电势与电势能

从电场强度出发，我们已经能够描述空间各点电场的强弱与方向。然而仅有电场强度还不够——带电粒子在电场中运动时，电场力究竟做了多少功？粒子的“电学势能”是多少？这些问题需要引入新的物理量来回答。本章建立电势能、电势、电势差的概念，再将其与电容器联系起来，形成一套分析电场中能量问题的完整工具。

电场力做功与保守场

重力在重力场中做功只与起点和终点的高度差有关，与路径的弯曲程度无关。电场力在电场中做功，具有完全相同的性质。

在匀强电场 $E$ 中，将电荷量为 $q$ 的点电荷从 $A$ 沿任意路径移动到 $B$ ，电场力做的功只取决于 $A$ 、 $B$ 两点沿电场方向的投影距离 $d$ ：

$W_{AB} = qEd$

其中 $d$ 是位移在电场方向上的分量， $q$ 可正可负。若电荷沿电场方向移动， $W > 0$ （做正功）；逆电场方向移动， $W < 0$ （做负功）；垂直电场方向移动， $W = 0$ 。

下面通过三条不同路径验证这一结论。设匀强电场方向水平向右， $E = 200\,\text{N/C}$ ， $q = 2 \times 10^{-6}\,\text{C}$ ， $A$ 、 $B$ 两点水平距离 $d = 0.3\,\text{m}$ ：

三条路径得到相同的结果，这正是路径无关性的体现。

将这种“做功与路径无关、只与起终点位置有关”的力场称为保守场。重力场和静电场都是保守场，而摩擦力不是——路径越长，摩擦力做的功（绝对值）越大。正因为静电场是保守场，才能为每个空间点定义一个确定的势能值。

例题1　在匀强电场中， $E = 500\,\text{N/C}$ ，方向水平向右。一个 $q = 3 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的正电荷从 $A$ 运动到 $B$ ， $AB$ 连线与电场方向成 $60°$ ， $|AB| = 0.4\,\text{m}$ 。求电场力做的功。

沿电场方向的位移分量：

$d = |AB|\cos 60° = 0.4 \times 0.5 = 0.2\,\text{m}$

$W_{AB} = qEd = 3\times10^{-6} \times 500 \times 0.2 = 3\times10^{-4}\,\text{J}$

电场力做正功，电荷在运动过程中被电场加速。

电势与电势差

既然静电场是保守场，就可以为电场中的每个位置定义一个“势能”。将单位正电荷从某点 $A$ 移到参考点（通常取无穷远处，令其电势为零），电场力做的功就定义为 $A$ 点的电势（Electric Potential） $V_A$ ：

$V_A = \frac{W_{A\to\infty}}{q_0}$

电势的单位是伏特（V）， $1\,\text{V} = 1\,\text{J/C}$ 。电势是标量，有正负之分，但没有方向。

对于一个点电荷 $q$ 产生的电场，距其 $r$ 处的电势为：

$V = k\frac{q}{r}$

正点电荷周围电势为正，越靠近电荷电势越高；负点电荷周围电势为负，越靠近电势越低（绝对值越大）。

电势的数值依赖于参考点的选取。工程中常将大地电势定为零，理论计算中常将无穷远处定为零。无论选哪个参考点，同一电场中两点之间的电势差是客观确定的，不随参考点改变。

电势差（电压） $U_{AB}$ 定义为两点电势之差：

$U_{AB} = V_A - V_B$

电势差与电场力做功的关系，是分析能量问题的核心公式：

$W_{AB} = q(V_A - V_B) = qU_{AB}$

只要知道两点的电势差和电荷量，便能直接求出电场力所做的功，无需关心路径。

下面列出几种典型情形，帮助建立直觉：

例题2　已知 $A$ 点电势 $V_A = 80\,\text{V}$ ， $B$ 点电势 $V_B = 20\,\text{V}$ 。将 $q = -4 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的负电荷从 $A$ 移到 $B$ ，求电场力做的功。

$W_{AB} = q(V_A - V_B) = (-4\times10^{-6}) \times (80 - 20) = (-4\times10^{-6}) \times 60 = -2.4\times10^{-4}\,\text{J}$

电场力做负功，说明将该负电荷从 $A$ 移到 $B$ 时，需要外力克服电场力，电荷的电势能增加了 $2.4\times10^{-4}\,\text{J}$ 。

例题3　一个正点电荷 $Q = 5 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}$ （取 $k = 9\times10^9\,\mathrm{N\cdot m}^2/\mathrm{C}^2$ ），求距其 $r = 0.3\,\mathrm{m}$ 处的电势。

$V = k\frac{Q}{r} = 9\times10^9 \times \frac{5\times10^{-9}}{0.3} = \frac{45}{0.3} = 150\,\text{V}$

距该正点电荷 $0.3\,\text{m}$ 处，电势为正值 $150\,\text{V}$ ，表明该点具有较高的电势。

等势面与电场线

将电场中所有电势相等的点连成的曲面，称为等势面；在平面图中，则表现为等势线。等势面描述的是电场的“能量地形图”，与电场线共同构成了描述电场的完整几何图像。

等势面有三条重要性质：

在等势面上移动电荷，电场力不做功。 这直接由 $W = q(V_A - V_B)$ 推出——同一等势面上 $V_A = V_B$ ，故 $W = 0$ 。
电场线始终垂直于等势面。 如果电场线与等势面不垂直，那么沿等势面移动时电场力就会有分量做功，这与上一条矛盾。
等势面越密集，该区域电场越强；越稀疏，电场越弱。 这与电场线密度反映场强强弱的结论完全一致。

电场线和等势面是互相垂直的两套曲线（曲面）系：电场线描述力的方向，等势面描述能量的分布。掌握了这两套图像，就能同时看清一个电场中力与能量的全貌。

在匀强电场中，场强方向水平向右，场强大小 $E$ ，两等势面之间沿场方向相距 $d$ ，则两等势面之间的电势差为：

$U = Ed$

这同时给出了场强单位 V/m 的另一层含义： $E$ 的数值就是每米距离上的电势降落量。

例题4　匀强电场中，等势面 $M$ （ $V_M = 300\,\text{V}$ ）与等势面 $N$ （ $V_N = 100\,\text{V}$ ）之间沿场方向相距 $d = 0.04\,\text{m}$ 。求该匀强电场的场强大小。

$E = \frac{U_{MN}}{d} = \frac{V_M - V_N}{d} = \frac{300 - 100}{0.04} = \frac{200}{0.04} = 5000\,\text{V/m}$

电容与平行板电容器

将两个相互绝缘、彼此靠近的导体（称为极板）分别带上等量异种电荷 $+Q$ 和 $-Q$ ，这种装置称为电容器（Capacitor）。两极板之间建立电场，在极板上储存电荷，从而储存电能。

实验发现，极板上储存的电荷量 $Q$ 与两极板间的电压 $U$ 成正比。定义电容（Capacitance） $C$ 为：

$C = \frac{Q}{U}$

电容的单位是法拉（F）， $1\,\text{F} = 1\,\text{C/V}$ 。法拉是非常大的单位，实际器件中常用微法（ $\mu\text{F} = 10^{-6}\,\text{F}$ ）和皮法（ $\text{pF} = 10^{-12}\,\text{F}$ ）。

电容 $C$ 描述的是电容器储存电荷的能力，由极板的几何形状和极板间的介质共同决定，与极板上实际储存了多少电荷无关。这类似于容器的“容积”——容积是容器本身的属性，与里面装了多少水无关。

平行板电容器由两块面积均为 $S$ 、相距为 $d$ 的平行金属板构成。其电容为：

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

其中 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{F/m}$ 是真空中的介电常数。极板面积越大、间距越小，电容越大。若两板间填入介质，电容增大为：

$C = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d}$

其中 $\varepsilon_r > 1$ 称为介质的相对介电常数。

电容器储存的能量：充电后两端电压为 $U$ 、电容为 $C$ 时，电容器中储存的电场能为：

$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QU$

三种表达式本质相同，可根据已知量灵活选用。

例题5　一个平行板电容器，极板面积 $S = 0.02\,\text{m}^2$ ，极板间距 $d = 2\,\text{mm} = 2\times10^{-3}\,\text{m}$ ，两板间为空气（ $\varepsilon_r = 1$ ， $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\,\text{F/m}$ ）。

（1）求该电容器的电容；（2）若两板间电压 $U = 100\,\text{V}$ ，求储存的电荷量和电场能。

（1）

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8.85\times10^{-12} \times 0.02}{2\times10^{-3}} = 88.5\times10^{-12}\,\text{F} = 88.5\,\text{pF}$

（2）

$Q = CU = 88.5\times10^{-12} \times 100 = 8.85\times10^{-9}\,\text{C} \approx 8.85\,\text{nC}$

$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2} \times 88.5\times10^{-12} \times 100^2 = 4.43\times10^{-7}\,\text{J}$

例题6　一电容器极板间距为 $d = 1\,\text{mm}$ ，充电后两极板间电压 $U = 200\,\text{V}$ ，电荷量 $Q = 2\times10^{-3}\,\text{C}$ 。现保持极板上的电荷量不变，将间距增大到 $2\,\text{mm}$ 。求间距改变后的电容和电压。

原电容： $C = Q/U = 2\times10^{-3}/200 = 10\,\mu\text{F}$ 。

由 $C = \varepsilon_0 S/d$ 可知，间距加倍，电容减半：

$C' = \frac{C}{2} = 5\,\mu\text{F}$

$Q$ 不变，新电压：

$U' = \frac{Q}{C'} = \frac{2\times10^{-3}}{5\times10^{-6}} = 400\,\text{V}$

间距增大一倍，在电荷量不变的条件下，电容减半，两端电压加倍。

电容器中有两类量要分清： $C$ 是由结构决定的固有属性（极板面积、间距、介质）， $Q$ 、 $U$ 、 $W$ 是充电状态下的变量。改变结构（如间距）会改变 $C$ ，进而引起 $Q$ 、 $U$ 、 $W$ 的连锁变化，需要判断哪个量保持不变（电荷守恒？或电压恒定？）再逐步求解。

练习题

选择题

1．关于电场力做功，下列说法正确的是（　）

A. 电场力做功与路径有关，路径越短做功越少

B. 在匀强电场中，只要起点和终点相同，电场力做功必然相同

C. 负电荷从高电势处移到低电势处，电场力做正功

D. 电荷在等势面上移动，电场力一定做正功

2．在匀强电场中， $A$ 、 $B$ 两点沿电场方向相距 $d = 0.1\,\text{m}$ ，场强 $E = 300\,\text{V/m}$ ， $A$ 在电场上游（高势端）， $B$ 在下游（低势端）。则 $U_{AB} = V_A - V_B$ 为（　）

A. $-30\,\text{V}$

B. $0\,\text{V}$

C. $30\,\text{V}$

D. $300\,\text{V}$

3．关于等势面，下列说法正确的是（　）

A. 电场线与等势面平行

B. 两个不同电势的等势面可以相交

C. 在等势面上移动电荷时，电场力对该电荷不做功

D. 等势面越密集，说明该区域电场越弱

答案：C

电场线与等势面垂直而非平行，A错误。两个不同电势的等势面若相交，交点将同时具有两个不同的电势值，逻辑上矛盾，B错误。在等势面上移动时， $V_A = V_B$ ， $W = q(V_A - V_B) = 0$ ，C正确。等势面越密集，相邻等势面之间的电势差变化越快，场强越强，D错误。选 C。

4．一平行板电容器电容为 $C$ ，两板间距为 $d$ ，充电后两端电压为 $U$ 。保持电荷量不变，将两板间距增大为 $2d$ ，则（　）

A. 电容变为 $2C$ ，电压变为 $U/2$

B. 电容变为 $C/2$ ，电压变为 $2U$

C. 电容不变，电压变为 $2U$

D. 电容变为 $2C$ ，电压不变

计算题

5．真空中有一个正点电荷 $Q = 2\times10^{-8}\,\text{C}$ ，取无穷远处电势为零， $k = 9\times10^9\,\text{N\,m}^2/\text{C}^2$ 。

（1）求距该点电荷 $r_A = 0.2\,\text{m}$ 处 $A$ 点的电势 $V_A$ ；

（2）求距该点电荷 $r_B = 0.5\,\text{m}$ 处 $B$ 点的电势 $V_B$ ；

（3）将一个 $q = -1\times10^{-9}\,\text{C}$ 的负电荷从 $A$ 移到 $B$ ，电场力做多少功？说明电势能的变化情况。

解题过程：

（1） $A$ 点电势：

$V_A = k\frac{Q}{r_A} = 9\times10^9 \times \frac{2\times10^{-8}}{0.2} = 900\,\text{V}$

（2） $B$ 点电势：

$V_B = k\frac{Q}{r_B} = 9\times10^9 \times \frac{2\times10^{-8}}{0.5} = 360\,\text{V}$

（3）电场力做功：

$W_{AB} = q(V_A - V_B) = (-1\times10^{-9}) \times (900 - 360) = -1\times10^{-9} \times 540 = -5.4\times10^{-7}\,\text{J}$

电场力做负功（ $W < 0$ ），该负电荷的电势能增加了 $5.4\times10^{-7}\,\text{J}$ 。物理意义：负电荷被正点电荷吸引，从 $A$ 移向 $B$ 是远离正电荷的方向，需要外力克服电场力做功，系统电势能增大。

6．一个平行板电容器，极板面积 $S = 0.05\,\text{m}^2$ ，两板间距 $d = 1\,\text{mm} = 1\times10^{-3}\,\text{m}$ ，两板间填满相对介电常数 $\varepsilon_r = 4$ 的介质（ $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\,\text{F/m}$ ）。

（1）求该电容器的电容 $C$ ；

（2）给电容器充电，使两板间电压 $U = 500\,\text{V}$ ，求极板上的电荷量 $Q$ 和储存的电场能 $W$ ；

（3）求两板间匀强电场的场强 $E$ 。

解题过程：

（1）电容：

$C = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d} = \frac{4 \times 8.85\times10^{-12} \times 0.05}{1\times10^{-3}} = \frac{1.77\times10^{-12}}{1\times10^{-3}} = 1.77\times10^{-9}\,\text{F} \approx 1.77\,\text{nF}$

（2）电荷量与电场能：

$Q = CU = 1.77\times10^{-9} \times 500 = 8.85\times10^{-7}\,\text{C} = 885\,\text{nC}$

$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2} \times 1.77\times10^{-9} \times (500)^2 = \frac{1}{2} \times 1.77\times10^{-9} \times 2.5\times10^5 = 2.21\times10^{-4}\,\text{J}$

（3）场强：

$E = \frac{U}{d} = \frac{500}{1\times10^{-3}} = 5\times10^5\,\text{V/m}$

电势与电势能

电场力做功与保守场

重力在重力场中做功只与起点和终点的高度差有关，与路径的弯曲程度无关。电场力在电场中做功，具有完全相同的性质。

在匀强电场 $E$ 中，将电荷量为 $q$ 的点电荷从 $A$ 沿任意路径移动到 $B$ ，电场力做的功只取决于 $A$ 、 $B$ 两点沿电场方向的投影距离 $d$ ：

$W_{AB} = qEd$

三条路径得到相同的结果，这正是路径无关性的体现。

沿电场方向的位移分量：

$d = |AB|\cos 60° = 0.4 \times 0.5 = 0.2\,\text{m}$

$W_{AB} = qEd = 3\times10^{-6} \times 500 \times 0.2 = 3\times10^{-4}\,\text{J}$

电场力做正功，电荷在运动过程中被电场加速。

电势与电势差

$V_A = \frac{W_{A\to\infty}}{q_0}$

电势的单位是伏特（V）， $1\,\text{V} = 1\,\text{J/C}$ 。电势是标量，有正负之分，但没有方向。

对于一个点电荷 $q$ 产生的电场，距其 $r$ 处的电势为：

$V = k\frac{q}{r}$

正点电荷周围电势为正，越靠近电荷电势越高；负点电荷周围电势为负，越靠近电势越低（绝对值越大）。

电势差（电压） $U_{AB}$ 定义为两点电势之差：

$U_{AB} = V_A - V_B$

电势差与电场力做功的关系，是分析能量问题的核心公式：

$W_{AB} = q(V_A - V_B) = qU_{AB}$

只要知道两点的电势差和电荷量，便能直接求出电场力所做的功，无需关心路径。

下面列出几种典型情形，帮助建立直觉：

例题2　已知 $A$ 点电势 $V_A = 80\,\text{V}$ ， $B$ 点电势 $V_B = 20\,\text{V}$ 。将 $q = -4 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的负电荷从 $A$ 移到 $B$ ，求电场力做的功。

$W_{AB} = q(V_A - V_B) = (-4\times10^{-6}) \times (80 - 20) = (-4\times10^{-6}) \times 60 = -2.4\times10^{-4}\,\text{J}$

电场力做负功，说明将该负电荷从 $A$ 移到 $B$ 时，需要外力克服电场力，电荷的电势能增加了 $2.4\times10^{-4}\,\text{J}$ 。

例题3　一个正点电荷 $Q = 5 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}$ （取 $k = 9\times10^9\,\mathrm{N\cdot m}^2/\mathrm{C}^2$ ），求距其 $r = 0.3\,\mathrm{m}$ 处的电势。

$V = k\frac{Q}{r} = 9\times10^9 \times \frac{5\times10^{-9}}{0.3} = \frac{45}{0.3} = 150\,\text{V}$

距该正点电荷 $0.3\,\text{m}$ 处，电势为正值 $150\,\text{V}$ ，表明该点具有较高的电势。

等势面与电场线

等势面有三条重要性质：

在等势面上移动电荷，电场力不做功。 这直接由 $W = q(V_A - V_B)$ 推出——同一等势面上 $V_A = V_B$ ，故 $W = 0$ 。
电场线始终垂直于等势面。 如果电场线与等势面不垂直，那么沿等势面移动时电场力就会有分量做功，这与上一条矛盾。
等势面越密集，该区域电场越强；越稀疏，电场越弱。 这与电场线密度反映场强强弱的结论完全一致。

在匀强电场中，场强方向水平向右，场强大小 $E$ ，两等势面之间沿场方向相距 $d$ ，则两等势面之间的电势差为：

$U = Ed$

这同时给出了场强单位 V/m 的另一层含义： $E$ 的数值就是每米距离上的电势降落量。

$E = \frac{U_{MN}}{d} = \frac{V_M - V_N}{d} = \frac{300 - 100}{0.04} = \frac{200}{0.04} = 5000\,\text{V/m}$

电容与平行板电容器

实验发现，极板上储存的电荷量 $Q$ 与两极板间的电压 $U$ 成正比。定义电容（Capacitance） $C$ 为：

$C = \frac{Q}{U}$

平行板电容器由两块面积均为 $S$ 、相距为 $d$ 的平行金属板构成。其电容为：

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

其中 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{F/m}$ 是真空中的介电常数。极板面积越大、间距越小，电容越大。若两板间填入介质，电容增大为：

$C = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d}$

其中 $\varepsilon_r > 1$ 称为介质的相对介电常数。

电容器储存的能量：充电后两端电压为 $U$ 、电容为 $C$ 时，电容器中储存的电场能为：

$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QU$

三种表达式本质相同，可根据已知量灵活选用。

（1）求该电容器的电容；（2）若两板间电压 $U = 100\,\text{V}$ ，求储存的电荷量和电场能。

（1）

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8.85\times10^{-12} \times 0.02}{2\times10^{-3}} = 88.5\times10^{-12}\,\text{F} = 88.5\,\text{pF}$

（2）

$Q = CU = 88.5\times10^{-12} \times 100 = 8.85\times10^{-9}\,\text{C} \approx 8.85\,\text{nC}$

$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2} \times 88.5\times10^{-12} \times 100^2 = 4.43\times10^{-7}\,\text{J}$

原电容： $C = Q/U = 2\times10^{-3}/200 = 10\,\mu\text{F}$ 。

由 $C = \varepsilon_0 S/d$ 可知，间距加倍，电容减半：

$C' = \frac{C}{2} = 5\,\mu\text{F}$

$Q$ 不变，新电压：

$U' = \frac{Q}{C'} = \frac{2\times10^{-3}}{5\times10^{-6}} = 400\,\text{V}$

间距增大一倍，在电荷量不变的条件下，电容减半，两端电压加倍。

练习题

选择题

1．关于电场力做功，下列说法正确的是（　）

A. 电场力做功与路径有关，路径越短做功越少

B. 在匀强电场中，只要起点和终点相同，电场力做功必然相同

C. 负电荷从高电势处移到低电势处，电场力做正功

D. 电荷在等势面上移动，电场力一定做正功

A. $-30\,\text{V}$

B. $0\,\text{V}$

C. $30\,\text{V}$

D. $300\,\text{V}$

3．关于等势面，下列说法正确的是（　）

A. 电场线与等势面平行

B. 两个不同电势的等势面可以相交

C. 在等势面上移动电荷时，电场力对该电荷不做功

D. 等势面越密集，说明该区域电场越弱

答案：C

4．一平行板电容器电容为 $C$ ，两板间距为 $d$ ，充电后两端电压为 $U$ 。保持电荷量不变，将两板间距增大为 $2d$ ，则（　）

A. 电容变为 $2C$ ，电压变为 $U/2$

B. 电容变为 $C/2$ ，电压变为 $2U$

C. 电容不变，电压变为 $2U$

D. 电容变为 $2C$ ，电压不变

计算题

5．真空中有一个正点电荷 $Q = 2\times10^{-8}\,\text{C}$ ，取无穷远处电势为零， $k = 9\times10^9\,\text{N\,m}^2/\text{C}^2$ 。

（1）求距该点电荷 $r_A = 0.2\,\text{m}$ 处 $A$ 点的电势 $V_A$ ；

（2）求距该点电荷 $r_B = 0.5\,\text{m}$ 处 $B$ 点的电势 $V_B$ ；

（3）将一个 $q = -1\times10^{-9}\,\text{C}$ 的负电荷从 $A$ 移到 $B$ ，电场力做多少功？说明电势能的变化情况。

解题过程：

（1） $A$ 点电势：

$V_A = k\frac{Q}{r_A} = 9\times10^9 \times \frac{2\times10^{-8}}{0.2} = 900\,\text{V}$

（2） $B$ 点电势：

$V_B = k\frac{Q}{r_B} = 9\times10^9 \times \frac{2\times10^{-8}}{0.5} = 360\,\text{V}$

（3）电场力做功：

$W_{AB} = q(V_A - V_B) = (-1\times10^{-9}) \times (900 - 360) = -1\times10^{-9} \times 540 = -5.4\times10^{-7}\,\text{J}$

（1）求该电容器的电容 $C$ ；

（2）给电容器充电，使两板间电压 $U = 500\,\text{V}$ ，求极板上的电荷量 $Q$ 和储存的电场能 $W$ ；

（3）求两板间匀强电场的场强 $E$ 。

解题过程：

（1）电容：

（2）电荷量与电场能：

$Q = CU = 1.77\times10^{-9} \times 500 = 8.85\times10^{-7}\,\text{C} = 885\,\text{nC}$

$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2} \times 1.77\times10^{-9} \times (500)^2 = \frac{1}{2} \times 1.77\times10^{-9} \times 2.5\times10^5 = 2.21\times10^{-4}\,\text{J}$

（3）场强：

$E = \frac{U}{d} = \frac{500}{1\times10^{-3}} = 5\times10^5\,\text{V/m}$