物理 高级物理二 光的偏振与色散 光的偏振与色散
光是一种电磁波，它的振动方向与传播方向垂直——正是这一横波特性，决定了偏振现象的存在。偏振光与普通自然光在外观上看起来没什么差别，但通过一块偏振片，两者立刻显出截然不同的表现。色散现象则揭示了光与物质相互作用时，不同颜色的光折射能力有所不同的规律。这两个现象背后，都隐藏着光的波动本质。
自然光与偏振光
光波是电磁波，其电场强度矢量 E ⃗ \vec{E} E E ⃗ \vec{E} E 线偏振光 （或平面偏振光）。
自然光的结构
普通光源（如太阳、灯泡）发出的光，是由大量原子各自独立辐射的叠加。每个原子发光时，其电场振动方向是随机的，且振动方向在极短时间内就会改变。从宏观来看，自然光在垂直于传播方向的平面内，各个振动方向的分量强度相等，没有任何优先方向，这就是自然光 。
下表对比了自然光与偏振光的基本特征：
偏振片的作用
偏振片 （又称起偏器）是一种只允许某一特定振动方向的光通过的光学元件，这个方向称为偏振片的透振方向 。
当自然光通过偏振片后，只有平行于透振方向的电场分量得以通过。由于自然光各方向强度均等，通过后的偏振光强度恰好是入射自然光强度的一半：
I 1 = I 0 2 I_1 = \frac{I_0}{2} I 1 = 2 I 0
示例一 ：一束强度为 I 0 = 200 W/m 2 I_0 = 200\ \text{W/m}^2 I 0 = 200 W/m 2
I 1 = I 0 2 = 200 2 = 100 W/m 2 I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{200}{2} = 100\ \text{W/m}^2 I 1 = 2 I 0 = 2 200 = 100 W/m 2
若将两块偏振片叠放，第一块称为起偏器，第二块称为检偏器。当两块偏振片的透振方向夹角为 90 ° 90° 90°
偏振现象是横波特有的性质。声波是纵波，振动方向与传播方向平行，因此声波不存在偏振现象。光的偏振是证明光是横波的直接证据。
马吕斯定律
当一束线偏振光入射到检偏器上时，透射光的强度如何随两者透振方向的夹角变化？1809年，法国物理学家马吕斯（Malus）通过实验给出了定量规律。
定律表述
设入射线偏振光的强度为 I 0 I_0 I 0 θ \theta θ
I = I 0 cos 2 θ I = I_0 \cos^2\theta I = I 0 cos 2 θ
这就是马吕斯定律 。当 θ = 0 ° \theta = 0° θ = 0° cos 2 θ = 1 \cos^2\theta = 1 cos 2 θ = 1 θ = 90 ° \theta = 90° θ = 90° cos 2 θ = 0 \cos^2\theta = 0 cos 2 θ = 0
示例二 ：一束强度 I 0 = 400 W/m 2 I_0 = 400\ \text{W/m}^2 I 0 = 400 W/m 2 θ = 60 ° \theta = 60° θ = 60°
I = I 0 cos 2 60 ° = 400 × ( 1 2 ) 2 = 400 × 1 4 = 100 W/m 2 I = I_0 \cos^2 60° = 400 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 400 \times \frac{1}{4} = 100\ \text{W/m}^2 I = I 0 cos 2 60° = 400 × ( 2 1 ) 2 = 400 × 4 1 = 100 W/m 2
示例三 ：自然光先经过起偏器，再经过检偏器，两块偏振片透振方向夹角为 θ = 30 ° \theta = 30° θ = 30° I 0 I_0 I 0 I 0 / 2 I_0/2 I 0 /2
I = I 0 2 cos 2 30 ° = I 0 2 × 3 4 = 3 I 0 8 I = \frac{I_0}{2} \cos^2 30° = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3I_0}{8} I = 2 I 0 cos 2 30° = 2 I 0 × 4 3 = 8 3 I 0
最终透射强度为原始自然光强度的 37.5 % 37.5\% 37.5%
马吕斯定律只适用于入射光为线偏振光的情况。自然光通过检偏器时不能直接套用此公式——自然光先要经过起偏器变成偏振光，再由马吕斯定律计算第二块偏振片的透射结果。
偏振光的实际应用
偏振原理在生活中有广泛应用。摄影镜头前的偏振滤光镜（CPL镜）可以消除水面或玻璃的反射眩光，因为反射光是部分偏振光，偏振镜能将其滤除。液晶显示器（LCD）的工作原理也依赖偏振：两块正交偏振片之间夹着液晶层，通过电场控制液晶分子的旋光能力，实现像素的明暗切换。
折射率与色散
将白光射入三棱镜，出射光会被分散成彩虹般的色带，红色偏折最少，紫色偏折最多。这种现象称为色散 ，其根本原因在于不同颜色（不同波长）的光在同一介质中折射率不同。
折射率与波长的关系
光在真空中的速度 c ≈ 3 × 10 8 m/s c \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s} c ≈ 3 × 1 0 8 m/s
n = c v n = \frac{c}{v} n = v c
通常情况下，波长越短（紫色端），折射率越大；波长越长（红色端），折射率越小。这种折射率随波长增大而减小的现象称为正常色散 。
法国物理学家柯西（Cauchy）提出了一个近似描述正常色散的经验公式：
n ( λ ) = A + B λ 2 n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} n ( λ ) = A + λ 2 B
其中 A A A B B B λ \lambda λ m \text{m} m
下表列出了普通冕牌玻璃（BK7）对几种典型光线的折射率：
示例四 ：某玻璃对红光（λ R = 656 nm \lambda_R = 656\ \text{nm} λ R = 656 nm n R = 1.514 n_R = 1.514 n R = 1.514 λ V = 405 nm \lambda_V = 405\ \text{nm} λ V = 405 nm n V = 1.531 n_V = 1.531 n V = 1.531 i = 30 ° i = 30° i = 30°
由折射定律 sin i = n sin r \sin i = n \sin r sin i = n sin r sin r = sin i / n \sin r = \sin i / n sin r = sin i / n
红光折射角：sin r R = sin 30 ° 1.514 = 0.500 1.514 ≈ 0.3303 \sin r_R = \frac{\sin 30°}{1.514} = \frac{0.500}{1.514} \approx 0.3303 sin r R = 1.514 s i n 30° = 1.514 0.500 ≈ 0.3303 r R ≈ 19.3 ° r_R \approx 19.3° r R ≈ 19.3°
紫光折射角：sin r V = sin 30 ° 1.531 = 0.500 1.531 ≈ 0.3267 \sin r_V = \frac{\sin 30°}{1.531} = \frac{0.500}{1.531} \approx 0.3267 sin r V = 1.531 s i n 30° = 1.531 0.500 ≈ 0.3267 r V ≈ 19.1 ° r_V \approx 19.1° r V ≈ 19.1°
两者折射角相差 0.2 ° 0.2° 0.2°
彩虹的形成
大气中悬浮的水滴相当于无数个微型棱镜加上球面反射镜。阳光从水滴正面射入，经折射、在内壁全反射，再折射出来。由于折射率随波长变化，不同颜色的光出射方向略有差异。红光从水滴出射的偏转角约为 42 ° 42° 42° 40 ° 40° 40°
色散不仅是光学仪器中需要校正的“色差”问题，也是光谱分析的物理基础。通过测量某种元素发出的光被棱镜分散后的位置，可以精确确定该元素发射的特征谱线波长，从而鉴别元素种类——这就是光谱分析技术的核心原理。
双折射与波片
某些晶体（如方解石、石英）具有各向异性结构，光线进入这类晶体后会分裂成沿不同方向传播的两束偏振光，这种现象称为双折射 （birefringence）。
双折射现象
将一块方解石晶体放在一张有字的纸上，透过晶体会看到文字出现双像——这正是双折射的直观体现。
在双折射晶体中，有一个特殊方向称为光轴 （不是指某一条线，而是一个方向）。沿光轴方向传播的光不发生双折射。对于沿其他方向入射的光，晶体将其分为两束：
方解石中，n o = 1.658 n_o = 1.658 n o = 1.658 n e = 1.486 n_e = 1.486 n e = 1.486 Δ n = n o − n e = 0.172 \Delta n = n_o - n_e = 0.172 Δ n = n o − n e = 0.172
示例五 ：一束自然光垂直射入方解石晶片（光轴与晶片表面平行）。o光和e光都沿原方向传播，但由于折射率不同，通过厚度为 d = 0.1 mm = 1 × 10 − 4 m d = 0.1\ \text{mm} = 1 \times 10^{-4}\ \text{m} d = 0.1 mm = 1 × 1 0 − 4 m
Δ L = ( n o − n e ) ⋅ d = 0.172 × 1 × 10 − 4 m = 1.72 × 10 − 5 m = 17200 nm \Delta L = (n_o - n_e) \cdot d = 0.172 \times 1 \times 10^{-4}\ \text{m} = 1.72 \times 10^{-5}\ \text{m} = 17200\ \text{nm} Δ L = ( n o − n e ) ⋅ d = 0.172 × 1 × 1 0 − 4 m = 1.72 × 1 0 − 5 m = 17200 nm
这个光程差远大于可见光波长，两束偏振光的相位差较大，这正是波片利用双折射控制偏振态的基础。
波片的原理与应用
波片 （wave plate）是一块切割方向经过精确设计的双折射晶片，其光轴平行于晶片表面。当偏振光通过波片时，o光和e光在晶片内的速度不同，出射时产生相位差，从而改变出射光的偏振状态。
波片的核心参数是它引入的相位差 δ \delta δ
δ = 2 π λ ( n o − n e ) d \delta = \frac{2\pi}{\lambda}(n_o - n_e)d δ = λ 2 π ( n o − n e ) d
其中 λ \lambda λ d d d
示例六 ：一束线偏振光通过四分之一波片，入射光振动方向与波片光轴夹角为 45 ° 45° 45° 90 ° 90° 90° 90 ° 90° 90° 圆偏振光 。圆偏振光的应用之一是3D电影技术——两路影像分别使用左旋和右旋圆偏振光，观众佩戴对应的偏振眼镜，左右眼各自只接收一路信号，从而产生立体视觉。
偏振技术在现代生活中无处不在：LCD屏幕、相机CPL镜、3D眼镜、汽车防眩光挡风玻璃、光通信中的偏振复用，乃至天文望远镜中对恒星偏振光的观测，都是偏振光学的具体应用。
练习题
选择题
1. 一束自然光依次经过两块偏振片，第一块偏振片的透振方向与第二块的透振方向夹角为 60 ° 60° 60° I 0 I_0 I 0
A. I 0 2 \dfrac{I_0}{2} 2 I 0
B. I 0 4 \dfrac{I_0}{4} 4 I 0
C. I 0 8 \dfrac{I_0}{8} 8 I 0
D. 3 I 0 8 \dfrac{3I_0}{8} 8 3 I 0
答案：C
自然光经第一块偏振片后，强度变为 I 1 = I 0 / 2 I_1 = I_0/2 I 1 = I 0 /2
I = I 1 cos 2 60 ° = I 0 2 × ( 1 2 ) 2 = I 0 2 × 1 4 = I 0 8 I = I_1 \cos^2 60° = \frac{I_0}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8} I = I 1 cos 2 60° = 2 I 0 × ( 2 1 ) 2 = 2 I 0 × 4 1 = 8 I 0
选项 D 对应的是夹角 30 ° 30° 30° cos 2 30 ° = 3 / 4 \cos^2 30° = 3/4 cos 2 30° = 3/4
2. 关于光的偏振现象，下列说法正确的是（ ）
A. 声波也可以发生偏振，因为声波也是一种波
B. 两块偏振片正交放置时，透射光强等于入射自然光强的一半
C. 偏振现象是横波独有的特征，是证明光为横波的依据之一
D. 线偏振光通过偏振片后，出射光的强度一定大于零
答案：C
A 错误：声波是纵波，振动方向与传播方向平行，不存在偏振现象。
B 错误：两块偏振片正交（夹角 90 ° 90° 90° cos 2 90 ° = 0 \cos^2 90° = 0 cos 2 90° = 0 I 0 / 2 I_0/2 I 0 /2
C 正确：只有横波才有偏振，偏振是横波的标志性特征。
D 错误：当线偏振光振动方向与偏振片透振方向垂直时（夹角 90 ° 90° 90°
3. 白光通过三棱镜发生色散后，偏折角最大的颜色是（ ）
A. 红光，因为红光波长最长，能量最大
B. 紫光，因为紫光频率最高，折射率最大
C. 黄光，因为黄光位于可见光中间
D. 红光，因为红光折射率最大
答案：B
正常色散规律：波长越短、频率越高的光，在介质中折射率越大，折射角越小（对同一入射角），在棱镜中偏折越大。紫光波长最短（约 380 ∼ 430 nm 380\sim 430\ \text{nm} 380 ∼ 430 nm 620 ∼ 750 nm 620\sim 750\ \text{nm} 620 ∼ 750 nm
4. 一束线偏振光通过四分之一波片，入射光振动方向与波片光轴夹角恰好为 45 ° 45° 45°
A. 自然光
B. 线偏振光，振动方向旋转了 45 ° 45° 45°
C. 圆偏振光
D. 消光（光强为零）
答案：C
四分之一波片引入 90 ° 90° 90° 45 ° 45° 45° 90 ° 90° 90° 90 ° 90° 90° 圆偏振光 。若夹角不等于 45 ° 45° 45°
计算题
5. 一束强度 I 0 = 600 W/m 2 I_0 = 600\ \text{W/m}^2 I 0 = 600 W/m 2 P 1 P_1 P 1 P 2 P_2 P 2 P 3 P_3 P 3 P 1 P_1 P 1 P 2 P_2 P 2 θ 1 = 30 ° \theta_1 = 30° θ 1 = 30° P 2 P_2 P 2 P 3 P_3 P 3 θ 2 = 45 ° \theta_2 = 45° θ 2 = 45° I 3 I_3 I 3
解：
第一步，自然光通过 P 1 P_1 P 1
I 1 = I 0 2 = 600 2 = 300 W/m 2 I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{600}{2} = 300\ \text{W/m}^2 I 1 = 2 I 0 = 2 600 = 300 W/m 2
此时出射光为线偏振光。
第二步，偏振光通过 P 2 P_2 P 2 θ 1 = 30 ° \theta_1 = 30° θ 1 = 30°
I 2 = I 1 cos 2 30 ° = 300 × ( 3 2 ) 2 = 300 × 3 4 = 225 W/m 2 I_2 = I_1 \cos^2 30° = 300 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 300 \times \frac{3}{4} = 225\ \text{W/m}^2 I 2 = I 1 cos 2 30° = 300 × ( 2 3 ) 2 = 300 × 4 3 = 225 W/m 2
第三步，偏振光通过 P 3 P_3 P 3 θ 2 = 45 ° \theta_2 = 45° θ 2 = 45°
I 3 = I 2 cos 2 45 ° = 225 × ( 2 2 ) 2 = 225 × 1 2 = 112.5 W/m 2 I_3 = I_2 \cos^2 45° = 225 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 225 \times \frac{1}{2} = 112.5\ \text{W/m}^2 I 3 = I 2 cos 2 45° = 225 × ( 2 2 ) 2 = 225 × 2 1 = 112.5 W/m 2
最终出射光强度为 I 3 = 112.5 W/m 2 I_3 = 112.5\ \text{W/m}^2 I 3 = 112.5 W/m 2 18.75 % 18.75\% 18.75%
注意：每经过一块偏振片，出射光都是以该偏振片透振方向为振动方向的线偏振光，因此可以在相邻两块之间逐步使用马吕斯定律。
6. 某玻璃棱镜对红光（λ R = 700 nm \lambda_R = 700\ \text{nm} λ R = 700 nm n R = 1.510 n_R = 1.510 n R = 1.510 λ V = 420 nm \lambda_V = 420\ \text{nm} λ V = 420 nm n V = 1.545 n_V = 1.545 n V = 1.545 i = 45 ° i = 45° i = 45°
解：
由折射定律 n 空气 sin i = n sin r n_{\text{空气}} \sin i = n \sin r n 空气 sin i = n sin r 1 1 1 sin r = sin i n \sin r = \dfrac{\sin i}{n} sin r = n sin i
入射角 i = 45 ° i = 45° i = 45° sin 45 ° = 2 2 ≈ 0.7071 \sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 sin 45° = 2 2 ≈ 0.7071
红光折射角：
sin r R = 0.7071 1.510 ≈ 0.4682 ⟹ r R = arcsin ( 0.4682 ) ≈ 27.9 ° \sin r_R = \frac{0.7071}{1.510} \approx 0.4682 \implies r_R = \arcsin(0.4682) \approx 27.9° sin r R = 1.510 0.7071 ≈ 0.4682 ⟹ r R = arcsin ( 0.4682 ) ≈ 27.9°
紫光折射角：
sin r V = 0.7071 1.545 ≈ 0.4577 ⟹ r V = arcsin ( 0.4577 ) ≈ 27.2 ° \sin r_V = \frac{0.7071}{1.545} \approx 0.4577 \implies r_V = \arcsin(0.4577) \approx 27.2° sin r V = 1.545 0.7071 ≈ 0.4577 ⟹ r V = arcsin ( 0.4577 ) ≈ 27.2°
红光折射角 r R ≈ 27.9 ° r_R \approx 27.9° r R ≈ 27.9° r V ≈ 27.2 ° r_V \approx 27.2° r V ≈ 27.2° 0.7 ° 0.7° 0.7°
这说明紫光比红光折射更强（折射角更小，偏折更大）。当白光通过棱镜后，不同颜色的光沿不同方向射出，在屏幕上形成从红到紫的彩色光带，即色散现象。折射率差 Δ n = n V − n R = 1.545 − 1.510 = 0.035 \Delta n = n_V - n_R = 1.545 - 1.510 = 0.035 Δ n = n V − n R = 1.545 − 1.510 = 0.035 色散率 ，是评价光学玻璃质量的重要指标。
