稳恒电流与基尔霍夫定律

导线中的电荷运动形成了电流，日常生活中几乎一切用电设备都依赖稳定的电流维持工作。从微观上看，电流的本质是大量自由电子在电场驱动下的定向漂移；从宏观上看，电流在电路中的分配遵循两条严格的守恒定律——基尔霍夫定律。掌握这两方面的知识，既能理解导体导电的本质原因，又能对复杂电路进行定量分析。

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电流与电流密度

电流的定义

单位时间内通过导体横截面的电荷量称为电流，用 $I$ 表示：

$I = \frac{q}{t}$

电流的单位是安培（A）。在实际测量中，还常用毫安（mA）和微安（μA）：

电流是标量，但有方向。规定正电荷定向移动的方向为电流方向。在金属导体中，实际是自由电子在移动，电子移动方向与电流方向相反。

电流密度

对于粗细不均匀的导体，不同截面处通过相同的电流，但各截面单位面积承载的电流大小不同。为描述这一差异，引入电流密度 $j$，定义为单位面积上流过的电流：

$j = \frac{I}{S}$

$j$ 的单位是 A/m²，方向与该点电流方向相同。

电流密度与微观量之间存在一个重要关系。设导体单位体积内的自由电子数（载流子浓度）为 $n$，每个电子电荷量为 $e$，电子的定向漂移速度为 $v_d$，则：

$j = nev_d$

例题1　一根铜导线横截面积 $S = 1\,\text{mm}^2 = 1\times10^{-6}\,\text{m}^2$，通过电流 $I = 2\,\text{A}$，铜的自由电子浓度 $n = 8.5\times10^{28}\,\text{m}^{-3}$，$e = 1.6\times10^{-19}\,\text{C}$。求电子的漂移速度。

由 $j = nev_d$ 和 $j = I/S$：

$v_d = \frac{j}{ne} = \frac{I}{neS} = \frac{2}{8.5\times10^{28} \times 1.6\times10^{-19} \times 1\times10^{-6}}$

$v_d = \frac{2}{1.36\times10^4} \approx 1.47\times10^{-4}\,\text{m/s}$

可见漂移速度极小，不足 $0.15\,\text{mm/s}$，这正说明电流传导靠的是电场信号的传播，而非电子本身的快速移动。

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欧姆定律的微观解释

宏观欧姆定律

宏观实验表明，通过导体的电流与导体两端的电压成正比，即：

$U = IR$

其中 $R$ 是导体的电阻，单位为欧姆（Ω）。这就是欧姆定律的基本形式。

对于长度为 $L$、横截面积为 $S$ 的均匀导体，其电阻与材料的电阻率 $\rho$ 的关系为：

$R = \rho \frac{L}{S}$

常见导体材料的电阻率如下：

微观解释

在微观层面，欧姆定律的成立有其物理根源。金属晶格中的正离子（原子实）形成规则排列的阵列，自由电子在其中运动时，会频繁与晶格振动（声子）发生碰撞，每次碰撞后速度方向随机化，动量损失。设两次碰撞之间的平均时间（弛豫时间）为 $\tau$，自由电子质量为 $m$，载流子浓度为 $n$，则电阻率的微观表达式为：

$\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$

这一公式揭示了电阻率的物理本质：

例题2　一段铜导线，长度 $L = 10\,\text{m}$，横截面积 $S = 0.5\,\text{mm}^2 = 0.5\times10^{-6}\,\text{m}^2$，铜的电阻率 $\rho = 1.7\times10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$。求该导线的电阻，并计算当通过电流 $I = 4\,\text{A}$ 时，导线两端的电压。

$R = \rho\frac{L}{S} = 1.7\times10^{-8} \times \frac{10}{0.5\times10^{-6}} = 1.7\times10^{-8} \times 2\times10^7 = 0.34\,\Omega$

$U = IR = 4 \times 0.34 = 1.36\,\text{V}$

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基尔霍夫定律

实际电路往往不是简单的单回路，而是包含多个支路和节点的复杂网络。对这类复杂电路，单纯依靠欧姆定律难以求解。基尔霍夫提出的两条定律，提供了系统分析复杂电路的工具。

基本概念

分析电路之前，需要明确以下几个术语：

基尔霍夫电流定律（KCL）

KCL（Kirchhoff's Current Law）：在任意节点处，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

$\sum I_{\text{流入}} = \sum I_{\text{流出}}$

等价形式：规定流入为正、流出为负，则节点处所有支路电流的代数和为零：

$\sum I = 0$

KCL 的物理依据是电荷守恒：稳恒电路中，节点处不积累电荷，流入多少就流出多少。

例题3　某节点连接四条支路，已知：$I_1 = 3\,\text{A}$（流入）、$I_2 = 1\,\text{A}$（流入）、$I_3 = 2\,\text{A}$（流出），求第四条支路的电流 $I_4$ 的大小与方向。

由 KCL，流入等于流出：

$I_1 + I_2 = I_3 + I_4$

$3 + 1 = 2 + I_4 \implies I_4 = 2\,\text{A}，\text{方向为流出节点}$

基尔霍夫电压定律（KVL）

KVL（Kirchhoff's Voltage Law）：沿任意闭合回路一圈，各段电压的代数和为零。

$\sum U = 0$

具体操作规则如下：

KVL 的物理依据是能量守恒：电场力沿闭合路径做功的总和为零，这是静电场保守性的直接体现。

例题4　一个简单回路中，有一个电动势 $\varepsilon = 12\,\text{V}$（内阻 $r = 1\,\Omega$）的电源，串联外部电阻 $R_1 = 3\,\Omega$ 和 $R_2 = 2\,\Omega$。用 KVL 求回路中的电流。

设回路中电流为 $I$，沿电流方向绕行一圈，KVL 方程为：

$\varepsilon - Ir - IR_1 - IR_2 = 0$

$12 - I(1 + 3 + 2) = 0 \implies I = \frac{12}{6} = 2\,\text{A}$

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含源电路的分析

等效电阻

当多个电阻组合在一起时，可以用一个等效电阻来替代整个组合，使外部电路的电流和电压关系保持不变。

串联电路：多个电阻首尾相连，通过相同的电流：

$R_{\text{串}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n$

并联电路：多个电阻两端分别连接在一起，两端电压相同：

$\frac{1}{R_{\text{并}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}$

对于两个电阻并联，有简便公式：

$R_{\text{并}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

串联与并联的主要特征对比：

等效电动势

对于含有多个电源的电路，可以将电源组合化简。两个电动势同向串联时，等效电动势为两者之和：

$\varepsilon_{\text{eq}} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2，\quad r_{\text{eq}} = r_1 + r_2$

两个电动势反向串联时，等效电动势为两者之差（取较大者方向为正）：

$\varepsilon_{\text{eq}} = \varepsilon_1 - \varepsilon_2，\quad r_{\text{eq}} = r_1 + r_2$

例题5　两节电池同向串联：$\varepsilon_1 = 6\,\text{V}$（内阻 $r_1 = 0.5\,\Omega$），$\varepsilon_2 = 4\,\text{V}$（内阻 $r_2 = 0.5\,\Omega$），外接电阻 $R = 9\,\Omega$。求电路中的电流和外电阻两端的电压。

等效电动势：$\varepsilon_{\text{eq}} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 6 + 4 = 10\,\text{V}$

等效内阻：$r_{\text{eq}} = r_1 + r_2 = 0.5 + 0.5 = 1\,\Omega$

回路电流：

$I = \frac{\varepsilon_{\text{eq}}}{R + r_{\text{eq}}} = \frac{10}{9 + 1} = 1\,\text{A}$

外电阻两端电压：

$U_R = IR = 1 \times 9 = 9\,\text{V}$

内阻总压降：$U_r = I \cdot r_{\text{eq}} = 1 \times 1 = 1\,\text{V}$，验证：$9 + 1 = 10\,\text{V} = \varepsilon_{\text{eq}}$，满足 KVL。

例题6　混联电路中，$R_1 = 6\,\Omega$，$R_2 = 6\,\Omega$，$R_3 = 3\,\Omega$，$R_2$ 与 $R_3$ 并联后再与 $R_1$ 串联，电源电动势 $\varepsilon = 12\,\text{V}$，内阻忽略。求各元件中的电流。

$R_2$ 与 $R_3$ 的并联等效电阻：

$R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = 2\,\Omega$

总电阻：$R_{\text{总}} = R_1 + R_{23} = 6 + 2 = 8\,\Omega$

总电流（即流过 $R_1$ 的电流）：

$I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{总}}} = \frac{12}{8} = 1.5\,\text{A}$

$R_{23}$ 两端电压：$U_{23} = I \cdot R_{23} = 1.5 \times 2 = 3\,\text{V}$

$I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{3}{6} = 0.5\,\text{A}，\quad I_3 = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{3}{3} = 1\,\text{A}$

验证（KCL）：$I_2 + I_3 = 0.5 + 1 = 1.5\,\text{A} = I$，结果正确。

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练习题

选择题

1． 一段金属导线的电阻率与下列哪个因素无关？（　）

A. 导线所处的温度

B. 导线的长度

C. 导线材料的种类

D. 导线中存在的杂质含量

显示答案

答案：B

电阻率 $\rho$ 是材料的固有属性，与温度、材料种类、杂质含量有关，但与导线的几何尺寸（长度、横截面积）无关。电阻 $R = \rho L/S$ 才与长度有关，而 $\rho$ 本身不随长度改变。选 B。

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2． 某节点处有三条支路汇合：$I_1 = 5\,\text{A}$ 流入，$I_2 = 2\,\text{A}$ 流出，$I_3$ 方向未知。根据 KCL，$I_3$ 为（　）

A. $7\,\text{A}$，流出

B. $3\,\text{A}$，流入

C. $3\,\text{A}$，流出

D. $7\,\text{A}$，流入

显示答案

答案：C

根据 KCL，流入等于流出：$I_1 = I_2 + I_3$，即 $5 = 2 + I_3$，解得 $I_3 = 3\,\text{A}$，方向为流出节点。选 C。

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3． 两个电阻 $R_1 = 4\,\Omega$，$R_2 = 12\,\Omega$ 并联后接在电压 $U = 6\,\text{V}$ 的电源上，流过 $R_1$ 的电流为（　）

A. $0.375\,\text{A}$

B. $0.5\,\text{A}$

C. $1.5\,\text{A}$

D. $2.0\,\text{A}$

显示答案

答案：C

并联电路中，各支路电压相同，均等于电源电压 $U = 6\,\text{V}$：

$I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{6}{4} = 1.5\,\text{A}$

选 C。

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4． 金属导体的电阻率随温度升高而增大，其微观原因是（　）

A. 温度升高使自由电子数目增多

B. 温度升高使自由电子质量增大

C. 温度升高使晶格振动加剧，弛豫时间 $\tau$ 减小，碰撞频率增大

D. 温度升高使导体膨胀，横截面积增大，导电能力减弱

显示答案

答案：C

由微观公式 $\rho = m/(ne^2\tau)$，温度升高时晶格振动加剧，电子与晶格的碰撞更频繁，弛豫时间 $\tau$ 减小，导致 $\rho$ 增大。金属中自由电子数目基本不随温度变化；选项 B 不符合物理事实；选项 D 的推理方向错误（导体膨胀截面增大理论上应使电阻减小，但此效应远小于碰撞效应）。选 C。

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计算题

5． 电源电动势 $\varepsilon = 9\,\text{V}$，内阻 $r = 1\,\Omega$。外电路由三个电阻组成：$R_1 = 2\,\Omega$ 与电源串联，$R_2 = 6\,\Omega$ 和 $R_3 = 3\,\Omega$ 并联后再与 $R_1$ 串联。

（1）求外电路的等效电阻及回路总电流；

（2）求 $R_2$ 和 $R_3$ 各自流过的电流。

显示答案

解题过程：

(1) $R_2$ 与 $R_3$ 的并联等效电阻：

$R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = 2\,\Omega$

外电路等效电阻：

$R_{\text{外}} = R_1 + R_{23} = 2 + 2 = 4\,\Omega$

回路总电流：

$I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{外}} + r} = \frac{9}{4 + 1} = 1.8\,\text{A}$

(2) $R_{23}$ 两端电压：

$U_{23} = I \cdot R_{23} = 1.8 \times 2 = 3.6\,\text{V}$

$R_2$ 的电流：

$I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{3.6}{6} = 0.6\,\text{A}$

$R_3$ 的电流：

$I_3 = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{3.6}{3} = 1.2\,\text{A}$

验证（KCL）：$I_2 + I_3 = 0.6 + 1.2 = 1.8\,\text{A} = I$，满足基尔霍夫电流定律。

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6． 两节电池反向串联（两电动势方向相反），$\varepsilon_1 = 10\,\text{V}$，$r_1 = 1\,\Omega$，$\varepsilon_2 = 4\,\text{V}$，$r_2 = 1\,\Omega$，外接电阻 $R = 6\,\Omega$。

（1）求回路电流 $I$；

（2）求 $\varepsilon_1$ 的路端电压（即 $\varepsilon_1$ 正负极之间的实际电压）。

显示答案

解题过程：

(1) 两电池反向串联，等效电动势取两者之差（取 $\varepsilon_1$ 方向为正）：

$\varepsilon_{\text{eq}} = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 = 10 - 4 = 6\,\text{V}$

等效内阻：

$r_{\text{eq}} = r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2\,\Omega$

回路电流：

$I = \frac{\varepsilon_{\text{eq}}}{R + r_{\text{eq}}} = \frac{6}{6 + 2} = 0.75\,\text{A}$

(2) $\varepsilon_1$ 的路端电压等于其电动势减去自身内阻上的压降：

$U_1 = \varepsilon_1 - I r_1 = 10 - 0.75 \times 1 = 9.25\,\text{V}$

此即 $\varepsilon_1$ 放电时两端的实际电压。验证：外电阻压降 $U_R = IR = 0.75 \times 6 = 4.5\,\text{V}$，$\varepsilon_2$ 内阻压降 $= 0.75 \times 1 = 0.75\,\text{V}$，回路 KVL：$\varepsilon_1 - \varepsilon_2 = I(R + r_1 + r_2)$，即 $6 = 0.75 \times 8 = 6\,\text{V}$，验证正确。