04 商空间：识别点与良定义

在闭区间 $[0,1]$ 上，$0$ 和 $1$ 是两个不同的点。现在约定把它们视为同一个点，其他点各自保留。你可以把它画成一个圆，但画完以后还有两件事要说清：圆上的哪些集合算开集？原来区间上的函数，是否还能在这个圆上使用？

接缝会暴露问题。函数 $g(t)=t$ 在区间上连续，可粘合后，同一个点究竟应该取值 $0$ 还是 $1$？这里连函数都还没有定义好，暂时轮不到检查连续性。

商点是一整类原来的点

等价关系 $\sim$ 满足自反、对称和传递。每个点 $x$ 所在的等价类为 $[x]=\{x':x'\sim x\}$，这些类互不相交，并且覆盖原集合。商集 把每个等价类当作一个点，投影

$$q:X\longrightarrow X/{\sim},\qquad q(x)=[x]$$

是满射。更一般地，任意满射 $q:X\to Q$ 都把 $X$ 分成纤维 $q^{-1}(\{z\})$，每条纤维对应一个目标点。

在 $Q$ 上规定

$$V\text{ 开}\quad\Longleftrightarrow\quad q^{-1}(V)\text{ 在 }X\text{ 中开},$$

就得到商拓扑。它确实是拓扑：空集、全集的逆像分别为空集、$X$；逆像保持任意并和有限交，所以开性公理直接从 $X$ 传过来。

这一定义自动使 $q$ 连续，而且给出使 $q$ 连续的最精细拓扑。若另一套拓扑也使 $q$ 连续，它的每个开集都必须有开逆像，因此都已被商拓扑收录。

如果 $Q$ 事先就有拓扑，称满射 $q:X\to Q$ 为商映射，意味着上述“当且仅当”对这套已有拓扑成立。只有连续满射还不够：连续性给出的是一个方向，不能自动把逆像开推回目标开。

原集合开，还要检查是不是整条纤维

集合 $A\subseteq X$ 称为饱和集，如果只要它包含一条纤维中的某一点，就包含这条纤维的全部点。等价地，

$$q^{-1}(q(A))=A.$$

左边称为 $A$ 的饱和化：先看它碰到了哪些商点，再把那些商点的完整纤维取回来。任意目标子集的逆像天然饱和；但任意原空间子集不一定如此。

端点粘合的例子很小，足够把区别看清。$A=[0,0.1)$ 在 $[0,1]$ 中相对开，却不是饱和集，因为它收下 $0$，没有收下与 $0$ 等价的 $1$。补齐纤维后变成

$$q^{-1}(q(A))=[0,0.1)\cup\{1\}.$$

这个集合饱和了，却不相对开：$1$ 的任意相对开邻域都含有小于 $1$ 的附近点，单独补进 $1$ 不够。因此 $q(A)$ 在商空间中也不开。

如果改为 $[0,0.1)\cup(0.9,1]$，它同时相对开且饱和，像才是商空间里的一个开邻域。这两项不能合并成“图上接好了就行”。

在实验中依次选“只取左端”“补齐端点”和“补上右侧邻域”。观察三个判断栏：相对开、包含完整纤维、像是否开。再把圆弧挪到远离接缝的位置，它的逆像变成普通开区间。若圆弧边界恰好碰到接缝，那个边界点仍不在开弧里，两个端点代表也都应排除。

圆周的通常拓扑确实从这里得到

现在让 $S^1=\{(u,v)\in\mathbb R^2:u^2+v^2=1\}$ 带平面的子空间拓扑，并考虑

$$q(t)=(\cos2\pi t,\sin2\pi t),\qquad 0\le t\le1.$$

两个坐标连续，所以 $q$ 连续。它满射，并且只有 $0,1$ 被映到同一个点，其他纤维均为单点。因此它在集合层面实现了指定的粘合。还缺的一步是证明它为商映射，不能用“给圆定义商拓扑”来替代对已有平面拓扑的比较。

设 $V\subseteq S^1$，且 $q^{-1}(V)$ 相对开。要证明 $V$ 在圆周中开，只需给其中每一点找一个完全落在 $V$ 里的开弧。

每点附近都找到了开弧，故 $V$ 开。另一个方向已经由 $q$ 连续给出，所以 $q$ 是到通常圆周的商映射。于是抽象的 $[0,1]/(0\sim1)$ 与平面圆周同胚：诱导双射把 $[t]$ 送到 $$，两边开性的判断都通过同一个区间逆像完成。

下一章还会用“紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射”给出另一条证明路线。这里的局部开弧证明，让接缝的两个端点各自起了什么作用直接显现出来。

函数下降到商空间的两个条件

给定 $g:X\to Z$，希望定义

$$\bar g:Q\to Z,\qquad \bar g(q(x))=g(x).$$

良定义要求 $g$ 在每条纤维上恒定。如果 $q(x)=q(x')$，就必须有 $g(x)=g(x')$；否则同一个输入得到了两个输出。条件成立时，由于 满射， 的每个值都被唯一确定。

端点粘合时，这个条件只需额外核对 $g(0)=g(1)$，因为其他纤维是单点。$g(t)=t$ 失败；$g(t)=t(1-t)$ 两端都为零，可以下降；、 也分别给出圆周上的连续坐标函数。

良定义解决后，连续性还有一条恰好适配商拓扑的判据：

$$\bar g\text{ 连续}\quad\Longleftrightarrow\quad \bar g\circ q=g\text{ 连续}.$$

正向是连续映射复合。反向，对 $Z$ 中开集 $W$，若 $g$ 连续，则

$$q^{-1}(\bar g^{-1}(W))=g^{-1}(W)$$

在 $X$ 中开。因为 $q$ 是商映射，$\bar g^{-1}(W)$ 在 $Q$ 中开，于是 $\stackrel{}{g}$ 连续。这个论证没有猜商空间中的开集长什么样，而是把它们拉回了较熟悉的原空间。

换到整数例子，可以更清楚地看到“选代表”与“选值域”的区别。在 $\mathbb Z/4\mathbb Z$ 上，候选公式 $[n]_4\mapsto n^2$ 若取整数值，就不良定义：$[0]_4=[4]_4$，却有 。

如果输出也取模 $4$，$[n]_4\mapsto[n^2]_4$ 就良定义。任意同类代表形如 $n+4k$，而

$$(n+4k)^2-n^2=8kn+16k^2=4(2kn+4k^2),$$

总被 $4$ 整除。这才是处理所有代表的证明。只算 $0,4$ 一组，或者选到 $-2,2$ 恰好平方相等，都不能代替这个一般论证。

实验允许你在这两种输出之间切换。试一次 $k=0$，再试 $n=-2,k=1$：两个当前输出相等，为什么整数值公式仍被判为不良定义？看清“这对代表的结果”与“整个公式的结论”两个层次以后，再切换到模四值。

两条实用的商映射判据

若连续满射 $q:X\to Q$ 还是开映射，它一定是商映射。因为一旦 $q^{-1}(V)$ 开，由开映射性和满射性，

$$V=q(q^{-1}(V))$$

也开。若 $q$ 是连续闭满射，同样成立：当 $q^{-1}(V)$ 开时，其补集闭，像 $q(X\setminus q^{-1}(V))=Q\setminus V$ 闭，故 开。

例如圆柱侧面 $S^1\times[0,1]$ 投影到 $S^1$，把每一条竖直纤维 $\{z\}\times[0,1]$ 压成一个圆周点。它是连续开满射，因此是商映射。

这与区间粘端点是不同的识别方式：一个例子只有接缝纤维含两个点，另一个例子每条纤维都含整段点。商拓扑的逆像判据同时适用。

反过来，商映射未必是开映射。刚才的 $q:[0,1]\to S^1$ 就把相对开集 $[0,0.1)$ 映成一个不开的半边弧。商映射只要求通过完整逆像判断开性，并不要求每个原空间开集的像都开。

再做几次识别

1. 连续满射为什么不够。考虑从离散实数空间到通常实数空间的恒等映射。证明它连续且满射，却不是商映射。

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任何目标开集的逆像都是定义域的一个子集，离散拓扑中所有子集都开，所以映射连续。它显然满射。但目标子集 $\{0\}$ 的逆像在定义域开，$\{0\}$ 在目标通常拓扑中却不开，不满足商映射的反向条件。

2. 判断一个带参数的公式。在端点粘合的商空间上，候选 $\bar g([t])=at+b$ 何时良定义？良定义时是否连续？

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需有 $g(0)=b=g(1)=a+b$，故必须且只需 $a=0$。此时函数为常值，当然连续；也可由原区间上的常值函数连续和商映射判据推出。$a\ne0$ 时的障碍是良定义，不是某个接缝处导数不匹配。

3. 饱和化有哪些基本性质。证明 $A\subseteq q^{-1}(q(A))$，且对饱和化再次饱和，不会改变集合。饱和化是否一定保开？

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若 $x\in A$，则 $q(x)\in q(A)$，故 $x\in q^{-1}(q(A))$。这个逆像已经是完整纤维的并，再补一次没有新纤维可补，所以不变；也可用满射下 验证。它未必保开：端点粘合时，开集 的饱和化 不相对开。

4. 四个角分别去了哪里。在正方形 $[0,1]^2$ 上，规定 $(0,t)\sim(1,t)$、$(s,0)\sim(s,1)$，并取这些关系生成的等价关系。四个角形成几个等价类？边的内部点与正方形内部点的类各有多少成员？

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四个角属于同一个类，因为 $(0,0)\sim(1,0)\sim(1,1)\sim(0,1)$。每个边的内部点与对边同参数位置配对，类有两个成员。正方形内部点没有指定识别，类只有一个成员。只把两组边的配对写下来还不够，角点处必须继续使用传递性。这种识别给出环面的常见商模型。

5

设 q 为商映射。以下哪些判断总成立？

A.每个开集的像都开B.在每条纤维上恒定的函数可以定义到商集上C.目标子集开，当且仅当其完整逆像开D.连续满射自动是商映射

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