一根长度为 $L$ 的金属杆，两端被恒温装置保持在不同温度。你手里有初始温度 $f(x)$，还知道杆内部满足热方程。此时真正的问题不是“把一个公式套进去”，而是：哪些数据是在一开始给出的，哪些数据在整个演化过程中持续施加？杆的端点温度不为零时，怎样把它改造成已经熟悉的零边界问题？如果空间变成半无限或无穷大，分离变量还合适吗？

这一章把这些问题放在同一张地图上。你会看到，初值问题、边值问题和初边值问题并不是三种互不相干的题型；它们是在描述同一个未知函数时，给数据的位置不同。方法也不是按方程名称机械匹配，而要看时间是否参与、区域是否有限、边界是否能被本征函数吸收，以及你需要精确公式还是可计算近似。

先把数据放回它们的位置

设未知量是 $u(x,t)$。在时间参与的模型里，初值通常写在 $t=0$ 上，例如

它给出的是一整条空间切片：每个位置一开始的状态都被指定了。边界条件则写在空间区域的边缘。例如杆占据 $0<x<L$，两端恒温就是

这两条条件对每一个允许的 $t$ 都成立。把 $u(x,0)$ 误看成“左端点的条件”，或只在 $t=0$ 检查端点温度，都会让后面的解从一开始就偏离题目。

数据落在什么地方，决定了问题的类型。稳态问题则是边值问题中的一种。

“边值”不等于“边界值全是数值”。边界上的导数也可以给出信息：$u_x(0,t)=0$ 表示左端绝热，在一维模型里对应没有热流穿过端点。Dirichlet 条件给函数值，Neumann 条件给法向导数，Robin 条件给两者的线性关系。一端取 Dirichlet、另一端取 Neumann，也是一种常见的混合边界。此处先关注最适合展示拼装思想的 Dirichlet 条件。

图中的 $g_0(t),g_1(t)$ 分别对应这里的 $a(t),b(t)$。顶边 $$ 是观察时刻，不是另外指定一份终值；两个下角点则要同时满足初值与边界值。

区域的形状会改变可用工具

同一个热方程，在不同区域上会要求不同的表示方式。有限杆 $0<x<L$ 有两个端点，正弦本征函数能够同时满足零 Dirichlet 条件，分离变量与 Fourier 级数很自然。半无限杆 $x>0$ 只有一个有限端点，另一端用衰减、有界或远场条件约束，常会采用 Fourier 正弦/余弦变换、Laplace 变换或 Green 函数。整条实线 $x\in\mathbb R$ 没有端点，Fourier 变换把空间微分变成波数上的乘法；如果只需要数值近似，则有限差分可以在截断区域上推进。

下面这张选择表不是一张“看见关键词就点击”的答案表。它告诉你每一种方法正在利用什么结构。

一阶输运：特征线携带初值

考虑

定义曲线 $x(t)$，使它的速度为 $x'(t)=c$。沿曲线考察 $u(x(t),t)$，链式法则给出

所以 $u$ 沿着 $x-ct=\text{常数}$ 保持不变。初始点 $(\xi,0)$ 沿特征线走到 $(x,t)$ 时满足 $x=\xi+ct$，也就是 。因此

这就是“初始形状以速度 $c$ 向右平移”。在有限区间上，方向也很重要。$c>0$ 时左端是入流边界；若要求所有正时间的解，就要给出从左端持续进入的数据。右端的值已经由内部传播决定，再任意给一个独立条件会造成过度约束。

回溯路径也可能先碰到入流边界

在 $0<x<L$ 上给左端数据 $u(0,t)=h(t)$。从目标点沿特征向过去走，可能先到 $t=0$，也可能先到 $x=0$。当 时，答案为

第二个时间参数要自己算清楚：从左端走到 $x$ 需要 $x/c$，所以进入的时刻是当前时刻减去这段旅行时间。分界线上，两种公式的极限分别是 $f(0)$ 与 $h(0)$；要拼成连续解，必须有 $f(0)=h(0)$。若还要求跨过分界线的一阶导数连续，则需要

因为初值一侧的 $u_t=-cf'(x-ct)$，边界一侧的 $u_t=h'(t-x/c)$。值匹配只是第一层兼容条件。

当 $c<0$ 时，入流端换成 $x=L$。若那里给 $u(L,t)=h(t)$，则初始脚点仍是 $\xi=x-ct$； 时用 ， 时用

若 $c=0$，方程成为 $u_t=0$，每个位置保留自己的初值，并没有来自左右端的输运。

图中 $c=1$，同一时刻的两个目标点，回溯后取到了不同位置的数据。特征线投影在 $(x,t)$ 平面上；对于这个无源输运方程，$u$ 沿它保持常数，所以它也位于一个等值集合中。若沿途有源项使 $u$ 改变，这个等值性质就不再成立。

把实验中的速度反向，观察入流端怎样交换。把入流初值改成与 $f$ 的端点不一致时，图上会出现随特征传播的跳跃；这时只在分界线两侧分别使用公式，不能把它叫作跨线光滑的经典解。

完整例题 1：用特征线解决无穷域初值问题

求解

并满足 $u(x,0)=e^{-x^2}$。说明结果如何体现信息传播。

有限区间：分离变量先服务于边界

以齐次热方程为例，设

并且 $u(0,t)=u(L,t)=0$。设 $u=X(x)T(t)$，代回方程得到

在 $X,T$ 不为零的地方，两边分别除以 $\kappa XT$，左边只依赖 $t$，右边只依赖 $x$，因此它们必须等于同一个常数。沿用第 4 章的记号，将这个常数写成 $-\lambda$；符号只是一种约定，哪些 $\lambda$ 允许非零解仍要由边界条件算出：

于是

空间问题有非零解的条件是

时间因子为 $T_n(t)=e^{-\kappa(n\pi/L)^2t}$。线性叠加给出

其中 $B_n$ 由初值的 Fourier 正弦系数决定：

这里边界不是计算完成后才来检查的附加条件。正是 $X(0)=X(L)=0$ 先筛出了正弦模态。热方程中的高频模态还带有更大的指数衰减率，所以细小起伏会更快消失。

非零端点的边界提升

分离变量最顺手的情形是零边界，但实际问题常给出 $u(0,t)=a$、$u(L,t)=b$。这时可以先造出一个只负责“托住端点”的函数，再把剩余部分交给零边界问题处理。这个动作叫 boundary lifting；在本章中我们只用最简单、最透明的线性提升：

它满足

令

如果原问题是

则逐项代入，不跳过 $g$ 的贡献：

因此一般地

对于上面的线性、时间不变提升，$g_t=g_{xx}=0$，所以右端项保持为 $q$。这句话有一个容易漏掉的前提：如果端点温度随时间变化，$g$ 也必须随时间变化，右端项就会多出 ；如果选择的提升不是线性的，空间曲率也会通过 进入新方程。

边界条件则变成

初值不能原封不动地搬过去，而是

所以边界提升完成了三件事：端点变成零，方程右端按上式变化，初值减去同一个提升函数。

这张图用 $L=1$、端点温度 $2,4$ 展示同一个减法：原剖面减去连接端点的直线，余量的两端就变成零。图中 $s$ 就是本节的提升函数 $g$。

完整例题 2：非零端点温度的完整拼装

在 $0<x<\pi$ 上求解

并满足

端点持续变化时，右端多出来的是什么

设 $a,b\in C^1$，选取

这条直线每一刻都连接两个端点，但它本身也在运动：

因此 $v=u-g$ 满足

初值为 $f(x)-g(x,0)$。这里新增的项没有凭空制造物理热源；它记录的是我们选择的温度基线正在改变。

一个可直接验算的升温例子。 令 $L=1,\kappa=1,q=0$，两端都按 $a(t)=b(t)=t$ 升温。此时 $g=t$，新方程是 。选

由于 $w(0)=w(1)=0$、$w''=1$，这个 $u$ 满足原热方程，两端也都等于 $t$；它对应的初值是 。内部起初低于端点，随后一起升温。若漏掉 ，就会错误地要求 ，连这个简单解也无法满足新方程。

源项、稳态与叠加

线性方程的叠加原则是拼装的另一根支柱。设算子

若 $\mathcal L[u_1]=q_1$、$\mathcal L[u_2]=q_2$，并且边界和初值都按同样方式相加，那么

因此可以把一个复杂问题拆成“初始扰动造成的响应”和“源项造成的响应”，分别求出后相加。若边界非齐次，先做 $u=v+g$，再对齐次边界下的 $v$ 使用叠加更清楚。

当源项 $q=q(x)$ 不随时间变化时，还可以寻找稳态 $w(x)$，令 $w_t=0$，于是

若写 $u=w+z$，则 $z$ 满足齐次热方程和齐次边界条件，初值是 $z(x,0)=f(x)-w(x)$。这和单纯使用线性提升的关系是：线性提升直接消除端点值，但若 ，它未必消除源项；稳态 同时承担边界与恒定源项，通常更快显出长时间行为。

源项如何进入每一个模态

把提升后的右端记为 $F=q-g_t+\kappa g_{xx}$。设

空间正交性把方程拆成

此处 $\lambda_n$ 表示时间衰减率，已经包含 $\kappa$。乘以积分因子 $e^{\lambda_n t}$ 后，左边成为 $(e^{{\lambda }_{n}t}$。从 积分到 ，得到

初始扰动从 $0$ 时刻就开始衰减；在时刻 $s$ 加入的那部分源，只经历 $t-s$ 这么长的扩散。这就是 Duhamel 原理在每个模态上的形式。它也说明为什么不能简单地把持续源的响应写成 $tF(x)$：输入发生的同时，扩散仍在进行。

有限模态时，上述推导只涉及有限和，可以直接逐项验算。一般无限展开需要解释解的意义。一组足够具体的条件是：在考察的 $0\le t\le T$ 上，令 $k_n=n\pi/L$，若

且每个 $F_n$ 连续，则

因此二阶空间导数级数一致收敛；由 $y_n'=F_n-\kappa k_n^2y_n$，时间导数级数也一致收敛。结合第 7 章的展开识别，可以得到逐项满足方程的经典解。这些是充分条件，不是必要条件。前面的共同升温例子直接用多项式验算，不必为了套这组条件而强行展开常数源。

完整例题 3：恒定源并不产生无限增长。 在 $0<x<\pi$ 上，令

只需要第一模态 $u=y(t)\sin x$。代回方程得 $y'+y=1,y(0)=2$，所以

检查 $u_t=-e^{-t}\sin x$，而 $u_{xx}+\sin x=-(1+e^{-t})\sin x+\sin x$，确实相等。长时间后趋于 ；内部输入与端点散热取得平衡。换用稳态分解也一样：，初始余量 ，于是 。

在 $t=\ln2$ 时，初值响应的振幅为 $1$，源响应的振幅为 $1/2$，相加得到 $3/2$。这里相加的是同一个问题中不同数据的响应。

实验把两端的共同升温率记为 $R$，并使用一族可精确验算的解。取 $k=n\pi/L$、$\lambda=\kappa k^2$，令

则 $u=g+w+y\sin(kx)$ 满足 $u_t-\kappa u_{xx}=Q\sin(kx)$，而 的右端为 。注意初值也随参数变化，等于 。 时两端持续变化，不能再说温度趋于一个与时间无关的稳态。

兼容性失败并不只是“答案不好看”

在角点 $(0,0)$，初值与边界数据必须描述同一个数。如果题目给出

那么要有一个在闭区域上连续的经典解，至少必须满足

如果 $f(0)\ne a$，则沿初始线靠近 $(0,0)$ 得到的值趋向 $f(0)$，沿左边界靠近同一点得到的值却恒为 $a$，不可能存在同一个连续函数同时满足两者。此时仍可能在 $t>$ 的区域内构造解，并让它在内部趋于初值；例如突然改变端点温度会产生很薄的早期边界层。不能把它当作普通的经典初边值问题直接验算。

更高阶的光滑性还会带来更高阶兼容条件。例如热方程 $u_t=\kappa u_{xx}$ 配常数边界 $u(0,t)=a$ 时，若希望在角点具有足够光滑性，边界上的 $$ 为零，于是方程要求对应的 也匹配为零。对于一般的 ，若 延伸到角点连续，则明确的一级兼容条件为

这类条件要根据所要求的光滑程度逐级检查。若只要求 $u$ 在闭区域连续、在 $t>0$ 内经典可微，就不能把上述更强的角点导数条件也当作同样层次的必需条件。

无穷域与有限差分：精确表示和可计算近似

在整条实线上考虑

没有有限端点时，连续波数比离散模态更自然。为避免常数因子混淆，这里固定变换约定

我们先对光滑且自身和各阶导数都快速衰减的函数推导，保证积分、分部积分与换序合法。两次分部积分，边界项消失，给出 $\widehat{u_{xx}}=-k^2\widehat u$。于是每个波数满足

不把逆变换的高斯积分当作黑箱。记

对 $z$ 求导，利用 $ke^{-\kappa tk^2}=-(2\kappa t)^{-1}\partial_ke^{-\kappa tk^2}$ 并分部积分，得到 。而高斯积分给 ，所以

将 $\widehat f$ 的定义代入逆变换并交换积分，就得到热核卷积

核满足 $G_t=\kappa G_{zz}$、$G>0$、$\int_{\mathbb R}G(z,t)dz=1$。对于有界连续的 ，这个积分仍有定义；高斯及其导数可积，允许在 上把导数移进积分，所以它给出光滑的热方程解。

初值是以 $t\downarrow0$ 的极限恢复的，不能直接在含 $1/\sqrt t$ 的式子中代 $t=0$。具体看

在 $|z|<\delta$ 内，由连续性把方括号控制得很小；外侧用 $2\|f\|_\infty$ 乘高斯尾积分。换元 $z=\sqrt{4\kappa t}\,s$ 后，尾积分从 积到无穷，随 趋零。这样便在每个连续点恢复 。若 一致连续，同一估计还能给一致的初值极限。全实线上的唯一性还要指定有界等增长类别，不能把任意在无穷远快速增长的解都混进来。

同一个高斯，两种演化。 令 $f(x)=e^{-x^2}$。对热核中的指数配方后，使用 $\int e^{-a(x-b)^2}dx=\sqrt{\pi/a}$，得到

而速度 $2$ 的输运解为 $u_{\rm trans}(x,t)=e^{-(x-2t)^2}$。前者的中心不动，峰值下降、宽度增加；后者保持形状向右移动。两者的全线积分都是 ，但温度或浓度在空间上的分布不同。

若区域变为半无限 $x>0$，还要编码端点条件。将 $f$ 奇延拓，再把全线积分拆成正负两半，可得零 Dirichlet 解

在 $x=0$，两项由高斯的偶性抵消。用偶延拓则把减号换成加号，得到零 Neumann 解；对 $x$ 求导后，两项由 $G_z$ 的奇性抵消。若希望连到初始角点连续，Dirichlet 情况还要有 $f(0)=0$。非零、随时间变化的半线边界需要另外加入边界响应，不能只换积分下限。本章只推导这两个齐次边界的镜像公式。

如果目标是得到一组可运行的数值，有限差分把 $x_j=j\Delta x$、$t_n=n\Delta t$ 放在规则网格上。对热方程使用前向时间、中心空间差分：

整理成推进公式，记

则

当 $0\le r\le\tfrac12$ 时，这一步是相邻三个值的非负加权平均，至少保留了热扩散“平滑、不凭空放大极值”的基本性格；标准一维显式格式的稳定性检查也给出同一个限制。边界值必须在每个时间层施加，而不是只在 $n=0$ 设一次。若 $r>1/2$，系数 为负，网格上的小误差可能被放大，出现振荡或爆炸，即使连续方程本身是稳定的，数值格式也可能不稳定。

三个输入值都来自上一层 $n$，输出才位于 $n+1$。实现时必须写入新的数组；若计算一个节点后立刻覆盖旧值，后续节点就会读到混合时间层，已经不再是这条显式公式。

平滑的曲线也可能掩盖不稳定

把网格误差中的一项写成 $e_j^n=\rho^n e^{ij\theta}$，代入同一个更新式，得到

当 $0\le r\le1/2$ 时，所有 $\theta$ 都满足 $|\rho|\le1$。若 $r=0.6$，最高交替频率 $\theta =$ 给出 ：每步变号，同时绝对值放大 倍。低频却可能仍然平稳，所以一条短时间内看起来光滑的曲线，不能证明整个格式稳定。

有限区间的零边界误差不是任意平面波，而是 $\sin(m\pi j/M)$，其中 $M=L/\Delta x$、$m=1,\ldots,M-1$。代回更新式同样得到

最高模态的因子为 $1-4r\cos^2(\pi/(2M))$。固定 $M$ 时，精确的非放大谱条件可略宽于 $r\le1/2$；但随着网格加密，允许的上界趋向 $$。本章使用的是不依赖 的标准充分稳定限制，它同时保证非负权重和保极值性质。不能把“超过限制”说成每一个初值、每一步都会立刻爆炸。

保持 $r$ 不变，分别观察低频初值与带有很小高频扰动的初值。实验把节点数组真正向前推进，并与同一初边值问题的解析解比较。若只改变网格数却保留“最高网格频率”的扰动，初始函数本身也变了；检查网格加密是否收敛时，要切换到同一个光滑初值，并比较同一物理时刻。误差读数是节点上的最大误差，尚不是连续区间上所有位置的误差。

第 10 章会从 Taylor 展开继续推导精度，并比较显式与隐式格式。这里先建立最基本的判断：离散方程要忠实执行边界，数值曲线还要经得起稳定性与同一问题的误差比较。

练习：从识别到迁移

理解：识别数据和方法

练习 1　判断下面的问题类型，并说明每一类数据的位置：

练习 2　对每个情形选出更合适的首选方法，并写出一个必须检查的条件：

（a）$u_t+cu_x=0$ 在整条实线上给初值；（b）$u_t=\kappa u_{xx}$ 在 上给两端恒温；（c） 在整条实线上给局部初值；（d）复杂区域上的扩散过程只要求数值近似。

应用：执行边界提升

练习 3　设 $0<x<2$，$u_t=4u_{xx}+\sin(\pi x/2)$，边界为 。用 ，写出 所满足的方程、边界条件和初值（初值 ），并判断数据是否允许一个在初始角点连续的解。

练习 4　用标准显式有限差分格式计算一步。取 $\kappa=1$、$\Delta x=0.5$、$\Delta t=0.05$，某一时间层的三个连续节点值为 $U_{j-1}^n=2,U_j^n=1,U_{j+1}^n=4$。求 和 ，并判断这一步是否处在一维格式的稳定限制内。

迁移：处理失败的兼容性并比较拼装方案

练习 5　考虑 $u_t=u_{xx}$，$0<x<1$，$t>0$，初值 ，边界 。有人说“直接用零边界的正弦级数就能得到闭区域上的经典解”。请指出这句话的问题，并给出最基本的兼容性检查。

练习 6　设 $u_t-u_{xx}=q_1(x,t)+q_2(x,t)$，边界和初值分别是两组数据之和。若 解决源项 的问题， 解决源项 的问题，说明为什么 解决总问题；再说明当边界非零时，边界提升应放在哪一步。

练习 7　在 $0<x<2$ 上求 $u_t+2u_x=0$，初值为 ，左端数据为 。分别求 与 ，并检查角点的一阶兼容性。

练习 8　在 $0<x<\pi$ 上解 $u_t=u_{xx}+e^{-4t}\sin2x$，两端为零，初值也为零。说明为什么源项与衰减率相同，并不会使积分公式失效。

练习 9　在 $0<x<L$ 上令 $u_t=\kappa u_{xx}$，两端都为 $Rt$。找一个形如 的解，并写出它要求的初值。若初值改成处处为零，原来的公式还能用吗？

练习 10　$M=10,r=0.6$ 时，最高零边界网格模态 $\sin(9\pi j/10)$ 每步的放大因子是多少？若只观察第一模态，为什么可能没有立即看见爆炸？

练习 11　在半线上取零 Neumann 条件，并令 $f(x)=1$。用镜像核公式证明 $u(x,t)=1$。如果误用了 Dirichlet 镜像核，哪个边界检查会立即暴露错误？

一张可复用的检查清单

面对新的初边值问题，可以沿着下面的顺序检查，但每一步都要问“为什么”。

1. 写出区域：有限、半无限还是无穷；时间是否参与。
2. 分开记录初值、边界条件和源项，并标注它们依赖的变量。
3. 判断信息如何传播或耦合：一阶输运看特征线，扩散和波动看时间阶数与空间边界，稳态问题看整个边界。
4. 若端点非零，构造 $g$，核对 $g$ 的边界值，再逐项计算 $v=u-g$ 后的右端项与初值。
5. 检查角点兼容性；若失败，说明经典解的范围，不把角点矛盾藏在级数里。
6. 最后才选精确展开或数值格式，并检查 Fourier 模态、变换衰减、网格步长和边界的合理性。

你会发现，“方法选择”并不是解题之外的附加判断。它决定了数据从哪里进入解、哪些条件能被自动满足，以及最后一个公式应该被怎样检查。

它在 $x=0$ 和 $x=\pi$ 分别取 $2$ 与 $5$，且 $g_t=g_{xx}=0$。