03 连续映射、子空间与积空间

把 $f(x)=x^2$ 的输出限制在 $(1,4)$，哪些输入还可以留下？解不等式 $1<x^2<4$，得到 $(-2,-1)\cup(1,2)$。它断成两段，却仍是开集。

连续性并不要求逆像连成一片，也不要求映射把形状原样保留。它要求的是：目标里的一个开放范围，拉回以后，仍能给每个被保留的输入留出开放的余地。用这句话进入定义，比只记“不能跳跃”更容易推广到没有距离的空间。

逆像把目标的要求带回来

映射 $f:X\to Y$ 连续，是指对每个在 $Y$ 中开的集合 $V$，

$$f^{-1}(V)=\{x\in X:f(x)\in V\}$$

在 $X$ 中开。这里 $f^{-1}(V)$ 是集合的逆像，并不假设 $f$ 有逆函数。平方函数不是单射，我们照样能求它的逆像。

“每个开集”会不会太多？若 $\mathcal B$ 是 $Y$ 的一套基，只检查所有 $B\in\mathcal B$ 的逆像是否开就够了。因为任意开集是基元素的并，而

$$f^{-1}\left(\bigcup_iB_i\right)=\bigcup_i f^{-1}(B_i).$$

右边是开集的并。同理，若从子基出发，就先用逆像保持有限交，再用保持任意并，完成检查。

连续性也可以逐点读：对每个 $x\in X$ 和每个含 $f(x)$ 的开集 $V$，都存在含 $x$ 的开集 $U$，使 $f(U)\subseteq V$。若 连续，取 即可；反过来，对 中的每个点都找到这样的 ，这些 的并恰好等于逆像，逆像就开。

在度量空间里，再把这些开邻域缩成开球，便回到熟悉的 $\varepsilon$–$\delta$ 语言。以平方函数在 $x_0$ 处为例，若 $|x-x_0|<1$，则

$$|x^2-x_0^2|=|x-x_0||x+x_0| <|x-x_0|(2|x_0|+1).$$

给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\min\{1,\varepsilon/(2|x_0|+1)\}$，就能让输出落在 $({}_{}^{}$ 内。这解释了平方函数为什么在每一点连续，而不只是某一个逆像碰巧开。

作一个对照。令

$$H(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\1,&x\ge0.\end{cases}$$

目标开集 $(1/2,3/2)$ 的逆像为 $[0,\infty)$。它不是实数开集，因为含 $0$ 的每个开邻域都带着负数。因此一个具体的坏逆像，就足以证明 $H$ 不连续。

在实验中拖动目标区间的端点，特别看看左端点从负数变成 $0$ 时，平方函数逆像中的 $0$ 会怎样。换成阶跃函数后，把邻域中心放在 $0$，再缩小半径。实验给出的 $-\delta/2$ 始终在邻域里，却被送到目标区间之外；这是“每个半径都失败”的一个统一理由。

复合、限制，以及能否走回来

连续映射的复合仍连续。若 $f:X\to Y$、$g:Y\to Z$ 连续，对 $Z$ 中的开集 $W$，

$$(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W)).$$

$g$ 把 $W$ 拉回成 $Y$ 中的开集，$f$ 再把它拉回成 $X$ 中的开集。这条等式把两次连续性接在一起。

恒等映射从一个空间到它自己连续。不过，把同一个集合放上不同拓扑之后，就不能只看“点没动”。若 $\tau_1,\tau_2$ 都定义在 $X$ 上，恒等映射

$$\operatorname{id}:(X,\tau_1)\longrightarrow(X,\tau_2)$$

连续，当且仅当 $\tau_2\subseteq\tau_1$。目标要求开放的每个集合，都必须已在定义域中开放。定义域越精细，越容易满足这个要求。

一般的同胚是一个双射 $f:X\to Y$，并且 $f$ 与它的逆映射 $f^{-1}:Y\to X$ 都连续。逆映射未必是恒等映射；只有比较同一集合上的两套拓扑时，才会遇到前面的特殊情况。

连续双射还不够。例如恒等映射从带离散拓扑的 $\mathbb R$ 到带通常拓扑的 $\mathbb R$ 连续且双射，但反方向不连续：目标离散拓扑中的开集 $\{0\}$，拉回后在通常拓扑中不开。因此这两个空间没有通过这条映射成为同胚。

若 $A\subseteq X$ 带子空间拓扑，连续映射的限制 $f|_A:A\to Y$ 连续，因为

$$(f|_A)^{-1}(V)=A\cap f^{-1}(V).$$

右边是环境开集与 $A$ 的交，正是相对开集。还有一种常用操作：若 $f(X)\subseteq B\subseteq Y$，把同一个公式的目标改为子空间 $B$，连续性不变。因为 $B$ 中的开集形如 $B\cap V$，其逆像仍是 ；反向则与连续的包含映射 复合。

局部连续怎样拼回全局

假设一族开子集 $A_i$ 覆盖 $X$，而每个限制 $f|_{A_i}$ 都连续。对 $$ 中开集 ，每个

$$A_i\cap f^{-1}(V)=(f|_{A_i})^{-1}(V)$$

在 $A_i$ 中开。由于 $A_i$ 本身在 $X$ 中开，相对开集在这里也在 $X$ 中开。对 $i$ 取并，就得到整个 开，所以 连续。

这句话也可用于拼接若干局部函数：只要它们在重叠处取值一致，就先拼出一个函数，再用上面的论证判断连续。重叠处一致是在保证函数定义好；覆盖成员的开性是在保证连续性。两者负责不同的事情。

任意子集覆盖不能直接这样用。把 $\mathbb R$ 拆成所有单点，每个函数在每个单点上的限制都连续，阶跃函数却仍不连续。问题出在单点的相对开性，不能直接提升为整个实数空间的开性。

积拓扑把坐标条件组织起来

两个空间 $X,Y$ 的积集 $X\times Y$ 上，开矩形

$$U\times V,\qquad U\text{ 在 }X\text{ 中开},\quad V\text{ 在 }Y\text{ 中开}$$

组成一套基，称为积拓扑。它们覆盖积集；两个开矩形的交是 $(U_1\cap U_2)\times(V_1\cap V_2)$，仍是开矩形，因此基判据成立。

坐标投影 $\pi_X(x,y)=x$ 连续，因为

$$\pi_X^{-1}(U)=U\times Y.$$

另一坐标同理。投影的逆像并不把其他坐标固定为零，而是让它们任意变化。

对映射 $f:Z\to X\times Y$，有一个很有用的等价条件：$f$ 连续，当且仅当两个坐标函数都连续。正向由投影连续和复合性得到。反向只需对基开矩形计算

$$f^{-1}(U\times V) =(\pi_X\circ f)^{-1}(U)\cap(\pi_Y\circ f)^{-1}(V).$$

右边是两个开集的交，所以开。每个坐标分别满足条件，合起来也就满足积拓扑的要求。

例题。映射 $h(t)=(t,t^2)$ 不仅连续，还把实数直线同胚地放进了平面。

两个坐标函数都连续，所以 $h$ 连续。它是单射，像为抛物线 $P=\{(t,t^2):t\in\mathbb R\}$。把目标改成子空间 $P$ 后，逆映射就是 ${\pi }_X{}_{}$，仍连续。因此 是同胚。这种到自身像的同胚称为。仅有连续单射，尚不能自动称为嵌入；还需检查像上的逆映射。

无限个坐标时，有限交变得关键

对空间族 $X_\alpha$，积集中的一点是坐标组 $x=(x_\alpha)_\alpha$。积拓扑以所有投影逆像 ${}_{}^{}$ 为子基。一个基本开集只取有限个这样的条件相交：

$$\bigcap_{\alpha\in F}\pi_\alpha^{-1}(U_\alpha),\qquad F\text{ 有限}.$$

没有出现在 $F$ 中的坐标完全不受限制。$F=\varnothing$ 时，得到整个积集。

到无限积的映射也满足逐坐标连续判据。正向仍由投影给出；反向把上式取逆像，得到有限个坐标函数逆像的交，因而开。这里“有限”使证明成立，不能悄悄替换成无限交。

盒拓扑则允许所有坐标同时受限，以 $\prod_\alpha U_\alpha$ 为基，其中每个 $U_\alpha$ 都开。有限个因子时，它与积拓扑相同；无限个因子时，它通常更精细。

在 $\mathbb R^{\mathbb N}$ 中，考虑对角线映射

$$d(t)=(t,t,t,\ldots).$$

每个坐标函数都是恒等函数，所以它到积拓扑连续。盒拓扑中的开集

$$B=\prod_{n\ge1}(-1/n,1/n)$$

却有逆像 $d^{-1}(B)=\{0\}$：非零 $t$ 总能被某个满足 $n>1/|t|$ 的坐标条件排除。单点在通常实数中不开，所以同一个公式到盒拓扑不连续。

图中的有限坐标示例与实验预设用了不同的有限指标集，它们都留下一个非空开区间。实验开始只限制第 1、3、5 项，把 $t$ 放在 $0.2$ 时，为什么第五项恰好失败？换成盒拓扑后，把 $t$ 改成很小的非零数，调用一个窗口外的反例坐标。看完屏幕上的有限几行，还不能说后面所有行都通过。

自己把逆像写出来

1. 闭集判据。证明 $f:X\to Y$ 连续，当且仅当每个闭集 $F\subseteq Y$ 的逆像在 $X$ 中闭。

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关键等式是 $f^{-1}(Y\setminus F)=X\setminus f^{-1}(F)$。若 $f$ 连续，左边对闭集 为开集，所以右边的补集 闭。反过来，对开集 用闭集 ，同一等式就给出 开。

2. 子空间与积能否交换次序。设 $A\subseteq X$、$B\subseteq Y$。证明 $A\times B$ 从 $X\times Y$ 继承的子空间拓扑，与先给 $A,$ 子空间拓扑再取积，得到同一拓扑。

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前一种拓扑有基 $(U\times V)\cap(A\times B)$，后者有基 $(U\cap A)\times(V\cap B)$。逐点检查两个集合相等。于是两边有同一套基，生成的拓扑也相同。

3. 闭集也能拼接，但要留意数量。设 $X=A\cup B$，其中 $A,B$ 在 $X$ 中闭。连续函数 $f_A:A\to Y$ 与 在交集上一致。证明拼成的函数连续。

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对 $Y$ 中闭集 $F$，逆像等于 $f_A^{-1}(F)\cup f_B^{-1}(F)$。第一项在 中闭，而 在 中闭，所以它在 中闭；第二项同理。两项有限并闭，由闭集判据，拼接函数连续。相同方法适用于有限闭覆盖，不能自动扩展到无限闭覆盖：单点闭覆盖与阶跃函数仍是反例。

4. 投影既连续，也把开集送到开集。证明 $\pi_X:X\times Y\to X$ 是开映射。连续映射是否都具有这个性质？

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把积空间的开集写成开矩形的并。若 $V$ 非空，$\pi_X(U\times V)=U$；若 $V$ 为空，像为空。每个矩形的像都开，像又保持并，所以整个开集的像开。但连续映射一般不保开：常值映射 $\mathbb R\to\mathbb R$ 连续，非空开集的像为单点，在通常拓扑中不开。

5

每个坐标函数都连续时，能直接保证映射到哪种无限积空间连续？

A.带积拓扑的空间B.带任意更精细拓扑的空间C.带盒拓扑的空间D.带离散拓扑的空间

6

任意连续双射的逆映射都连续。

正确错误