一块薄金属片的一角被火焰加热，热量不会停在这一小块里，而会沿着材料内部传开。要把这种“传开”写成方程，关键不是猜一个看起来像扩散的二阶导数，而是从一个小控制体的能量收支开始：内部能量增加了多少，等于边界流入了多少，再加上内部产生了多少。

我会从杆里取出一小段，跟你一起记清它的热量收支。材料定律负责说明热往哪里流，边界装置决定热能不能离开；这两件事分开以后，方程的符号和长期状态就都有了检查的依据。

图中取出长度为 $\Delta x$ 的小段。左侧热流密度是 $q(x,t)$，右侧是 $q(x+\Delta x,t)$；不计内部热源时，若左边流入比右边流出多，微元的温度就会上升。这个局部收支正是后面出现空间二阶导数的原因。

从能量守恒到热方程

设 $u(x,t)$ 是位置 $x$、时刻 $t$ 的温度，材料密度为 $\rho$，比热容为 $c$，截面积为 $A$。假设杆的侧面绝热、每个横截面内温度近似均匀，且这里的材料参数不随温度变化。取区间 $[x,x+\Delta x]$。微元储存的热能相对固定参考温度可写成 $E(t)=\rho c A\int_x^{x+\Delta x}u(y,t)\,dy$。下面把很小一段内的温度用 $u(x,t)$ 近似；也可以直接对这个积分写收支并取极限。若暂时没有内部热源，微元在时间 $\Delta t$ 内的能量变化近似为

$$\rho c A\Delta x\,[u(x,t+\Delta t)-u(x,t)].$$

热流密度 $q$ 的单位是 $\mathrm{W/m^2}$。按照“向右为正”的约定，左端流入微元的功率是 $Aq(x,t)$，右端流出是 $Aq(x+\Delta x,t)$。因此能量收支为

$$\rho c A\Delta x\,u_t\Delta t \approx Aq(x,t)\Delta t-Aq(x+\Delta x,t)\Delta t.$$

两边除以 $A\Delta x\Delta t$，再让 $\Delta x,\Delta t\to0$，得到

$$\rho c\,u_t=-q_x.$$

这就是一维局部能量守恒。它没有告诉我们热流如何由温度决定，还需要材料定律。傅里叶导热定律说，热量从高温处流向低温处，故

$$q=-k u_x,$$

其中 $k>0$ 是导热系数。负号很重要：若温度向右升高，即 $u_x>0$，热流应当向左，所以 $q<0$。代入守恒式可得

$$\rho c\,u_t=(k u_x)_x.$$

当 $\rho,c,k$ 都是常数时，写成

$$u_t=\alpha u_{xx},\qquad \alpha=\frac{k}{\rho c}>0.$$

$\alpha$ 叫热扩散率（其他章节也记为 $\kappa$），单位是 $\mathrm{m^2/s}$。它不是“温度扩散的速度”；它衡量的是温度不均匀被抹平的快慢。

温度曲线向右上升时，热流箭头向左；曲线向右下降时，热流箭头向右。不要把 $u_x$ 和热流方向混为一谈，傅里叶定律中的负号正是在做这次方向转换。

若每单位体积还有热源 $s(x,t)$，其单位为 $\mathrm{W/m^3}$，守恒式变为

$$\rho c u_t=-q_x+s,$$

从而

$$\rho c u_t=(k u_x)_x+s.$$

本章的大多数计算取 $s=0$，但保留这个形式有助于判断：方程右端多出的项究竟是材料内部产生的热，还是从边界进入的热。

一个问题需要哪些数据

在杆 $0<x<L$ 上，热方程只是内部规律。为了得到具体解，还要说明初始时刻的温度

$$u(x,0)=f(x),\qquad 0\le x\le L,$$

以及两端如何与外界交换热量。初始条件描述“开始时整根杆是什么样”，边界条件描述“之后两端被怎样约束”。这两者不能互相替代。

定温边界：Dirichlet 条件

若左端始终保持在温度 $T_0$，就写成 $u(0,t)=T_0$。两端分别保持 $T_0,T_L$ 时，模型为

$$u_t=\alpha u_{xx},\quad 0<x<L,$$ $$u(0,t)=T_0,\qquad u(L,t)=T_L.$$

这不是说端点只在 $t=0$ 时取该值，而是对每个 $t>0$ 都成立。若 $T_0\ne T_L$，长时间后一般不会趋于零，而会趋向连接两端温度的稳态直线。

绝热边界：Neumann 条件

由 $q=-ku_x$，没有热流穿过端点意味着 $q=0$，因此

$$u_x(0,t)=0,\qquad u_x(L,t)=0.$$

这是斜率条件，不是温度值条件。杆可以整体很热或很冷，但端点处没有向外的净导热。对两端绝热的杆积分热方程：

$$\frac{d}{dt}\int_0^L u(x,t)\,dx =\alpha[u_x(L,t)-u_x(0,t)]=0.$$

所以平均温度保持不变；若没有热源，最终趋于初始平均温度。

定温端点会把温度值钉住，并允许热量进出；绝热端点只限制法向热流为零。同一个初始温度分布，换一组边界装置，就可能有完全不同的长期行为。

对流换热：Robin 条件

真实端面常常既不是恒温，也不是完美绝热。若端面与环境温度 $T_\infty$ 的空气交换热量，牛顿冷却定律给出边界热流与温差成正比。把沿外法向的热流规定为向外为正，统一写成

$$-k\,\partial_n u=h(u-T_\infty),$$

其中 $h>0$ 是对流换热系数，$\partial_n u$ 是沿外法向的导数。在一维杆上，左端和右端分别可写为

$$k u_x(0,t)=h_0[u(0,t)-T_{\infty,0}],$$ $$-k u_x(L,t)=h_L[u(L,t)-T_{\infty,L}].$$

符号看起来不对称，是因为两端外法向相反。检查方法是看物理方向：端点比环境热时，热量应从杆流向环境。

定温、绝热、对流并不是三条互相竞争的“公式答案”，而是三种实验装置的理想化。选择边界条件前，先问端点实际连接了什么。

量纲与扩散时间

热方程中的 $u_t$ 单位是温度除以时间，$u_{xx}$ 单位是温度除以长度平方，所以 $\alpha$ 必须有单位长度平方除以时间。由此自然得到一段长度 $L$ 的扩散时间尺度

$$t_{\mathrm{diff}}\sim\frac{L^2}{\alpha}.$$

长度扩大两倍，扩散时间大约扩大四倍；材料的热扩散率扩大两倍，所需时间大约减半。这个估算不是精确的到达时间，但能在解方程前告诉你结果应当处在什么数量级。

若引入无量纲变量 $\xi=x/L$、$\tau=\alpha t/L^2$，则

$$u_t=\alpha u_{xx} \quad\Longrightarrow\quad u_\tau=u_{\xi\xi}.$$

具体材料和长度都被收进了时间尺度里。后面若看到指数因子 $e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}$，最低模态的衰减时间正是 $L^2/(\alpha\pi^2)$，与量纲估算一致。

相同材料中，长度加倍会把特征时间变为四倍。图中的时间尺度只估计扩散的快慢；热方程没有一个到达后才突然升温的锐利前沿。

例题一：两端固定温度的稳态

一根长 $L=0.40\,\mathrm m$ 的杆，左端维持 $20^\circ\mathrm C$，右端维持 $80^\circ\mathrm C$。求长时间后的温度分布，并判断热流方向。

这个例子提醒你，稳态问题的边界数据已经决定了直线形状；扩散率 $\alpha$ 会影响“多久达到”，却不改变这个无源稳态分布。

例题二：绝热杆的平均温度与衰减

长度为 $L$ 的杆两端绝热，初始温度为

$$u(x,0)=10+6\cos\frac{\pi x}{L}+2\cos\frac{3\pi x}{L}.$$

两端绝热对应余弦空间模态。对每个 $\cos(n\pi x/L)$，时间因子满足 $T_n'=-\alpha(n\pi/L)^2T_n$，因此 。常数项是 模态，不衰减。

所以

$$u(x,t)=10+6e^{-\alpha\pi^2t/L^2}\cos\frac{\pi x}{L} +2e^{-9\alpha\pi^2t/L^2}\cos\frac{3\pi x}{L}.$$

当 $t\to\infty$ 时，两个非恒定模态都趋于零，故 $u(x,t)\to10$。这也与初始平均温度为 $10$ 相符。三倍频模态的衰减率是最低模态的九倍，因此细小的空间起伏更快消失。

图中换用更容易逐项核对的单模态例子 $20+10e^{-\alpha\pi^2t/L^2}\cos(\pi x/L)$：两端一边降温、一边升温，中点和平均温度始终是 $20$。回到上面的双模态例子，平均值改为 ，第三模态还会比第一模态衰减得更快。

例题三：半无限杆中的局部加热

考虑 $x>0$ 的半无限杆，初始温度均为零，端点保持在 $T_b>0$：

$$u_t=\alpha u_{xx},\quad u(x,0)=0,\quad u(0,t)=T_b,\quad u(x,t)\to0\ (x\to\infty).$$

这个问题没有有限杆长。初始与边界温差固定，而方程中能组成无量纲位置的组合是 $x/\sqrt{\alpha t}$。令

$$\eta=\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}},\qquad u(x,t)=T_b F(\eta).$$

链式法则给出 $\eta_t=-\eta/(2t)$、$\eta_x=1/(2\sqrt{\alpha t})$，所以

$$u_t=-\frac{T_b\eta}{2t}F'(\eta),\qquad u_{xx}=\frac{T_b}{4\alpha t}F''(\eta).$$

代入热方程并消去共同因子，得到 $F''+2\eta F'=0$。把 $F'$ 看成未知函数，积分得 $$。边界要求 、，于是

$$F(\eta)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_\eta^\infty e^{-z^2}\,dz =\operatorname{erfc}(\eta).$$

这里用到 Gaussian 积分 $\int_0^\infty e^{-z^2}dz=\sqrt\pi/2$；它来自把全直线积分的平方化为平面上的极坐标积分。因而

$$u(x,t)=T_b\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).$$

现在可以逐项检查：在 $x=0$，积分归一化使温度等于 $T_b$；固定 $x>0$ 令 $t\downarrow0$，积分下限趋于无穷，温度趋于零；固定 $$ 令 也是如此。只有初始角点不连续：初始杆温是零，端点却在开始加热后固定为 。公式没有承诺该角点的连续性。

对每个有限 $x>0$、$t>0$，积分都严格为正，所以这里没有有限传播速度。所谓“热影响深入多远”，应当说明采用哪个可检测温度阈值。若阈值是 $\theta T_b$，$0<\theta<1$，先找满足 的固定数 ，再得到

$$x_\theta(t)=2\eta_\theta\sqrt{\alpha t}.$$

相同阈值的位置在时间变为四倍后前进到两倍远处。有限长杆能近似看成半无限杆，指的是所研究时段内远端温度变化和反射边界的影响在所需精度下足够小，而不是数学上完全没有影响。

固定阈值的位置按 $\sqrt t$ 前进。把横坐标换成 $\eta=x/(2\sqrt{\alpha t})$，纵坐标换成 ，不同时间的曲线都变成同一条 。

把收支与时间尺度分开观察

在微元实验中，先选“向右流动而升温”。两侧箭头都向右，温度为什么反而上升？比较左右边界的热流数值，再选“向右流动而降温”。两次的流向没变，净流入却变了；留意温变率跟哪一个量走。

第二个实验把同一种初温 $\sin^2(\pi x/L)$ 放进两种边界装置。定温零边界允许热量流出，两端绝热则保持平均温度。预测长期状态后，把两根杆的长度设为一倍和两倍，保持扩散率相同；比较同一实际时刻与同一无量纲时间 $\tau=\alpha t/L^2$，留意它们回答的是不同问题。

递进练习

练习 1：符号与守恒

一维材料中热流密度定义为 $q=-ku_x$。某处温度曲线满足 $u_x<0$、$u_{xx}>0$。判断热流方向以及该点温度的瞬时变化趋势（假设 为正且无热源）。

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因为 $u_x<0$，所以 $q=-ku_x>0$，热流向右。又有 $u_t=\alpha$，该点温度正在上升。这里热流向右，而 ，即左侧流入的热量多于右侧流出的热量，微元因此升温。

练习 2：边界模型选择

把以下实验条件分别配对到 Dirichlet、Neumann 或 Robin 条件：端点接在巨大恒温浴中；端点用理想隔热层包裹；端点暴露在温度为 $T_\infty$ 的空气中，换热系数有限。

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巨大恒温浴对应 Dirichlet 条件，因为端点温度被固定；理想隔热层对应 Neumann 条件 $u_n=0$；有限换热的空气端对应 Robin 条件，它把端点温度和法向温度梯度联系起来。

练习 3：量纲迁移

材料 A 的热扩散率是材料 B 的 4 倍，但 A 中热量要穿过的距离是 B 的 2 倍。用 $L^2/\alpha$ 比较两者的扩散时间尺度。

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取 B 的尺度为 $L_B^2/\alpha_B$。A 的尺度为 $(2L_B)^2/(4\alpha_B)=L_B^2/\alpha_B$，所以两者时间尺度相同。距离平方带来的 4 倍增长，恰好被热扩散率 4 倍抵消。

练习 4：稳态与边界

一根无热源的杆达到稳态，左端温度为 $0$，右端绝热。说明稳态温度应是什么，并解释为什么不能凭“两个端点条件”直接断言它是非零斜率直线。

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稳态满足 $u_{xx}=0$，所以 $u_s=Ax+B$。左端定温给 $B=0$，右端绝热给 ，故 。绝热条件限制的是斜率，不是右端温度；因此它不会像定温条件那样提供一个非零的温度值。

练习 5：迁移到有源模型

若均匀杆内部持续产生热量 $s_0>0$，两端绝热，是否可能存在稳态？请从积分守恒而不是只解局部微分方程来判断。

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不存在有限稳态。对方程 $\rho c u_t=(ku_x)_x+s_0$ 在 上积分，绝热边界使导热通量的边界项为零，于是单位横截面积的能量变化率为 （整根杆为 ）。能量不断增加，温度平均值不断上升；局部可以暂时形成曲率，但不可能保持时间不变。

1

热扩散率 $\alpha$ 的单位是什么？

A.m/sB.m²/sC.K/sD.W/m²

2

两端绝热时，杆的平均温度在无内部热源的情况下保持不变。

正确错误

当你再次看到一个扩散型方程时，可以沿三条线检查它：守恒律是否给出了正确的符号，边界条件是否对应真实的端点装置，时间尺度是否与 $L^2/\alpha$ 同阶。它们分别检查方向、约束和数量级；三者同时合理，计算才有物理落点。

练习 6：两端的换热符号

杆的导热系数为 $k=10\,\mathrm{W/(m\cdot K)}$，两端环境均为 $20^\circ\mathrm C$，换热系数均为 $h=5\,\mathrm{W/(m^2\cdot K)}$。某时刻左端温度为 、右端为 。求两端 ，并判断热量进出。

查看解答

左端 $ku_x(0)=h(80-20)$，故 $u_x(0)=30\,\mathrm{K/m}$；右端 ，故 。向右热流 分别为 和 ：左端向左流出，右端向右流出。两个空间导数符号相反，却都在冷却杆。

练习 7：固定阈值与“前沿”

半无限杆的同一温度阈值，在 $t=5\,\mathrm s$ 时位于 $x=1\,\mathrm{cm}$。它何时位于 $3\,\mathrm{cm}$？阈值之外的温度是否严格为零？

查看解答

固定阈值下 $x_\theta\propto\sqrt t$，距离变为三倍，时间变为九倍，即 $45\,\mathrm s$。阈值之外温度较小但不是零，因为 $$ 对每个有限的 成立。可检测距离与数学传播范围不能混为一谈。