相对论基础

日常经验里，速度可以相加：人在车上向前走，对地面的速度等于车速加步行速度。牛顿力学与伽利略变换正是在这种低速世界里建立起来的。

十九世纪末以来，精密实验表明真空中的光速并不随观察者运动而改变，经典时空观需要修正。狭义相对论在承认光速不变的前提下，重新描述了时间与空间、质量与能量的关系。这里从伽利略变换的局限出发，介绍洛伦兹变换下的时间膨胀与长度收缩、相对论质量与著名的质能关系，难度控制在能够建立清晰物理图像、并能完成基本计算的层面。

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伽利略变换与经典时空观

两个惯性系之间的坐标关系

取两个直角坐标系 $S$ 与 $S'$，对应轴互相平行，$S'$ 相对 $S$ 沿 $x$ 轴正方向以恒定速度 $v$ 平动。同一事件在两系中的时空坐标记为 $(x,y,z,t)$ 与 $(x',y',z',t')$。在经典力学中，通常假定时间与空间彼此独立，且时间对所有观察者相同（绝对时间）。在这一前提下，伽利略变换可写成下面三式：

$x' = x - vt$

$y' = y,\quad z' = z$

$t' = t$

对时间求导得到速度变换：若质点在 $S$ 中速度分量为 $(u_x, u_y, u_z)$，则在 $S'$ 中有 $u_x' = u_x - v$，$u_y' = u_y$，$u_z' = u_z$。这就是经典速度相加的来源。

示例一：$S'$ 系相对 $S$ 系以 $v = 20\ \text{m/s}$ 沿 $x$ 轴运动。小球在 $S'$ 中沿 $x'$ 轴以 $u_x' = 15\ \text{m/s}$ 运动，则在 $S$ 中：

$u_x = u_x' + v = 15 + 20 = 35\ \text{m/s}$

这与生活经验完全相符。

经典图景遇到的矛盾

麦克斯韦方程组给出真空中电磁波（光）的传播速度为 $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$，数值约为 $3.0 \times 10^8\ \text{m/s}$。若伽利略变换对光也成立，则静止观察者与沿光传播方向运动的观察者测到的光速应不同。十九世纪末的迈克耳孙—莫雷实验等一系列精密测量却表明：无论光源与观察者如何运动，真空中的光速在惯性系中测得的都是同一个常数 $c$。这与伽利略速度相加直接冲突。

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洛伦兹因子与洛伦兹变换

洛伦兹因子

定义无量纲量洛伦兹因子 $\gamma$（读作 gamma）：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$

其中 $v$ 是两惯性系之间的相对速率，$c$ 为真空光速。当 $v = 0$ 时，$\gamma = 1$；当 $v$ 增大时，$\gamma$ 单调增大并趋于无穷（当 $v \to c$）。下表给出几个典型比值下的 $\gamma$ 数值（可取 $c = 3.00 \times 10^8\ \text{m/s}$）：

示例二：某粒子相对实验室以 $v = 0.80c$ 运动，则：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.8^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.667$

沿 $x$ 方向的洛伦兹变换（形式了解）

与伽利略变换不同，时间与空间在洛伦兹变换中混合在一起。$S'$ 相对 $S$ 沿 $x$ 轴以速度 $v$ 运动时，常用的一组公式为：

$x' = \gamma(x - vt)$

$t' = \gamma\left(t - \dfrac{v}{c^2}x\right)$

（$y,y'$ 与 $z,z'$ 仍相等。）当 $v \ll c$ 时，$\gamma \approx 1$，且 $v x/c^2$ 项极小，近似回到 $x' = x - vt$，$t' = t$。这说明牛顿力学是相对论在低速下的极限。

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时间膨胀与长度收缩

时间膨胀

在相对事件静止的参考系中测得的两个时刻之间的间隔，称为固有时，记为 $\Delta t_0$。在相对该系以速度 $v$ 运动的参考系中，用同步好的钟去测同一过程的持续时间，得到：

$\Delta t = \gamma \Delta t_0$

因为 $\gamma \geq 1$，总有 $\Delta t \geq \Delta t_0$。运动参考系中的钟走得更慢，称为时间膨胀。

示例三：$\mu$ 子以接近 $c$ 的速度穿过大气层。在相对 $\mu$ 子静止的参考系里，它的平均寿命约为 $\Delta t_0 = 2.2\ \mu\text{s}$（微秒）。取 $v = 0.99c$，则 $\gamma \approx 7.09$，地面参考系中测得 $\mu$ 子从产生到衰变的时间约为：

$\Delta t \approx 7.09 \times 2.2\ \mu\text{s} \approx 15.6\ \mu\text{s}$

在这段时间内，$\mu$ 子可飞行的距离约为 $v \Delta t \approx 0.99c \times 15.6\ \mu\text{s}$，数量级为数千米，与实验观测一致；若不用时间膨胀，按 $2.2\ \mu\text{s}$ 估算只能飞约六百多米，与事实不符。

长度收缩

沿运动方向放置的杆，在相对杆静止的系中测得的长度为固有长度 $L_0$。在相对杆以速度 $v$ 沿杆长方向运动的参考系中，沿运动方向测得的长度为：

$L = \frac{L_0}{\gamma}$

即运动方向上的长度变短，称为长度收缩。垂直于相对运动方向的长度不变。

示例四：固有长度为 $L_0 = 100\ \text{m}$ 的列车，以 $v = 0.6c$ 相对地面匀速运动，$\gamma = 1.25$。地面观察者测得列车长度为：

$L = \frac{100}{1.25} = 80\ \text{m}$

车上乘客测量车身仍为 $100\ \text{m}$，这是同一物理事实在不同参考系下的不同描述，并不矛盾。

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相对论质量与动量

牛顿力学中动量 $\vec{p} = m_0 \vec{v}$，质量 $m_0$ 为常量。当粒子速度接近 $c$ 时，实验与理论都要求把动量写成：

$\vec{p} = \gamma m_0 \vec{v}$

其中 $m_0$ 为粒子静止质量（不变质量）。有时把 $\gamma m_0$ 记作相对论质量 $m$，即：

$m = \gamma m_0$

于是动量仍可写成 $\vec{p} = m\vec{v}$ 的形式，但 $m$ 随速率增大而增大。当 $v \to c$ 时，$\gamma \to \infty$，动量趋于无穷，因此有静止质量的粒子无法被加速到等于或超过光速。

示例五：电子静止质量 $m_0 = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$。当 $v = 0.99c$ 时，$\gamma \approx 7.09$，相对论质量约为：

$m = \gamma m_0 \approx 7.09 \times 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg} \approx 6.46 \times 10^{-30}\ \text{kg}$

约为静止质量的 $7$ 倍。高能粒子加速器中，电子、质子等常被加速到 $\gamma \gg 1$，此时经典动量公式不再适用，必须用 $\vec{p} = \gamma m_0 \vec{v}$。

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质能关系与核能

质能方程

狭义相对论给出总能量与静止质量的关系：

$E = \gamma m_0 c^2$

粒子静止时 $\gamma = 1$，静止能量为：

$E_0 = m_0 c^2$

这是著名的质能等价的一种表述：质量与能量是同一物理量的不同表现。任意质量 $m_0$ 哪怕静止，也对应一份巨大的能量 $m_0 c^2$，因为 $c^2$ 是很大的系数。

示例六：$1\ \text{g}$ 物质若全部转化为能量（理想情况），能量数量级为：

$E_0 = 10^{-3}\ \text{kg} \times (3 \times 10^8\ \text{m/s})^2 = 9 \times 10^{13}\ \text{J}$

相当于约 $2.1 \times 10^{10}\ \text{kWh}$ 量级（数量级估算即可），说明核反应中哪怕质量亏损很小，释放的能量仍极为可观。

质量亏损与结合能

原子核由核子（质子、中子）组成。实验发现，原子核的质量小于组成它的所有核子静止质量之和，其差值 $\Delta m$ 称为质量亏损。根据质能关系，核子结合成核时释放的能量（结合能）为：

$E_{\text{结合}} = \Delta m \cdot c^2$

重核裂变或轻核聚变中，末态粒子总静止质量小于初态，$\Delta m \gt 0$，因而对外释放能量，这就是核电站与恒星能量的来源之一。

下表对比化学燃烧与核反应的能量尺度（示意数量级）：

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练习题

选择题

1. 关于伽利略变换与狭义相对论，下列说法正确的是（　　）

A. 在任何速度下，$u_x' = u_x - v$ 都严格成立

B. 迈克耳孙—莫雷实验表明，真空中的光速与观察者的运动状态有关

C. 当 $v \ll c$ 时，洛伦兹变换近似回到伽利略变换

D. 狭义相对论认为存在绝对静止的“以太”参考系

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2. 某粒子相对实验室以速率 $v = 0.6c$ 运动，取 $c = 3.0 \times 10^8\ \text{m/s}$，则洛伦兹因子 $\gamma$ 为（　　）

A. $1.0$

B. $1.25$

C. $1.67$

D. $0.8$

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3. 静止在实验室中的 $\mu$ 子平均寿命为 $\Delta t_0$。当 $\mu$ 子相对实验室以高速运动时，实验室测得其平均寿命为 $\Delta t$，则（　　）

A. $\Delta t = \Delta t_0$，时间与运动无关

B. $\Delta t \lt \Delta t_0$，运动使寿命变短

C. $\Delta t \gt \Delta t_0$，运动参考系中时间变慢在实验室看来表现为寿命变长

D. $\Delta t$ 与 $\Delta t_0$ 的大小关系取决于 $\mu$ 子运动方向

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4. 关于质能关系 $E_0 = m_0 c^2$，下列说法正确的是（　　）

A. 只有核反应中才满足质能关系

B. 静止粒子没有能量

C. 质量亏损 $\Delta m$ 对应的能量释放为 $\Delta m \cdot c^2$

D. $c^2$ 是比例系数，说明质量与能量是两种无关的物理量

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计算题

5. 固有长度为 $L_0 = 90\ \text{m}$ 的飞船相对地面以 $v = 0.8c$ 匀速直线飞行。求地面参考系中测得飞船沿运动方向的长度 $L$。已知 $\sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$。

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6. 电子静止质量 $m_0 = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$，当它以 $v = 0.6c$ 运动时，求相对论因子 $\gamma$、相对论质量 $m = \gamma m_0$（用科学记数法表示），并计算其总能量 $E = \gamma m_0 c^2$（取 $c = 3.00 \times 10^8\ \text{m/s}$）。