把吉他弦拨到一边，松手以后，手指附近的形状不会留在那里。它会分成两股扰动，沿着弦向两端跑；到了固定端，又反过来跑回来。与此同时，弦上的每一个小段都在上下运动。我们想用一个函数 $u(x,t)$，同时记录“弦在什么位置、什么时刻偏了多少”。我想带你把这两种运动分开：弦上的质点上下走，扰动的轮廓沿弦传播。波速、反射和能量，都可以从这一幅画面里逐步算出来。

本章只讨论小振幅、均匀张力、均匀线密度的理想弦。理想化会去掉空气阻力、材料耗散和大幅度伸长，但不会去掉波传播的核心结构。你会看到，同一个方程既可以用分离变量拆成固定端的正常模态，也可以用 D’Alembert 公式直接追踪无限弦上的局部脉冲；两种做法看起来不同，背后都在表达“信息以有限速度沿特征方向移动”。

从一小段弦得到波方程

变量和小振幅假设

让弦的平衡位置沿着 $x$ 轴铺开，弦长为 $L$。用 $u(x,t)$ 表示位置 $x$ 处的横向位移，正方向取向上。弦的线密度记为 $ho$，单位是质量除以长度；平衡状态的张力记为 $T>0$。在小斜率近似中，运动时张力的水平分量与这个常数相同；下面的线性方程只保留这一阶近似。

“小振幅”不只是说图像看起来不高。我们需要

这样弦的斜率很小，弦段的伸长可以忽略，且点的运动可以近似看成竖直方向。若弦在 $x$ 和 $x+\Delta x$ 之间取出一小段，它的质量近似为 $\rho\Delta x$。

弦段受两端张力。水平方向的分量在小振幅模型中互相抵消；真正造成竖直加速度的是两端张力的竖直分量之差。设切线与水平的夹角为 $\theta(x,t)$，则

由于水平张力近似保持为常数 $T$，左端张力指向弦段外侧，其竖直分量为负的左端斜率贡献；右端则为正的右端贡献。因此在这个线性模型内，竖直合力写成

这一步的意思很具体：如果两端斜率相同，弦段整体只是被平行拉着，竖直方向没有合力；只有斜率在空间上发生变化，也就是弦段有弯曲，才会出现恢复力。

牛顿定律留下什么

对这一小段使用牛顿第二定律。把连续弦近似为小段后，它的竖直加速度是 $u_{tt}$，于是

其中 $\xi\in[x,x+\Delta x]$。两边除以 $\Delta x$，再令 $\Delta x\to0$，右边的差商变成 $u_{xx}$，得到

于是小振幅弦的波方程是

$c$ 的量纲是长度除以时间，确实是速度。张力越大，相同弯曲造成的恢复力越大，扰动传得越快；线密度越大，单位长度上的惯性越大，扰动传得越慢。这里的 $c$ 是波形传播速度，不是弦上某个点上下运动的速度；后者是 $u_t(x,t)$，会随位置和时间改变。

初位移、初速度与端点约束

波方程对时间是二阶的，所以只给初始形状还不够。典型的初始数据是

其中 $f$ 是弦刚松手时的位移形状，$g$ 是每个位置刚开始的竖直速度。若只是把弦拨开后静止松手，常见情形是 $g\equiv0$；若用手把一小段弦向上拍一下，$f$ 可能为零而 $g$ 局部不为零。

边界条件描述弦的端点怎样运动。固定端的条件是

这两条不是“只在开始时成立”的补充信息，而是每个 $t>0$ 都必须满足的约束。初始条件讲 $t=0$ 整根弦是什么样；边界条件讲以后端点始终被怎样限制。把二者混在一起，后面无论做分离变量还是判断反射，都会丢掉一半信息。

行波与有限传播速度

两个方向的波

先不用边界，想象弦无限延伸。取任意足够光滑的单变量函数 $F$，令

记 $z=x-ct$。链式法则给出

以及

所以 $u_{tt}=c^2u_{xx}$。当 $x-ct$ 保持不变时， 随时间增加，图形向右移动： 是右行波。同样地， 满足方程，并向左移动。这说明两个方向的行波都是解。要确认它们还包含了所有光滑解，可以改用特征坐标 （），把 写成 。链式法则给出

因此 $v_{\xi\eta}=0$，先对 $\eta$ 积分得 $v_\xi$ 只依赖 $\xi$，再对 积分得 。所以无限弦上的一般光滑解为

初始扰动被写成向右、向左传播的两个贡献。两部分可以占据同一段弦，实际位移是它们的和。

把初始数据送进行波公式

为了把 $F$ 和 $G$ 由初始数据确定，先写

对 $u$ 先对时间求导，再令 $t=0$：

因此

把第二式除以 $c$，并从 $x-ct$ 到 $x+ct$ 积分，会得到

右边按微积分基本定理化为

另一方面，把 $f=F+G$ 分别代入两个端点，得到

将这两式相加，再除以 $2$，中间的 $F(x+ct)$ 与 $G(x-ct)$ 正好消掉，留下

这就是无限弦的 D’Alembert 公式。取 $f\in C^2$、$g\in C^1$ 时，可以逐项求导验证它是经典解；分段光滑或有折角的数据要区分各光滑区域与整体的弱解含义。公式中的两个端点 $x-ct$、$$ 来自两条特征线；积分项来自初始速度，而不是额外“猜”出来的修正项。

一个观测点能收到哪一段信息

在 $(x_0,t_0)$ 处，公式只用到初始位移在 $x_0-ct_0$ 和 两个点的值，以及初始速度在区间

上的积分。这个区间就是该点在初始时刻的依赖域。若初始扰动离这个区间很远，经过时间 $t_0$ 它还没有机会影响 $(x_0,t_0)$。

因此波动方程有有限传播速度：信息沿着斜率由 $c$ 决定的特征线传播，不能瞬间从整根弦同时传来。热方程的情形不同，热方程的解通常会立刻感受到全区间的初始数据；这正是两种方程性格差异的一个入口。

在第一个实验中，把初位移留成三角脉冲，暂时关掉初速度。预测两股半幅脉冲的位置，再改变观测点。打开一段矩形初速度后，实验会同时显示依赖区间与积分贡献。把这段速度移到依赖区间之外：目标点读数应保持不变；刚进入区间时，变化取决于重叠长度。

三角脉冲分成两股

例题 1　无限弦的波速为 $c=2$。初始位移是一个三角形脉冲

初始速度 $g(x)=0$。三角形的折角不会被波方程自动抹平，以下公式在光滑片段满足经典方程，整体按有限能量的弱解理解。求 $u(x,t)$ 的表达式，并判断 $t=\frac34$ 时脉冲位于哪里、在 处的位移是多少。

这个例子也说明了“局部”并不等于“静止在原地”。初始形状的信息沿两个方向离开；在固定端问题里，离开的波还会因边界条件发生反射，但在无限弦上它们会一直向两侧走。

固定端允许哪些振动

端点筛选空间模态

现在回到长度为 $L$ 的弦，端点固定：

设一个可分离的特殊解为

代入方程：

在 $X,Y$ 不为零的区域除以 $c^2XY$：

左侧只依赖 $t$，右侧只依赖 $x$；要让它们对所有 $x,t$ 相等，只能都等于同一个常数。把这个常数写成 $-\lambda$，于是得到

固定端条件变成

现在检查 $\lambda$ 的三种可能。

• 若 $\lambda=0$，则 $X=ax+b$。由 $X(0)=0$ 得 $b=0$，由 得 ，只有零解。

因此

对应的时间因子满足

所以

每一个 $n$ 都给出一个固定端允许的空间形状。$n=1$ 是基频模态，$n=2$ 在中点多出一个节点，$n$ 越大，空间起伏越细，频率也越高。

从两份初始数据求模态系数

有限个模态可以直接叠加。一般初始数据通常需要无限级数，我们先求出它应有的系数，再检查收敛：

把 $t=0$ 代入，得到初始位移的 Fourier 正弦级数：

利用正交关系

两边乘以 $\sin\frac{m\pi x}{L}$ 并积分，只有第 $m$ 项保留下来，于是

对时间求导后令 $t=0$：

同样投影到第 $m$ 个正弦模态，得到

这里有一个很容易漏掉的 $\omega_m$：$B_m$ 本身不是初始速度的 Fourier 系数，$\omega_mB_m$ 才是初始速度在第 个模态上的系数。

这里的正交投影与上一章相同。若初值级数在 $L^2$ 意义收敛，可用 Cauchy–Schwarz 不等式把“有限部分和的投影”传到极限，系数公式便有依据。但满足初值还不等于能任意逐项求二阶导数。

一个便于直接检查的充分条件是

每项任意一个至多二阶的时间或空间导数，都被常数倍的 $n^2(|A_n|+|B_n|)$ 控制。Weierstrass 判别法给出这些导数级数的一致收敛，从而允许逐项求导，并得到经典波动解。有限个模态当然满足这个条件；一般数据不一定满足。热方程在正时间额外提供指数衰减，波方程的正弦、余弦时间因子没有这种平滑作用。

若只要求有限能量，条件可以放宽。记 $g_n=\omega_nB_n$，正交性使前 $N$ 个模态的初始能量为

这个非负级数有限时，增加模态产生的能量差趋于零，因而适合在能量意义下取极限；它并没有自动保证二阶导数连续。后面涉及折角或跳跃数据时，正是要保留这个区别。弱解的正式定义留到课程后面的章节。

反射的符号由边界决定

先看只有一个端点的半无限弦 $x\ge0$，左端在 $x=0$。若一股左行波写作 $F(x+ct)$，它到达固定端时，必须有另一股右行波把端点位移抵消。取

在 $x=0$ 处，两个值正好相反：

因此反射波的位移轮廓带有负号：波峰撞上固定端后相当于以波谷返回。负号来自 $u(0,t)=0$ 这个边界条件，不是“波撞墙自然会翻面”的额外口诀。对半无限弦，也可以把初位移和初速度越过 $0$ 做奇延拓，再把无限弦公式限制回 $x\ge0$。

有限弦 $[0,L]$ 还要照顾右端。只在 $0$ 处做一次奇延拓，并不能自动满足 $u(L,t)=0$。正确做法是把数据奇延拓到 $[-L,L]$，再作 $2L$ 周期延拓。延拓函数既关于 奇对称，也关于 奇对称。例如 ，所以 D’Alembert 公式在两个端点的位移项分别抵消；奇对称区间上的初速度积分也为零。这样才把两端的反复反射都包含进去。

换成理想自由端 $u_x(0,t)=0$ 时，取

求空间导数得到 $u_x=F'(x+ct)-F'(-x+ct)$，在 处为零，反射项便保留了正号。固定端控制位移，自由端控制斜率；把对应的量在端点代入，反射符号就不必靠记忆。

让一股正脉冲向左走，在实验中停到脉冲中心刚好到达端点的时刻。固定端的两项位移相消，自由端的两项则相加。切换端点装置时，比较图中的总位移与端点斜率，确认究竟哪一个量必须为零。

同一个空间模态，两种时间演化

例题 2　长度为 $L=\pi$ 的弦，波速 $c=2$，两端固定。初始位移和初始速度分别为

求 $u(x,t)$，并计算总能量

最后，把它与同一空间初始形状下的热方程 $v_t=\kappa v_{xx}$ 比较。

能量守恒与边界功率

能量密度从哪里来

弦上一小段长度 $dx$ 的质量是 $\rho\,dx$，它的横向速度是 $u_t$，所以动能微元为

小斜率下，这一小段相对于水平的伸长近似为

张力乘以伸长给出近似势能微元

所以区间 $[a,b]$ 上的总机械能定义为

第一项测量局部上下运动，第二项测量小斜率伸长所储存的弹性能。两项都是平方，因此能量非负。

把方程乘上 $u_t$ 再积分

假设 $u$ 足够光滑，且 $\rho,T$ 为常数。对 $E$ 关于时间求导：

波方程给出 $\rho u_{tt}=T u_{xx}$，代入第一项：

现在只对 $Tu_tu_{xx}$ 做一次分部积分。把 $u_{xx}$ 看作被微分的因子：

代回去，两个区间积分正好抵消：

这一步值得慢一点看：能量变化没有被“凭空设为零”，而是被压缩成端点项。区间内部的动能和势能可以互相交换，只有通过端点的功率才会改变区间总能量。

对整个固定端弦 $[0,L]$，若 $u(0,t)=u(L,t)=0$ 对所有 $t$ 成立，那么对时间求导得到

于是

所以 $E(t)=E(0)$。固定端可以承受张力，但端点没有竖直速度，边界不向弦做功。

边界功率与经典解的唯一性

若端点被外力驱动，$u_t(0,t)$ 或 $u_t(L,t)$ 不再为零，那么边界项通常不为零。比如右端的瞬时功率项是 $T u_t(L,t)u_x(L,t)$，它的正负取决于端点运动方向和弦在端点的斜率；外界可以向弦输入能量，也可以从弦取走能量。

同一等式还能严格证明经典解的唯一性。假设两个解有相同的初始数据和固定端边界，令它们之差为 $w$。那么 $w$ 也满足波方程、固定端条件和零初始数据。它的能量满足

由于能量是 $w_t^2$ 和 $w_x^2$ 的积分，必有 $w_t=0$、（在足够光滑的经典解范围内）。于是 是常数；固定端又迫使这个常数为零。因此两个解处处相同。这里不需要先求出级数或显式公式，能量直接告诉我们“同一份初边值数据不能产生两份不同的解”。

两股行波重叠，能量怎样分

对无限弦，写 $u=R(x-ct)+S(x+ct)$，并用 $T=\rho c^2$。有

因此总能量密度为

动能里的交叉项与势能里的交叉项正好抵消，而且是在每个点抵消，不必等两股波分开。若初速度为零，$R=S=f/2$，且 $f'$ 的平方可积，那么每个方向的全直线能量都是

这里说的是按行波分解得到的能量。只有两股脉冲分开后，才可以把它们分别对应到互不相交的空间区域。只看某一小段弦，这一段的能量会随着行波流入、流出而改变。

能量传播的方向也可以直接算。令 $J=-Tu_tu_x$，由波方程可得 $e_t+J_x=0$。对右行波 ，；对左行波 ，，分别与传播方向一致。

把最后一个实验设成单模态、零初速度，观察位移穿过零时动能怎样接过全部能量。再加入第二模态或非零初速度：不同模态会各自交换动能和势能，总能量仍保持不变。实验中的热方程对照使用相同的初位移；它没有第二份初速度数据，也不使用弦的机械能来衡量温度。

按数据选择方法

面对一个波动方程题，可以按数据的空间结构选择视角。

这不是四套互不相关的技巧。D’Alembert 公式强调传播的方向和速度，分离变量强调有限区间允许的空间形状，能量法强调内部交换和边界功率。题目问什么，就让最能暴露答案结构的工具站到前面。

递进练习

传播与数据

练习 1　对无限弦的波方程，为什么 $F(x-ct)$ 表示向右传播而不是向左传播？

练习 2　若 $u(x,t)=F(x-ct)$，请直接计算 $u_t$、$u_{tt}$、、，并说明它满足什么方程。

练习 3　判断：给定初始位移 $f(x)$ 后，波方程的初始速度 $g(x)$ 就被唯一确定了。

用不同初始数据计算

练习 4　无限弦的波速为 $c=3$，初始位移 $f(x)=0$，初始速度

用 D’Alembert 公式求 $u(0,\frac16)$ 和 $u(0,\frac12)$。初速度有跳跃，整体解按弱解理解。

练习 5　长度为 $L=2$、波速为 $c=5$ 的固定端弦，初始数据为

求解 $u(x,t)$，并写出该模态的周期。

练习 6　对固定端弦，能量为

请从 $E'(t)$ 出发写出边界项，并解释如果只有左端被驱动、右端固定，哪一项可能改变总能量。

能量与相容条件

练习 7　一根无限弦的初始位移 $f$ 有局部支集，$f'$ 平方可积，初始速度为零。写出两股行波的位移，并计算各自的全直线能量。它们仍有重叠时，结论会改变吗？为什么只计算势能会判断错？

练习 8　在 $0<x<L$ 上比较

两者都取零端点边界、相同初始空间形状 $\sin(n\pi x/L)$，波方程另取初速度为零。分别写出时间因子，说明 $n$ 变大时两种模型对细节的处理有何不同。

练习 9　固定端弦的初始位移在端点满足 $f(0)=f(L)=0$，但初始速度在左端不为零，即形式上 $g(0)\ne0$。这组数据为什么需要谨慎处理？请从边界条件对时间求导的角度说明。

练习 10　设半无限弦 $x\ge0$ 上入射波为 $F(x+ct)$。写出自由端的反射解，直接验证边界条件，并用能量边界项解释自由端是否向弦输入功率。

练习 11　把例题 2 的初速度改为 $g(x)=8\sin(2x)$，其他条件不变。求解并计算初始动能、初始势能与总能量。

下一次拿到波动问题，先把空间区域和两份初始数据写全。无限弦上的局部扰动，可以沿特征追踪；有限弦的频率问题，适合投影到模态。无论采用哪一种方法，端点条件和能量收支都能替你检查结果：哪里应当为零，能量又有没有从边界进来。

这已经显示出两个复制的轮廓：一份以速度 $2$ 向右，一份以速度 $2$ 向左，并且每份振幅是原来的一半。