基础排队模型：M/M/1 与 Little 定律 | 自在学

08 M/M/1 排队模型与 Little 定律

午餐时间，只有一个窗口办理取餐。顾客以平均每分钟 2 人的速度到达，窗口平均每分钟服务 2.4 人。看起来服务能力略有富余，但“略有富余”够不够？平均要等多久？窗口有多大比例的时间在忙？如果把到达速度调到每分钟 2.39 人，等待会只增加一点点，还是会突然变得很长？

排队模型回答这些问题时，真正需要的是系统状态随时间的变化，而不只是两个平均数。M/M/1 模型用 Poisson 到达、指数服务时间和一个服务台把问题压缩成一条状态链；稳定条件和各种指标，都可以从这条链逐步推出。

模型和状态

令 $N(t)$ 表示时刻 $t$ 系统中的顾客数，包括正在接受服务的顾客。假设：

顾客到达过程是速率 $\lambda$ 的 Poisson 过程；
每位顾客的服务时间独立同分布，服从速率 $\mu$ 的指数分布，平均服务时间为 $1/\mu$ ；
只有一个服务台，队列容量无限，顾客按先到先服务；
到达过程与服务时间相互独立。

“M/M/1”中的第一个 M 表示到达间隔具有无记忆的指数结构，第二个 M 表示服务时间也有同样结构，1 表示一个服务台。指数分布让我们只需要知道当前人数，不必额外记住当前顾客已经服务了多久。

在很小的时间间隔 $h$ 内，若当前有 $n\ge1$ 位顾客：

\begin{aligned} \mathbb P(N(t+h)=n+1\mid N(t)=n)&=\lambda h+o(h),\\ \mathbb P(N(t+h)=n-1\mid N(t)=n)&=\mu h+o(h),\\ \mathbb P(N(t+h)=n\mid N(t)=n)&=1-(\lambda+\mu)h+o(h). \end{aligned}

若 $n=0$ ，没有人可服务，所以向下跳的概率为 0：

\mathbb P(N(t+h)=1\mid N(t)=0)=\lambda h+o(h),qquad \mathbb P(N(t+h)=0\mid N(t)=0)=1-\lambda h+o(h).

M/M/1 系统中到达、排队、服务和离开的流程

M/M/1 人数状态链的向上到达率 λ 与向下服务率 μ

稳定条件：为什么必须有 $\lambda<\mu$

先用一个不依赖平衡分布的速度检查。长期每单位时间到达的顾客数约为 $\lambda$ ，而服务台每单位时间最多完成的顾客数约为 $\mu$ 。如果 $\lambda>\mu$ ，顾客进入的速度超过离开的最大速度，队列必然越积越长；如果 $\lambda=\mu$ ，系统没有严格的净排出能力，长期平均人数也不会稳定在有限水平。

更精确地，若观察到很长时间 $t$ ，令 $A(t)$ 为到达数、 $D(t)$ 为离开数，则

N(t)=N(0)+A(t)-D(t).

当系统长期稳定时，左右两端除以 $t$ 后，人数的净变化应消失，即

\frac{A(t)}t-\frac{D(t)}t\longrightarrow0.

Poisson 到达给出 $A(t)/t\to\lambda$ 。服务台忙碌的时间比例记为 $u$ ，忙时服务完成速率为 $\mu$ ，所以离开率是 $D(t)/t\to u\mu$ 。稳定平衡要求 $\lambda=u\mu$ ，而，因此必有；要使空闲概率为正、平均人数有限，需要严格的。

定义交通强度

\rho=\frac{\lambda}{\mu}.

稳定条件就是 $\rho<1$ 。 $\rho$ 不是“队列长度的平均值”，而是到达速度相对于服务能力的比例；在稳定的 M/M/1 中它还会等于服务台长期忙碌的比例。

不能因为 $\lambda$ 只比 $\mu$ 小一点，就把系统当作“几乎不排队”。当 $\rho$ 接近 1 时，许多平均指标含有 $1-\rho$ 作为分母，等待时间会急剧放大。稳定是有限平均值存在的门槛，不是服务体验已经良好的保证。

平稳分布：从相邻状态平衡推出几何形状

设系统达到稳态，记

p_n=\mathbb P(N=n),qquad n=0,1,2,\ldots.

状态 0 只能通过服务完成从状态 1 进入，也只能通过一次到达从状态 0 离开。平衡方程为

p_0\lambda=p_1\mu.

对任意 $n\ge1$ ，流入状态 $n$ 的方式有两种：从 $n-1$ 到达，或从 $n+1$ 服务完成；流出也有两种：向上到达，向下服务。因此

p_{n-1}\lambda+p_{n+1}\mu=p_n(\lambda+\mu).

一种容易使用的候选解是局部流量逐边平衡：

p_n\lambda=p_{n+1}\mu.

它对 $n=0$ 就是第一条方程；若对所有 $n$ 成立，也自动满足内部状态的总平衡，因为左边的流入和流出各项可以逐一配对。于是

p_{n+1}=\frac{\lambda}{\mu}p_n=\rho p_n,

递推得到

p_n=\rho^n p_0.

概率总和必须为 1：

1=\sum_{n=0}^{\infty}p_n=p_0\sum_{n=0}^{\infty}\rho^n.

只有在 $\rho<1$ 时几何级数收敛，此时

\sum_{n=0}^{\infty}\rho^n=\frac1{1-\rho},qquad p_0=1-\rho,

最终得到

\boxed{p_n=(1-\rho)\rho^n,qquad n=0,1,2,\ldots.}

M/M/1 稳态人数分布 p_n=(1−ρ)ρ^n 的几何衰减

这个推导同时解释了稳定条件：当 $\rho\ge1$ 时，形式上的 $p_n$ 无法归一化成概率分布。不是公式失效后再额外补一个条件，而是“存在有限稳态概率分布”本身逼出了 $\rho<1$ 。

M/M/1 相邻状态之间到达流和服务流的局部平衡

从平稳分布推出队列指标

系统人数与队列人数

稳态系统人数的均值为

L=\mathbb E[N]=\sum_{n=0}^{\infty}n(1-\rho)\rho^n.

利用几何级数求导，

\sum_{n=0}^{\infty}\rho^n=\frac1{1-\rho} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}n\rho^{n-1}=\frac1{(1-\rho)^2}.

乘以 $\rho(1-\rho)$ ，得到

\boxed{L=\frac{\rho}{1-\rho}}.

队列人数不包含正在服务的顾客。系统中有顾客的概率是

\mathbb P(N\ge1)=1-p_0=\rho,

所以平均在服务台上的顾客数为 $\rho$ ，从系统人数中减去这一项：

\boxed{L_q=L-\rho=\frac{\rho^2}{1-\rho}}.

有效到达率与 Little 定律

在稳定的无限容量系统里，长期有效到达率就是 $\lambda$ 。如果顾客在系统中的停留时间记为 $W$ ，Little 定律给出

\boxed{L=\lambda W}.

下面把这个关系的来源写出来。取一段长时间 $[0,T]$ ，把每位在这段观察中进入系统的顾客画成一条水平时间线，线段从到达到离开，长度就是他的系统停留时间。所有线段长度之和记为 $\sum_i W_i$ 。从另一个方向看，在每个时刻，横截面上有 $N(t)$ 条线段，所以同一块面积也等于

\int_0^T N(t)\,dt.

因此

\frac1T\sum_i W_i=\frac1T\int_0^T N(t)\,dt.

当 $T$ 很长时，左边约等于单位时间到达人数 $\lambda$ 乘以平均停留时间 $W$ ，右边约等于长期平均人数 $L$ 。两边相等就得到 $L=\lambda W$ 。这个面积论证只需要长期平均存在和系统处于守恒状态，并不依赖 M/M/1 的几何分布。

Little 定律的面积解释：顾客停留时间线段总面积等于人数曲线下的面积

排队部分的关系完全相同。令 $W_q$ 为排队等待时间，不含服务时间，则

L_q=\lambda W_q.

因此

W=\frac{L}{\lambda} =\frac{\rho}{\lambda(1-\rho)} =\frac1{\mu-\lambda},

以及

W_q=\frac{L_q}{\lambda} =\frac{\rho^2}{\lambda(1-\rho)} =\frac{\rho}{\mu-\lambda} =\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}.

还可以从时间分解检查：顾客在系统中的时间等于排队时间加服务时间，而平均服务时间是 $1/\mu$ ，所以

W_q+\frac1\mu =\frac{\rho}{\mu-\lambda}+\frac1\mu =\frac1{\mu-\lambda}=W.

M/M/1 中利用率、平均人数、排队时间随 ρ 接近 1 而急剧增长

例题：窗口的平均体验

某窗口顾客到达率为每小时 $8$ 人，服务率为每小时 $10$ 人。求交通强度、服务台忙碌比例、平均系统人数、平均排队人数、平均系统停留时间和平均排队等待时间。

先检查稳定性：

\rho=\lambda/\mu=8/10=0.8<1

，所以可以使用 M/M/1 的稳态公式；若跳过这一步，后面的“平均”可能根本没有有限稳态含义。

服务台忙碌比例是。平均系统人数为，平均排队人数为。

可以在模拟器中逐渐把 $\rho$ 从 0.5 调到 0.95。每次改变参数前，先根据公式写下 $L$ 、 $L_q$ 、 $W$ 的预测；运行时观察有限样本与理论值的偏差，并把“模拟时间不够长”和“模型不稳定”区分开。尤其要看 $\rho$ 接近 1 时，队列曲线为什么会出现很长的爬坡。

第二个交互把顾客的到达—离开区间画成横线，同时画出人数曲线。你可以拖动服务时间或到达间隔，观察同一块面积如何既能按顾客求和，又能按时刻积分。若两种面积不一致，应优先检查是否把观察窗口边界处尚未离开的顾客漏算了。

练习

练习 1｜巩固：稳态分布和忙碌比例

某 M/M/1 系统的到达率为每分钟 $3$ 人，服务率为每分钟 $5$ 人。求 $\rho$ 、空闲概率和稳态下系统人数至少为 2 的概率。

练习 2｜变式：接近临界时的数量级

比较两个系统：A 的 $(\lambda,\mu)=(6,10)$ ，B 的 $(\lambda,\mu)=(9,10)$ ，单位均为每小时。分别求 $L$ 和 $W$ ，并解释为什么到达率只增加 3 人/小时会带来很大的等待变化。

练习 3｜巩固：从队列人数得到等待时间

某稳定排队系统长期有效到达率为每小时 $12$ 人，平均排队人数为 $L_q=3$ 。求平均排队等待时间。若平均服务时间为 4 分钟，求平均系统停留时间。

练习 4｜迁移：容量与有效到达率

一个服务台的原始到达过程速率为每小时 $5$ 人，服务率为每小时 $4$ 人。系统容量有限，只能容纳正在服务的 1 人和队列中的 2 人；到达时若已满就被拒绝。说明为什么不能直接套用无限容量 M/M/1 的 $\rho/(1-\rho)$ ，并判断长期有效到达率是否等于 5。

无限容量 M/M/1 公式要求 $\rho=5/4<1$ ，这里不仅不稳定，而且实际容量是有限的，模型假设已经改变。系统最多有 3 人，存在稳态，但一部分到达会在满载时被拒绝，所以长期有效到达率小于原始到达率 5；它等于原始到达率乘以“到达时系统未满”的概率。

在 Poisson 到达的条件下，到达时刻长期看到满载的比例等于系统处于满载的时间比例，因此有效到达率可以写成原始到达率乘以“不满载”的概率。但这个概率仍要通过有限状态的出生—死亡平衡方程求出；不能把无限容量的 $L$ 、 $W$ 公式硬套过来。

练习 5｜迁移：用面积核对数据

在一段长度为 10 分钟的观察窗内，人数曲线 $N(t)$ 的面积为 24 人·分钟；这段时间有 6 位顾客完成了从到达到离开的完整停留。用面积方法估计这 6 位顾客的平均停留时间，并说明边界顾客会造成什么问题。

由面积恒等关系，完整计入的顾客停留时间总和约为 24 人·分钟，因此平均停留时间约为 $24/6=4$ 分钟。

若观察窗开始时已有顾客，或结束时仍有顾客没有离开，直接把人数曲线面积全部归给这 6 位完整顾客会产生边界误差。观察时间足够长时，边界贡献相对于总面积通常可以忽略；在短窗口中则应单独补上或删去边界线段。

在稳定的 M/M/1 系统中，ρ=λ/μ 表示什么？

Little 定律 L=λW 只对 M/M/1 排队成立。

ρ^{n}

p_n=(1-\rho)\rho^n