02 基、闭包与边界：判断时别漏掉环境

考虑 $A=[0,1/2)$。在实数直线上，它不是开集：无论把 $0$ 附近的开区间取得多小，总会带上一点负数。可如果整个空间只有 $Y=[0,1]$，这些负数根本不在研究范围内，$A$ 就变成了开集。

集合没有改变，判断却变了。这一章会反复写出“在哪个空间中”，因为开集、闭集、内部和边界都依赖这个选择。还有一种变化不会影响结果：用圆盘还是开矩形描述通常平面的开集。把这两种情况分清，后面的连续性证明就容易落笔了。

换一套基，可能还是同一个拓扑

上一章已经证明：一族集合只要覆盖空间，并满足交叠点处的细化条件，它的任意并就组成一个拓扑。现在给定两套基 $\mathcal B_1,\mathcal B_2$，怎样比较它们生成的拓扑？

若每个 $B\in\mathcal B_1$、每个 $x\in B$，都能找到 $C\in\mathcal B_2$ 满足 ，那么 是这些 的并，因而在第二套拓扑中开。这便得到 。两个方向的局部细化都成立，才可以说拓扑相同。

以圆盘和轴平行开正方形为例。若 $p$ 在圆盘 $B(c,r)$ 中，余量 $m=r-|p-c|$ 为正。以 $p$ 为中心、半边长为 $$ 的开正方形，其任意点到 的距离小于 ，所以整个正方形在圆盘内。

反过来，若 $p$ 在开正方形内，它到四条边的距离都有正的最小值 $s$。开圆盘 $B(p,s)$ 就完全落在正方形内。这里不要求一个大圆盘和一个大正方形相互包含，更不要求它们相等。我们是在每一点附近，分别找够小的局部块。

实验里会同时显示一种容易计算的保守尺寸和实际允许的最大尺寸。把点偏离圆心后，试试超过保守尺寸一点的小正方形。它未必立刻越界：一个条件足以保证成功，不代表超过它就一定失败。判断四个角到圆心的距离，可以在这个具体模型中找到真正的界限。

闭集是开集的补集

$F\subseteq X$ 称为闭集，如果 $X\setminus F$ 开。于是 $\varnothing,X$ 都闭，闭集的任意交仍闭，有限并仍闭。这些结论来自德摩根律，例如

右边是开集的任意并，所以左边开，交集就闭。有限并的证明把并交互换即可。

开与闭不是非此即彼的分类。在通常实数中，$(0,1)$ 开而不闭，$[0,1]$ 闭而不开，$[0,1)$ 既不开也不闭，$\mathbb R$ 既开又闭。以后判断连通性时，真正起作用的恰恰是那些同时开且闭的集合。

如果一个集合还没有闭，能否用最少的补充让它闭起来？这就是闭包：

这个交总有对象可取，因为 $X$ 在其中。闭集的任意交仍闭，所以 $\overline A$ 闭；它包含 $A$，并且包含于每个包含 $A$ 的闭集。因此它确实是包含 $A$ 的最小闭集。

定义适合证明“最小”，具体计算则更常用下面的判据：

对 $A=(0,1)$，端点 $0,1$ 的每个开邻域都碰到 $A$，而 $[0,1]$ 外的点有足够小的开区间避开 $A$。所以闭包为 $$。图中只画了几个邻域；“每个”仍要由这个论证来保证。

注意闭包点与极限点的区别。本课称 $x$ 是 $A$ 的极限点，要求每个开邻域都碰到 $A\setminus\{x\}$。写作 $A'$ 时，有 $\overline A=A\cup A'$：闭包中已经属于 的点不必另找邻近成员，而不属于 的闭包点满足极限点条件。在实数中，单点集 的闭包是自己，但没有极限点。

内部和边界各问一件事

$A$ 的内部 $A^\circ$ 是所有包含于 $A$ 的开集的并。它是 $A$ 中最大的开集。一个点属于内部，恰好表示能找到一个开邻域整个落在 $A$ 里面。

边界定义为

用邻域来读：$x$ 在边界上，意味着它的每个开邻域都碰到 $A$，也都碰到补集 $X\setminus A$。前半句说 $x\in\overline A$；后半句说没有一个开邻域能整个装进 $A$，也就是 $$。

因此

第一式还说明边界总是闭集。第二式在“找一个避开的邻域”比“检查所有邻域”容易时尤其好用。

图中的 $[0,1)$ 内部为 $(0,1)$，闭包为 $[0,1]$，边界只有两个端点。边界点可以在原集合里，也可以不在：这里 $0$ 在原集合，$1$ 不在。

这类区域图有助于建立直觉，但不要把边界一律想成外轮廓。考虑

任意非空开区间都含有无理数，所以 $A^\circ=\varnothing$。而 $[0,1]$ 中每一点的任意邻域，都与 $(0,1)$ 交出一段非空开区间，里面有有理数，故 $\overline A=[0,1]$。于是边界也是整段 。它并非一条细细的外边线。

这里用到的稠密性可以从阿基米德性质得到：对 $a<b$ 取 $n$ 足够大，使 $n(b-a)>1$，就在 $na,nb$ 之间找到整数 $m$，从而 。无理数的稠密性可以把区间平移 后取一个有理数，再平移回来得到。

环境缩小之后，要重新判断

若 $Y\subseteq X$，我们把

作为 $Y$ 的拓扑，称为子空间拓扑。任意并与有限交都能移到交号内，因此这确实满足拓扑公理。下一章会用它处理映射的限制；现在只看它怎样改变开闭判断。

图中的红色小片只相对于所在曲面开放；若把它看成三维空间的子集，它没有三维小球能装进去。环境维数都变了，内部当然可能不同。

回到开头的 $Y=[0,1]$ 与 $A=[0,1/2)$。因为

它在 $Y$ 中开，故 $A^\circ_Y=A$。闭包要补进 $1/2$，所以 $\overline A^{\,Y}=[0,1/2]$，边界为 。端点 不再是边界点，因为它有完全落在 内的相对邻域 。

但 $\{0\}$ 在 $Y$ 中仍然不开。假如它等于 $U\cap Y$，其中 $U$ 是实数中含 $0$ 的开集，$U$ 必含某个 $(-\epsilon ,\epsilon )$。选 ，就得到 ，不可能只剩 。

把实验的环境从 $\mathbb R$ 切到 $[0,1]$，停在 $0$ 观察邻域的左半边去了哪里。再改成单点集。最后试一个比集合本身更大的邻域：它碰到两边，仍不能推翻“$0$ 是内点”。内部要求存在一个合适的邻域，边界要求每个邻域都碰两边，量词不一样。

闭包在子空间中有一条很整齐的公式：

取 $y\in Y$。它在 $Y$ 中的基本开邻域形如 $Y\cap U$，其中 $U$ 是 $X$ 中包含 $y$ 的开集。由于 ，。因此相对邻域是否都碰到 ，与环境中的邻域判据完全等价。

内部没有对应的直接取交公式。刚才 $A^\circ_X=(0,1/2)$，与 $Y$ 相交仍是 $(0,1/2)$，却少了 $A_{}^{}$ 中的 。写出一个反例，比硬记“公式不能用”更可靠。

几个值得自己重做的判断

1. 闭包与并。证明 $\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$。如果把有限并换成无限并，等式还一定成立吗？

2. 闭包与交。证明 $\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B$，并给出严格包含的例子。

3. 换一个环境。令 $Y=\mathbb Q$ 带实数的子空间拓扑，$A=(0,\sqrt2)\cap\mathbb Q$。求它在 中的内部、闭包和边界，并判断它是否闭。

4. 极限点和闭包点。取 $A=\{0\}\cup\{1/n:n\ge1\}$。找出它的极限点，并说明为什么它闭。

无限并会失败。取实数中的 $A_n=\{1/n\}$，每个 $A_n$ 已闭，右边的并不含 $0$；但每个含 $0$ 的开区间都包含充分靠后的 $1/n$，所以左边闭包含 $0$。证明有限版本时用到“有限并闭”，正是无限情形不能照搬的一步。