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高斯定理
物理高级物理二静电场与库仑定律

静电场与库仑定律

自然界中存在两种电荷——正电荷与负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。这一简单的规律背后，隐藏着支撑整个电磁学大厦的基础：电荷如何量化、电荷总量如何守恒、以及带电体之间的作用力究竟遵从怎样的数学规律。本章从最基本的电荷概念出发，逐步建立起静电场的完整图像。

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电荷的量子化与守恒

物质由原子构成，原子由带正电的原子核和绕核运动的电子组成。电子携带的电荷量是自然界中最小的电荷单元，称为元电荷，用 eee 表示：

e=1.6×10−19 Ce = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}e=1.6×10−19 C

任何宏观带电体所携带的电荷量 qqq，都只能是 eee 的整数倍：

q=ne(n=±1,±2,±3,…)q = ne \quad (n = \pm1, \pm2, \pm3, \ldots)q=ne(n=±1,±2,±3,…)

这一性质称为电荷的量子化。“量子化”的含义是：电荷不能连续变化，只能以 eee 为最小单位跳跃式地取值，就像台阶只能一级一级地走，而不能停在台阶中间一样。

质子的电荷量为 +e+e+e，电子的电荷量为 −e-e−e。两者大小相等，符号相反。中子不带电，q=0q = 0q=0。

电荷守恒定律指出：在一个孤立系统内，正电荷总量与负电荷总量的代数和保持不变。电荷可以从一个物体转移到另一个物体，但不能凭空产生，也不能凭空消失。

下面通过三种常见起电方式，验证电荷守恒定律的普遍性：

以摩擦起电为例：玻璃棒失去若干电子带 +q+q+q，丝绸得到相同数量的电子带 −q-q−q，两者合计仍为零，电荷总量守恒。

库仑定律

1785年，法国物理学家查尔斯·库仑通过扭秤实验，精确测量了点电荷之间的作用力，总结出库仑定律：

F=kq1q2r2F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}F=kr2q1​q2​​

其中 FFF 是两点电荷之间的静电力，q1q_1q1​、q2q_2q2​ 是两个点电荷的电荷量，rrr 是两者之间的距离，kkk 是静电力常量：

k=9.0×109 N⋅m2/C2k = 9.0 \times 10^9\,\mathrm{N \cdot m^2 / C^2}k=9.0×109N⋅m2/C2

库仑定律的形式与牛顿引力定律极为相似，都与距离的平方成反比。两个质量为 m1m_1m1​、m2m_2m2​ 的物体之间的万有引力为 F=Gm1m2/r2F = Gm_1m_2/r^2F=Gm1​m2​/r2，而两个点电荷之间的静电力与之形式完全对应。

库仑定律只适用于点电荷之间，即电荷的几何尺寸远小于两者距离的情形。对于有限大小的带电体，需要将其视作无数点电荷的集合，分别计算后再叠加。

力的方向：q1q2>0q_1 q_2 > 0q1​q2​>0（同号电荷）时，静电力为斥力；q1q2<0q_1 q_2 < 0q1​q2​<0（异号电荷）时，静电力为引力。力的方向始终沿两点电荷的连线。

通过几个具体数值，感受库仑定律中各参数的影响：

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可以看出：距离减半，力变为原来的4倍；电荷量加倍，力变为原来的2倍。这正是“与距离平方成反比、与电荷量乘积成正比”的体现。

例题1　两个点电荷 q1=+2×10−6 Cq_1 = +2 \times 10^{-6}\,\text{C}q1​=+2×10−6C，q2=−3×10−6 Cq_2 = -3 \times 10^{-6}\,\text{C}q2​=−3×10−6C，相距 r=0.3 mr = 0.3\,\text{m}r=0.3m。求两者之间的静电力大小。

F=k∣q1∣∣q2∣r2=9.0×109×2×10−6×3×10−6(0.3)2F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{2\times10^{-6} \times 3\times10^{-6}}{(0.3)^2}F=kr2∣q1​∣∣q2​∣​=9.0×109×(0.3)22×10−6×3×10−6​

F=9.0×109×6×10−120.09=0.6 NF = 9.0 \times 10^9 \times \frac{6\times10^{-12}}{0.09} = 0.6\,\text{N}F=9.0×109×0.096×10−12​=0.6N

由于两电荷异号，这是一个大小为 0.6 N0.6\,\text{N}0.6N 的引力。

电场强度

静电力是“超距作用”还是通过某种媒介传递？现代物理学的答案是：电荷 q1q_1q1​ 在其周围空间产生电场，电场对置入其中的电荷 q2q_2q2​ 施加作用力。电场是真实存在的物质形态，不依赖试探电荷的存在而消失。

为了描述电场中各点的强弱与方向，引入电场强度（简称场强）E\boldsymbol{E}E。将一个电荷量为 q0q_0q0​ 的正试探电荷置于电场中某点，测得该点对它的静电力为 F\boldsymbol{F}F，则该点的电场强度定义为：

E=Fq0\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q_0}E=q0​F​

E\boldsymbol{E}E 的方向与正试探电荷所受静电力的方向相同；大小 E=F/q0E = F/q_0E=F/q0​，单位为 N/C（牛顿每库仑），等价于 V/m（伏特每米）。

电场强度 EEE 是描述电场本身性质的物理量，与试探电荷 q0q_0q0​ 的大小无关。无论 q0q_0q0​ 取何值，F/q0F/q_0F/q0​ 的比值始终相同。

叠加原理：当空间中存在多个点电荷时，某点的合场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和：

E=E1+E2+E3+⋯\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_1 + \boldsymbol{E}_2 + \boldsymbol{E}_3 + \cdotsE=E1​+E2​+E3​+⋯

例题2　在同一直线上，点 AAA 处有 q1=+1×10−8 Cq_1 = +1 \times 10^{-8}\,\text{C}q1​=+1×10−8C，点 BBB 处有 q2=−1×10−8 Cq_2 = -1 \times 10^{-8}\,\text{C}q2​=−1×10−8C，AB=0.2 mAB = 0.2\,\text{m}AB=0.2m。求 ABABAB 中点 PPP 处的合场强大小与方向。

PPP 距 q1q_1q1​ 和 q2q_2q2​ 均为 r=0.1 mr = 0.1\,\text{m}r=0.1m。

E1=k∣q1∣r2=9×109×10−8(0.1)2=9000 N/C，方向由 A 指向 BE_1 = k\frac{|q_1|}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{10^{-8}}{(0.1)^2} = 9000\,\text{N/C}，\text{方向由 }A\text{ 指向 }BE1​=kr2∣q1​∣​=9×109×(0.1)210−8​=9000N/C，方向由 A 指向 B

E2=k∣q2∣r2=9×109×10−8(0.1)2=9000 N/C，方向由 P 指向 BE_2 = k\frac{|q_2|}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{10^{-8}}{(0.1)^2} = 9000\,\text{N/C}，\text{方向由 }P\text{ 指向 }BE2​=kr2∣q2​∣​=9×109×(0.1)210−8​=9000N/C，方向由 P 指向 B

q1q_1q1​ 为正电荷，PPP 点受到向 BBB 方向的场强；q2q_2q2​ 为负电荷，PPP 点同样受到向 BBB 方向的场强（电场线指向负电荷）。两者方向相同，合场强：

E=E1+E2=9000+9000=18000 N/C，方向由A指向BE = E_1 + E_2 = 9000 + 9000 = 18000\,\text{N/C}，方向由 A 指向 BE=E1​+E2​=9000+9000=18000N/C，方向由A指向B

点电荷电场与匀强电场

点电荷产生的电场

一个电荷量为 qqq 的点电荷，在距其 rrr 处产生的电场强度大小为：

E=k∣q∣r2E = k\frac{|q|}{r^2}E=kr2∣q∣​

方向：正点电荷的电场指向外（背离电荷），负点电荷的电场指向内（指向电荷）。

点电荷电场具有球对称性：以点电荷为球心，相同半径的球面上，各点场强大小相等，方向沿径向向外（或向内）。

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距离越近，场强越大，且随距离平方增大而迅速减小。

例题3　一个 q=+3×10−9 Cq = +3 \times 10^{-9}\,\text{C}q=+3×10−9C 的点电荷，求距其 r=0.3 mr = 0.3\,\text{m}r=0.3m 处的电场强度大小。

E=kqr2=9×109×3×10−9(0.3)2=9×109×3×10−90.09=300 N/CE = k\frac{q}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{3\times10^{-9}}{(0.3)^2} = 9\times10^9 \times \frac{3\times10^{-9}}{0.09} = 300\,\text{N/C}E=kr2q​=9×109×(0.3)23×10−9​=9×109×0.093×10−9​=300N/C

方向沿径向向外（远离正电荷）。

匀强电场

在某些特殊结构中，电场在一定区域内处处方向相同、大小相等，这种电场称为匀强电场。最典型的例子是两块平行金属板之间的电场：当两板间距远小于板的面积时，两板之间（除边缘外）的电场近似为匀强电场。

匀强电场的电场线是一组平行且等间距的直线，这也是匀强电场最直观的几何特征。与点电荷电场的辐射状分布相比，匀强电场的形态更规整，也更便于计算。

点电荷电场与匀强电场的主要特征对比：

例题4　在匀强电场中，一个电荷量 q=2×10−6 Cq = 2 \times 10^{-6}\,\text{C}q=2×10−6C 的正电荷受到静电力 F=6×10−3 NF = 6 \times 10^{-3}\,\text{N}F=6×10−3N。求该匀强电场的场强大小。

E=Fq=6×10−32×10−6=3000 N/CE = \frac{F}{q} = \frac{6\times10^{-3}}{2\times10^{-6}} = 3000\,\text{N/C}E=qF​=2×10−66×10−3​=3000N/C

例题5　已知匀强电场场强 E=500 N/CE = 500\,\text{N/C}E=500N/C，将一个电荷量 q=4×10−6 Cq = 4 \times 10^{-6}\,\text{C}q=4×10−6C 的负电荷放入该电场。求其所受静电力的大小与方向。

F=qE=4×10−6×500=2×10−3 NF = qE = 4\times10^{-6} \times 500 = 2\times10^{-3}\,\text{N}F=qE=4×10−6×500=2×10−3N

由于是负电荷，受力方向与电场方向相反。

电场线不代表带电粒子的运动轨迹。电场线描述的是电场的分布，粒子的实际运动轨迹由初速度和合力共同决定。带正电荷的粒子静止释放时，运动方向与电场线重合；但若有初速度，轨迹将偏离电场线。

练习题

选择题

1． 关于元电荷，下列说法正确的是（　）

A. 元电荷是电子
B. 元电荷是质子
C. 元电荷是自然界中最小的带电单元，e=1.6×10−19 Ce = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}e=1.6×10−19C
D. 质量越小的粒子，其电荷量越接近元电荷

答案：C

元电荷 eee 是自然界最小的电荷单位，大小为 1.6×10−19 C1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}1.6×10−19C。元电荷不是某种粒子的名字，而是电荷量的最小单元。电子带 −e-e−e，质子带 +e+e+e，两者都携带一个单位的元电荷，但元电荷本身不特指哪种粒子。选 C。

2． 两个点电荷 q1q_1q1​ 和 q2q_2q2​ 相距 rrr，之间的静电力为 FFF。保持 q1q_1q1​ 不变，将 q2q_2q2​ 增大为原来的3倍，距离缩短为原来的 1/21/21/2，则新的静电力为（　）

A. 6F6F6F
B. 9F9F9F
C. 12F12F12F
D. 18F18F18F

答案：C

根据库仑定律 F=kq1q2r2F = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}F=kr2q1​q2​​，q2q_2q2​ 变为 3q23q_23q2​，rrr 变为 r/2r/2r/2：

F′=kq1⋅3q2(r/2)2=k3q1q2r2/4=12⋅kq1q2r2=12FF' = k\frac{q_1 \cdot 3q_2}{(r/2)^2} = k\frac{3q_1 q_2}{r^2/4} = 12 \cdot k\frac{q_1 q_2}{r^2} = 12FF′=k(r/2)2q1​⋅3q2​​=kr2/43q1​q2​​=12⋅kr2q1​q2​​=12F

选 C。

3． 在真空中，点 OOO 处有一个正点电荷 QQQ，在距 OOO 为 rrr 的 AAA 点放置试探电荷 q0q_0q0​，测得 AAA 点的场强为 EEE。若将 q0q_0q0​ 撤去，则 AAA 点的场强为（　）

A. 000
B. EEE
C. 2E2E2E
D. 无法确定

答案：B

电场强度描述的是电场本身的性质，与试探电荷 q0q_0q0​ 是否存在无关。AAA 点的场强由源电荷 QQQ 决定：E=kQ/r2E = kQ/r^2E=kQ/r2。撤去 q0q_0q0​ 不影响 QQQ 产生的电场，AAA 点场强仍为 EEE。选 B。

4． 下列关于匀强电场的描述，正确的是（　）

A. 匀强电场中各点的电场线密度不同
B. 匀强电场只能由无限大带电平板产生，实际中不存在
C. 在匀强电场中，不同位置的电场强度大小和方向完全相同
D. 匀强电场中放入正电荷后，电场将不再匀强

答案：C

匀强电场的定义就是场强大小和方向处处相同，电场线平行且等间距，选项C正确。选项A错误（电场线等间距才代表匀强）；选项B不准确，平行板电容器两板间（忽略边缘效应）就可产生近似匀强电场；选项D错误，试探电荷足够小时不影响原电场分布（理想情形）。选 C。

计算题

5． 在真空中，三个点电荷沿一条直线排列：q1=+4×10−8 Cq_1 = +4 \times 10^{-8}\,\text{C}q1​=+4×10−8C 位于 x=0x = 0x=0 处，q2=−4×10−8 Cq_2 = -4 \times 10^{-8}\,\text{C}q2​=−4×10−8C 位于 x=0.4 mx = 0.4\,\text{m}x=0.4m 处。求 x=0.2 mx = 0.2\,\text{m}x=0.2m 处（即两电荷中点 PPP）的合场强大小与方向。

解题过程：

PPP 点距 q1q_1q1​ 的距离 r1=0.2 mr_1 = 0.2\,\text{m}r1​=0.2m，距 q2q_2q2​ 的距离 r2=0.2 mr_2 = 0.2\,\text{m}r2​=0.2m。

q1q_1q1​ 在 PPP 点产生的场强：

E1=k∣q1∣r12=9×109×4×10−8(0.2)2=9×109×4×10−80.04=9000 N/CE_1 = k\frac{|q_1|}{r_1^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-8}}{(0.2)^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-8}}{0.04} = 9000\,\text{N/C}E1​=kr12​∣q1​∣​=9×109×(0.2)24×10−8​=9×109×0.044×10−8​=9000N/C

q1q_1q1​ 为正电荷，方向沿 xxx 轴正方向（由 q1q_1q1​ 指向 PPP，即向右）。

q2q_2q2​ 在 PPP 点产生的场强：

E2=k∣q2∣r22=9×109×4×10−8(0.2)2=9000 N/CE_2 = k\frac{|q_2|}{r_2^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-8}}{(0.2)^2} = 9000\,\text{N/C}E2​=kr22​∣q2​∣​=9×109×(0.2)24×10−8​=9000N/C

q2q_2q2​ 为负电荷，PPP 点处场强方向指向 q2q_2q2​，即沿 xxx 轴正方向（向右）。

两场强方向相同，合场强：

E=E1+E2=9000+9000=18000 N/CE = E_1 + E_2 = 9000 + 9000 = 18000\,\text{N/C}E=E1​+E2​=9000+9000=18000N/C

方向：沿 xxx 轴正方向（由 q1q_1q1​ 指向 q2q_2q2​）。

6． 两块平行金属板水平放置，板间距 d=0.05 md = 0.05\,\text{m}d=0.05m，板间存在匀强电场，场强方向竖直向上，大小 E=1.0×104 N/CE = 1.0 \times 10^4\,\text{N/C}E=1.0×104N/C。将一个质量 m=2×10−2 kgm = 2 \times 10^{-2}\,\text{kg}m=2×10−2kg、带电量 q=1×10−5 Cq = 1 \times 10^{-5}\,\text{C}q=1×10−5C 的正电荷小球置于两板之间，取 g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2g=10m/s2。

（1）求小球受到的重力与静电力大小；
（2）分析小球的受力状态，判断其是否处于平衡状态。

解题过程：

(1) 重力：

G=mg=2×10−2×10=0.2 N，方向竖直向下G = mg = 2\times10^{-2} \times 10 = 0.2\,\text{N}，方向竖直向下G=mg=2×10−2×10=0.2N，方向竖直向下

静电力：

F=qE=1×10−5×1.0×104=0.1 N，方向竖直向上（正电荷与场强方向相同）F = qE = 1\times10^{-5} \times 1.0\times10^4 = 0.1\,\text{N}，方向竖直向上（正电荷与场强方向相同）F=qE=1×10−5×1.0×104=0.1N，方向竖直向上（正电荷与场强方向相同）

(2) 受力分析：

重力 G=0.2 NG = 0.2\,\text{N}G=0.2N，方向向下；静电力 F=0.1 NF = 0.1\,\text{N}F=0.1N，方向向上。两力方向相反，大小不等：

合力=G−F=0.2−0.1=0.1 N，方向向下\text{合力} = G - F = 0.2 - 0.1 = 0.1\,\text{N}，方向向下合力=G−F=0.2−0.1=0.1N，方向向下

合力不为零，小球不处于平衡状态，会在合力作用下向下加速运动，加速度为：

a=G−Fm=0.12×10−2=5 m/s2，方向竖直向下a = \frac{G - F}{m} = \frac{0.1}{2\times10^{-2}} = 5\,\text{m/s}^2，方向竖直向下a=mG−F​=2×10−20.1​=5m/s2，方向竖直向下

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