06 连通性：分离、路径与连续像

把两个区间的端点推到同一个位置，空间就连起来了吗？还得看那个端点有没有留下。$[-2,0)\cup(0,2]$ 少了 $0$，而 $[-2,0]\cup(0,2]$ 等于完整的 $[-2,2]$。两个图形可以画得几乎一样，连通性的答案却不同。

拓扑中的“分开”要同时满足开性、不相交、非空和覆盖。只画一条切线，或者只说两个集合不相交，都还没有完成判断。

分离必须把整个空间分成两边

空间 $X$ 的一组分离是两个不交、非空的开集 $U,V$，满足 $X=U\cup V$。不存在分离时，称 $X$ 连通。空空间和单点空间也连通，因为它们不可能满足两边均非空的要求。

分离中的 $U,V$ 还是闭集，因为它们互为补集。因此连通有一个等价判据：空间中同时开且闭的集合，只有 $\varnothing$ 和 $X$。若找到非空、非全集的开闭集 $A$，$A$ 与其补集立即给出分离；反向则由分离中的任意一边得到这样的 $A$。

对子集讨论连通时，始终使用它的子空间拓扑。例如

$$X=[-2,0)\cup(0,2],\qquad U=X\cap(-\infty,0),\quad V=X\cap(0,\infty).$$

$U,V$ 都在 $X$ 中开，互不相交且非空，并覆盖 $X$。虽然 $U=[-2,0)$ 在整个实数空间中不开，它仍是有效的相对开集。

如果把 $0$ 加回去，同样的两个开射线就漏掉了 $0$，不再覆盖空间。这个候选分离失败了。不过，要据此证明空间连通，还得排除所有可能的分离，而不只是这一种切法。

实验让你改变两个区间的内端点，以及切点 $c$。先保持两个内端点都在 $0$，只切换其中一个端点的开闭；随后把切点移到整个集合左边。第二种操作为什么也不能得到分离？看清是“漏了一个点”，还是“一边为空”，能帮你避免把不同失败原因混在一起。

实数中的连通子集恰好是区间

这里把单点也算作退化区间。若子集 $A\subseteq\mathbb R$ 不是区间，就存在 $a<c<b$，其中 $a,b\in A$、$c\notin A$。于是

$$A\cap(-\infty,c),\qquad A\cap(c,\infty)$$

是分离：两边分别含 $a,b$，切点又不在空间内，因此没有遗漏。

反过来，设区间 $I$ 有分离 $U,V$。在不同两侧各选一点，必要时交换名称，可设 $a\in U$、$b\in V$ 且 $a<b$。因为 是区间，。令

$$c=\sup\bigl(U\cap[a,b]\bigr).$$

该集合非空有界，所以 $c$ 存在，并在 $[a,b]$ 中。上确界是这部分点的闭包点，而 $U$ 在 $I$ 中闭，故 $c\in U$。因此 $c\ne b$。又由于 在 中开，在 右侧足够近的某个 也属于 ，与 是上界矛盾。故区间不可能被分离。

这条结论同时说明 $\mathbb Q$ 为什么不连通。取无理切点，例如 $\sqrt2$，两条开射线与 $\mathbb Q$ 相交就给出分离。事实上，任何含两个不同有理数的子集，中间都能找到不属于它的无理切点，所以 $\mathbb Q$ 的连通子集只能是单点或空集。

连通性怎样传递

连续像保持连通。设 $A$ 连通，$f:A\to Y$ 连续。若 $f(A)$ 有分离 $U,V$，把目标看作子空间 $f(A)$，两个逆像在 中开、非空、互不相交且覆盖 ，这与连通矛盾。因此 连通。

当目标是实数时，像集必须是区间。若连续实值函数在两个点分别取值 $r<s$，它就会取到每个介于 $r,s$ 的值。你熟悉的介值现象，正是连通像在实数中的表现。

有共同点的连通集，其并连通。设所有 $A_i$ 都连通，并且都含点 $p$。若并集有分离 $U,V$，不妨设 $p\in U$。每个 $A_i$ 都不能同时碰到两边，否则与两边相交会分离 ；而它已通过 碰到 ，所以整个 都在 中。并集也只能在 中， 非空的要求落空了。

共同点的条件是充分条件，不是所有连通并都必须具有的形式。使用这条定理时，只需核对当前构造确实满足它；不能把逆命题也一起记下来。

连通集的闭包仍连通。设 $A$ 连通。若 $\overline A$ 有分离 $U,V$，由于 $A$ 连通，它只能落在一边，不妨 $A\subseteq U$。$$ 在 中闭，所以它包含 在这个子空间中的闭包。可这个闭包正是整个 ，于是 只能为空，矛盾。

闭包保持连通，不意味着任意加点都保持连通。例如 $(0,1)$ 连通，而 $(0,1)\cup\{2\}$ 不连通。被补入的点是否属于闭包，是这里真正的条件。

连通积与连通分支

若 $X,Y$ 非空且连通，它们的积连通。固定 $y_0\in Y$。横切片 $H=X\times\{y_0\}$ 与 同胚，竖切片 与 同胚，因此都连通。每个 因为在 相交而连通；这些集合又共享整条 ，它们的并恰为 ，所以积连通。有限多个因子的结论由归纳得到；若某因子为空，积为空，也连通。

固定空间中的点 $x$，把所有包含 $x$ 的连通子集取并。它们有共同点，所以并集仍连通，而且已包含一切可能的连通扩展。这是 $x$ 所在的连通分支。

两个连通分支若有交点，它们的并连通，由最大性便必须相等。因此分支把空间分成互不相交的部分。每个分支还是闭集：它的闭包连通，由最大性不可能再多出点。但分支未必开。$\mathbb Q$ 的分支都是单点，而单点在 $\mathbb Q$ 中不开。

存在路径是一个更强的要求

从 $a$ 到 $b$ 的路径，是连续映射 $\gamma:[0,1]\to X$，满足 $\gamma(0)=a$、$\gamma ($。若任意两点之间都有路径，称空间，也叫道路连通。

区间内任意两点 $a,b$ 可以用 $\gamma(t)=(1-t)a+tb$ 相连。更一般地，欧氏空间中的凸集都能使用这条线段路径，因为所有凸组合仍在集合内。

路径连通一定蕴含连通。否则取分离两边的点，用路径连接它们；两边在路径下的逆像就会分离 $[0,1]$，与区间连通矛盾。

反方向却失败。下面的例子不是因为我们暂时画不出一条漂亮路径，而是能证明任何候选路径都无法跨过去。

正弦曲线的闭包：靠得很近，却走不过去

令

$$G=\{(x,\sin(1/x)):0<x\le1\},\qquad S=G\cup\bigl(\{0\}\times[-1,1]\bigr).$$

$G$ 是区间 $(0,1]$ 的连续像，因此连通。它在平面中的闭包恰好为 $S$。对任意 $y\in[-1,1]$，选角度 $\theta$ 使 $\sin$，令 ，取充分大的正整数 。则 趋于 ，所以整条竖段都在闭包中。正横坐标处，函数连续，图像外的点能找到避开图像的小邻域；、 或 的点也不会新增。因此没有别的闭包点。

由闭包保持连通，$S$ 连通。

假设存在路径 $\gamma(t)=(u(t),v(t))$，从竖段上的一点走到 $G$ 上一点。设到达曲线的时刻为 $b$，于是 $u(b)>0$。在闭区间 上， 的零点集非空且闭，故有最大元 。此后在 上，；而 。

记 $v(a)=y_0$。无论 $y_0$ 在 $[-1,1]$ 哪里， 与 中至少一个与它相距不小于 。另一方面，在任意小的正横坐标范围 中，都能找到

$$x_+=\frac1{\pi/2+2\pi k},\qquad x_-=\frac1{3\pi/2+2\pi k},$$

使对应的正弦值分别为 $1,-1$。

现在使用路径的连续性。若 $v$ 在 $a$ 连续，就应有 $\delta>0$，使 $a<t<a+\delta$ 时 $\mathrm{\mid }v(t)-y_{}$。选 ，则 。把上面的 取得足够大，使 。由于 ，介值定理迫使 在 中分别取到这两个横坐标；对应时刻都大于 ，所以路径上的点属于 ，纵坐标分别为 。至少一个与 相距不小于 ，矛盾。

这一步排除的是任意连续路径。只说参数化 $x\mapsto(x,\sin(1/x))$ 在零处无极限，还不足以排除绕着别的方式走过来的路径；第一坐标的介值性质才把所有候选路径都纳入了论证。

实验中缩小横向窗口，再把竖段上的候选高度 $y_0$ 上下移动。两个反例点都越来越靠近竖轴，它们的高度差却始终为 $2$。画不清的尾部用示意带表示，不能把那条色带当成额外填进的区域，更不能把它看作一条跨到竖段的路径。

在 $S$ 中，竖段自身路径连通，$G$ 也路径连通，但两者之间没有路径。因此 $S$ 只有一个连通分支，却有两个路径分支。把“分支”前面的限定词写全，结论才准确。

让结论去解决别的问题

1. 补进一部分闭包点。设 $A$ 连通，且 $A\subseteq B\subseteq\overline A$。证明 $B$ 连通。

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若 $B$ 有分离 $U,V$，$A$ 只能落在一边，设 $A\subseteq U$。由于 $U$ 在 $B$ 中闭，它包含 $$ 在 中的闭包；这个闭包为 ，所以 为空，矛盾。这也说明闭包定理不要求一次把所有闭包点都补完。

2. 交集会保留连通吗？在平面中给出两个连通集，它们的交不连通。

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取单位圆周 $A=S^1$ 与水平直线 $B=\mathbb R\times\{0\}$。两者都路径连通，因而连通；交集却只有 $\{(-1,0),(1,0)\}$，可用两个不交小圆盘的相对交把它分离。共同点定理控制的是并，不是交。

3. 用去点后的空间区分同胚。证明实数直线不与圆周同胚。

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实数去掉任意一点都会分成左右两条开射线，因而不连通。圆周去掉任意一点仍路径连通：旋转后可把被删点设为 $(1,0)$，其余圆周是区间 $(0,1)$ 在参数化 $t\mapsto(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$ 下的连续像，路径也可由区间中的线段复合得到。若有同胚，限制到删去对应点后的空间仍是同胚，应保持连通性，矛盾。

4. 连通像能否反推出连通定义域？给出连续满射，像连通而定义域不连通。

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把两个点的离散空间常值映到单点空间即可。映射连续且满射，像连通；定义域由两个单点开集分离。连续像保持连通，是从定义域向像的单向结论。

5

以下哪个条件足以保证一族连通子集的并连通？

A.每个子集都闭B.每个子集都非空C.它们有一个共同点D.它们的交为空

6

连通空间的每个子空间都连通。

正确错误