一根均匀金属杆放在两个低温端点之间。开始时，杆的中间很热、靠近端点的地方稍凉；过了一段时间，温度曲线会怎样变化？端点的温度条件只写在两个位置上，热方程却要在整条杆上成立。我们需要一种方法，把“空间上的形状”和“时间上的衰减”拆开处理。

本章固定研究区间 $0<x<L$ 上的初边值问题

其中 $u(x,t)$ 表示位置 $x$、时刻 $t$ 的温度，$\kappa>0$ 是材料的热扩散率。两端的零温度是一个理想化设定：它把边界条件变得齐次，也让我们能清楚看见本征函数从哪里来。非零端点温度会在本章结尾预告。

两端的温度在每一个时刻都固定为零。初始曲线给的是整个区间上的温度，之后内部各点怎样变化，由热方程决定。

把初值、边界和方程各放在自己的位置

读这个问题时，三行数据承担不同工作。

• $u_t=\kappa u_{xx}$ 规定温度随时间的变化率由空间曲率决定。曲线在某处向下弯，$u_{xx}<0$，那里的温度就会下降。

不要把第三行理解成“边界在 $t=0$ 以后也等于 $f$”。它只描述初始切片；第二行则在之后的每个时刻约束端点。若希望解在 $(x,t)=(0,0)$ 和 $(L,0)$ 连续，那么必须有 。常温初值 会故意制造一个不兼容例子：在杆的内部，初始温度可以是 ；但端点从一开始就被固定为 。

分离变量：为什么会出现一个常数

我们先寻找乘积形式的解

这不是说所有解都只有一个乘积，而是先找出一批容易控制的“单模态”解。由于

代入热方程得到

在 $X$、$T$ 不为零的地方，两边分别除以 $\kappa X(x)T(t)$：

左边只含 $x$，右边只含 $t$。如果一个只随 $x$ 变化的量和一个只随 $t$ 变化的量在整个矩形区域内相等，它们就不能继续依赖各自的变量，只能都等于同一个常数。为了让空间方程和时间方程的符号更适合热扩散，我们把这个常数记作 $-\lambda$：

于是得到两个常微分方程

分离常数的符号不是装饰。三种符号会产生三种不同的空间形状，我们要用边界条件逐项检查，而不是一看到指数解就直接跳到正弦函数。

三类 $\lambda$：边界条件留下谁

乘积解满足端点条件时，若 $T(t)$ 不恒为零，就必须有

这就是空间本征值问题。下面完整处理三种情形。

$\lambda<0$：双曲函数被两端同时压成零

写成 $\lambda=-\mu^2$，其中 $\mu>0$。空间方程变为

通解为

在 $x=0$ 处，$\cosh 0=1$、$\sinh 0=0$，所以

剩下 $X(x)=B\sinh(\mu x)$。再用 $X(L)=0$：

因为 $\mu L>0$，所以 $\sinh(\mu L)\ne0$，只能有 $B=0$。因此 $X\equiv0$，得到的只是平凡解。

这里时间方程本来会给出 $T(t)=Ce^{\kappa\mu^2t}$，看起来像增长模态；但它没有任何非零空间形状可以配合两个零端点，所以不能成为本问题的模态。

$\lambda=0$：线性空间形状也不够用

此时

所以

边界条件给出

由于 $L>0$，有 $B=0$。因此仍然只有 $X\equiv0$。这一项的时间因子本来是常数，然而固定为零温度的两个端点不允许非零常数形状存在。

$\lambda>0$：正弦形状恰好满足两端为零

令 $\alpha=\sqrt{\lambda}>0$。空间方程为

通解是

由 $X(0)=0$ 得 $A=0$，所以 $X(x)=B\sin(\alpha x)$。要有非零解，必须 $B\ne0$，于是第二个边界条件要求

正弦在整数倍的 $\pi$ 处为零，因此

从而得到本征值与本征函数

负整数只会把正弦函数乘上 $-1$，不产生新的空间形状；$n=0$ 已经属于 $\lambda=0$，且只给出平凡解，所以从 $n=1$ 开始。

时间方程在第 $n$ 个本征值下是

因此

（常数倍可以并入模态系数）。每个基本模态为

这三个空间模态在两端都为零。内部过零点的个数随 $n$ 增加，空间上的细小起伏也更多。

在下面的实验里，空间曲线都从 $X(0)=0$、$X'(0)=1$ 出发。先把 $\lambda$ 调为零或负数，观察右端能否回到零；再用“对准模态”选择允许的正本征值。只有两个端点都满足条件时，时间因子才组成这道零边界问题的非平凡模态。

用许多模态组成初温

热方程和两个边界条件都是线性的、齐次的。如果 $u_1$、$u_2$ 都满足它们，那么任意常数 $c_1,c_2$ 组合出的 也满足它们。有限个模态相加仍然是解。一般初温需要无限个模态，我们先写下候选级数，再检查收敛和逐项求导是否允许

现在只剩一个问题：怎样选择 $b_n$，才能让 $t=0$ 时的级数还原给定的 $f(x)$？令 $t=0$，指数因子变成 $1$，需要

这就是 $f$ 在区间 $[0,L]$ 上的 Fourier 正弦级数。级数不是凭空添加的无限符号，而是在本征函数空间中把初始温度分解成一层层空间形状。

正交性如何抽出每一个系数

记

我们先证明不同的正弦形状互相正交。对 $m\ne n$，使用积化和差公式

得到

因为 $m-n$ 和 $m+n$ 都是整数，端点处的正弦都为零。对 $m=n$，用 $\sin^2a=(1-\cos 2a)/2$：

两式合起来就是

现在从正弦级数

出发，先对有限部分和做投影。若部分和在平方积分意义下趋于 $f$，Cauchy–Schwarz 不等式保证它与固定的 $\phi_m$ 的内积也收敛；因此下面的积分等式有依据，而不是把任意级数都直接移进积分号：

由于正交性，右边除了 $n=m$ 的项都消失，剩下

于是

把下标 $m$ 换回通常的 $n$，热方程的解写成

积分变量写成 $s$ 是为了和外面的观察位置 $x$ 区分。系数中的 $s$ 只是被积分掉的临时变量。

若 $f$ 连续且分段光滑，这个正弦级数在内部点按通常意义还原 $f$；在端点处，每一项正弦函数都为零，所以级数端点值为零。这句话正好提醒我们：正弦级数天然适应零边界，却不一定在端点还原一个与边界不兼容的初值。

无限求和需要补上的检查

这里只在 $f$ 连续且分段光滑、或具有有限个跳点的分段光滑情形使用上面的级数。Fourier 收敛结论会在第 7 章展开：内部连续点还原 $f(x)$，跳点还原左右极限的平均；端点则取奇延拓所规定的零值。边界兼容时，可以把初始条件连续地接到两端；不兼容时，就把初值理解为内部点的极限或平方积分极限。

对正时间，求导的依据可以直接检查。由系数公式，令 $M=(2/L)\int_0^L|f(s)|\,ds$，则 $|b_n|\le M$。固定任意 ，在 上，原级数及其 、、 导数的各项，分别被常数倍的

控制。这些数项级数都收敛：指数衰减最终比任何 $n$ 的幂都快。Weierstrass 判别法给出一致收敛，因此可以逐项求导，所得 $u_t=\kappa u_{xx}$ 在正时间确实成立。注意我们固定了 $\varepsilon>0$；这段论证没有把不兼容的初始角点也变成光滑点。

例题一：整根杆一开始同样热

设 $L=1$，$\kappa=1$，两端温度保持为 $0$，初始温度为常数 $f(x)=C$，其中 $C>0$。求 的 Fourier 正弦级数解，并说明为什么解在 的端点处看起来和初值不一致。

当 $t$ 稍大时，高频项的指数因子尤其小。例如第一项的时间因子是 $e^{-\pi^2t}$，第三项的时间因子是 $e^{-9\pi^2t}$。第三项只多了一个系数 的差别，但指数衰减的速率相差九倍，所以曲线很快主要呈现第一模态的形状 。

把初温选成常数，时间留在零，逐渐增加截断阶数。端点附近的部分和会有明显起伏，端点本身却一直是零。随后把无量纲时间 $\tau=\kappa t/L^2$ 调到 $0.05$，比较系数柱状图与合成曲线：高频项为何迅速变小？这时起作用的是指数因子，不是你额外增加了项数。图中给出的平方积分只针对当前截断和，它不是温度的总积分。

例题二：抛物线形初温 $f(x)=x(L-x)$

考虑一般长度 $L$、热扩散率 $\kappa$ 的杆，初始温度为

这个初值在 $x=0$ 和 $x=L$ 都为零，和固定端点条件兼容。求其 Fourier 系数与解，并写出长时间下的第一模态近似。

这个例子还有一个可检查的几何事实：$x(L-x)$ 关于中点 $L/2$ 对称，所以偶数正弦模态的投影全部为零。对称性不是额外的魔法，它会直接反映在积分系数的奇偶消失上。

能量检查：热扩散不会把整体起伏放大

设

它不必被解释成严格的物理总热量；在这里它是衡量温度起伏大小的一个量。对足够光滑的解求导，并代入热方程：

因为 $u(0,t)=u(L,t)=0$，边界项 $[uu_x]_0^L$ 为零，所以

这给出一个很有用的合理性检查：零端点热方程会耗散起伏，不能让 $E(t)$ 随时间增长。分离变量的每个模态也与此一致，因为 $e^{-\kappa\lambda_nt}$ 都在衰减。若某次计算得到正的指数 $e^{+\kappa\lambda_nt}$，需要回头检查分离常数的符号或热方程的符号。

练习：从投影到方法迁移

解题时把长度、热扩散率和两端条件写在草稿上。少写一个 $L$，指数里的衰减时间就会差一整个平方因子。

理解：本征值分类与衰减率

练习 1　对 $0<x<2$ 的零端点热方程，写出前四个本征值 $\lambda_n$、本征函数 $X_n(x)$ 和对应时间因子 。说明哪个模态衰减最慢。

练习 2　证明 $\lambda<0$ 时没有非零空间解。你的证明必须明确写出双曲函数通解，并指出两个边界条件分别消掉了哪个常数。

应用：计算 Fourier 正弦系数

练习 3　令 $L=3$，初始温度为 $f(x)=12$。写出解的前三个非零项，并用无量纲时间 $\sigma=\kappa\pi^2t/9$ 表示它们的时间因子。

练习 4　令

求其正弦系数 $b_n$，并写出热方程解的级数形式。观察 $f(L)=1$，说明它和零端点条件在哪一点不兼容。

迁移：从零边界走向非零边界

练习 5　两端温度不再是零，而是

其中 $A,B$ 为常数。设 $s(x)=A+(B-A)x/L$，令 $v=u-s$。证明 满足零端点边界，并说明为什么这个变换是处理非零边界的自然入口。

练习 6　对零端点热方程，设解足够光滑。用

证明 $E'(t)\le0$。这说明了什么？

换一个边界后，还能照搬哪些步骤

遇到新的有限区间热方程，可以按下面的逻辑复做，而不是背一条最终公式：

1. 把方程、边界条件和初值分别写清楚，检查初值是否和端点兼容。
2. 代入 $u=XT$，把只含 $x$ 和只含 $t$ 的量分离成常数 $-\lambda$。
3. 对 $\lambda<0$、$\lambda=0$、 分别解空间方程，再用边界条件筛选非平凡解。

下一章会把同一套“空间本征函数 + 时间因子”的思路带到波动方程。那里时间方程不再给出指数衰减，而会产生振动；分离变量的骨架相同，物理含义已经不同。

练习 7　零端点杆的初温是 $f(x)=\sin(2\pi x/L)+2\sin(3\pi x/L)$。求解，并指出长时间主导项。若把杆长加倍，保持相同的相对位置形状和热扩散率，要看到同样的衰减比例，需要等多久？

这里的系数因子是 $2/L=2$，因为本题 $L=1$。

把积分记作 $I_n$，先拆成 $I_n=L\int_0^Lx\sin(k_nx)dx-\int_0^Lx^2\sin(k_nx)dx$，这样每一项都能直接分部积分。

前四个本征值是 $\pi^2/4,\pi^2,9\pi^2/4,4\pi^2$。对应时间因子为 $e^{-\kappa\lambda_nt}$。因为 $\lambda_1$ 最小，第一模态 $n=1$ 的指数衰减最慢；只有它的系数不为零时，它才主导长时间行为。

由 $X(0)=0$ 得 $A=0$；再由 $X(L)=B\sinh(\mu L)=0$，而 $\sinh(\mu L)>0$，得到 $B=0$。所以 $X\equiv0$，不存在非零模态。这里不能只说“负值不合适”，因为真正排除它的是双曲空间解与两个边界条件的联合作用。

因此前三个非零项为

指数中的 $1,9,25$ 来自奇数模态平方，而不是来自系数分母。