05 紧致性：有限子覆盖与全局控制

假设你用一些开区间盖住了 $[0,1]$。区间可以很小，彼此可以重叠，也可以有无限多个。现在要删掉多余的成员，留下有限个，仍然不漏任何一点。你不能把留下的区间拉长，也不能临时换一套更方便的覆盖。

闭区间总能完成这件事。开区间 $(0,1)$ 却可能做不到，哪怕它看起来同样只有一小段。紧致性关心的就是这种差别：给定的局部信息，能不能从中选出有限份来控制整体。

“每个覆盖”是定义的重心

若一族开集的并等于空间 $X$，就称它为 $X$ 的开覆盖。$X$ 紧致，是指它的每一个开覆盖，都有一个有限子族仍然覆盖 $X$。

对子集 $K\subseteq X$，说 $K$ 紧，采用的是子空间拓扑。也可以用环境中的开集来覆盖它：相对开集形如 $K\cap U_i$，而 $\bigcup_i(K\cap U_i)=K$ 恰好等价于 。这两个说法检验的是同一件事。

有限空间一定紧：对每个点，从覆盖里挑一个含它的成员，选出的集合只有有限个。无限离散空间不紧，因为所有单点集组成一个开覆盖，有限多个单点盖不住全空间。平凡拓扑则不同：只要空间非空，任何开覆盖都必须包含 $X$ 这个成员，它自己就够了。点的多少并不能单独决定紧致性。

看看 $(0,1)$ 上的覆盖

任意 $x\in(0,1)$，取 $n>1/x$，就有 $x\in U_n$，所以它确实覆盖。但有限选出 $$ 后，令 ，这些区间的并只是 。点 还在原空间，却没被盖到。因此这个覆盖没有有限子覆盖。

别把左端点误写成 $-1/n$。区间 $(-1/n,1)$ 已经单独包含整个 $(0,1)$，它不能证明不紧。反例不仅要看起来像一族区间，还要同时完成“全族覆盖”和“每个有限子族失败”这两项核对。

下面的实验先让你从六个固定区间里删成员。只留下编号 1 和 3，查看遗漏的整段；换成两个恰好相接的开区间，再看一个漏点为什么也足以使覆盖失败。切到无限覆盖后，增加 $N$，观察反例点如何随你选择的有限范围一起移动。这个游戏展示某些具体覆盖；空间紧不紧，最终仍由定义中的“每一个”决定。

闭区间为什么总能留下有限个

这里值得看一次完整证明。设 $\mathcal U$ 是 $[a,b]$ 的任意相对开覆盖。$a=b$ 时挑一个包含这个点的成员即可，下面设 $a<b$。

令 $S$ 收集所有能用有限个原覆盖成员盖住 $[a,t]$ 的 $t\in[a,b]$。包含 $a$ 的某个开集还包含一小段 $[a,a+\delta]$，所以 非空，且有元素大于 。设 ，于是 。

取覆盖中含 $c$ 的成员 $U$。相对开性给出 $\varepsilon>0$，使

由上确界的性质，可以找到 $t\in S$，满足 $c-\varepsilon<t\le c$。已有有限个成员盖住 $[a,t]$，再加入 $U$，就盖住 。因此 本身也能到达。

若 $c<b$，同一组有限成员还会盖住某个更长的 $[a,c+\eta]$，其中 $0<\eta<\min\{\varepsilon,b-c\}$。这与 是上界矛盾。所以 ，有限子覆盖找到了。

证明没有预先知道需要多少个成员。它利用开性，让“已经能盖到的最远位置”还能向前推进；实数的上确界性质则保证这个最远位置有意义。

把紧致性带到别的空间

紧空间的闭子空间仍然紧。设 $F$ 在紧空间 $X$ 中闭。把 $F$ 的相对开覆盖写成 $F\cap U_i$，其中 $U_i$ 在 中开。加入 ，得到 的开覆盖。选出有限子覆盖后，把 去掉，剩下的原成员仍盖住 ，因为被去掉的集合本来就不含 中的点。

闭这个条件不能省。$(0,1)$ 是紧空间 $[0,1]$ 的子集，却刚刚被证明不紧。

紧空间的连续像紧。设 $f:X\to Y$ 连续，$X$ 紧。用 $Y$ 中的开集 $V_i$ 覆盖 $f(X)$，则 是 的开覆盖。有限选出逆像后，对任意 ，取 使 ；这个 落在某个选中的逆像里，于是 落在相应的 中。所选的有限个 就覆盖了 。

这里从未要求连续映射把开集送到开集。证明中真正使用的是逆像。这也是前一章商映射能发挥作用的地方：闭区间的商空间是它的连续像，所以紧。

还有一个方向需要环境能把两点分开。若任意不同的 $x,y$ 都有互不相交的开邻域，空间称为 Hausdorff 空间。度量空间满足这个条件：取半径小于 $d(x,y)/2$ 的两个开球即可。分离公理的一般讨论放在第 7 章，这里只用这一条。

Hausdorff 空间中的紧子集闭。设 $K\subseteq X$ 紧，$X$ 为 Hausdorff，取 $x\notin K$。对每个 $y\in K$，找不交开集 $$、。由紧致性，有限个 覆盖 。令

$U$ 是 $x$ 的开邻域，$V$ 包含 $K$，且 $U\cap V=\varnothing$。于是每个外部点都有避开 $K$ 的开邻域， 开， 闭。若 为空，结论直接成立。

注意环境 $X$ 只需 Hausdorff，不必紧。也不能删掉 Hausdorff：两点平凡空间里的单点集紧，却不闭。

这给出一个很省力的同胚判据：紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚。若 $f:X\to Y$ 满足这些条件，$X$ 的闭集 $F$ 紧，$f(F)$ 紧，进而在 $Y$ 中闭。所以 $f$ 把闭集送到闭集，这正是逆映射连续的闭集判据。第 4 章的端点粘合空间到平面圆周的连续双射，现在也有了这个独立证明。

整条切片能共用一个多宽的邻域

设 $Y$ 紧，$N\subseteq X\times Y$ 开，且包含整条切片 $\{x_0\}\times Y$。管状引理断言：存在 $x_0$ 的开邻域 ，使

为什么能把每个高度不同的局部宽度，变成整条切片共同的宽度？

如果 $Y$ 不紧，局部宽度可能一路缩到零。取 $X=\mathbb R$、$Y=(0,1]$，在 $X\times Y$ 中考虑开集

它含整条 $\{0\}\times Y$。假设存在开邻域 $W\ni0$ 使 $W\times Y\subseteq N$，则 $W$ 含某个 $$；缩小后可设 。但 在这条管里，且 ，所以不在 中，矛盾。

实验的紧切片由三个固定开矩形照顾。把管半宽调到 $0.2$，再超过它，找出哪个高度先失守。随后去掉中间矩形，检查这时连切片本身是否盖住了。切换到非紧切片，试着缩小宽度：反例会继续靠近零，无法被一个正宽度彻底排除。

管状引理把有限积的证明整理得很清楚。设 $X,Y$ 都紧，给 $X\times Y$ 任意开覆盖。固定 $x$，切片 $\{x\}\times Y$ 与 $Y$ 同胚，能由有限个原覆盖成员盖住；它们的并是开集 $$。管状引理给出 。这些 又覆盖 ，再由 紧选有限个 。合并各自对应的有限组原覆盖成员，就得到全积空间的有限子覆盖。归纳可得任意有限积紧。

改用闭集，看同一个性质

一族闭集具有有限交性质，是指任意有限子族的交都非空。这里把空子族的交约定为空间 $X$。紧致性等价于：每一族具有有限交性质的闭集，其全体交也非空。

若全体交为空，补集族就是开覆盖。紧致性给出有限子覆盖；再取补集，就得到某个有限闭集交为空，与条件矛盾。

反过来，若某个开覆盖没有有限子覆盖，取其成员的补集。任意有限个补集的交都非空，否则相应有限个开集已经覆盖；但全体补集的交为空。这与闭集版本矛盾。两个方向都只用到了德摩根律，却把“覆盖整个空间”换成了“共同留下一个点”。

例如在紧空间中，一列嵌套的非空闭集 $F_1\supseteq F_2\supseteq\cdots$ 必有共同点：任意有限交等于其中下标最大的那个，仍非空。若换成非紧空间 $\mathbb R$，闭集 $[n,\infty)$ 就给出全体交为空的反例。

用这些结论完成几次迁移

1. 闭且有界从哪里来。证明 $\mathbb R^n$ 的子集紧，当且仅当它在 $\mathbb R^n$ 中闭且有界。说明这里为什么不能把 $\mathbb R^n$ 换成任意度量空间。

2. 最大值不是只靠有界。设 $X$ 非空且紧，$f:X\to\mathbb R$ 连续。证明 $f$ 取得最大值和最小值。

3. 一个无限而紧的空间。证明无限集合的余有限拓扑是紧的。

4. 紧的直积与它的因子。设 $X,Y$ 非空，且 $X\times Y$ 紧。证明两个因子都紧，并解释非空条件的作用。

若 $K$ 闭且有界，它包含于某个闭立方体 $[-M,M]^n$。闭区间紧，有限积紧，所以这个立方体紧；$K$ 是它的闭子集，因此紧。

任意度量空间中的“闭且有界”未必足够。给无限集合离散度量 $d(x,y)=1$（$x\ne y$），整个空间闭且有界，但单点开覆盖没有有限子覆盖。