2\det(g_I).

于是

\sqrt{\det(\widetilde g_I)}=|\det A|\sqrt{\det(g_I)}.

而坐标面积元满足 $ds\,dt=|\det A|^{-1}du\,dv$ ，两者相乘后面积不变。这正是二重积分中的 Jacobian 变换在曲面测量中的版本。

第 4 章教学图 6

图示说明：同一块曲面由两套坐标网格覆盖，系数矩阵按 $\widetilde g_I=A^{\mathsf T}g_IA$ 变换，但长度和面积不变。

完整例题：球面的纬线、经线与面积

考虑半径为 $R>0$ 的球面，用经度 $\theta$ 和余纬度 $\varphi$ 参数化：

r(\theta,\varphi)=\bigl(R\sin\varphi\cos\theta,\ R\sin\varphi\sin\theta,\ R\cos\varphi\bigr),

其中 $0<\varphi<\pi$ 。求第一基本形式、纬线长度和球冠面积。

方法选择

这里直接计算 $r_\theta,r_\varphi$ 最合适：问题同时问长度和面积，而 $E,F,G$ 一旦得到，两个答案都由同一组数据给出。只用空间几何公式会得到结果，却看不见它们如何从曲面坐标中出现。

对两个参数求偏导，得到

r_\theta=(-R\sin\varphi\sin\theta,\ R\sin\varphi\cos\theta,\ 0),

在交互中可以改变切向量的坐标分量，观察 $g_I$ 如何把参数平面中的单位圆变成长度椭圆。动手前先预测：当 $F\neq0$ 时，椭圆的主轴为什么通常不再沿坐标轴？观察结果时要回到二次型 $E a^2+2Fab+G b^2$ ，不要只看图形的旋转。

这里可以比较笛卡尔坐标与极坐标对同一平面区域的描述。请先猜两套坐标算出的面积是否一致，再改变 $\rho$ 的范围和角度范围，观察 $(\det A)^2$ 如何补偿新坐标的面积密度；当 $\rho=0$ 时要特别注意极坐标参数化退化。

练习

练习 1：理解正定性

设 $r_u,r_v$ 在线性上无关。下列关于 $E,F,G$ 的说法，正确的是哪一项？

设 r_u,r_v 线性无关，哪项必然成立？

练习 2：应用第一基本形式

在单位球面上，取余纬度 $\varphi=\pi/3$ 的纬线。求它的长度。

练习 3：参数变换

平面用极坐标参数化 $r(\rho,\theta)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,0)$ 。求 $E,F,G$ ，并说明 $\rho=0$ 为什么不能作为正则坐标点。

练习 4：迁移到一般二次型

某点的第一基本形式为 $ds^2=4\,du^2+4\,du\,dv+3\,dv^2$ 。判断它是否可能来自正则曲面的第一基本形式，并求坐标方向的长度平方。

练习 5：检查不变量

若新坐标 $(s,t)$ 与旧坐标 $(u,v)$ 的 Jacobian 矩阵 $A=\partial(u,v)/\partial(s,t)$ 在某点满足，旧坐标下，求新坐标下的面积密度平方。

第 4 章教学图 7

第 4 章教学图 8

看到 $E,F,G$ 时，不要只把它们当作三个要代入公式的字母。正则性给出 $E>0$ 与 $EG-F^2>0$ ，这两个条件决定了“长度”确实是长度；而是否为零，决定坐标网格是否正交。若跳过这些条件，后面的面积和角度公式可能被用在退化参数化上。

\det A=-2

第 4 章 第一基本形式：长度、角度与面积