一台设备停机了，你想估计明天能修好的概率。只知道它“正在维修”也许还不够：刚开始修，和已经修了好几天，接下来的情况未必一样。随机过程的第一道难题往往就在这里——应该记录什么，才能把眼前的系统说清楚？
这门课会陪你把这样的描述写成可以计算的模型。状态怎样变化，一段具体经历发生的概率是多少，经过很长时间以后会不会稳定，都要从同一套假设推出来。我会把方程和它对应的情境放在一起讲：转移矩阵里的一行，是从当前状态出发的全部去向；排队模型里的一个比值，则可能决定队伍能否维持在稳定的水平。算出答案以后，还要回头检查这些假设是否适合原来的问题。
开始前需要会的东西
条件概率、独立性、期望与方差应当比较熟悉。全概率公式尤其常用：系统下一刻到达某个状态，可能有好几条互斥的来路，要把它们的贡献加起来。读到长期平均时，还会用到大数定律；指数分布、Poisson 分布不熟悉的话，可以回看概率论中相应的小节。
矩阵乘法和线性方程组也需要会用。你不必一开始就熟练掌握所有特征值方法，但至少应能解释“分布行向量乘转移矩阵”为什么给出下一步分布。连续时间部分会出现导数、积分和简单的微分方程。这里不会从头补讲这些工具，遇到计算卡住时，回到具体的两状态例子，把每一项的含义写出来，往往比直接背一个矩阵公式更有帮助。
第一章还会用“过滤”表示已经观察到的信息。这个记号看上去抽象，我们会用两次抛硬币的分组把它讲清楚：看到第一次结果以后，哪些事已经能判断，哪些事仍要等第二次揭晓。读懂这个例子，再去理解条件期望和后面的鞅，会踏实许多。
从一步变化走到长期行为
离散时间部分从状态、路径和转移矩阵出发。多走几步以后，问题会分开：某个状态能不能到达，离开以后是否会回来，吸收之前平均要等多久。这些问题的边界条件不同，方程也不能混用。谈到平稳分布时，我们会特别区分“把这个分布放进去仍保持不变”和“从别的分布出发逐渐靠近它”。周期链能很直接地告诉你，两句话为什么不等价。
连续时间模型还得回答另一个问题：每次改变之间等多久。指数等待与生成矩阵把等待时间、跳转去向连在一起。Poisson 过程则把视线放到事件到达的时间线上，从很短时间内零次、一次和多次到达的概率量级，推到整段时间里的计数分布。这里的条件是多次到达的概率比时间长度更快地趋于零，并不是说短时间内绝对不可能发生两次。
后面的更新过程允许间隔不再服从指数分布。你会看到，离开 Poisson 的特殊结构以后，有些计算要换方法，但周期和长期平均仍能帮助我们理解系统。排队与更新报酬把这些工具落到队长、等待时间、设备可用率和平均收益上。离散鞅部分再回到信息：所谓公平，是已知目前的历史以后，下一步的条件平均变化仍为零；选择一个随机时刻停止，还必须检查相应条件，不能直接宣称期望一定不变。
章节之间的衔接
把实验里的变化带回纸上
第一章的天气实验就可以这样读：把“晴后继续晴”的概率调高，第二天放晴可能更容易，但“第一天下雨、第二天放晴”这件事反而可能更少发生。两个问题看起来都在问晴天，却筛选了不同的路径。留一张纸写下你筛选的事件，再去看图上的分支，比只盯着最后一个小数更容易发现差别。
到了排队模型，同样要留意观察的对象。系统里有多少人、队伍里等着多少人、每个人总共停留多久，不能随手互换。实验中的随机曲线也会波动，一次运行偏离理论值并不直接说明公式有错；要把模型条件、模拟长度和统计对象一起核对。
推导较密的部分可以分几次读。跟着例子建立状态与方程以后，遮住解答，自己写出第一步分解；做习题时再改换初始条件或边界，看看原来的方法在哪一步需要调整。若能从一段新的系统描述出发，写明状态、假设、计算和适用边界，这门课里的工具就开始成为你自己的了。