交流电路

发电厂输送到千家万户的电，不是直流电，而是交流电。交流电（AC, Alternating Current）与直流电（DC, Direct Current）最大的不同在于，它的电压与电流会随着时间以正弦规律周期性变化，不再恒定。交流电每隔一定时间（一个周期）就会改变方向，这种特性使它在远距离输电、变压以及各种电气设备中的应用变得更加方便和高效。

由于交流电的幅值和方向不断变化，分析交流电路时不能像直流电路那样只考虑恒定的电压和电流，而需要用到相量法、有效值和频率等新的物理量和数学工具。这不仅改变了计算方法，也让交流电路呈现出许多独特的现象，例如电流与电压之间可能出现的相位差，以及感抗、容抗等只存在于交流领域的重要概念。

掌握交流电路的基本规律，不仅是理解现代电力系统（如变压、配电和电能传输）的前提，也是深入理解音响设备、电机、家用电器，以及无线通信、电磁波等更广泛技术领域的基础。因此，学习交流电路具有极其重要和广泛的工程意义。

交流电的描述

交流电（Alternating Current，AC）的核心特征是大小和方向都随时间周期性变化。在工程和日常用电中，最常见的是正弦交流电，其波形是一条标准的正弦曲线。

正弦交流电的表达式

一个正弦交流电压可以写成：

$u = U_m \sin(\omega t + \varphi_0)$

其中 $U_m$ 是峰值（也叫振幅），$\omega$ 是角频率，$\varphi_0$ 是初相位。角频率与频率 $f$ 的关系为：

$\omega = 2\pi f$

中国电网的交流电频率为 $f = 50\ \text{Hz}$，对应角频率 $\omega = 100\pi\ \text{rad/s}$，周期 $T = 0.02\ \text{s}$。

下面出了正弦交流电的基本参数：

有效值与峰值

直流电的大小是恒定的，而交流电时刻在变化。为了描述交流电“做功的能力”，引入有效值（RMS 值）的概念：在相同时间内，交流电与某一直流电在同一电阻上产生相同的热量，则该直流电的大小就是此交流电的有效值。

对于正弦交流电，有效值与峰值的关系为：

$U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707\, U_m$

电流的有效值同理：

$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

示例一：一台电热水壶接在 $220\ \text{V}$ 的交流电上，额定功率为 $2200\ \text{W}$。

电流有效值：$I = P/U = 2200/220 = 10\ \text{A}$

电流峰值：$I_m = \sqrt{2}\,I \approx 14.1\ \text{A}$

电热丝电阻：$R = U/I = 220/10 = 22\ \Omega$

验证功率：$P = I^2 R = 10^2 \times 22 = 2200\ \text{W}$，结果吻合。

纯元件交流电路中的相位关系

在分析交流电路时，电压与电流之间不仅有大小关系，还存在相位差。纯电阻、纯电感、纯电容三类元件，各自的相位关系完全不同，这是交流电路区别于直流电路的核心特征。

纯电阻电路

电阻是最直接的元件。设施加的电压为 $u = U_m \sin\omega t$，则通过电阻的电流为：

$i = \frac{u}{R} = \frac{U_m}{R}\sin\omega t = I_m \sin\omega t$

电压与电流同相位，二者同时增大、同时减小、同时为零。有效值关系仍满足欧姆定律：

$U = IR, \quad I = \frac{U}{R}$

示例二：一个 $100\ \Omega$ 的电阻接在 $u = 200\sin(100\pi t)\ \text{V}$ 的交流电上。

电流瞬时值：$i = 200/100 \times \sin(100\pi t) = 2\sin(100\pi t)\ \text{A}$

电流有效值：$I = I_m/\sqrt{2} = 2/\sqrt{2} \approx 1.41\ \text{A}$

消耗功率：$P = UI = (200/\sqrt{2}) \times (2/\sqrt{2}) = 200\ \text{W}$

纯电感电路

电感的特性是“阻碍电流变化”。设通过电感的电流为 $i = I_m\sin\omega t$，则电感两端产生的感应电压为：

$u_L = L\frac{di}{dt} = \omega L I_m \cos\omega t = U_{Lm}\sin\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$

这说明：在纯电感电路中，电压超前电流 $90°$。

电感对交流电的阻碍作用用感抗 $X_L$ 来表示：

$X_L = \omega L = 2\pi f L$

感抗的单位是欧姆（$\Omega$）。频率越高，感抗越大，电感对交流电的阻碍越强。

示例三：一个电感量 $L = 0.1\ \text{H}$ 的线圈，先后接在 $f_1 = 50\ \text{Hz}$ 和 $f_2 = 500\ \text{Hz}$、电压有效值均为 的交流电上。

频率提高 10 倍，感抗增大 10 倍，电流减小为原来的十分之一，验证了频率与感抗的正比关系。

纯电容电路

电容的特性是“阻碍电压变化”。设电容两端电压为 $u = U_m\sin\omega t$，则通过电容的电流为：

$i = C\frac{du}{dt} = \omega C U_m \cos\omega t = I_m\sin\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$

在纯电容电路中，电流超前电压 $90°$（等价地说，电压滞后电流 $90°$）。

电容对交流电的阻碍作用用容抗 $X_C$ 表示：

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$

频率越高，容抗越小，电流越容易通过；频率越低，容抗越大。这正是电容“通交流、隔直流”特性的来源。

示例四：一个电容 $C = 100\ \mu\text{F} = 1 \times 10^{-4}\ \text{F}$ 接在 $f = 50\ \text{Hz}$、$U$ 的交流电上。

$X_C = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 10^{-4}} = \frac{1}{0.01\pi} \approx 31.8\ \Omega$

$I = \frac{U}{X_C} = \frac{100}{31.8} \approx 3.14\ \text{A}$

下表对三种纯元件的交流特性作了完整对比：

串联 RLC 电路与阻抗

实际电路中，电阻、电感、电容往往同时存在。串联 RLC 电路是分析复杂交流电路的基础模型，理解它是进一步学习滤波器、谐振回路的前提。

阻抗的推导

在串联 RLC 电路中，设电流为 $i = I_m\sin\omega t$，三个元件串联，因此流过相同的电流，但各自的电压相位不同：

$u_R = RI_m\sin\omega t$

$u_L = X_L I_m\sin\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$

$u_C = X_C I_m\sin\!\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)$

由于 $u_L$ 和 $u_C$ 相位相反，可以先合并：$u_L + u_C$ 的峰值为 。再利用将 与 进行矢量合成，得到总电压的峰值：

$U_m = I_m\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

定义串联 RLC 电路的阻抗 $Z$：

$Z = \frac{U}{I} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

电压与电流的相位差 $\varphi$ 满足：

$\tan\varphi = \frac{X_L - X_C}{R}$

当 $X_L > X_C$ 时，$\varphi > 0$，电路呈感性，电压超前电流；当 $X_L < X_C$ 时，，电路呈，电流超前电压；当 时，，电路发生谐振（后续详述）。

示例五：串联 RLC 电路中，$R = 30\ \Omega$，$L = 0.1\ \text{H}$，$C = 200\ \mu\text{F}$，接在 $f = 50\ \text{Hz}$、 的电路上。

$X_L = 2\pi \times 50 \times 0.1 \approx 31.4\ \Omega$

$X_C = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 200 \times 10^{-6}} \approx 15.9\ \Omega$

$Z = \sqrt{30^2 + (31.4 - 15.9)^2} = \sqrt{900 + 240.25} \approx 33.7\ \Omega$

$I = \frac{U}{Z} = \frac{220}{33.7} \approx 6.53\ \text{A}$

$\tan\varphi = \frac{31.4 - 15.9}{30} \approx 0.517 \implies \varphi \approx 27.4°$

电路呈感性，电压超前电流约 $27.4°$。

功率与功率因数

在交流电路中，只有电阻会真正消耗能量（转化为热量）。电感和电容只是周期性地储存和释放能量，本身不消耗。

有功功率（实际消耗的功率）定义为：

$P = UI\cos\varphi$

其中 $\cos\varphi$ 称为功率因数，$\varphi$ 为电压与电流的相位差。

功率因数越高，电源的利用效率越高。工业用电中通常要求功率因数不低于 $0.9$，方法是在感性负载（电动机、变压器等）旁并联适当的电容来补偿。

谐振与品质因数

串联 RLC 电路中有一个特殊状态：当感抗恰好等于容抗时，电路达到谐振，此时阻抗最小、电流最大，在无线电技术中有重要应用。

谐振频率

谐振条件为 $X_L = X_C$，即：

$\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$

解得谐振角频率：

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

对应的谐振频率：

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

谐振时，$X_L - X_C = 0$，阻抗 $Z = R$ 取得最小值，电流达到最大值：

$I_{max} = \frac{U}{R}$

示例六：已知 $L = 2.5\ \text{mH} = 2.5 \times 10^{-3}\ \text{H}$，$C = 10\ \text{nF} = 1 \times 10^{-8}\ \text{F}$。

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.5 \times 10^{-3} \times 10^{-8}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.5 \times 10^{-11}}}$

$= \frac{1}{2\pi \times 5 \times 10^{-6}} \approx \frac{10^6}{31.4} \approx 31.8\ \text{kHz}$

这个频率位于无线电中波段。收音机的调谐旋钮实质上是在改变可变电容的容量，从而移动谐振频率以“对准”不同的电台信号。

品质因数

品质因数 $Q$ 描述了谐振电路选频能力的强弱，定义为谐振时电感（或电容）上的电压与总电压之比：

$Q = \frac{U_L}{U} = \frac{X_{L0}}{R} = \frac{\omega_0 L}{R}$

也可以等价地表达为：

$Q = \frac{1}{\omega_0 RC} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

$Q$ 值的大小决定了谐振曲线的“尖锐程度”——$Q$ 值越大，谐振峰越窄，电路对谐振频率附近信号的选择性越强，响应越灵敏。

以调幅收音机为例，中波频段范围为 $535\ \text{kHz} \sim 1605\ \text{kHz}$，相邻电台间隔约 $9\ \text{kHz}$。若调谐电路的 $Q$ 值为 $50$，在 $1000\ \text{kHz}$ 处的通频带宽约为 $f_0\mathrm{/}Q=1000\mathrm{/}50=20$，能够覆盖一个电台的信号带宽（约 ），同时有效抑制相邻电台的干扰。

练习题

选择题

1. 交流发电机产生的正弦交流电，其有效值 $U$ 与峰值 $U_m$ 的关系是（　　）

A. $U = U_m$

B. $U = \sqrt{2}\,U_m$

C. $U = U_m/\sqrt{2}$

D. $U = 2U_m$

2. 在纯电感交流电路中，电压与电流的相位关系是（　　）

A. 电流超前电压 $90°$

B. 电压超前电流 $90°$

C. 二者同相

D. 二者反相

3. 串联 RLC 电路发生谐振时，下列说法正确的是（　　）

A. 电路阻抗最大，电流最小

B. 电路阻抗最小，电流最大

C. 电感电压与电容电压之和等于电源电压

D. 功率因数等于零

4. 某电容器的容抗随交流电频率变化的规律是（　　）

A. 频率越高，容抗越大

B. 频率越高，容抗越小

C. 容抗与频率无关

D. 频率越高，容抗先减小后增大

计算题

5. 某串联 RLC 电路中，$R = 40\ \Omega$，$X_L = 70\ \Omega$，$X_C = 40\ \Omega$，接在有效值 的交流电源上。求电路电流的有效值 、功率因数 及电路消耗的有功功率 。

6. 一台收音机的调谐电路中，电感 $L = 250\ \mu\text{H}$，可变电容的范围为 $C_{min} = 25\ \text{pF}$ 到 $C_{max} = 360\ \text{pF}$。求该调谐电路的谐振频率调节范围（即最高谐振频率 和最低谐振频率 ）。

第二步，计算电流有效值：

$I = \frac{U}{Z} = \frac{250}{50} = 5\ \text{A}$

第三步，计算功率因数：

$\cos\varphi = \frac{R}{Z} = \frac{40}{50} = 0.8$

第四步，计算有功功率：

$P = UI\cos\varphi = 250 \times 5 \times 0.8 = 1000\ \text{W}$

验证：$P = I^2 R = 5^2 \times 40 = 1000\ \text{W}$，结果一致。

由于 $X_L > X_C$，$\tan\varphi = (70-40)/40 = 0.75 > 0$，电路呈感性，电压超前电流。

换算：$L = 250\ \mu\text{H} = 2.5 \times 10^{-4}\ \text{H}$

当 $C = C_{min} = 25\ \text{pF} = 2.5 \times 10^{-11}\ \text{F}$ 时，谐振频率最高：

$f_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.5 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 10^{-11}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{6.25 \times 10^{-15}}}$

$= \frac{1}{2\pi \times 7.906 \times 10^{-8}} \approx \frac{1}{4.967 \times 10^{-7}} \approx 2013\ \text{kHz} \approx 2.01\ \text{MHz}$

当 $C = C_{max} = 360\ \text{pF} = 3.6 \times 10^{-10}\ \text{F}$ 时，谐振频率最低：

$f_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.5 \times 10^{-4} \times 3.6 \times 10^{-10}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{9 \times 10^{-14}}}$

$= \frac{1}{2\pi \times 3 \times 10^{-7}} \approx \frac{1}{1.885 \times 10^{-6}} \approx 530\ \text{kHz} \approx 0.53\ \text{MHz}$

该调谐电路的谐振频率范围约为 $530\ \text{kHz}$ 至 $2010\ \text{kHz}$，覆盖了中波广播频段（$535\ \text{kHz} \sim 1605\ \text{kHz}$），这正是调幅收音机中波段的工作原理。