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物理高级物理二光的波动性

光的波动性

光不仅能够照亮世界，还展现出丰富多彩的波动特性。例如，光在通过狭缝或遇到障碍物时，会发生明显的绕射效应，使其能够“拐弯”传播，照亮本应处于阴影中的区域；当两束或多束光在空间中相遇时，还会彼此叠加，产生一系列有规律的明暗相间的条纹，

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这就是著名的干涉现象。这些现象无法用“粒子直线传播”来解释，而是典型的波动行为。正是通过对干涉和绕射等波动现象的观察和深入分析，物理学家们得以确认光的本质具有波动性。基于这些发现，现代光学体系得以完善，推动了光学仪器设计、激光、精密测量、通讯等领域的飞速发展，从显微镜、光刻、全息，到现代量子光学与信息技术，无不源于对光的波动性的理解和应用。

光的干涉

两列频率相同、相位关系稳定的光波相遇时，某些位置会持续增强（出现亮纹），某些位置会持续减弱（出现暗纹），这一现象称为光的干涉。干涉是波动性独有的标志，粒子无法产生干涉。

相干光的条件

普通光源（灯泡、蜡烛）发出的光，是大量原子各自独立辐射的电磁波叠加，不同原子的辐射在相位上毫无关联。将两束这样的光叠加，亮暗变化极快，人眼无法感知，看到的只是均匀的亮光——这说明它们不是相干光，不能产生稳定的干涉条纹。

要产生干涉，两列光波需满足以下条件：

获得相干光最常用的方法是分波前法或分振幅法——将同一光源发出的光分成两路，再让它们重新汇合。来自同一光源，天然保证了频率相同和相位的关联性。

杨氏双缝实验

1801年，英国物理学家托马斯·杨（Thomas Young）用一套精巧的装置，首次在实验室里稳定地观察到了光的干涉条纹，有力地证明了光的波动性。

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实验装置的布局如下：单色光先通过一条单缝 SSS，再通过紧靠着的两条平行细缝 S1S_1S1​ 和 S2S_2S2​（缝间距为 ddd），最后在距离双缝 LLL 处的光屏上观察。屏上出现了明暗交替的等间距条纹。

设屏上某点 PPP 到两缝的距离之差为 δ\deltaδ（光程差）。当光程差为波长的整数倍时，两列光相互加强，出现亮纹：

δ=mλ(m=0,±1,±2,…)\delta = m\lambda \quad (m = 0, \pm1, \pm2, \ldots)δ=mλ(m=0,±1,±2,…)

当光程差为半波长的奇数倍时，两列光相互抵消，出现暗纹：

δ=(m+12)λ(m=0,±1,±2,…)\delta = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, \pm1, \pm2, \ldots)δ=(m+21​)λ(m=0,±1,±2,…)

在 L≫dL \gg dL≫d 的近似条件下，屏上相邻亮纹（或相邻暗纹）的间距 Δy\Delta yΔy 为：

Δy=λLd\Delta y = \frac{\lambda L}{d}Δy=dλL​

这个公式是双缝干涉的核心结果，只需测量 Δy\Delta yΔy、LLL、ddd 三个可直接量取的量，便能精确计算出光的波长 λ\lambdaλ。

双缝干涉条纹间距公式 Δy=λL/d\Delta y = \lambda L / dΔy=λL/d 揭示了三个规律：波长越长，条纹越宽；缝间距越小，条纹越宽；屏离双缝越远，条纹越宽。这三点在设计光学实验时都是常用的调节手段。

示例一：用波长 λ=589 nm\lambda = 589\ \text{nm}λ=589 nm 的黄光进行双缝干涉实验，双缝间距 d=0.5 mmd = 0.5\ \text{mm}d=0.5 mm，双缝到光屏的距离 L=1.5 mL = 1.5\ \text{m}L=1.5 m，求相邻条纹间距。

Δy=λLd=589×10−9×1.50.5×10−3=8.835×10−75×10−4≈1.77×10−3 m=1.77 mm\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{589 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{8.835 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-4}} \approx 1.77 \times 10^{-3}\ \text{m} = 1.77\ \text{mm}Δy=dλL​=0.5×10−3589×10−9×1.5​=5×10−48.835×10−7​≈1.77×10−3 m=1.77 mm

相邻条纹间距约为 1.77 mm1.77\ \text{mm}1.77 mm，在普通光学实验中用肉眼即可分辨。

示例二：将上述实验中的黄光换成紫光（λ=400 nm\lambda = 400\ \text{nm}λ=400 nm），其他条件不变。

Δy′=400×10−9×1.50.5×10−3=1.2 mm\Delta y' = \frac{400 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.5 \times 10^{-3}} = 1.2\ \text{mm}Δy′=0.5×10−3400×10−9×1.5​=1.2 mm

光的颜色波长范围条纹间距（d=0.5 mmd=0.5\ \text{mm}d=0.5 mm，L=1.5 mL=1.5\ \text{m}L=1.5 m）
红光620∼750 nm620 \sim 750\ \text{nm}620∼750 nm1.86∼2.25 mm1.86 \sim 2.25\ \text{mm}1.86∼2.25 mm
黄光570∼590 nm570 \sim 590\ \text{nm}570∼590 nm≈1.77 mm\approx 1.77\ \text{mm}≈1.77 mm
绿光495∼570 nm495 \sim 570\ \text{nm}495∼570 nm1.49∼1.71 mm1.49 \sim 1.71\ \text{mm}1.49∼1.71 mm
紫光380∼450 nm380 \sim 450\ \text{nm}380∼450 nm1.14∼1.35 mm1.14 \sim 1.35\ \text{mm}1.14∼1.35 mm

用白光做双缝实验时，各颜色条纹宽度不同，中央零级亮纹各色重合呈白色，两侧出现由紫到红的彩色条纹。

薄膜干涉

肥皂泡和水面油膜在白光照射下会呈现出五彩的颜色，这正是薄膜干涉的结果。光在薄膜上下两个界面分别反射，两束反射光相遇时发生干涉，不同厚度处增强的颜色不同，因而产生彩色。

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半波损失

光从折射率较小的介质（光疏介质）射向折射率较大的介质（光密介质）时，反射光的相位会突变 π\piπ，相当于光程额外增加了 λ/2\lambda/2λ/2，这一现象称为半波损失。从光密介质射向光疏介质时，反射光不发生半波损失。

界面情况是否有半波损失
从折射率小 → 大的介质反射有（相位突变 π\piπ，相当于多走 λ/2\lambda/2λ/2）
从折射率大 → 小的介质反射无

分析薄膜干涉问题的第一步，是判断薄膜上下两个界面的反射光各自是否发生半波损失。若两束光同时有或同时没有半波损失，则半波损失的贡献相互抵消；若只有一束光有半波损失，则总光程差需额外加上 λ/2\lambda/2λ/2。

薄膜干涉的光程差

当光近似垂直照射厚度为 eee、折射率为 nnn 的薄膜时，在薄膜上表面反射的光（光线1）与折射进入薄膜、在下表面反射后再射出的光（光线2）之间，几何光程差为 2ne2ne2ne。若光线1有半波损失而光线2无（空气中的薄膜常见此情形），则总光程差为：

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δ=2ne+λ2\delta = 2ne + \frac{\lambda}{2}δ=2ne+2λ​

出现亮纹的条件（两束光加强）：

δ=mλ(m=1,2,3,…)\delta = m\lambda \quad (m = 1, 2, 3, \ldots)δ=mλ(m=1,2,3,…)

出现暗纹的条件（两束光减弱）：

δ=(m+12)λ(m=0,1,2,…)\delta = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)δ=(m+21​)λ(m=0,1,2,…)

示例三：空气劈尖干涉。将两块平玻璃片一端叠合、另一端垫一根细丝，中间形成一个楔形空气层（折射率 n=1n = 1n=1）。用波长 λ\lambdaλ 的单色光从上方照射，上玻璃下表面（空气→玻璃）的反射光有半波损失，下玻璃上表面（玻璃→空气）的反射光无半波损失，总光程差为 δ=2e+λ/2\delta = 2e + \lambda/2δ=2e+λ/2。

相邻暗纹之间，空气膜厚度差为 λ/2\lambda/2λ/2，相邻条纹间距 lll 与劈尖角 θ\thetaθ 的关系为：

l=λ2θl = \frac{\lambda}{2\theta}l=2θλ​

劈尖角越小，条纹越宽，越容易分辨。在两块玻璃叠合的一端（e=0e = 0e=0），δ=λ/2\delta = \lambda/2δ=λ/2，满足暗纹条件，因此最边缘处是暗纹——这一实验结果也从侧面验证了半波损失的存在。

示例四：等厚干涉用于检验表面平整度。将一块标准平晶放在被测光学元件表面，用单色光照射。若两者之间存在微小空气间隙，则产生等厚干涉条纹。条纹形状直接反映被测面的起伏状况：

条纹形状对应的表面情况
直而均匀表面平整，与标准面吻合
弯曲表面有局部凸起或凹陷
间距不均表面存在系统性倾斜或曲率

这种检验方法的精度极高，能够检测出 λ/4≈100 nm\lambda/4 \approx 100\ \text{nm}λ/4≈100 nm 量级的表面误差，是精密光学加工中不可缺少的手段。

光的衍射

波在传播过程中遇到障碍物或缝隙时，能绕过障碍物继续传播，这种现象称为衍射。日常生活中，声音能绕过墙角传来，水波能绕过礁石扩散，这些都是衍射现象。光也能衍射，但由于光的波长极短（400∼700 nm400 \sim 700\ \text{nm}400∼700 nm），在日常宏观尺度下衍射效应不明显，当缝隙或障碍物尺寸接近光波长时，衍射才变得显著。

单缝衍射

当一束平行的单色光通过宽度为 aaa 的单缝时，在后方的屏上并不是简单地投下缝的影像，而是形成一组以中央为主、向两侧逐渐减弱的衍射条纹。

中央亮纹最宽最亮，其半角宽度 θ1\theta_1θ1​ 满足：

sin⁡θ1=λa\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a}sinθ1​=aλ​

在角度很小时，sin⁡θ1≈θ1\sin\theta_1 \approx \theta_1sinθ1​≈θ1​（弧度）。两侧各级暗纹出现在衍射角 θ\thetaθ 满足：

asin⁡θ=mλ(m=±1,±2,…)a\sin\theta = m\lambda \quad (m = \pm1, \pm2, \ldots)asinθ=mλ(m=±1,±2,…)

设缝到屏的距离为 LLL，则中央亮纹的宽度（两侧第一暗纹之间的距离）为：

Δx0=2Ltan⁡θ1≈2L⋅λa=2λLa\Delta x_0 = 2L\tan\theta_1 \approx 2L \cdot \frac{\lambda}{a} = \frac{2\lambda L}{a}Δx0​=2Ltanθ1​≈2L⋅aλ​=a2λL​

单缝越窄（aaa 越小），衍射角越大，中央亮纹越宽，衍射越明显；单缝越宽，中央亮纹越窄，逐渐趋向几何光学的直线传播。波长与缝宽的比值 λ/a\lambda/aλ/a 越大，衍射越显著。

示例五：用波长 λ=600 nm\lambda = 600\ \text{nm}λ=600 nm 的红光照射宽度 a=0.3 mma = 0.3\ \text{mm}a=0.3 mm 的单缝，缝到屏的距离 L=2 mL = 2\ \text{m}L=2 m。

第一暗纹的衍射角：

sin⁡θ1=λa=600×10−93×10−4=2×10−3 rad\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a} = \frac{600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3}\ \text{rad}sinθ1​=aλ​=3×10−4600×10−9​=2×10−3 rad

第一暗纹到中心的距离：

y1=Lsin⁡θ1≈2×2×10−3=4 mmy_1 = L\sin\theta_1 \approx 2 \times 2 \times 10^{-3} = 4\ \text{mm}y1​=Lsinθ1​≈2×2×10−3=4 mm

中央亮纹宽度 =2y1=8 mm= 2y_1 = 8\ \text{mm}=2y1​=8 mm

将缝宽减小为 a=0.1 mma = 0.1\ \text{mm}a=0.1 mm，其余不变：

y1′=2×600×10−91×10−4=12 mm，中央亮纹宽度=24 mmy_1' = 2 \times \frac{600 \times 10^{-9}}{1 \times 10^{-4}} = 12\ \text{mm}，\quad \text{中央亮纹宽度} = 24\ \text{mm}y1′​=2×1×10−4600×10−9​=12 mm，中央亮纹宽度=24 mm

缝宽缩小为原来的 13\frac{1}{3}31​，中央亮纹宽度扩大为原来的 333 倍，验证了二者成反比的关系。

光学仪器的分辨率

任何光学仪器（望远镜、显微镜、照相机镜头）都有分辨率极限——当两个相邻的物点靠得太近时，它们经过圆孔衍射后的亮斑相互重叠，无法区分。这个极限由光的衍射本性决定，与仪器的加工精度无关，是波动光学为所有光学系统设定的物理上界。

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瑞利判据

1879年，英国物理学家瑞利（Lord Rayleigh）提出了一个判断标准：当一个点光源衍射亮斑的中心，恰好落在另一个点光源衍射亮斑的第一暗环上时，两个点光源处于恰好可以分辨的临界状态，此时的张角即为最小分辨角。

对于直径为 DDD 的圆形孔径，最小分辨角 θmin\theta_{min}θmin​ 为：

θmin=1.22λD\theta_{min} = 1.22\frac{\lambda}{D}θmin​=1.22Dλ​

θmin\theta_{min}θmin​ 越小，仪器能分辨的细节越精细，分辨能力越强。

提高分辨率的方法物理依据
增大孔径 DDDθmin\theta_{min}θmin​ 与 DDD 成反比，DDD 越大分辨率越高
减小波长 λ\lambdaλθmin\theta_{min}θmin​ 与 λ\lambdaλ 成正比，波长越短分辨率越高

天文望远镜要尽量做大口径，电子显微镜比光学显微镜分辨率高出千倍以上，背后都是同一个物理原理。

示例六：人眼瞳孔直径约 D=3 mmD = 3\ \text{mm}D=3 mm，取可见光波长 λ=550 nm\lambda = 550\ \text{nm}λ=550 nm。

最小分辨角：

θmin=1.22×550×10−93×10−3≈2.24×10−4 rad\theta_{min} = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} \approx 2.24 \times 10^{-4}\ \text{rad}θmin​=1.22×3×10−3550×10−9​≈2.24×10−4 rad

在正常明视距离（25 cm25\ \text{cm}25 cm）处，人眼能分辨的最小间距：

Δy=L⋅θmin=0.25×2.24×10−4≈5.6×10−5 m≈0.056 mm\Delta y = L \cdot \theta_{min} = 0.25 \times 2.24 \times 10^{-4} \approx 5.6 \times 10^{-5}\ \text{m} \approx 0.056\ \text{mm}Δy=L⋅θmin​=0.25×2.24×10−4≈5.6×10−5 m≈0.056 mm

这与实测的人眼分辨能力（约 0.05∼0.1 mm0.05 \sim 0.1\ \text{mm}0.05∼0.1 mm）吻合，说明人眼分辨率实际上已接近衍射极限。

光学仪器典型孔径对应 θmin\theta_{min}θmin​（λ=550 nm\lambda = 550\ \text{nm}λ=550 nm）
人眼3 mm3\ \text{mm}3 mm≈2.2×10−4 rad\approx 2.2 \times 10^{-4}\ \text{rad}≈2.2×10−4 rad
普通相机镜头25 mm25\ \text{mm}25 mm≈2.7×10−5 rad\approx 2.7 \times 10^{-5}\ \text{rad}≈2.7×10−5 rad
哈勃空间望远镜2.4 m2.4\ \text{m}2.4 m≈2.8×10−7 rad\approx 2.8 \times 10^{-7}\ \text{rad}≈2.8×10−7 rad

光学仪器的分辨率上限由衍射决定，而非加工工艺。要突破这一极限，只有两条路：增大孔径，或使用更短波长的“光”（如 X 射线、电子束）。这正是现代纳米加工和电子显微技术的物理基础。

练习题

选择题

1. 在杨氏双缝干涉实验中，若将双缝间距 ddd 减小为原来的一半，其他条件不变，则光屏上条纹间距的变化是（　　）

A. 变为原来的二分之一

B. 变为原来的两倍

C. 条纹消失

D. 条纹间距不变

答案：B

由条纹间距公式 Δy=λL/d\Delta y = \lambda L / dΔy=λL/d 可知，Δy\Delta yΔy 与缝间距 ddd 成反比。ddd 减小为原来的一半，Δy\Delta yΔy 变为原来的两倍，条纹间距变宽。

2. 肥皂泡在白光照射下呈现彩色，这一现象的本质是（　　）

A. 光的折射

B. 光的散射

C. 薄膜干涉

D. 光的衍射

答案：C

肥皂泡是一层极薄的液膜，白光在其上下两个界面分别发生反射，两束反射光叠加发生干涉。对于给定厚度，不同波长（颜色）的光满足加强条件的不同，因此呈现出彩色。这是典型的薄膜干涉现象，与折射、散射、衍射均无关。

3. 单缝衍射实验中，保持缝宽和缝到屏的距离不变，将入射光波长增大为原来的两倍，中央亮纹宽度如何变化（　　）

A. 变为原来的二分之一

B. 不变

C. 变为原来的两倍

D. 变为原来的四倍

答案：C

中央亮纹宽度 Δx0=2λL/a\Delta x_0 = 2\lambda L / aΔx0​=2λL/a，与波长 λ\lambdaλ 成正比。波长增大为原来的两倍，中央亮纹宽度也变为原来的两倍。波长越长，衍射越显著，条纹越宽。

4. 关于光学仪器分辨率的瑞利判据，下列说法正确的是（　　）

A. 分辨率仅取决于镜头加工精度，与光的波长无关

B. 增大镜头孔径可以提高分辨率，理论上没有极限

C. 使用波长更短的光可以提高分辨率

D. 在相同孔径下，红光比紫光的分辨率更高

答案：C

由瑞利判据 θmin=1.22λ/D\theta_{min} = 1.22\lambda / Dθmin​=1.22λ/D 可知，波长 λ\lambdaλ 越短，最小分辨角越小，分辨率越高，选项 C 正确。选项 A 错误，分辨率受衍射限制，与加工精度无关；选项 B 表述有误，增大孔径确实能提高分辨率，但这是在衍射极限框架内的提升，不是“没有极限”；选项 D 错误，红光波长比紫光长，分辨率反而更低。

计算题

5. 在杨氏双缝干涉实验中，双缝间距 d=0.4 mmd = 0.4\ \text{mm}d=0.4 mm，双缝到光屏的距离 L=1.2 mL = 1.2\ \text{m}L=1.2 m，测得相邻亮纹间距 Δy=1.65 mm\Delta y = 1.65\ \text{mm}Δy=1.65 mm。求入射光的波长 λ\lambdaλ，并判断该光属于何种颜色。

解：

由双缝干涉条纹间距公式：

Δy=λLd\Delta y = \frac{\lambda L}{d}Δy=dλL​

解出波长：

λ=Δy⋅dL=1.65×10−3×0.4×10−31.2=6.6×10−71.2≈5.5×10−7 m=550 nm\lambda = \frac{\Delta y \cdot d}{L} = \frac{1.65 \times 10^{-3} \times 0.4 \times 10^{-3}}{1.2} = \frac{6.6 \times 10^{-7}}{1.2} \approx 5.5 \times 10^{-7}\ \text{m} = 550\ \text{nm}λ=LΔy⋅d​=1.21.65×10−3×0.4×10−3​=1.26.6×10−7​≈5.5×10−7 m=550 nm

可见光各颜色对应波长范围：

颜色波长范围
紫光380∼450 nm380 \sim 450\ \text{nm}380∼450 nm
蓝光450∼495 nm450 \sim 495\ \text{nm}450∼495 nm
绿光495∼570 nm495 \sim 570\ \text{nm}495∼570 nm
黄光570∼590 nm570 \sim 590\ \text{nm}570∼590 nm
橙光590∼620 nm590 \sim 620\ \text{nm}590∼620 nm
红光620∼750 nm620 \sim 750\ \text{nm}620∼750 nm

λ=550 nm\lambda = 550\ \text{nm}λ=550 nm 位于绿光范围（495∼570 nm495 \sim 570\ \text{nm}495∼570 nm）内，因此该入射光为绿光。

6. 一台天文望远镜的物镜直径 D=20 cmD = 20\ \text{cm}D=20 cm，取入射光波长 λ=550 nm\lambda = 550\ \text{nm}λ=550 nm。（1）求该望远镜的最小分辨角 θmin\theta_{min}θmin​；（2）已知月球到地球的距离 L=3.84×108 mL = 3.84 \times 10^{8}\ \text{m}L=3.84×108 m，求该望远镜在月球表面能分辨的最小特征间距 Δx\Delta xΔx。

解：

第一步，求最小分辨角：

θmin=1.22λD=1.22×550×10−90.20=1.22×2.75×10−6≈3.36×10−6 rad\theta_{min} = 1.22 \frac{\lambda}{D} = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{0.20} = 1.22 \times 2.75 \times 10^{-6} \approx 3.36 \times 10^{-6}\ \text{rad}θmin​=1.22Dλ​=1.22×0.20550×10−9​=1.22×2.75×10−6≈3.36×10−6 rad

第二步，求月面可分辨的最小间距：

由于 θmin\theta_{min}θmin​ 极小，tan⁡θmin≈θmin\tan\theta_{min} \approx \theta_{min}tanθmin​≈θmin​，故：

Δx=L⋅θmin=3.84×108×3.36×10−6≈1.29×103 m≈1.3 km\Delta x = L \cdot \theta_{min} = 3.84 \times 10^{8} \times 3.36 \times 10^{-6} \approx 1.29 \times 10^{3}\ \text{m} \approx 1.3\ \text{km}Δx=L⋅θmin​=3.84×108×3.36×10−6≈1.29×103 m≈1.3 km

该望远镜在月球表面能分辨的最小特征约为 1.3 km1.3\ \text{km}1.3 km。要提高分辨率，可以增大物镜口径。口径增大 10 倍（D=2 mD = 2\ \text{m}D=2 m），可分辨的最小间距减小为约 130 m130\ \text{m}130 m，这就是为什么大型天文望远镜要尽量做大口径的原因。

  • 光的干涉
    • 相干光的条件
    • 杨氏双缝实验
  • 薄膜干涉
    • 半波损失
    • 薄膜干涉的光程差
  • 光的衍射
    • 单缝衍射
  • 光学仪器的分辨率
    • 瑞利判据
  • 练习题
    • 选择题
    • 计算题

目录

  • 光的干涉
    • 相干光的条件
    • 杨氏双缝实验
  • 薄膜干涉
    • 半波损失
    • 薄膜干涉的光程差
  • 光的衍射
    • 单缝衍射
  • 光学仪器的分辨率
    • 瑞利判据
  • 练习题
    • 选择题
    • 计算题