01 拓扑空间：开集公理与局部语言

把实数中的区间 $(-1,1)$ 越缩越小，缩成 $(-1/2,1/2)$、$(-1/3,1/3)$，每次得到的还是开区间。可如果要求一个点同时留在所有这些区间里，只有 $0$ 能留下。单点集在实数中并不开。

这件小事解释了拓扑定义中一个不能省掉的词：有限。我们允许任意多个开集拼在一起，却只保证有限多个开集相交后仍开。下面把这套规则写清楚，再看看它能容纳哪些熟悉和陌生的空间。

决定哪些集合算作开集

给定集合 $X$，一族子集 $\tau\subseteq\mathcal P(X)$ 称为 $X$ 上的拓扑，如果满足：

1. $\varnothing$ 和 $X$ 属于 $\tau$。
2. 任取一族 $\tau$ 中的集合，它们的并仍在 $\tau$ 中，指标族可以无限，也可以为空。
3. 任取有限多个 $\tau$ 中的集合，它们的交仍在 $\tau$ 中。

$(X,\tau)$ 就是拓扑空间，$\tau$ 的成员叫开集。这里有两层对象：$x$ 是空间里的点，$U$ 是由点组成的集合，而 $\tau$ 收集这些集合。写 $x\in U\in\tau$ 时，两个属于号连接的层次不同。

在实数的通常拓扑里，开集是开区间的任意并。它可以是一整条直线，也可以断成许多块。若 $x$ 落在某些开集的并中，至少有一个开集包含它；这个开集已经给了 $x$ 一小段活动余量，因此并起来不会破坏开性。对于两个开集的交，则要同时满足两边的要求，取两份余量中较小的一份即可。

图中的小圆只是在提示“到点附近检查”。圆外还有点，并不妨碍圆本身是一个开邻域；它们也没有被要求覆盖整个空间。到一般拓扑空间后，邻域甚至不必长得像圆。

若已经验证两个开集的交仍开，用归纳法就能得到任意非空有限交仍开；空族的交约定为 $X$。二元交足够检验有限交，二元并却不能在无限空间中代替任意并。例如实数中所有有界开集，再加上 $\mathbb R$，对二元并和有限交封闭，但把 $(0,n)$ 对所有正整数 $n$ 取并，得到 $(0,\infty)$，它不在这个集合族里。这一族不是拓扑。

取到第 $N$ 个时，交集是 $(-1/N,1/N)$。对任意非零 $x$，总能取 $n>1/|x|$ 把它排除，所以全体的交恰好为 $\{0\}$。这不违反任何公理：无限交从来没有被保证。

同一批点，可以有不同的拓扑

在任意集合上，都有两种直接能验证的拓扑。离散拓扑 $\mathcal P(X)$ 收下所有子集，任何并交当然仍是子集；平凡拓扑 $\{\varnothing,X\}$ 只留下空集和全集，并交也不会产生第三个成员。

在两个点的离散空间里，你可以用开集 $\{a\}$ 单独选出 $a$。换成平凡拓扑后，任何包含 $a$ 的开集都会包含 $b$。变的是开集系统，点没有增加，也没有被粘合。

若 $\tau_1\subseteq\tau_2$，称 $\tau_2$ 比 $\tau_1$ 精细。这个比较有方向：精细的拓扑允许更多集合开放。两套拓扑未必能比较。比如在 上，

$$\tau_a=\{\varnothing,\{a\},X\},\qquad \tau_b=\{\varnothing,\{b\},X\}$$

都是拓扑，但谁也不包含谁。

例题。在 $X=\{a,b,c,d\}$ 上，候选族

$$\mathcal F=\{\varnothing,X,\{a,b\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$$

是不是拓扑？如果不是，怎样补成包含它的最小拓扑？

下面把这个“找到缺口，再补一个成员”的过程做出来。试一下只选 $X$ 会发生什么，然后切到缺交的预设。在按下修复前，自己点出那两个会出问题的集合。实验列出的失败对，比一个红色的“错误”更有用：它告诉你公理到底要求补进什么。

邻域不一定是开集

集合 $N$ 称为点 $x$ 的邻域，是指存在开集 $V$，使

$$x\in V\subseteq N.$$

它表达的是 $N$ 给 $x$ 留出了一个开放的小范围。$N$ 自己可以不是开集。例如 $[-1,1]$ 是 $0$ 的邻域，因为它包含开区间 $(-1/2,1/2)$；但它不是端点 的邻域，任何包含 的开区间都伸到了右边。

由此得到一个实用判据：$U$ 开，当且仅当它是其中每一点的邻域。

若 $U$ 已经开，直接取 $V=U$ 就够了。反过来，若每个 $x\in U$ 都有开集 $V_x$ 满足 $x\in V_x\subseteq U$，那么

$$U=\bigcup_{x\in U}V_x.$$

右边是开集的并，所以 $U$ 开。这里说明了怎样把逐点获得的小信息拼成整个集合的开性。空集也满足这个判据，因为没有点需要检查。

基的条件，落在交叠点上

要描述实数中的全部开集，把所有开区间记住就够了：其余开集都由它们取并得到。这种足够用的小块叫作基。

准确地说，集合族 $\mathcal B$ 能作为一个拓扑的基，需要满足两个条件：每个点至少落在一个基元素中；若 $x\in B_1\cap B_2$，则能找到 $B_3\in\mathcal B$，使

$$x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2.$$

两个圆盘的交通常不是圆盘，所以不能要求“基元素的交还是基元素”。我们只需要在交叠的每一点附近，再找到一个合适的小块。

这两个条件为什么足够？把基元素所有可能的并组成 $\tau_{\mathcal B}$。空并给出空集，覆盖条件给出 $X$；任意多个这样的并再取并，仍是基元素的并。剩下只检查二元交：若 $x\in U\cap V$，从 $U,V$ 的表示中找出包含 的 ，再由交叠条件找到 。所有这些 的并就是 ，因而交也在 中。

证明中每个条件都有自己的位置。只有覆盖性是不够的。在 $\{a,b,c\}$ 上，$\{\{a,b\},\{b,c\}\}$ 覆盖全集，却无法在交点 $b$ 附近给出更小基元素。补入 $\{b\}$ 就修好了。

对于平面上的开圆盘，修补的方法是留出距离余量。若 $p$ 位于圆盘 $B(c_1,r_1)$ 与 $B(c_2,r_2)$ 的交内，令

$$m=\min\{r_1-|p-c_1|,\ r_2-|p-c_2|\}>0.$$

则以 $p$ 为中心、半径为 $m$ 的开圆盘包含在交内。对其中任意 $z$，三角不等式给出 $|z-c_i|\le |z-p|+|p-c_i|<m+|p-c_i|\le r_i$。注意第一个严格小于来自 ，所以半径恰好取 也可以。

在实验里把 $p$ 往交集边缘拖，小圆最多能有多大？把半径调到余量，再稍微超过它，看看哪一边先露出来。若点已经离开交集，基的交叠条件不再要求对这个点做检查；这和“基条件失败”是两回事。

子基允许我们从更少的集合出发

平面上的竖直开带 $(a,b)\times\mathbb R$ 和水平开带 $\mathbb R\times(c,d)$，相交就得到开矩形。开带本身还不是圆盘那样细小的局部块，有限次相交后却能提供足够细的描述。

本课把覆盖 $X$ 的集合族 $\mathcal S$ 称为子基。取它的有限交，再取任意并，就得到它生成的拓扑。为什么有限交能组成基？覆盖来自 $\mathcal S$，而两个有限交再相交，仍然只是有限多个子基元素的交，因此它自己就能担当交叠条件里的更小基元素。把空交也包括进来时，空交就是 $X$。

生成的拓扑还是包含 $\mathcal S$ 的最小拓扑：任何收下 $\mathcal S$ 的拓扑，都必须继续收下这些有限交和任意并。到了积空间，这会解释为什么一个基本开集只需要限制有限多个坐标。

留几处给你自己检查

1. 余有限拓扑。设 $X$ 是无限集合，令

$$\tau=\{\varnothing\}\cup\{U\subseteq X:X\setminus U\text{ 有限}\}.$$

证明它是拓扑。请单独处理空族的并，以及某个成员为空的情形。

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$\varnothing$ 被单独加入，$X$ 的补集为空，所以也在族内。若一族开集全为空，其并为空；否则从中取一个非空成员 $U_0$，并集的补集包含于有限集 $X\setminus U_0$，故并仍开。有限交若含空集就为空；若所有成员非空，其补集是有限多个有限补集的并，仍有限。空交为 。这些情况合起来恰好覆盖三条公理。

2. 不能把两个拓扑简单合并。取前面的 $\tau_a,\tau_b$。它们的交、并分别是不是拓扑？把结论推广到任意一族定义在同一集合上的拓扑的交。

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这个两点例子中，交是平凡拓扑，并恰好是离散拓扑，两者都是拓扑。但“并总是拓扑”不能由这个例子推出。在三点集上，$\{\varnothing,\{a\},X\}$ 与 $\{\varnothing,\{b\},X\}$ 的并缺少 $\{a,b\}$，不满足并公理。

任意一族拓扑的交则总是拓扑：共同成员的任意并、有限交在每一套拓扑中都合法，所以也在它们的交中。空集、全集同样属于所有拓扑。这里所交的是“集合族”，不要与“开集的无限交”混淆。

3. 把图形换掉。平面上所有轴平行开正方形是否构成一个基？两个正方形的交不一定是正方形，这会妨碍结论吗？

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每点都能放进一个开正方形，覆盖成立。若 $p$ 属于两个开正方形的交，它到两组边界的所有水平、竖直距离都为正，取这些距离的最小值的一半作为新正方形的半边长。新正方形包含 $p$，且完全落在交集内。交本身是不是正方形无关紧要，基判据要求的是逐点细化。

4

在无限空间上，已经验证空集、全集、二元并和二元交都合法，还缺少什么？

A.没有缺少任何条件B.所有子集都必须开放C.任意并封闭的验证D.无限交封闭的验证

5

一个点的邻域可以不是开集。

正确错误